2016年秋人教版八年级数学上《12.2三角形全等的判定》同步测试含答案解析

第 1 页（共 59 页） 角形全等的判定 一、填空题 1如图，已知等边 ，点 F， E， ， ，则下列结论： G ； 0 ； 中，一定正确的是 2如图，正方形 0 ， E 的中点，过点 D、 交于点 P、 Q若 E，则 3如图，矩形 ，点 D 上的一点，有 ， C 的延长线于点F，连结 D 于点 G若 4如图，正方形 ，点 C、 点C 作 足为 F，连接 第 2 页（共 59 页） 5如图，已 知 ，点 C， O，若 0 ，则 6已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点 0， 2），点 1， 0） 此继续下去，则点 7如图 ，点 B、 E、 C、 E， F， ，则 8如图，在边长为 6 的正方形 B 边上一点， D 延长线上一点， G，连接 点 H，交 ，连接 ，则 第 3 页（共 59 页） 9如图，在四边形 ， ， 5 ，则 10如图，在 别以 边作等边 1、 有如下结论： S 1： 连接 若 2= 其中结论正确的序号是 二、解答题 11如图， E、 B， F， 于点 P （ 1）求证： F； （ 2）求 第 4 页（共 59 页） 12如图，在四边形 射线 线段 ，F，连结 （ 1）请你添加一个条件，使得 添加的条件是 ，并证明 （ 2）在问题（ 1）中，当 足什么关系时，四边形 说明理由 13如图，在 C=90 ， ， ，点 （ 1）求证： （ 2）求 14在等腰直角三角形 ， 0 ， C，直线 且 点 t 0 ，且点 与点 如图 1， 于点 P，易证： P（无需写证明过程） （ 1）在图 2中， ， 果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （ 2）在图 3中， C 延长线交于点 P， 直接写出你的结论，无需证明 第 5 页（共 59 页） 15如图，在矩形 角线 交于点 O，点 E， D， ，且 F，连接 证： F 16如图，在 正方形 接 长 E，使 E求证： 17如图，已知 B= （ 1）作图：在 ，延长 在 ，使 B，连 F， （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连接 证： E= 18探究：如 图 ，在 C， 0 ，延长 点 D，延长 点 E，使 D，连结 证： 第 6 页（共 59 页） 应用：如图 ，在菱形 ， 0 ，延长 点 D，延长 点 E，使 D，连结 A，延长 ，求 19（ 1）如图 1，点 E， C 上， F， C， B= C，求证： A= D （ 2）如图 2，在边长为 1个单位长度的小正方形所组成的网格中， 值是 ； 画出 1， 1， 1相对应），连接 计算梯形 20在平面内正方形 线交于 M求证： （ 1） E （ 2） 21如图，点 C 的中点，分别以点 B， 弧相交于点 A，连接 D 上一点，连接 （ 1）求证： E； 第 7 页（共 59 页） （ 2）以点 别交 ， G若 ， 0 ，求图中阴影部分（扇形）的面积 22如图所示，已知 1= 2，请你添加一个条件，证明： C （ 1）你添加的条件是 ； （ 2）请写出证明过程 23如图，在等边 C 上，连接 作 0 ，直线 射线 点 E，过点 F 直线 点 F （ 1）当点 图 ，求证： E= （提示：过点 M 射线 ） （ 2）当点 C 的延长线上， 图 ；当点 B 的延长线上， 图 ，请分别写出线段 需要证明； （ 3）在（ 2）的条件下，若 0 ， S ，则 ， 24如图，正方形 E、 C、 的点，且 足为点 G 求证： F 第 8 页（共 59 页） 25如图 1，在 0 ， C，在 t 0 （ 1）若 图 1），求证： 下面是小明的证明过程，请你将 它补充完整： 证明：设 ， 0 ， 0 ， 0 又 C， （ 2）若 图 2），在 是否存在一点 N，使得 N 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图 2中确定点 加以证明；若不存在，请说明理由； （ 3）当 段 足怎样的数量关系？请直接写出 26如图，四边形 F， C 交于点 G （ 1）求证： F； （ 2）若 5 ，求 第 9 页（共 59 页） 27如图， 0 ， C， 足是 D， 点 E在 ，使 （ 1）求证： F； （ 2）在 ，使 接 点 N，连接 求证： N 28【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即 “、 “、 “、 “）和直角三角形全等的判定方法（即 “）后，我们继续对 “ 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 ” 的情形进行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在 ， F， F， B= E，然后，对 分为 “ 角、锐角 ” 三种情况进行探究 第 10 页（共 59 页） 【深入探究】 第一种情况：当 （ 1）如图 ，在 F， F， B= E=90 ，根据 ，可以知道 第二种情况：当 （ 2）如图 ，在 F， F， B= E，且 B、 证： 第三种情况：当 （ 3）在 F， F， B= E，且 B、 你用尺规在图 中作出 不写作法，保留作图痕迹） （ 4） 可以使 直接写出结论：在 F，F， B= E，且 B、 ，则 29问题背景： 如图 