2016年衡水金高考数学四模试卷（文科）含答案解析VIP

第 1 页（共 22 页） 2016 年全国普通高等学校高考数学四模试卷（文科）（衡水金卷） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 U=R， A=x|0 x 4， B=x|3x+2 0，则（ ） A A B B B A C A B=R D A已知复数 z=3+i（ i 为虚数单位），则 的模为（ ） A 2 B 3 C D 5 3某中学三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每班编号，依次为 1到 24，现用系统抽样的方法，抽取 4 个班级进行调查，若抽到的编号之和为 48，则抽到的第二个编号为（ ） A 3 B 9 C 12 D 6 4已知双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= 2x，则双曲线的实轴长为（ ） A B C 2 D 1 5已知 x， y 满足不等式组 ，则 z=2y+x 的最小值为（ ） A 2 B C 3 D 6执行下面的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 9 B 7 C 5 D 11 7某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ） A 96 B 192 C 144 D 240 8已知各项互异的等比数列 ， ，其前 n 项和为 4， 5， 6 成等差数列，则 ） A 4 B 7 C 5 D 9已知函数 f（ x） =22 ，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的周期为 2 B f（ x）在 区间（ 0， ）内单调递增 C f（ x）的一个对称中心为（ ， 0） D当 x 0， 时， f（ x）的值域为 2 ， 0 10四棱锥 P 底面 矩形，侧面 平面 20，A=，则该四棱锥 P 接球的体积为（ ） A B C 8 D 36 11已知 A， B 为抛物线 C： x 上的不同两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 = 4 ，则 | |=（ ） A B C 4 D 12已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ f（ x） 的解集为（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， 2 D ， 2 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知递增等差数列 ， ， a = 14在 ， =8， = 12，则 | |= 第 3 页（共 22 页） 15若曲线 f（ x） =f（ 2） f（ 1） x+2点（ ， f（ ）处的切线为 l，则切线 l 的斜率为 16已知函数 f（ x） =2， g（ x） =a ，若对于任意的 x R，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17设锐角 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 1）求 A （ 2）若 面积为 2 ，求实数 a 的最小值 18 2016 届高三某次联考之后，某中学的数学教师对 A 班和 B 班共 n 名学生的数学成绩进行了统计（满分 150 分），得到如下各分数段内的男生人数统计表和各个分数段人数的频率分布直方图 组数 分组 男生 占本组的频率 第一组 80， 90） 12 二组 90， 100） 10 p 第三组 100， 110） 10 四组 110， 120） a 五组 120， 130） 3 六组 130， 140 6 1）求 n， a， p 的值和频率分布直方图中第二组矩形的高； （ 2）分数在 130， 140的男生中， A 班有 4 人，从这 6 个男生中任选 2 人进行学习经验交流，求取到 2 人中至少一名是 B 班男生的 概率； （ 3）若 110 分（含 110 分）以上为优秀 （ i）完成下面的 2 2 列联表，并求出男生和女生的优秀率； 成绩 性别 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计 （ 据上面表格的数据，判断是否有 90%以上的把握认为 “数学成绩与性别有关 ”？ 