2016年海南省高考数学文科模拟试卷（11）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年海南省高考数学模拟试卷（文科）（ 11） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ 的子集的个数是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 2已知 i 为虚数单位，则复数 =（ ） A i B + i C i D + i 3已知函数 f（ x）关于直线 x= 2 对称，且周期为 2，当 x 3， 2时， f（ x） =（ x+2）2，则 f（ ） =（ ） A 0 B C D 1 4已知 a R，则 “3a 3”是 “a 1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 l， m， n 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ） A若 l m， l n， m， n，则 l B若 l ， ， m，则 l m C若 l m， m，则 l D若 l ， ， m，则 l m 6若直线 y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C D 1 7某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 8依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次 连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机洒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ） A B C D 9已知等差数列 前 n 项和为 ， 2，定义 1=a1+1 为数列前 n 项奇数项之和，则 1=（ ） A 26n+4 B 3n+2 C 22n D n 第 2 页（共 20 页） 10设 x， y 均为正数，且 ，则 最小值为（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 11在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 = c=2，则 积的最大值为（ ） A 2 B 1 C D 12如图所示，已知椭圆 C： + 的左、右焦点分别为 M 与 C 的焦点不重合，分别延长 P， Q，使得 = ， = ， D 是椭圆 C 上一点，延长 N，若 = + ，则 |（ ） A 10 B 5 C 6 D 3 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13函数 f（ x） =5x 125）的定义域为 14如图是一个算法的流程图，则最后输出的 S 是 15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 第 3 页（共 20 页） 16已知数列 等比数列，若 a1+，则 值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知函数 f（ x） =2 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 y=f（ x）在 ， 上的值域 18某市为增强市民的环境 保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20， 25），第 2 组 25， 30），第 3 组 30， 35），第4 组 35， 40），第 5 组 40， 45，得到的频率分布直方图如图所示 （ ）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，4， 5 组各抽取多少名志愿者？ （ ） 在（ 1）的条件下，该市决定在第 3， 4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 19如图所示，在直三棱柱 ， D、 M、 N 分别是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）再若 C， 在 找一点 F，使 平面 证明你的结论 第 4 页（共 20 页） 20已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， A 为 C 上异于原点的任意一点 （ 1）若直线 l 过焦点 F，且与抛物线 C 交于 A， B 两点，若 F 是 一个靠 近点 B 的三等分点，且点 B 的横坐标为 1，弦长 时，求抛物线 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下，若 M 是抛物线 C 上位于曲线 O 为坐标原点，不含端点 A，B）上的一点，求 最大面积 21设函数 f（ x） = 2+2 （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）在区间 ， 2上的最值； （ 2）若 f（ x） 2 恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图所示， 圆 O 的切线， A 为切点， 于圆 O 与 B， C 两点， 0， ， 角平分线与 圆 O 分别交于点 D 和 E （ ）求 = ； （ ）求 E 的值 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系中，曲线 参数方程为： （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为： = （ I）求曲线 直角坐标方程； （ ）若 P， Q 分别是曲线 的任意一点，求 |最小值 选修 4等式选讲 24已知 a， b， c 为非零实数，且 a2+b2+ m=0， +1 2m=0 （ 1）求证 （ 2）求实数 m 的 取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年海南省高考数学模拟试卷（文科）（ 11） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ 的子集的个数是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 子集与真子集 【分析】 根据指数函数的性质解关于 Q 的不等式，求出集合的交集即可 【解答】 解： P=0， 1， 2， Q=y|y=3x=y|y 0， PQ=1， 2， PQ 的子集的个数是 22=4， 故选： C 2已知 i 为虚数单位，则复数 =（ ） A i B + i C i D + i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案 【解答】 解： ， 故选： A 3已知函数 f（ x）关于直线 x= 2 对称，且周期为 2，当 x 3， 2时， f（ x） =（ x+2）2，则 f（ ） =（ ） A 0 B C D 1 【考点】 函数的值 【分析】 根据函数的周期性及对称性求出函数的值即可 【解答】 解： 函数 f（ x）关于直线 x= 2 对称，且周期为 2，当 x 3， 2时， f（ x）=（ x+2） 2， ， 故选： B 4已知 a R，则 “3a 3”是 “a 1”的（ ） 第 6 页（共 20 页） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必 要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义以及指数函数的性质判断即可 【解答】 解：由 3a 