1：在四边形 D， 20 ， B= 0 E， C， 0 探究图中线段 量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 使 E连结 证明 证明 得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 D， B+ D=180 E， C， 述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 偏西 30 的 艇乙在指挥中心南偏东 70 的 且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里 /小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80海里 /小时的速度前进 小时后，指挥 第 11 页（共 59 页） 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E， 两舰艇之间的夹角为 70 ，试求此时两舰艇之间的距离 30如图，在四边形 D， D， 交于 A，若 接 ，连接 （ 1）证明： （ 2）若 ， ，求四边形 （ 3）请你添加一个条件，使得 予以证明 第 12 页（共 59 页） 角形全等的判定 参考答案与试题解析 一、填空题 1如图，已知等边 ，点 F， E， ， ，则下列结论： G ； 0 ； 中，一定正确的是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质可以得出 可以得出 G， G，就可以得出 出 G，得出 E=可以得出 ，从而得出结论 【解答】解： C= A= B= 0 0 在 ， G， G，故 正确； 在 ， 故 正确； 第 13 页（共 59 页） G 60 ，故 错误； C+ C+ C+， ，故 正确 故答案为： 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 2如图，正方形 0 ， E 的中点，过点 D、 交于点 P、 Q若 E，则 1或 2 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 【专题】分类讨论 【分析】根据题意画出图形，过 N 点 N，由 到 C=直角三角形 用锐角三角函数定义求出 而利用勾股定理求出 长，根据 用 到三角形 用全等三角形对应边，对应角相等得到 Q， 0 ，再由 C 平行，得到 0 ，进而得到 E，在直角三角形 据 长，利用锐角三角函数定义求出 长，再利用对称性确定出 的长即可 【解答】解：根据题意画出图形，过 N ， 四边形 第 14 页（共 59 页） C= 在 0 ， ，即 根据勾股定理得： =2 在 t ， Q， 0 ， 0 ， 0 ，即 在 0 ， ， = =2 由对称性得到 D 2=1 综上， 故答案为： 1或 2 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 第 15 页（共 59 页） 3如图，矩形 ，点 D 上的一点，有 ， C 的延长线于点F，连结 D 于点 G若 7 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据线段中点的定义可得 G，然后利用 “ 角边角 ” 证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 F， G，设 DE=x，表示出 利用勾股定理列式求 后表示出 根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 F，然后列出方程求出 而求出 根据矩形的对边相等可得 D 【解答】解： 矩形 D 的中点， ， G= 8=4， 在 ， F， G， 设 DE=x， 则 C+D+x+x=4+2x， 在 = ， ， E， F， 4+2x=2 ， 解得 x=3， E+3=7， 第 16 页（共 59 页） D=7 故答案为： 7 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键 4如图，正方形 ，点 C、 点C 作 足为 F，连接 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质 【专题】计算题；几何图形问题 【分析】在 G=接 明 F， 出等腰直角三角形 ，根据射影定理求得 长，即可求得 长 【解答】解：如图，在 截取 F，连接 5 ， 在 F， 在 C=6， ， 第 17 页（共 59 页） = =2 ， F 则 62=解得： ， E ， F ， F F ， 在等腰直角 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用 5如图，已知 ，点 C， O，若 0 ，则 60 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的 性质 【专题】几何图形问题 第 18 页（共 59 页） 【分析】可证明 出 D= 根据 0 ，得 00 ，由角平分线可得 0 ，从而得出 40 ，根据 O，可得出 D=20 ，即可得出 0 ，则 0 ，最后算出 0 【解答】解： ， 在 ， D= 0 ， 00 ， 0 ， 40 ， O， D=20 ， 0 ， 0 ， 0 ， 故答案为： 60 