2016年安徽省“江淮十校”高考数学理科模拟试卷(5月)含解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年安徽省 “江淮十校 ”高考数学模拟试卷（理科）（ 5 月份） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0， N=x|4，则 MN=（ ） A（ 1， 2 B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2 2已知 z 是纯虚数， i 为虚数单位， 在复平面内所对应的点在实轴上，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 3某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了 15 分到 45分之间的 1000名学员的成绩，并根据这 1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在 30， 35）内的驾驶员人数共有（ ） A 60 B 180 C 300 D 360 4数列 公差不为 0 的等差数列，且 等比数列 连续三项，则数列公比为（ ） A B 4 C 2 D 5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田 三三 ： “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ ”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 30步，其所在圆的直径是 16 步，问这块田的面积是多少（平方步）？（ ） A 120 B 240 C 360 D 480 6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7若将函数 f（ x） = 的图象向右平移 个单位，所得函数是奇函数，则 的最小正值是（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8如果实数 x， y 满足 ，则 z=x2+2x 的最小值是（ ） A 3 B C 4 D 9二项式（ x） 9 的展开式中 系数是（ ） A 84 B 84 C 126 D 126 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 11将双曲线 =1 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 12设定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t），且 x （ 0，1时， f（ x） = ， a=f（ ）， b=f（ ）， c=f（ ），则（ ） A b c a B a b c C c a b D b a c 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， ），若向量 满足（ ） （ ） =0，则 | |的最大值是 14若 f（ x） = 3a） x在（ ， 0）上是减函数，则实数 a 的取值范围是 15在平面直角坐标系中，定义两点 A（ B（ 的 “L距离 ”为 d（ A B）=|现将边长为 1 的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点 A 与坐标原点重合，记边 在的直线斜率为 k（ 0 k ），则 d（ B C）取得最大值时，边在直线的斜率为 第 3 页（共 20 页） 16已知数列 足 ， 3， =5 6使该数列的 n 项和 小于 2016的最小自然数 n 等于 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，向量 =（ ， 向量 =（ 若 | + |=2 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b=4 ，且 c= a，求 面积 18已知正三角形 边长为 2， D、 E、 F 分别是 中点 （ 1）在三角形内部随机取一点 P，求满足 | 1 且 | 1 的概率； （ 2）在 A、 B、 C、 D、 E、 F 这 6 点中任选 3 点，记这 3 点围成图形的面积为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明： （ ）若 B=2， ，求二面角 B 余弦值 20平面上动点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点 F（ 2， 0）的距离少 1 （ 1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知 点 B（ 1， 0），设过点（ 1， 0）的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P、 Q，证明：x 轴是 角平分线所在的直线 21已知函数 f（ x） =x|x+a| （ 1）当 a=0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 a 0，讨论函数 f（ x）的极值点 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，圆内接四边形 ， 圆的直径， C，延长 延长线相交 于点 E，作 F （ 1）证明： F； （ 2）如果 ，试求 长 第 4 页（共 20 页） 选修 4标系与参数方程 23以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的参数方程为：（ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 （ =4 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若点 P 在曲线 C 上，点 Q 在直线 l 上，求线段 最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a| |x+3|， a R （ ）当 a= 1 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）若当 x 0， 3时， f（ x） 4，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年安徽省 “江淮十校 ”高考数学模拟试卷（理科）（ 5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0， N=x|4，则 MN=（ ） A（ 1， 2 B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据题意，化简集合 M、 N，求出 MN 即可 【解答】 解： 集合 M=x|0=x|x 1， N=x|4=x| 2 x 2， MN=x|1 x 2=（ 1， 2 故选： A 2已知 z 是纯虚数， i 为虚数单位， 在复平面内所对应的点在实轴上，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析 】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出 【解答】 解：设 z=b R）， = = 在复平面内所对应的点在实轴上， 2+b=0，解得 b= 2 那么 z= 2i 故选： D 3某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了 15 分到 45分之间的 1000名学员的成绩，并根据这 1000名驾驶员的成绩画出样本的频 率分布直方图（如图），则成绩在 30， 35）内的驾驶员人数共有（ ） A 60 B 180 C 300 D 360 【考点】 频率分布直方图 【分析】 结合图形，求出成绩在 30， 35）内的驾驶员人数的频率，即可求出成绩在 30， 35）内的驾驶员人数 【解答】 解：根据题意，成绩在 30， 35）内的驾驶员人数的频率为 1（ 5=1 成绩在 30， 35）内的驾驶员人数为： 1000 00； 第 6 页（共 20 页） 故选： C 4数列 公差不为 0 的等差数列，且 等比数列 连续三项，则数列公比为（ ） A B 4 C 2 D 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 先由 等比数列 连续三项，找到 d，再利用等比数列公比的求法求出即可 【解答】 解：设数列 公差为 d（ d 0），由 （ d） 2=d） d， 故 ， 故选 C 5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田 三三 ： “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ ”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 30步，其所在圆的直径是 16 步，问这块田的面积是多少（平方步）？（ ） A 120 B 240 C 360 D 480 【考点】 扇形面积公式 【分析】 利用扇形面积计算公式即可得出 【解答】 解：由题意可得： S= =120（平方步）， 故选： A 6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出 i，从而到结论 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=10， i=1 第 7 页（共 20 页） 执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=5， i=1 不满足条件 n=1，执行循环体，满足 条件 n 是奇数， n=16， i=2 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=8， i=3 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=4， i=4 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=2， i=5 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=1， i=6 满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 6 故选： C 7若将函数 f（ x） = 的图象向右平移 个单位，所得函数是奇函数，则 的最小正值是（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角恒等变换化简 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得 的最小正值 【解答】 解：将函数 f（ x） = = = 2x+ ） 的图象向右平移 个单位， 得到 y= （ x ） + = 2x+ 2）的图象 再根据所得函数是奇函数，则 2=k Z，则 的最小正值为 ， 故选： D 8如果实数 x， y 满足 ，则 z=x2+2x 的最小值是（ ） A 3 B C 4 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式，以及数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 z=x2+2x=（ x 1） 2+1， 设 m=（ x 1） 2+ 则 m 的几何意义是区域内的点到点 D（ 1， 0）的距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知 D 到 距离为最小值， 此时 d= = ， 则 m= ） 2= ， 第 8 页（共 20 页） 则 z=m 1= 1= ， 故选： B 9二项式（ x） 9 的展开式中 系数是（ ） A 84 B 84 C 126 D 126 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令 x 的指数等于 3，即可求出展开式中 系数 【解答】 解：二项式（ x） 9 展开式的通项公式为 = （ x） r=（ 1） r 9， 令 2r 9=3，解得 r=6； 所以二项式（ x） 9 展开式中 系数是 （ 1） 6 =84 故选： A 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 第 9 页（共 20 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，依据三视图的数据，求出表面积 【解答】 解：由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形高为 