江西省宜春市2016届高三上期末数学试卷（文）含答案解析VIP

第 1 页（共 18 页） 2015年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=x| 1 x 1，则 AB=（ ） A 0 B 1， 0 C 0， 1 D 1， 0， 1 2若 1+（ a 2） i 是实数，则 等于（ ） A 1 2i B 1+2i C 1+2i D 2+i 3已知 =（ 2x， 1）， =（ 4， 2），若 ，则 x 的值为（ ） A B C 1 D 1 4已知等差数列 前 n 项和为 a1+，且 0则 ） A 260 B 220 C 130 D 110 5记 a， b 分别是投掷两 次骰子所得的数字，则方程 b=0 有两个不同实根的概率为（ ） A B C D 6下列四个命题中，正确的有（ ）（注： 表示存在， 表示任意） 两个变量间的相关系数 r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低； 命题 p： “ R， x 1 0”的否定 p： “ x R， x 1 0”； 在 ， “A 60”是 “”的充要条件 若 a=b=c= c a b A B C D 7设函数 f（ x） = ，若 f（ x） 1 成立，则实数 x 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， +） C（ 2， ） D（ ， 2） （ ， +） 8如图，定义某种运算 S=ab，运算原理如图所示，则式子（ 2 ） 1 的值为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 11 B 13 C 8 D 4 9已知函数 y= 0）与直线 y=a 相交于 A、 B 两点，且 |小值为 ，则函数f（ x） =3x ）的单调增区间是（ ） A k ， k （ k Z） B 2， 2k （ k Z） C ， k （ k Z） D 2k ， 2k （ k Z） 10若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A B C D 6 11已知抛物线 x 与椭圆 =1（ a 1）交于 A、 B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 20，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 12定义域为 a， b的函数 y=f（ x）图象的两个端点为 A、 B， M（ x， y）是 f（ x）图象上任意一点，其中 x=a+（ 1 ） b， 0， 1已知向量 = +（ 1 ） ，若不等式| | k 恒成立，则称函数 f（ x）在 a， b上 “k 阶线性近似 ”，若函数 y=x 在 1， 2上 “，则实数 k 的取值范围为（ ） A 1， +） B +1， +） C 3 2 ， +） D 3+2 ， +） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若数列 足： ， =2n N+），则其前 7 项的和 14已知变量 x， y 满足线性约束条件 ，若线性目标函数 z=y（ a 1）的最大值为 5，则实数 a 的值为 15已知函数 f（ x） =x（ x a）（ x b） +导函数为 f（ x），且曲线 y=f（ x）在 x=0处的切线斜率为 3，则 最小值为 16抛物线 C： x2=a 0）的焦点与双曲线 E： 2 的右焦点的连线交 C 于第一象限内的点 M，若 C 在点 M 处的切线平行于 E 的一条渐近线，则实数 a= 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17设函数 f（ x） =|x 3|+|x+7| （ 1）解不等式： f（ x） 16； （ 2）若存在 R，使 f（ a，求实数 a 的取值范围 第 3 页（共 18 页） 18在 ，角 A、 B、 C 对边分别是 a、 b、 c，且满足 2 b+c） 2 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ， 面积为 ；求 b， c 19为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 15 65 岁的人群抽样了 n 人，回答问题 “湖南省有哪几个著名的旅游景点？ ”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1 组 15， 25） a 2 组 25， 35） 18 x 第 3 组 35， 45） b 4 组 45， 55） 9 5 组 55， 65 3 y （ ）分别求出 a， b， x， y 的值； （ ）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 组每组各抽取多 少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率 20如图所示，圆柱的高为 2，底面半径为 ， 圆柱的两条母线，过 圆柱的截面交下底面于 边形 正方形， （ ）求证 （ ）求四棱锥 E 体积 21如图所示：已知圆 N：（ x+2） 2+ 和 抛物线 C： x，圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A， B （ 1）当直线 l 的斜率为 1 时，求线段 长； （ 2）设点 O 为坐标原点，问是否存在直线 l，使得 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 18 页） 22已知函数 f（ x） = （ 1）若 k 0，且对于任意 x 0， +）， f（ x） 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （ 2）设函数 F（ x） =f（ x） +f（ x）， 求 证： 1） +2） +n） （ +2）（ n N+） 第 5 页（共 18 页） 2015年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=x| 1 x 1，则 AB=（ ） A 0 B 1， 0 C 0， 1 D 1， 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 找出 A 与 B 的公共元素，即可确定出两集合的交集 