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键 6已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点 0， 2），点 1， 0） 此继续下去，则点 第 19 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】规律型 【分析】根据勾股定理可得正方形 ，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第 2014个正方形和第 2014 个正方形的边长，进一步得到点 【解答】解：如图， 点 ， ， ， ， ， ， ， 作 x 轴，延长 ， 则 = ， 在 ， ， 正方形 ， ， 第 20 页（共 59 页） ， = ， ， = ， 点 = 故答案为： 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键 7如图，点 B、 E、 C、 E， F， ，则 6 【考点】全等三角 形的判定与性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据题中条件由 得 据全等三角形的性质可得 F=6 【解答】证明： B= F， F， 在 ， F=6 故答案是： 6 第 21 页（共 59 页） 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形 全等时，关键是选择恰当的判定条件 8如图，在边长为 6 的正方形 B 边上一点， D 延长线上一点， G，连接 点 H，交 ，连接 ，则 5 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】如解答图，连接 先证明 到 点 B、足分别为点 M、 N，进而证明 到四边形 此求出 N、 长度；最后利用相似三角形 出 【解答】解：如图所示，连接 在 E， 0 ，即 三角形 又 H= 过点 B、 垂线，垂足分别为点 M、 N，则 0 ， 又 0 ， 1= 2， 在 第 22 页（共 59 页） N， 四边形 ， N=4 ， C 4 =2 在 勾股定理得： H=2 1= 3， 2= 3 又 0 ， ，即 ， 故答案为： 5 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键 9如图，在四边形 ， ， 5 ，则 第 23 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【专题】计算题；压轴题 【分析】根据等式的性质，可得 的关系，根据 得 的关系，根据全等三角形的性质，可得 的关系，根据勾股定理，可得答案 【解答】解：作 连接 ， ，如图： + 即 ， 在 中， ， （ D 90 由勾股定理得 ， D 0 由勾股定理得 ， D= ， 故答案为： 第 24 页（共 59 页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键 10如图，在 别以 边作等边 1、 有如下结论： S 1： 连接 若 2= 其中结论正确的序号是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； 根据 根据面积公式即可判断 【解答】 S 1： 解： 证明： 0 即 在 第 25 页（共 59 页） ， 若 2= 解：设等边三角形 a，等边三角形 b，则 a， b， a a= b b= 2= a2 2= 【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键 二、解答题 11如图， E、 B， F， 于点 P （ 1）求证： F； （ 2）求 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】（ 1）欲证明 F，只需证得 （ 2）利用（ 1）中的全等三角形的性质得到 由图示知 0 ，即 0 ，所以根据三角形内角和定理求得 20 第 26 页（共 59 页） 【解答】（ 1）证明：如图， B， A= 0 ， 在 ， F； （ 2）解： 由（ 1）知 0 ，即 0 ， 80 60=120 即： 20 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定 条件 12如图，在四边形 射线 线段 ，F，连结 （ 1）请你添加一个条件，使得 添加的条件是 H ，并证明 （ 2）在问题（ 1）中，当 足什么关系时，四边形 说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】几何综合题；分类讨论 【分析】（ 1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 H， 可以证明 （ 2）由（ 1）可得出四边形 根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出 边形 第 27 页（共 59 页） 【解答】（ 1）答：添加： H， 证明： 点 H， 在 ， （ 2）解： H， H， 四边形 角线互相平分的四边形为平行四边形）， 当 F， 平行四边形 角线相等的平行四边形为矩形） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大 13（ 2014株洲）如图，在 C=90 ， C 于点 