附表及公式： P（ k） k 2= 第 4 页（共 22 页） 19如图所示，平面 平面 四边形 菱形， 直角梯形， 0， 0， ， H 是 中点 （ 1）求证：平面 平面 2）求四棱锥 C 体积 20已知椭圆 ： + =1（ a b 0），经过点（ 1， e），其中 e 为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形（ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若不经过原点的直线 l 与椭圆 相交于 A， B 两点，且 l 与 x 轴不垂直， 斜率之积为 求 面积 21已知函数 f（ x） =a， e 为自然对数的底数 （ 1）若 x R，不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）求证： n N*，不等式 + + 恒成立 选修 4何证明选讲 22如图，已知 交于 A、 B 两点， P 是 一点， 延长线交 点 C， 点 D， 延长线交 点 N （ 1）点 E 是 上异于 A， N 的任意一点， 点 M，求证： A， D， M， E 四点共圆 （ 2）求证： B 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 23已知在直角坐标系 ，曲线 ，（ 为参数， a 0），在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线+ ） =1 （ 1）求曲线 普通方程和曲线 直角坐标方程； （ 2）曲线 恰好存在四个不同的点到曲线 距离相 等，求 a 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x a|+|x 1| （ 1）当 a=3 时，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ 2）若 f（ x） 5 x 对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年全国普通高等学校高考数学四模试卷（文科）（衡水金卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 U=R， A=x|0 x 4， B=x|3x+2 0，则（ ） A A B B B A C A B=R D A考点 】 并集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 并集即可得到答案 【解答】 解：由 3x+2 0，解得 x 2 或 x 1， B=x|x 2 或 x 1， A=x|0 x 4， A B=R， 故选： C 2已知复数 z=3+i（ i 为虚数单位），则 的模为（ ） A 2 B 3 C D 5 【考点】 复数求模 【 分析】 求出复数的模，利用复数的模的运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z=3+i（ i 为虚数单位），可得 |z|= = ， 则 | |= = 故选： C 3某中学三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每班编号，依次为 1到 24，现用系统抽样的方法，抽取 4 个班级进行调查，若抽到的编号之和为 48，则抽到的第二个编号为（ ） A 3 B 9 C 12 D 6 【考点】 系统抽样方法 【分析】 求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号 x，根据编号的和为 48，求 x 即可得出结论 【解答】 解：系统抽样的抽取间隔为 =6 设抽到的最小编号 x， 则 x+（ 6+x） +（ 12+x） +（ 18+x） =48， 所以 x=3， 则抽到的第二个编号为 3+6=9 故选： B 第 7 页（共 22 页） 4已知双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= 2x，则双曲线的实轴长为（ ） A B C 2 D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= 2x，可得 =2，求出 a，即可 求出双曲线的实轴长 【解答】 解： 双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= 2x， =2， a= ， 2a=1，即双曲线的实轴长为 1 故选： D 5已知 x， y 满足不等式组 ，则 z=2y+x 的最小值为（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可求出 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图： 设 z=x+2y，则 y= x+ 平移此直线，由图象可知当直线 y= x+ 经过 A 时，直线在 y 轴的截距最小，得到 z 最小， 由 得到 A（ 1， 1）， 所以 z=x+2y 的最小值为 1+2 1=3； 故选： C 第 8 页（共 22 页） 6执行下面的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） A 9 B 7 C 5 D 11 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得 到的 m， n 的值，当 n=6 时，满足条件 6 5，退出循环，此时输出的 m 的值为 9 【解答】 解：模拟执行程序，可得 第 1 次， ， m=3， n=2； 第 2 次， ， m=7， n=3； 第 3 次， 1， m=5， n=4； 第 4 次， 0， m=11， n=5； 第 5 次， 5， m=9， n=6； 此时输出的 m 的值为 9 故选： A 