千里之行始于足下-数学归纳法

千里之行始于足下 中学数学杂志 (高中版 ) 2016 年 05 期 【摘要】数学归纳法是高中内容概念课中的重要而又特别的一节 对学生的认知是一个很难跨越的“坎儿” 如何使得数学归纳法的教学更加通俗，更加适合学生的认知层次；做到“低起点、小坡度、高品味、重人文”课堂中学生神采奕奕，信心满满；即有学科德育渗透，又使课堂轻松愉快，是教师力争达成的目标 . 【关键词】数学归纳法；人文关怀；热传导；递推 1数学归纳法教学实录 导言常言道：千里之行始于足下 步一个脚印，坚实的前行，百折不回，第一步是第二步的基础，第二步是第三步的基础，依次勇敢的走下去，任何艰巨的任务我们也可以完成 . 这样的思想，这样的豪情壮语，就是今天的数学课的内容 数学归纳法（书写课题） . 以上语言的中心思想总结成两点： （ 1）要有良好的开端 良好的开端是成功的一半 . （ 2）承前启后，持之以恒，步步登高 . 有了以上两个条件，我们就可以蒸蒸日上，永续华章 . 下面从数学角度慢慢分析这个原理 . 引 例 1上海地理等级考试传出捷报，我班的同学中， 1号是 A+， 2 号是 A+， 3号是 A+，于是，我断定：我们班的 38名同学都 A+. 设计意图采用不完全归纳法，为下面的问题作对比，形成认知期待 . 教师：这种推理方法叫做不完全归纳法，这样猜到的结论不一定正确，那么通过什么样的方法猜的结论一定是正确的呢，我们看一下引例 2. 引例 2拿一根短铁丝，一头烧得很热，另一头慢慢的也热了，这时能否断定整个铁丝都是热的 . 通过物理知识（实际上学生在小学的科学课上就做过这样的实验）可知，这是金属的热传导，实际上 是分子之间的能量的传递，即可以把热由一处往另一处传递 . 设计意图关于用生活的例子解释数学归纳法，我们经历了长时间的思考，也有一些例子，比如下面的“星星之火，可以燎原 .”“千里之堤，毁于蚁穴 .”等等 和数学归纳法的思想很相近，但感觉这些例子距学生的生活比较远，对解释数学归纳法有些欠妥 然想到在物理学科中有一些这样的例子 流的传递等，有了这些想法以后，通过和物理老师交流，选定了用热的传递来解释更贴切 位同学都有体会， 而波的传递等都比较抽象 . 教师：想想，引例 1中有没有这样的传递现象？ 通过分析，引例 1 中学生的成绩不具有传递性，即 1号同学的成绩对 2号同学没有影响，不能把 1号同学得 A+传给 2号同学使 2号同学得 A+可以把能量传给后面的分子 引例 3设 ， 都是实数，且 ， = 解：有的学生马上就说， . 教师：为什么？学生回答： 可以推出 ， 可以推出 ， 依次下去，就有 . 设计意图提起数学归纳法，我们都会想到用多米诺骨牌去讲授，但多米诺骨牌本身有些同学并不了解 有人做过调查问卷，要使所有骨牌都倒下，学生想的条件并不是我们所想象的那样简单的给出数学归纳法两个步骤 于无限多的问题在类比上欠妥当 们感觉这里的圈子绕得有点大 生非常容易的得出 种设计就是多米诺骨牌的数学化 . 师生共同总结： 这里 传到 ；由 传到 ， 依次传下去，就有 （ n N*） . 这里的“依次传下去”，用数学语言怎样解释呢？就是前一个 能推出后一个 =，那么一定能推出它的后面的 =0. 详细一点说， k=1 时成立， ，推出 k+1=2 时成立，即 ；接着令 k=2，即，推出 k+1=3时成立，即 ；再令 k=3，即 ，推出 k+1=4成立，即， （ n N*） .（这就是数学语言的优势！） 总结：上面能推出 需要什么条件： （ 1） （铁丝一端被烧热）； （ 2）这种解决问题的方式具有传递性（有热传导现象发生），即如果 ，能推出 =0. 用这种方法证明下面的引例 4 引例 4数列 递推公式： ，且 =（ n N*），求证：an=n+1. 证明（ 1）由 =1+1（可知此时要证命题成立）（铁丝一头被烧热） （ 2）下面看一看这个问题是否具有传递性（是否有导热现象发生）？ 这时实践表明，学生们大都还是在进行如下操作：由 得 ；由 得，由 得 ， . 到这里，有的同学说： an=n+1. 有另外的同学反对：没有全算出来，不行！ 教师：这种算法永无止境，那么回顾一下引例 3，如何说明这种算法具有传递性 . 总结出：如果（即假设） n=假设 ak=k+1；