2016-2017学年苏教版高考数学(文)单元检测三：导数及其应用（含答案解析）

1 高三单元滚动检测卷 数学 考生注意 ： 1 本试卷分第 卷 (填空题 )和第 卷 (解答题 )两部分 ， 共 4 页 2 答卷前 ， 考生务必用蓝 、 黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名 、 班级 、 学号填写在相应位置上 3 本次考试时间 120 分钟 ， 满分 160 分 4 请在密封线内作答 ， 保持试卷清洁完整 单元检测三 导数及其应用 第 卷 一 、 填空题 (本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分 请把答案填在题中横线上 ) 1 (2015赣州联考 )函数 f(x) 3ln x 3x 3在点 ( 3， f( 3)处的切线斜率是 _ 2 设 f(x) x， 若 f ( 2， 则 _ 3 (2015黑龙江双鸭山一中期中 )若函数 y f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 3x 2，则函数 g(x) f(x)的图象在点 (1， g(1)处的切线方程为 _ 4 函数 f(x) 3x 1， 若对于区间 3,2上的任意 都有 |f( f( t， 则实数 _ 5 曲线 y 1,1)处的切线与 x 1 所围成的三角形的面积为 _ 6 (2015辽宁丹东五校协作体期末 )若曲线 y 12曲线 y x 在它们的公共点 P(s， t)处具有公共切线 ， 则实数 a _. 7 已知函数 f(x)的定义域为 (4a 3,3 2 a R， 且 y f(2x 3)是偶函数 又 g(x) 14， 存在 k， k 12 ， k Z， 使得 g( 则满足条件的实数 _ 8 (2015淄博一模 )曲线 f(x) x 1 上的点到直线 2x y 3 的距离的最小值为_ 9 若函数 f(x) (a0 且 a 1)在区间 12， 0 内单调递增 ， 则 a 的取值范围是_ 10 (2015广东阳东一中摸底 )曲线 C： f(x) x 2 在 x 0 处的切线方程为 _ 11 已知函数 f(x)的导数 f (x) a(x 1)(x a)， 若 f(x)在 x a 处取得极大值 ， 则 a 的取值范围是 _ 2 12 (2015百色模拟 )已知 a R， 函数 f(x) ae y f (x)是奇函数 ， 若曲线 y f(x)的一条切线的斜率为 32， 则切点的横坐标为 _ 13 (2015豫东 、 豫北十所名校联考 )若 00)与曲线 y 0， )上存在公共点 ， 则 _ 第 卷 二 、 解答题 (本大题共 6 小题 ， 共 90 分 解答时应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分 )(2015河北保定第一中学模拟 )已知函数 f(x) (1) 1， 且 f ( 1) 9. (1)求曲线 f(x)在 x 1 处的切线方程 ； (2)若存在 x (1， )使得函数 f(x)0) (1)若 x 1 是函数 f(x)的极大值点 ， 求函数 f(x)的单调递减区间 ； (2)若 f(x) 12b 恒成立 ， 求实数 最大值 19.(16 分 )(2015安徽 )已知函数 f(x) axx r2(a0， r0) (1)求 f(x)的定义域 ， 并讨论 f(x)的单调性 ； (2)若 400， 求 f(x)在 (0， )内的极值 20 (16 分 )(2015豫东 、 豫北十所名校联考 )已知函数 f(x) ln x， a R. (1)若 a 1， 求函数 f(x)在 1， e上的最大值 ； (2)当 a 1e 1时 ， 求证 ： x (0， )， f(x) 1x ln x 2a 2. 4 答案 解析 1 2 3 解析 由 f(x) 3ln x 3x 3得， f (x) 3x 2x 3， f ( 3) 2 3. 2 e 解析 由 f(x) x得 f (x) ln x 1. 根据题意知 ln 1 2，所以 ln 1，因此 e. 3 5x y 3 0 解析 由函数 y f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 3x 2，得 f (1) 3， f(1) 1. 又函数 g(x) f(x)， g (x) 2x f (x)， 则 g (1) 2 1 f (1) 2 3 5. g(1) 12 f(1) 1 1 2. 函数 g(x) f(x)的图象在点 (1， g(1)处的切线方程为 y 2 5(x 1)即 5x y 3 0. 4 20 析 求导得 y 3以曲线在 (1,1)处的切线斜率 k 3， 所以曲线 y 1,1)处的切线方程为 y 1 3(x 1)， 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是 (23， 0)， (1,0)， (1,1)， 于是三角形的面积为 12 (1 23) 1 16. 6 1 解析 由 y 12 y y x，得 y 它们在点 得 x 代入两曲线得 12ee a a2(ln a 1)， ln a 1 1，解得 a 1. 