3，得 a 1； 由 a 1，得 3a 3， 则 “3a 3”是 “a 1”的充要条件， 故选： C 5已知 l， m， n 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ） A若 l m， l n， m， n，则 l B若 l ， ， m，则 l m C若 l m， m，则 l D若 l ， ， m，则 l m 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解 【解答】 解：若 l m， l n， m， n， 则当 m 与 n 相交时， l ，故 A 错误； 若 l ， ， m， 则 l ，所以 l m，故 B 正确； 若 l m， m，则 l 或 l，故 C 错误； 若 l ， ， m，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 D 错误 故选： B 6若直线 y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C D 1 【考点】 直线的一般式方程与 直线的平行关系 【分析】 利用直线平行的充要条件即可得出 【解答】 解： 直线 y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行， ，解得 a= 2， 故选： A 7某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 【考点】 分层抽样方法 【分析】 本题是一个分 层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数 【解答】 解： 由题意知高一学生 210 人，从高一学生中抽取的人数为 7 可以做出每 =30 人抽取一个人， 从高三学生中抽取的人数应为 =10 第 7 页（共 20 页） 故选 A 8依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原 正六边形内随机洒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出最小的正六边形 边长，可得其面积，计算正六边形 可求出种子落在最小的正六边形内的概率 【解答】 解：如图，原正六边形为 小的正六边形为 设 AB=a，由已知得， 0，则 ， 0， a， 即中间正六边形的边长 a，以此类推，最小的正六边形 边长等于， 所以由几何概型 得，种子落在最小的正六边形内的概率为， 故选： B 9已知等差数列 前 n 项和为 ， 2，定义 1=a1+1 为数列前 n 项奇数项之和，则 1=（ ） A 26n+4 B 3n+2 C 22n D n 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列的前 n 项和公式和 ， 2 求出 n 2，继而得到数列 是首项为 ，公差为 2d=4 的等差数列，再求和即可 第 8 页（共 20 页） 【解答】 解：由已知得 ，解得 ， 所以 n 2，所以数列 1是首项为 ，公差为 2d=4 的等差数列， 所以则 1=n 0+ n（ n 1） 4=22n 故选： C 10设 x， y 均为正数，且 ，则 最小值为（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 【考点】 基本不等式 【分析】 由已知式子变形可得 xy=x+y+3，由基本不等式可得 2 +3，解关于 的一元二次不等式可得 【解答】 解： x， y 均为正数 ，且 + = ， = ，整理可得 xy=x+y+3， 由基本不等式可得 2 +3， 整理可得（ ） 2 2 3 0， 解得 3，或 1（舍去） 9，当且仅当 x=y 时取等号， 故选： D 11在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 = c=2，则 积的最大值为（ ） A 2 B 1 C D 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理化简已知等式，代入余弦定理可求 值，利用同角三角函数基本关系式可求 值，根据基本不等式可求 最大值，进而利用三角形面积公式即可得解 积的最大值 【解答】 解：由正弦定理得： ，即 ， 代入余弦定理得： ， 所以： ， 第 9 页（共 20 页） 又：由 ， c=2， 得： ， 解得： ， 所以： 积为 ， 当且仅当 时等号成立， 故 积的最大值为 ， 故选： D 12如图所示，已知椭圆 C： + 的左、右焦点分别为 M 与 C 的焦点不重合，分别延长 P， Q，使得 = ， = ， D 是椭圆 C 上一点，延长 N，若 = + ，则 |（ ） A 10 B 5 C 6 D 3 【考点】 椭圆的简单 性质 【分析】 由向量线性运算的几何意义可得 ，故而 是 ，于是 =5a 【解答】 解： ，即 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 第 10 页（共 20 页） ， ， ， 根据椭圆的定义，得 |2a=4， ， 故选 A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13函数 f（ x） =5x 125）的定义域为 （ 3， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数函数的定义，得到关于 x 的不等式，求出函数的定义域即可 【解答】 解：由题意得： 5x 125 0， 解得： x 3， 即函数 f（ x） =5x 125）的定义域为（ 3， +）， 故答案为：（ 3， +） 14如图是一个算法的流程图，则最后输出的 S 是 9 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=7 时不满足条件 n 6，退出循环，输出 S 的值为 9 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， n=1 满足条件 n 6， S= 1， n=3 满足条件 n 6， S= 4， n=5 满足条件 n 6， S= 9， n=7 不满足条件 n 6，退出循环，输出 S 的值为 9 故答案为： 9 15某三棱锥的三视图 如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 第 11 页（共 20 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥 P 直观图如图所示：由图得， 平面 ， ， ， 则 ， 在 ， ， 由余弦定理得： ， 则 ，所以 ， 所以三棱锥中，面积最大的面是 面积为 ， 故答案为： 16已知数列 等比数列，若 a1+，则 值为 64 【考点】 等比数列的通项公式 第 12 页（共 20 页） 【分析】 由等比数列的通项公式推导出 = ，由此能求出结果 【解答】 解： 数列 等比数列， a1+， = = = =82=64 故答案为： 64 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 证明过程或演算步骤 .） 