S 1 1= ， S = ， S =1， S 梯形 = （ 1+2） 1= ， ， ， ， ， ， 面 积 = = ， 表面积为： = 故选； B 11将双曲线 =1 的右 焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可 【解答】 解：由 得 =1， 则 a2=，则 a=2， b=2， c=2 ， 则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（ 2 ， 0），（ 2， 0），（ 0， 2）， 故所求 “黄金三角形 ”的面积 S= （ 2 2） 2=2 2， 故选： B 第 10 页（共 20 页） 12设定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t），且 x （ 0，1时， f（ x） = ， a=f（ ）， b=f（ ）， c=f（ ），则（ ） A b c a B a b c C c a b D b a c 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 f（ 2+t） =f（ 2 2 t） =f（ t） =f（ t），求出函数的周期性，结合函数 f（ x）在 0， 1的表达式求出 f（ x）的单调性，从而比较 a， b， c 的大小即可 【解答】 解： 定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t）， f（ 2+t） =f（ 2 2 t） =f（ t） =f（ t）， f（ x）是以 2 为周期的函数， x 0， 1时， f（ x） = ， f（ x） = 0 在 0， 1恒 成立， 故 f（ x）在 0， 1递增， 由 a=f（ ） =f（ 1+ ） =f（ ） =f（ ）， b=f（ ） =f（ 1+ ） =f（ ） =f（ ）， c=f（ ） =f（ ）， c a b， 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， ），若向量 满足（ ） （ ） =0，则 | |的最大值是 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 =（ x， y），根据向量数量积的垂直的等价条件，求 出 x， y 满足的条件，结合| |的几何意义进行求解即可 【解答】 解：设 =（ x， y），则 =（ 1 x， y）， =（ x， y）， （ ） （ ） =0， （ 1 x， y） （ x， y） =0， 即 x（ 1 x） y（ y） =0， 即 x+y=0， 即（ x ） 2+（ y ） 2=1， 则圆心 C（ ， ）， 则 | |= ，则 | |的几何意义是圆 C 上的点到原点的距离， 第 11 页（共 20 页） 则 | =1， 则 | |的最大值是 |1=1+1=2， 故答案为： 2 14若 f（ x） = 3a） x在（ ， 0）上是减函数，则实数 a 的取值范围是 （ ，3） 【考点】 复合函数的单调性 【分析】 根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的关系建立不等式关系进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x）在（ ， 0）上是减函数， 由（ 3a） x 0 即 3a 0， 即函数 t=（ 3a） x 为减函数， 则函数 y=增函数， 则 ，即 ， 得 a 3， 故答案为：（ ， 3） 15在平面直角坐标系中，定义两点 A（ B（ 的 “L距离 ”为 d（ A B）=|现将边长为 1 的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点 A 与坐标原点重合，记边 在的直线斜率为 k（ 0 k ），则 d（ B C）取得最大值时，边在直线的斜率为 2 【考点】 直线的斜率 第 12 页（共 20 页） 【分析】 由题 意设 B（ 则 C（ + ）， + ），则 |+ ） |+ ） 由角的范围化简 |然后利用辅助角公式化积，再利用三角函数求最值得答案 【解答】 解：设 B（ 则 C（ + ）， + ）， |+ ） |+ ） 0 ， + ，即 0 + ， |+ ） + ） 0 ， + ， |+ ） + ） |+ ） + ） +）（ + ）， 由 += 2k Z，得 = + 2k Z， + 2= ，即边 在直线的斜率为时，则 d（ B C）取得最大值， 故答案为 16已知数列 足 ， 3， =5 6使该数列的 n 项和 小于 2016的最小自然数 n 等于 7 【考点】 数列递推式 【分析】 化简 =5 6得 2=3（ 2 3=2（ 3从而可知数列 2 3等比数列，从而求得 【解答】 解： =5 6 2=3（ 2 3=2（ 3 又 23 10=3， 33 15= 2， 数列 2以 3 为首项， 3 为公比的等比数列， 数列 3以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 第 13 页（共 20 页） 2n， 3 2n， n+2n， 也成立； 故 3+2） +（ 4+9） +（ 3n+2n） = + = （ 3n 1） +2（ 2n 1） 2016， 故 n 7， 故答案为： 7 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，向量 =（ ， 向量 =（ 若 | + |=2 （ 1）求角 A 的大小； （ 2） 若 b=4 ，且 c= a，求 面积 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ 1）先根据向量模的运算表示出 | + |2，然后化简成 y=） +b 的形式，再根据正弦函数的性质和 | + |=2 可求出 A 的值 （ 2）先根据余弦定理求出 a， c 的值，再由三角形面积公式可得到最后答案 【解答】 解：（ 1） + =（ | + |2=（ 2+（ 2， =2+2 （ +（ 2+（ 2 =2+2 （ +2 =4 4A ）， | + |=2， 4A ） =0， 又 0 A ， A ， A =0， A= （ 2） 由余弦定理， a2=b2+2 b=4 ， c= a， A= ， 得： 2+22 4 a ， 即： 8 a+32=0，解得 a=4 ， c=8， S b16 18已知正三角形 边长为 2， D、 E、 F 分别是 中点 第 14 页（共 20 页） （ 1）在三角形内部随机取一点 