7某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ） 第 9 页（共 22 页） A 96 B 192 C 144 D 240 【考点】 由三视 图求面积、体积 【分析】 由三视图得到几何体为三棱柱去掉一个三棱锥，分别计算体积即可 【解答】 解：由题意，该几何体是一个三棱柱 掉一个三棱锥 D 体积 V= =192 故选： B 8已知各项互异的等比数列 ， ，其前 n 项和为 4， 5， 6 成等差数列，则 ） A 4 B 7 C 5 D 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 根据 4， 5， 6 成等差数列，根据等差数列性质求得， 23a5+，则 23q+1=0，即可求得 q 的值，根据等比数列前 n 项和公式，即可求得 【解答】 解： 4， 5， 6 成等差数列， （ 5）（ 4） =（ 6）（ 5）， 23a5+，即 23q+1=0， q= 或 q=1（舍去）， = ， 故答案选： D 9已知函数 f（ x） =22 ，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的周期为 2 第 10 页（共 22 页） B f（ x）在区间（ 0， ）内单调递增 C f（ x）的一个对称中心为（ ， 0） D当 x 0， 时， f（ x）的值域为 2 ， 0 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 利用三角函数的恒等变换化简函数 f（ x）的解析式，再根据正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =22 =2x ）， 它的周期为 =，故排除 A； 在区间（ 0， ）内， 2x （ ， ）， f（ x） =22x ） 在区间（ 0，）内单调递增，故 B 满足条件； 令 x= ，求得 f（ x） = ，故排除 C； 当 x 0， 时， 2x ， ， f（ x） =22x ） ， 2，故 f（ x）的值域为 ， 2，故排除 D， 故选： B 10四棱锥 P 底面 矩形，侧面 平面 20，A=，则该四棱锥 P 接球的体积为（ ） A B C 8 D 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设 中心为 O，球心为 O，则 OB= ，设 O 到平面 距离为d，则 R2=2=22+（ 1 d） 2，求出 R，即可求出四棱锥 P 外接球的体积 【解答】 解：取 中点 E，连接 ， 20， D=2， ， ， 设 中心为 O，球心为 O，则 OB= ， 设 O 到平面 距离为 d，则 R2=2=22+（ 2 d） 2， d=1， R= ， 四棱锥 P 外接 球的体积为 = 故选 B 第 11 页（共 22 页） 11已知 A， B 为抛物线 C： x 上的不同两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 = 4 ，则 | |=（ ） A B C 4 D 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分析】 由 = 4 ，可得 | |=4| |，设 | |=t，则 | |=4t，点 A， B 在抛物线的准线上的射影分别为 A 作 足为 M，则 | |3t，又 |可得 | ，可得 不妨设直线斜率为 ，可得直线 方程，与抛物线方程联立解出即可得出 【解答】 解： = 4 ， | |=4| |，设 | |=t，则 | |=4t， 点 A， B 在抛物线的准线上的射影分别为 过 A 作 足为 M，则 | | |3t， 又 |5t， | =4t， 不妨设直线 斜率为 ，可得直线 方程为： y 0= （ x 1）， 由 ， 化为： 417x+4=0，解得 ， ， | |= 故选： D 第 12 页（共 22 页） 12已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ f（ x） 的解集为（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， 2 D ， 2 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 先判断函数 f（ x）的奇偶性和单调性质，再原不等式转化为 1，解得即可 【解答】 解： f（ x） = = f（ x）， f（ f（ x） =f（ f（ =2f（ f（ f（ x） ， f（ = =f（ 1）， f（ x） = =1 =1 为增函数， 1= x 2 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知递增等差数列 ， ， a = 19 【考点】 等差数列的通项公式 第 13 页（共 22 页） 【分析】 设递增等差数列 公差为 d 0，由 ， a =得（ 1+d） 2=1 （ 1+4d），解得 d 即可得出 【解答】 解：设递增等差数列 公差为 d 0， ， a = （ 1+d） 2=1 （ 1+4d）， 解得 d=2 则 +2 （ 10 1） =19 故答案为： 19 14在 ， =8， = 