17已知函数 f（ x） =2 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 y=f（ x）在 ， 上的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（ x） = 2x+ ） 1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数 f（ x）的最小正周期 （ 2）由 x ， ，可求 2x+ 的范围，根据正弦函数的图象和性质可得 2x+ ）的范围，从而可求函数 y=f（ x）在 ， 上的值域 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 1 = 2x+ ） 1， 由三角函数的周期性及其求法可得函数 f（ x）的最小正周期 T= （ 2） x ， ， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， y=f（ x） = 2x+ ） 1 2， ， 函数 y=f（ x）在 ， 上的值域是： 2， 第 13 页（共 20 页） 18某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20， 25），第 2 组 25， 30），第 3 组 30， 35），第4 组 35， 40），第 5 组 40， 45，得到的频率分布直方图如图所示 （ ）若从第 3， 4， 5 组中 用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，4， 5 组各抽取多少名志愿者？ （ ） 在（ 1）的条件下，该市决定在第 3， 4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 【考点】 等可能事件的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）先分别求出这 3 组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案； （ ）从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 10 种情况，其中第 4 组的 2 名志愿者 少有一名志愿者被抽中有 7 种情况，再利用 古典概型的概率计算公式即可得出 【解答】 解：（ ） 第 3 组的人数为 100=30，第 4 组的人数为 100=20，第 5 组的人数为 100=10 因为第 3， 4， 5 组共有 60 名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第 3 组： 6=3； 第 4 组： 6=2； 第 5 组： 6=1 所以 应从第 3， 4， 5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1 人； （ ） 记第 3 组的 3 名志愿者为 4 组的 2 名志愿者为 则从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 有 10 种 其中第 4 组的 2 名志愿者 少有一名志愿者被抽中的有： （ （ （ （ （ （ （ 共有 7 种 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 19如图所示，在直三棱柱 ， D、 M、 N 分别是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）再若 C， 在 找一点 F，使 平面 证明你的结论 第 14 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 H 为 中点），由 M、 N 分别为 中点可得， 平面 面 可证明 平面 （ ）作 E，延长 F，连接 平面 据 平面 面 D=D，满足线面垂直的判定定理，则 平面 【解答】 解：（ ）证明：连接 H 为 中点），由 M、 N 分别为 中点可得， 面 面 平面 由 直三棱柱，从而有 平面 （ ）解：作 E，延长 F，连接 平面 F 即为所求 平面 面 D=D， 平面 此时点 F 为靠近 B 的四等分点 20已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， A 为 C 上异于原点的任意一点 （ 1）若直线 l 过焦点 F，且与抛物线 C 交于 A， B 两点，若 F 是 一个靠近点 B 的三等分点，且点 B 的横坐标为 1，弦长 时，求抛物线 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下，若 M 是抛物线 C 上位于曲线 O 为坐标原点，不含端点 A，B）上的一点，求 最大面积 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用 =2 ，且点 B 的横坐标为 1，可得 由抛物线的定义，可得弦长公式，解方程可得 p，进而得到抛物线的方程； 第 15 页（共 20 页） （ 2）求得 A， B 的坐标和直线 方程，当与直线 行的直线与抛物线 C 相切于第一象限的点 M 时， 面积取得最大值求得曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，可得切点 M 的坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得三角形的面积的最大值 【解答】 解：（ 1）抛物线 C： 焦点 F（ ， 0），准线 l： x= ， 设点 A（ =2 ，且点 B 的横坐标为 1， 则 ， 由抛物线的定义，得 ， 解得 p=4， 所以抛物线 C 的方程为 x （ 2）由（ 1）得，焦点 F（ 2， 0）， 将 x=1 代入抛物线 C： x 中，得 ，得点 ； 将 x=4 代入抛物线 C： x 中，得 ，得点 当取点 时，点 ， 此时直线 方程为 当与直线 行的直线与抛物线 C 相切于第一象限的点 M 时， 面积取得最大值 由 x（ y 0），得 ，取导数 ， 令 ，得 将 代入抛物线 C： x 中，得 所以当点 M 的坐标为 时， 面积取得最大值， 此时点 M 到直线 的距离是 ， ， 所以 最大面积是 当取点 时，点 ， 同理，也验证 最大面积是 ； 综上， 最大面积是 第 16 页（共 20 页） 21设函数 f（ x） = 2+2 （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）在区间 ， 2上的最值； （ 2）若 f（ x） 2 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，即可得到最小值求得端点处的函数值，可得最大值； （ 2）求出 f（ x）的导数，讨论 a=0， a 0， a 0，判断单调性，可得最小值，解不等式即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， ，其定义域为（ 0， +）， 则 f（ x） = + = ， 令 f（ x） 0，得 0 x 1；令 f（ x） 0，得 x 1， 所以函数 f（ x）在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间（ 1， +）上单调递增， 所以函数 f（ x）在区间 上的最小值为 f（ 1） =0； 又 ， f（ 2） = 1+2 ， 所以 ， 所以函数 f（ x）在区间 上的最大值为 （ 2） ， 当 a 0 时，令 f（ x） 0，得 ；令 f（ x） 0，得 ， 所以函数 f（ x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 所以函数 f（ x）在区间（ 0， +）上的最小值为 ； 若 f（ x） 2 恒成立，则 ，即 2a 2 2 2，即 2a（ 1 0， 又因为 a 0，所以 1 0，解得 a e，所以 0 a e； 当 a=0 时， 恒成立，所以 a=0 符合题意； 当 a 0 时 ，令 f（ x） 0，得 ；令 f（ x） 0，得 ， 所以函数 f（ x）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 数形结合易知，一定存在某个 0，使得在区间（ +）上， 第 17 页（共 20 页） 函数 的图象在函数 y= 2图象的下方， 即满足 ，即 ，即 f（ x） 2 所以