E， 点 F，点F 恰好是 一个三等分点（ （ 1）求证： （ 2）求 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定 义 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据角的平分线的性质可求得 F，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等 （ 2）由 出 F， F，设 BF=m，则 m， m， m，根据勾股定理可求得， B= = ， F= ，在 = = ； 【解答】（ 1）证明： 第 28 页（共 59 页） F， 在 t ， （ 2）解：由（ 1）可知 F， F， 设 BF=m，则 m， m， m， = = m， 解法一： C= 0 ， = ， F， = = ； 解法二： 在 B= = = ， 在 FB= ， F= ， 在 = = ； 【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键 14在等腰直角三角形 ， 0 ， C，直线 且 点 t 0 ，且点 与点 如图 1， 于 点 P，易证： P（无需写证明过程） 第 29 页（共 59 页） （ 1）在图 2中， ， 果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （ 2）在图 3中， C 延长线交于点 P， 直接写出你的结论，无需证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质 【专题】几何综合题 【分析】（ 1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形 以证明 P； （ 2）如答图 3，作辅助线， 构造全等三角形 以证明 P 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 F 点 F， 则 F 1+ 0 ， 2=90 ， 1= 2 在 P 第 30 页（共 59 页） （ 1）答： 证明：如答图 2，过点 F 延长线于 点 F， 则 F 1+ 0 ， 2=90 ， 1= 2 在 P （ 2）答： P 证明：如答图 3，过点 F 延长线于点 F， 则 F 在 第 31 页（共 59 页） P 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键 15如图，在矩形 角线 交于点 O，点 E， D， ，且 F，连接 证： F 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质 【专题】证明题 【分析 】欲证明 F，只需证得 【解答】证明：如图， 四边形 0 ， D， C， 即 在 ， F 第 32 页（共 59 页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 16如图，在正方形 接 长 E，使 E求证： 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】证明题 【分析】根据正方 形的四条边都相等可得 D，对角线平分一组对角可得 利用 “ 边角边 ” 证明 据全等三角形对应角相等可得 根据等边对等角可得 而得证 【解答】证明：在正方形 D， 在 ， E， 【点评】本题考查了 全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键 17如图，已知 B= （ 1）作图：在 ，延长 在 ，使 B，连 F， （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连接 证： E= 第 33 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图 复杂作图 【专题】作图题 ；证明题 【分析】（ 1）以 为半径画弧，与 延长线的交点即为点 E，再以点 任意长为半径画弧，分别与 交，然后以这两点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点 ； （ 2）求出 C，根据角平分线的定义可得 利用 “ 边角边 ” 证明 据全等三角形对应角相等可得 E= 【解答】（ 1）解：如图所示； （ 2）证明 ： C， B， C， 在 ， E= 【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键 第 34 页（共 59 页） 18探究：如图 ，在 C， 0 ，延长 点 D，延长 点 E，使 D，连结 证： 应用：如图 ，在菱形 ， 0 ，延长 点 D，延长 点 E，使 D，连结 A，延长 ，求 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】探究：先判断出 据等边三角形的性质可得 C， 求出 D，然后利用 “ 边角边 ” 证明即可； 应用：连接 知 等边三角形，由探究可知 据全等三角形对应角相等可得 E= D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 【解答】解：探究： C， 0 ， C， D， C=B， 即 D， 在 ， 应用：如图，连接 知 第 35 页（共 59 页） 由探究可知 E= D， E+ D+ 0 ， 0 【点评