12，则 | |= 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的加减的集合意义以及向量的数量积的运算即可求出 【解答】 解： =8， = 12， （ + ） =8， | |2+ =8 | |2=8+12=20， | |=2 ， 故答案为： 2 15若曲线 f（ x） =f（ 2） f（ 1） x+2点（ ， f（ ）处的切线为 l，则切线 l 的斜率为 29 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 令 x=1，可得 f（ 1），求出导数，再令 x=2，求出 f（ 2） =14，及切线的斜率，从而得到 f（ x），即可得到切线 l 的斜率 【解答】 解： x=1， f（ 1） = f（ 1） +2， f（ 1） =1 f（ x） =f（ 2） f（ 1） x+2 则 f（ x） = f（ 2） f（ 1） +4x， 则 f（ 2） = f（ 2） f（ 1） +8， 即 f（ 2） = 2f（ 1） +16=14， f（ x） =14x+2 f（ x） = 1+4x， 切线 l 的斜率为 f（ ） =29 16已知函数 f（ x） =2， g（ x） =a ，若对于任意的 x R，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， 3） 【考点】 函数恒成立问题 第 14 页（共 22 页） 【分析】 不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即 2 a 恒成立，分离参数可得 a恒成立，换元求最值，即可确定实数 a 的取值范围 【解答】 解：不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即 2 a 恒成立 a 恒成立 设 t= （ t 1），则 y=2t+ 在 1， +）上单调递增， t=1， ， a 3 故答案为：（ ， 3） 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17设锐角 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 1）求 A （ 2）若 面积为 2 ，求实数 a 的最小值 【考点】 正弦定理；三角形中的几何计算 【分析】 （ 1）由 用正弦定理可得： 用和差公式、诱导公式化简即可得出 （ 2） 2 ，可得 由余弦定理可得： ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1） C+A） = 0， A 为锐角， A= （ 2） 2 ，可得 由余弦定理可得： 2bc=， 当且仅当 b=c=2 时取等号 a 的最小值为 2 18 2016 届高三某次联考之后，某中学的数学教师对 A 班和 B 班共 n 名学生的数学成绩进行了统计（满分 150 分），得到如下各分数段内的男生人数统计表和各个分数段人数的频率分布直方图 组数 分组 男生 占本组的频率 第 15 页（共 22 页） 第一组 80， 90） 12 二组 90， 100） 10 p 第三组 100， 110） 10 四组 110， 120） a 五组 120， 130） 3 六组 130， 140 6 1）求 n， a， p 的值和频率分布直方图中第二组矩形的高； （ 2）分数在 130， 140的男生中， A 班有 4 人，从这 6 个男生中任选 2 人进行学习经验交流，求取到 2 人中至少一名是 B 班男生的概率； （ 3）若 110 分（含 110 分）以上为优秀 （ i）完成下面的 2 2 列联表，并求出男生和女生的优秀率； 成绩 性别 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计 （ 据上面表格的数据，判断是否有 90%以上的把握认为 “数学成绩与性别有关 ”？ 附表及公式： P（ k） k 2= 【考点】 独立性检验 【分析】 （ 1）利用频率、频数、样本容量的关系，即可得出结论； （ 2）求出基本事件的个数，即可求取到 2 人中至少一名是 B 班男生的概率； （ 3） （ i）根据条件完成下面的 2 2 列联表，并求出男生和女生的优秀率； （ 据上面表格的数据，求出 临界值比较，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）第一组的人数为 =20，概率为 10=以 n= =100 由题可知，第二组的频率为 1 所以第二组矩形的高为 = 知第二组的人数为 100 5， 所以 p= = 第四组的频率为 10=四组的人数为 100 5， 第 16 页（共 22 页） 所以 a=15 ； （ 2）分数在 130， 140的男生共 6 人， A 班有 4 人，从这 6 个男生中任选 2 人进行学习经验交流，有 5 种情况，取到 2 人中至少一名是 B 班男生，有 15 种情况， 取到 2 人中至少一名是 B 班男生的概率是 = （ 3）（ i）完成下面的 2 2 列联表， 成绩 性别 优秀 不优秀 总计 男生 15 32 47 女生 20 33 53 总计 35 65 100 男生的优秀率 生的优秀率 （ 