【解答】 解： A= 1， 0， 1， B=x| 1 x 1， AB= 1， 0 故选 B 2若 1+（ a 2） i 是实数，则 等于（ ） A 1 2i B 1+2i C 1+2i D 2+i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 根据复数的四则运算进行计算即可 【解答】 解： 1+（ a 2） i 是实数， a 2=0，即 a=2 = ， 故选： A 3已知 =（ 2x， 1）， =（ 4， 2），若 ，则 x 的值为（ ） A B C 1 D 1 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 利用向量共 线列出方程求解即可 【解答】 解： =（ 2x， 1）， =（ 4， 2），若 ， 可得 4=4x，解得 x=1 故选： C 4已知等差数列 前 n 项和为 a1+，且 0则 ） A 260 B 220 C 130 D 110 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， a1+，且 0 ，解得 ， d= 第 6 页（共 18 页） 则 + =110 故选： D 5记 a， b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程 b=0 有两个不同实根的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 所有的（ a， b）共有 6 6=36 个，用列举法求得故满足条件的（ a， b）有 9 个，由此求得方程 b=0 有两个不同实根的概率 【解答】 解：所有的（ a， b）共有 6 6=36 个，方程 b=0 有两个不同实根，等价于 =8b 0， 故满足条件的（ a， b）有（ 3， 1）、（ 4， 1）、（ 5， 1）、（ 5， 2）、（ 5， 3）、（ 6， 1）、 （ 6， 2）、（ 6， 3）、（ 6， 4），共 9 个， 故方程 b=0 有两个不同实根的概率为 = ， 故选 B 6下列四个命题中，正确的有 （ ）（注： 表示存在， 表示任意） 两个变量间的相关系数 r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低； 命题 p： “ R， x 1 0”的否定 p： “ x R， x 1 0”； 在 ， “A 60”是 “”的充要条件 若 a=b=c= c a b A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析 】 根据相关系数的定义可判断； 存在命题的否定，存在改为任意，再否定结论即可； 根据函数的单调性判断即可； a=1， b=1， c=0，直接判断 【解答】 解： 相关系数 r 的绝对值越趋近于 1，相关性越强；越趋近于 0，相关性越弱，故错误； 命题 p： “ R， x 1 0”的否定 p： “ x R， x 1 0”，故错误； 在 ， 0 A ，余 弦函数递减，故 A 60”是 “”的充要条件，故正确； 若 a=1， b=1， c=0，则 c a b，故正确 故选： C 7设函数 f（ x） = ，若 f（ x） 1 成立，则实数 x 的取值范围是（ ） 第 7 页（共 18 页） A（ ， 2） B（ ， +） C（ 2， ） D（ ， 2） （ ， +） 【考点】 一元二次不等式的应用 【分析】 根据函数 f（ x）是分段函数的形式，对 x 进行分类讨论：当 x 1 时， f（ x） =（ x+1） 2，当 x 1 时， f（ x） =2x+2，分别解 f（ x） 1 最后综合得实数 x 的取值范围 【解答】 解：当 x 1 时， f（ x） =（ x+1） 2， f（ x） 1 即：（ x+1） 2 1， 解得： x 0 或 x 2， 故 x 2； 当 x 1 时， f（ x） =2x+2， f（ x） 1 即： 2x+2 1， 解得： x ， 故 x ； 综上所述，实数 x 的取值范围是（ ， 2） （ ， +） 故选 D 8如图，定义某种运算 S=ab，运算原理如图所示，则式子（ 2 ） 1 的值为（ ） A 11 B 13 C 8 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图可得，当 a b 时，则输出 a（ b+1），反之，则输出 b（ a+1），比较2 （ ） 1 的大小，即可求解得到答案 【解答】 解： 22，而 ， （ 2 2 （ ） =2 2=4， ，（ ） 1=3， ） 1=（ ） 1 （ ） =3 3=9， 第 8 页（共 18 页） 故（ 2 ） 1 的值为 4+9=13 故选： B 9已知函数 y= 0）与直线 y=a 相交于 A、 B 两点，且 |小值为 ，则函数f（ x） =3x ）的单调增区间是（ ） A k ， k （ k Z） B 2， 2k （ k Z） C ， k （ k Z） D 2k ， 2k （ k Z） 【考点】 正弦函数的单调性 【分析】 由条件利用正切函数的周期性求得 ，再根据正弦函数的增区间，求得 f（ x）的增区间 【解答】 解：由题意可得 =， =1，函数 f（ x） =3x ） 令 2 x 2，求得 x 2， 2k ， k Z， 故选： B 10若一个底面为正三角形 、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A B C D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高、底面正三角形的边长已知，故可求体积 【解答】 解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是 4，底面正三角形的 边长是 故三棱柱体积 V= = 故选 B 11已知抛物线 x 与椭圆 =1（ a 1）交于 A、 B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 20，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质；抛物线的简单性质 【分析】 先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出 0，由抛物线x（ p 0）求焦点 F 坐标，再设 m，利用三角函数用 m 表示出 根据第 9 页（共 18 页） 点 F 得位置进行分类，表示出 A 