P，求满足 | 1 且 | 1 的概率； （ 2）在 A、 B、 C、 D、 E、 F 这 6 点中任选 3 点，记这 3 点围成图形的面积为 ，求随机变量 的分布列与数学 期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；几何概型；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）根据几何概型的计算公式，求出满足条件 | 1 且 | 1 的概率值即可； （ 2）根据题意，求出 3 点围成图形的面积 的可能取值以及对应的概率值，列出 的分布列，计算数学期望 值 【解答】 解：（ 1）如图 1 所示， 分别以正 顶点 B、 C 为圆心，以 1 为半径画圆弧，交边 点 F、 D、E； 则点 P 在区域 时满足条件 | 1 且 | 1， 其概率为 P=1 =1 =1 ； （ 2）在 A、 B、 C、 D、 E、 F 这 6 点中任选 3 点，共有 20 种不同的取法； 记这 3 点围成图形的面积为 ，则 =0， S， S， S；其中 S = ； P（ =0） = ， P（ = S） = = ， P（ = S） = = ， P（ =S）= ； 所以随机变量 的分布列为： 0 P 数学期望 + + + = 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明： （ ）若 B=2， ，求二面角 B 余弦值 第 15 页（共 20 页） 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题 【分析】 （ ）取 点 O，连 题设条件推导出 正三角形，从而得到 B，得到 此能够证明 （ ）以 x 轴，以 y 轴，以 z 轴建立空间直角坐标系 O 用向量法能求出二面角 B 1 的余弦值 【解答】 （ ）证明：取 点 O，连 0， 正三角形， B， 1O=O， 平面 面 （ ）解： B=2， B， 0， 1O= = ， ， = ， B=O， 平面 建立如图空间直角坐标系 O O（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， ， C（ 0， 0， ）， 设平面 法向量为 ， 则 ， ， ， =（ ， 1， 1）， 平面向量 法向量 =（ 0， 1， 0）， = = 二面角 B 1 的余弦值为 第 16 页（共 20 页） 20平面上动点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点 F（ 2， 0）的距离少 1 （ 1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知点 B（ 1， 0），设过点（ 1， 0）的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P、 Q，证明：x 轴是 角平分线所在的直线 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ 1）把直线 x= 1 向左平移一个单位变为 x= 2，此时点 M 到直线 x= 2 的距离等于它到点（ 2， 0）的距离，即可得到点 M 的轨迹方程 （ 2）将 y=k（ x 1）代入 x 中，得 2） x+，利用根与系数的关系，证明 + =0，即可证明结论 【解答】 解：（ 1）因为点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点（ 2， 0）的距离小 1， 所以 点 M 到直线 x= 2 的距离等于它到点（ 2， 0）的距离， 因此点 M 的轨迹为抛物线，方程为 x （ 2）将 y=k（ x 1）代入 x 中， 得 2） x+， 由根与系数的关系得， x1+ ， + = =0， = ， x 轴是 解平分线 k 不存在时，结论同样成立 21已知函数 f（ x） =x|x+a| （ 1）当 a=0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 a 0，讨论函数 f（ x）的极值点 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）当 a=0 时， f（ x） =数 的定义域为（ 0， +），求导数，断导数的符号，即可判断 f（ x）的单调性； （ 2）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论函数 f（ x）的极值点 【解答】 解：（ 1）当 a=0 时， f（ x） =数的定义域为（ 0， +） 第 17 页（共 20 页） f（ x） = ， 令 f（ x） 0，可得 x ， f（ x） 0，可得 0 x ， 函数 f（ x）的单调增区间是（ ， +），单调减区间是（ 0， ）； （ 2）当 a 0 时， f（ x） = x a 时， f（ x） = =0，可得 ， a（舍去） 若 a，即 a ， f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ a， +）上单调递增； 若 a，即 a 0，则当 x （ a， ， f（ x） 0， x （ +），f（ x） 0， f（ x）在 （ a， 单调递减，在（ +）上单调递增 当 0 x a 时， f（ x） = =0，得 421=0 记 =416 0，即 2 a 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， a）上单调递减； 0，即 a 2， f（ x） =0 可得 ， 且 0 a x （ 0， ， f（ x） 0， x （ ， f（ x） 0， x （ a）， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ 单调递增，在（ a）上单调递减， 综上所述， a 2 时， f（ x）的极小值点为 ，极大值点为 ； 2 a 时， f（ x）无极值点； a 0 时， f（ x）的极小值点为 第 18 页（共 20 页） 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，圆内接四边形 ， 圆的直径， C，延长 延长线相交于点 E，作 F （ 1）证明： F； （ 2）如果 ，试求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）通过证明 可证明： F； （ 2）如果 ，证明 用等腰三角形的性质求 长 【解答】 （