5 7 3 解析 由于函数 f(x)的定义域为 (4a 3,3 2所以 4a 30，当x 2 106 时， h(x)取得极小值，且 h 2 106 0， h(0)0， h 12 0，所以 k 1,0,1，即满足条件的实数 个 8. 5 解析 f (x) 2x 1，设与直线 2x y 3 平行且与曲线 f(x)相切于点 P(s， t)的直线方程为 2x y m 0，则 2s 1 2，解得 s 0. 切点为 P(0,2) 曲线 f(x) x 1上的点到直线 2x y 3的距离的最小值为点 x y 3 的距离 d，且 d |0 2 3|5 5. 9. 34， 1 解析 由题意知， 在 x 12， 0 上恒成立，即 ax 12， 0 上恒成立， a 14.设 g(x) 14 ， g(x)在 12， 0 上单调递增，即 g (x) 3a 0 在 12， 0 上恒成立，这与 a1 矛盾综上可知，实数 a 的取值范围是 34， 1 . 10 2x y 3 0 11 ( 1,0) 解析 当 a 0 时，则 f (x) 0，函数 f(x)不存在极值 当 a 0 时，令 f (x) 0，则 1， a. 若 a 1，则 f (x) (x 1)2 0，函数 f(x)不存在极值；若 a0，当 x ( 1， a)时， f (x)0，所以函数 f(x)在 x 符合题意； 若 10，当 x (a， )时， f (x)0，所以函数 f(x)在 x a 处取得极小值，不符合题意所以 a ( 1,0) 6 12 解析 由题意可得， f (x) f (0) 1 a 0， a 1， f(x) 1f (x) 1 曲线 y f(x)在 (x， y)的一条切线的斜率是 32， 32 1方程可得 2， x . 13 abc 解析 易知当 0 综上： 即 abc. 14. 解析 由题意知方程 ex(a0)在 (0， )上有解，则 a x (0， )， 令 f(x) x (0， )， 则 f (x) 2 x (0， )， 由 f (x) 0 得 x 2， 当 02 时， f (x)0，函数 f(x) 2， )上是增函数，所以当 x 2 时，函数 f(x)0， )上有最小值 f(2)以 a 15 解 (1) f(x) (1) 1， f (x) 32(1)， f 1 3a 2f 1，f 1 3a 2f 1 9. 7 a 1，f 1 3. f(x) 31， f(1) 1. 故曲线 f(x)在 x 1 处的切线方程为 y 3(x 1) 1 3x 2，即 3x y 2 0. (2)f (x) 36x 3x(x 2)， 当 12 时， f (x)0. 则函数 f(x)在区间 (1,2)上单调递减，在区间 (2， )上单调递增， f(x) f(2) 3. 则由题意可知， m 3，即所求实数 m 的取值范围为 ( 3， ) 16 解 (1)对 f(x)求导得 f (x) 32x， 因为 f(x)在 x 43处取得极值， 所以 f 43 0， 即 3a169 2 43 16 83 0，解得 a 12. (2)由 (1)得 g(x) 12x2 故 g (x) 322x 12x2 12522x 12x(x 1)(x 4)令 g (x) 0，解得 x 0， x 1 或 x 4. 当 x 4 时， g (x) 0，故 g(x)为减函数； 当 4 x 1 时， g (x) 0，故 g(x)为增函数； 当 1 x 0 时， g (x) 0，故 g(x)为减函数； 当 x 0 时， g (x) 0，故 g(x)为增函数 综上知， g(x)在 ( ， 4)和 ( 1,0)内为减函数，在 ( 4， 1)和 (0， )内为增函数 17 解 (1)f (x) x0)， 当 a 0 时， f (x) 0，增区间为 (0， )， 当 a0 时， f (x) 0x a， f (x)0)， 设 h(x) 2x a(x0)， 若 g(x)在 1， e上不单调，则 h(1)h(e)g(1)即可得出： 则 h (x) x(1 2ln x)， h(x)在 (0， 12e )上单调递增，在 ( 12e ， )上单调递减， h(x)h( 12e ) 19 解 (1)由题意知 x r， 所求的定义域为 ( ， r) ( r， ) f(x) axx r2 2 f (x) a2 x 2r2 ar xx rx r4 . 所以当 f (x)0. 因此， f(x)的单调递减区间为 ( ， r)， (r， )； f(x)的单调递增区间为 ( r， r) (2)由 (1)的解答可知 f (r) 0， f(x)在 (0， r)上单调递增，在 (r， )上单调递减因此， x r是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在 (0， )内的极大值为 f(r) r2 4004 100. 9 20 (1)解 依题意，知 f(x) 1x ln x. 则 f (x) 11x x 1 易知在 1， e上， f (x)0， f(x)单调递增， 故 f(x)f(e) 1e 1. (2)证明 要证 f(x) 1x ln x 2a 2， x (0， )， 即证 1x (2a 2) 0， x (0， )， 令 g(x) 1x (2a 2)， x (0， )， 下证当 a 1e 1，且 x0 时，