的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出 m 和 a 的值，再由 a、b、 c 和定义求得椭圆的离心率 【解答】 解：由题意画出如图形如下：设 x 轴的交点是 D， x， 焦点 F（ 1， 0）， 由椭圆和抛物线的对称性得， x 轴， 0， 设 m（ m 0），在 ， FD=m， m， （ 1）当点 F 在椭圆的内部时，由图得 A（ 1+m， m），代入 x 得， 34m 4=0， 解得， m=2 或 （舍去），则 A（ 3， 2 ），把点 A 代入 =1，解得：无解； （ 2）当点 F 在椭圆的外部时，由图得有 A（ 1 m， m），代入 x 得， 3m 4=0， 解得， m= 或 2（舍去），则 A（ ， ），把点 A 代入 =1， 解得 ，故 c2=1= ， e= = = 故选 A 12定义域为 a， b的函数 y=f（ x）图象的两个端点为 A、 B， M（ x， y）是 f（ x）图象上任意一点，其中 x=a+（ 1 ） b， 0， 1已知向量 = +（ 1 ） ，若不等式| | k 恒成立，则称函数 f（ x）在 a， b上 “k 阶线性近似 ”，若函数 y=x 在 1， 2上 “，则实数 k 的 取值范围为（ ） A 1， +） B +1， +） C 3 2 ， +） D 3+2 ， +） 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 先得出 M、 N 横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题 【解答】 解：由题意， M、 N 横坐标相等， | | k 恒成立，即 | |k， 由 N 在 段上，得 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， 直线 程为 y=2（ x 1） 1 | |=|x 2（ x 1） +1|=|x+ 3|， x 1， 2， x+ 2 ， 3 第 10 页（共 18 页） x+ 3 2 3， 0 | | 2 k 3 2 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若数列 足： ， =2n N+），则其前 7 项的和 127 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 判断数列是等比数列，然后求解其前 7 项的和 【解答】 解：数列 足： ， =2n N+），数列是等比数列，公比为 2 前 7 项的和 =127 故答案为： 127 14已知变量 x， y 满足线性约束条件 ，若线性目标函数 z=y（ a 1）的最大值为 5，则实数 a 的值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出 A 的坐标，由 z=y 得： y=z，结合函数的图象显然直线 y=z 过 A（ 4， 3）时， z 最大，求出 a 的值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得： ， 由 z=y 得： y=z， 显然直线 y=z 过 A（ 4， 3）时， z 最大， 此 时， 5=4a 3，解得： z=2， 故答案为： 2 第 11 页（共 18 页） 15已知函数 f（ x） =x（ x a）（ x b） +导函数为 f（ x），且曲线 y=f（ x）在 x=0处的切线斜率为 3，则 最小值为 4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率，可得 ，再由基本不等式计算即可得到所求最小值 【解答】 解：函数 f（ x） =x（ x a）（ x b） +导函数为： f（ x） =32（ a+b） x+ab+ y=f（ x）在 x=0 处的导数为 ab+， 由题意可得 =3，即 ， 则 2 =4 ， 当且仅当 a= b 时取得最小值 4 故答案为： 4 16抛物线 C： x2=a 0）的焦点 与双曲线 E： 2 的右焦点的连线交 C 于第一象限内的点 M，若 C 在点 M 处的切线平行于 E 的一条渐近线，则实数 a= 【考点】 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【分析】 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 y= x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 a 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 a 的 值 【解答】 解：由抛物线 C： x2=a 0），可得焦点坐标为 F（ 0， ） 由双曲线 E： 2 得 a= ， b=1， c=1 所以双曲线的右焦点为（ 1， 0） 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 y a=0 设该直线交抛物线于 M（ ），则 C 在点 M 处的切线的斜率为 由题意可知 = ，得 a，代入 M 点得 M（ a， a） 把 M 点代入 得： a a+4 a a=0 解得 a= 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17设函数 f（ x） =|x 3|+|x+7| （ 1）解不等式： f（ x） 16； （ 2）若存在 R，使 f（ a，求实数 a 的取值范围 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 （ 1）根据绝对值的意义求出方程的根即可；（ 2）将 f（ x）写成分段函数的形式，从而求出 f（ x）的最小值，进而求出 a 的范围即可 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1）利用数形结合易知： 方程 |x 3|+|x+7|=16 的两根为 10， ， 不等式 f（ x） =|x 3|+|x+7| 16 的解集为（ 10， 6）， 注：用零点分段法亦可 （ 2） f（ x） =|x 3|+|x+7|= ， 当 x 7， 3时， f（ x） 0； 依题意知：实数 a 的取值范围为 a 10，即 a （ 10， +） 18在 ，角 A、 B、 C 对边分别是 a、 b、 c，且满足 2 b+c） 2 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ， 