据上面表格的数据， 没有 90%以上的把握认为 “数学成绩与性别有关 ” 19如图所示，平面 平面 四边形 菱形， 直角梯形， 0， 0， ， H 是 中点 （ 1）求证：平面 平面 2）求四棱锥 C 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理证明 平面 可证明平面 平面 （ 2）求出棱锥的底面积和高，结合棱锥的体积公式，即可求四棱锥 C 体积 【解答】 解：（ 1）证明：连接 菱形 ， 0， 等边三角形， H 是 中点 平面 平面 面 面 B， 平面 在直角梯形 ， ， 0， C= ，从而 则 C=A， 平面 面 第 17 页（共 22 页） 平面 平面 2）过 C 作 G，则 H=A， 平面 ， = ， 四棱锥 C 体积 V= 1= 20已知椭圆 ： + =1（ a b 0），经过点（ 1， e），其中 e 为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形（ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若不经过原点的直线 l 与椭圆 相交于 A， B 两点，且 l 与 x 轴不垂直， 斜率之积为 求 面积 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由正方形，可得 b=c， e= = ，将点（ 1， ）代入椭圆方程，解方程可得a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）设不经过原点的直线 l 的方程为 y=kx+t，代入椭圆方程 ，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率公式可得 1+2简整理，即可得到所求三角形的面积 【解答】 解：（ 1）椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形，可得 b=c， a= = c， e= = ， 将点（ 1， ）代入椭圆方程，可得 + =1， 解得 a= ， b=c=1， 可得椭圆方程为 +； （ 2）设不经过原点的直线 l 的方程为 y=kx+t， 代入椭圆方程 ，可得（ 1+22=0， 即有 =164（ 1+2 22） 0，即为 1+2 第 18 页（共 22 页） x1+ ， ， 又 ，可得 = = ， 化简可得 1+2 O 到 距离 d= ， 即有 面积为 S= d|= = |t| = |t| = 21已知函数 f（ x） =a， e 为自然对数的底数 （ 1）若 x R，不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）求证： n N*，不等式 + + 恒成立 【 考点】 不等式的证明 【分析】 （ 1）由 f（ x） =a，求出导数 f（ x） =a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论 a=0， a 0， a 0，求实数 a 的取值范围； （ 2）由（ 1）和已知可得， x+1，可得 n N*时， n+1，即 由等比数列的求和公式和累加法，即可得证 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =a， f（ x） =a， 若 a 0，则 f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增， 当 x 趋近于负无穷大时， f（ x）趋近于负无穷大； 当 x 趋近于正无穷大时， f（ x）趋近于正无穷大， 故 a 0 不满足条件 若 a=0， f（ x） =0 恒成立，满足条件 若 a 0，由 f（ x） =0，得 x= 当 x ， f（ x） 0；当 x ， f（ x） 0， 所以函数 f（ x）在（ ， 单调递减，在（ +）上单调递增， 所以函数 f（ x）在 x=取得极小值 f（ =aa= a 由 f（ 0 得 a0， 第 19 页（共 22 页） 解得 0 a 1 综上，满足 f（ x） 0 恒成立时实数 a 的取值范围是 0， 1 （ 2）证明：由（ 1）和已知可得，当 a=1 时， f（ x） =x 1 0 恒成立， 即为 x+1，当且仅当 x=0 时，取得等号 则 n N*时， n+1，即 又 + + + = = ， 则 + + 恒成立 选修 4何证明选讲 22如图，已知 交于 A、 B 两点， P 是 一点， 延长线交 点 C， 点 D， 延长线交 点 N （ 1）点 E 是 上异于 A， N 的任意一点， 点 M，求证： A， D， M， E 四点共圆 （ 2）求证： B 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 据圆内接四边形的性质，得到 E，根据圆周角定理的推论得到，、 而得到 E，进一步 得到 A， D， M， E 四点共圆； （ 2）根据两个角对应相等，易证明 到 D结合割线定理即可证明 【解答】 证明：（ 1）连接 四边形 内接四边形， E 在 ， E， A， D， M， E 四点共圆； （ 2）连接 四边形 内接四边形， 由（ 1）可知， 又 第 20 页