面积为 ；求 b， c 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中变形，求角 A 的大小； （ ）利用三角形的面积公式列出关系式，将 及已知面积代入求 值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，将 a， 值代入求出 b+c 的值，联立即可求出 b 与 c 的值 【解答】 解：（ ）由余弦定理得 a2=b2+2 代入 2 b+c） 2，得： 2b2+2 b+c） 2， 整理得： 4 2 ， 0 A ， A= ； （ ） a=4 ， S=4 ， S= ，即 6， 利用余弦定理得： a2=b2+2 48=b2+6， b2+2， （ b+c） 2=b2+4，即 b+c=8， 联立 ，解得： b=c=4 19为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 15 65 岁的人群抽样了 n 人，回答问题 “湖南省有哪几个著名的旅游景点？ ”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1 组 15， 25） a 2 组 25， 35） 18 x 第 3 组 35， 45） b 4 组 45， 55） 9 5 组 55， 65 3 y （ ）分别求出 a， b， x， y 的值； 第 13 页（共 18 页） （ ）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 组每组各抽取多少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ I）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组的频数为 25，再结合频率分布直方图求得 n， a， b， x， y 的值； （ 为第 2， 3， 4 组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为 ，根据抽取比例计算第2， 3， 4 组每组应抽取的人数； （ 出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果，共 15 基本事件，其中恰好没有第 3组人共 3 个基本事件，利用古典概型概率公式计算 【解答】 解：（ ）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为 ， 再结合频率分布直方图可知 n= ， a=100 10 ， b=100 10 7， ； （ ）因为第 2， 3， 4 组回答正确的人数共有 54 人， 利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，每组分别抽取的人数为：第 2 组： 人；第 3组： 人；第 4 组： 人 （ ）设第 2 组 2 人为： 3 组 3 人为： 4 组 1 人为： 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为：（ （ （ （ 3），（ （ （ （ （ （ （ （ （ 3），（ （ 15 个基本事件， 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件， 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的 概率是： 第 14 页（共 18 页） 20如图所示，圆柱的高为 2，底面半径为 ， 圆柱的两条母线，过 圆柱的截面交下底面于 边形 正方形， （ ）求证 （ ）求四棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）根据线面垂直的性质证明 面 可得 到 （ ）根据锥体的体积公式即可求四棱锥 E 体积 【解答】 解：（ ） 圆柱的母线， 下底面， 又 底面， 又 截面 正方形， 又 E=A 面 又 （ ） 母线 直于底面， 三棱锥 A 高 ， 由（ ）知 面 面 面 又 面 B， 面 即 是四棱锥 E 高 设正方形 边长为 x，则 C=x， ， 又 直径，即 ， 在 ， 即 ， x=4 4=16， 第 15 页（共 18 页） 21如图所示：已知圆 N：（ x+2） 2+ 和抛物线 C： x，圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A， B （ 1）当直线 l 的斜率为 1 时，求线段 长； （ 2）设点 O 为坐标原点，问是否存在直线 l，使得 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 （ 1）圆 N 的圆心 N 为（ 2， 0），半径 r=2 ，设 A（ B（ 设 用直线 l 是圆 N 的切线，求得 m 的值，从而可得直线 l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长 | （ 2）假设存在符合题意的直线 l，依题意可设直线 l 的方程为 x=ty+n（ n 0），利用直线与圆相切， ，结合韦达定理，即可得出结论 【解答】 解：因为圆 N：（ x+2） 2+，所以圆心 N 为（ 2， 0），半径 r=2 ， 设 A（ B（ （ 1）当直线 l 的斜率为 1 时，设 l 的方程为 y=x+m 即 x y+m=0 因为直线 l 是圆 N 的切线，所以 =2 ，解得 m= 2 或 m=6（舍），此时直线 l 的方程为 y=x 2， 由 消去 x 得 2y 4=0， 所以 0， y1+， 4， 所以弦长 | =2 （ 2）假设存在符合题意的直线 l，依题意可设直线 l 的方程为 x=ty+n（ n 0） 直线 l 与圆 N 相切， =2 ， （ n+2） 2=8（ 1+ ， 而 x1=n， x2=n （ 1+y1+ 由 ， 22n=0， y1+t， 2n 第 16 页（共 18 页） 把 代人 得： 2n（ 1+t+ 又 n 0， n=2 把 n=2 代人 得： t= 1；此时 l 的方程为： x= y+2 故存在符合题意的直线 l 的方程为 x y 2=0 22已知函数 f（ x） = （ 1）若 k 0，且对于任意 x 0， +）， f（ x） 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （ 2）设函数 F（ x） =f（