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柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 2 - 柔性臂架 自行式 起重机 倾翻载荷 S. T. . K. 耳其安卡拉 中东科技大学机械工程学院 16531 摘 要 在这一项研究中， 自行式 起重机的特性是利用 基于 柔性多体动力学 理论建模 分析 得到的， 用以确定起重机不 产生倾翻危险的 起重量 。只有起重机的臂架被假设成柔性的，因为臂架是唯一一个在吊载过程中挠度 较大的 部件 。用数学方程描述起重机的刚性 部件 与柔性部件 之间 的 相互作用与耦合 ，并且开发了用于进行动力学分析的 应用软件。 变幅油缸的推力因臂架的 仰角 不同而不同，臂 架运动的同时，变幅油缸的推力被计算出来， 同时绘制出载荷曲线，并且将结果与用一台10吨的自行式工程起重机实验得到的数据进行比较。 作为机械系统的起重机一般被看成包含柔性部件的闭环的机械装置。 在以臂架的角度位置作为自变量来确定起重机额定起重量的时候，就需要用到动力学的解决方法。 目前只有极少数关于自行式起重机 的 动力学分析控制的研究，并且这些研究中的大部分 都 没有考虑部件的挠性。 立了一个动力学模型，用于控制一个同时进行三种运动 （回转运动、起升运动、变幅运动） 的柔性回转起重机 1。 只有主臂与副臂间的连接被假设成为柔性的，这样假设的目的是能够使载荷得到恰当的转化， 这样在转化结束时，载荷幅值的摆动能够以最快的速度衰减。这个能够对起重机进行实际载荷和额定载荷对比显示并加以限制的系统在巴尔干半岛上得到应用，这个基于微 型计算机 的 控制 系统 是通过油压和臂架仰角 来确定当前吊钩的实际载荷的。 在这篇文章中，起重机的特性是通过柔性多体动力学来分析得到的。 给出了 柔性多体动力学的 动力学和运动学方程 ， 同时开发了 对起重机进行动力学分析的应用软件。 在多体动力学分析时，系统的刚性联接和柔性运动通过运用绝对的耦合 和形 参 变量 用公式来表达 3, 4。 然后， 部件间的连接 和 指定的运动用约束方程来描述 。 柔性体是通过有限元方法来模拟的，形参变量 是通过模型转化 得到的， 用以代替弹性变量。 变幅油缸的推力因臂架的角度位置不同而不同，臂架运动的同时，变幅油缸的推力被计算出来，通过开发的应用软件来图示弹性效果。 同时绘制出臂架不同仰角的载荷曲线， 并且将结果与 起重机 制造厂家提供的 数据进行比较。 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 3 - 我们用 一台 930 型 自行式起重机的倾翻载荷控制的实验数据用于开发的软件的计算，并且 用了这台起重机的结构和参数 5。但这个分析方法只要经 过简单的修改就可以用于类似的起重机的分析。 重物吊在吊钩上，臂架起升，因为重物起升过高非常危险，重物的高度是通过 测量 起升绳 的长度 来控制的。在重物起升、下降和运输时，起重机是不能回转的， 这是由于一些限制条件，比如重物非常大或非常重、空间问题等。 在臂架的每一个角度位置都对应着一个最大载荷，超过这个载荷后起重机很有可能倾翻。因为臂架的仰角只有在重物起升或下降时才会发生改变， 而且恰巧 这 又 是个平面运动，所以建模和分析计算都是在二维空间进行的。 图 意 图 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 4 - 图 单位： 000;7500;823;850;65;455;350;05 图 1 表示实验用起重机的示意图， 图 2 表示它的动力学模型，模型共分成五部分。 横截面、材料特性及各部分的尺寸是通过技术数据文件和直接对实验起重机进行测量得到的。部件 1（臂架） 的横截面是个空心的多边形，壁厚为 t，如图 3 所示。 这个横截面的尺寸线性地从 大到 G，又线性地从 G 减小到 C，截面 G 和 C 的尺寸如图 3 所示。部件 2 是个圆柱形的杆，直径 25件 3 是个液压活塞杆，直 径 180厚 20件 4 是变幅油缸筒，内径230径 246 长 3440件 1 的弹性模量和密度分别为 200750kg/它部件的密度均认为是 7850kg/ 图 （臂架）横截面 .（单位： 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 5 - 当考虑 了 各部件的尺寸（长度和横截面）和弹性模量 ，就可以只认为部件 1（臂架）是弹性的，这样的话其他部件均被假设成是刚性的。 在对起重机进行分析时要考虑以下假设： 件 4）的质量中，液压缸质量的改变是由于考虑了缸内的液压油质量的改变； 且通过一根被看成是刚性杆的绳子连接到臂架 头部。这根绳子在平面内可以绕 只要这个杆相对于垂直位置的摆动很小并且这个杆仍然处于张紧状态时 这个假设就是正确的。 在正常操作速度和吊重下这些条件都符合 ； 用 是通过在起重机臂架升降过程中改变绳长来实现的。 令 示一个部件的结构，部件 k 的变形 通过这个 系数来定义， n 表示一个确定的结构。 令 k 表示结构 原点的位置， k 表示部件 利用有限单元法，部件 k的 的变形位移向量 ： u （ 1） 其中 是 形的单元形函数矩阵， 单元间联系的 坐标变换 矩阵，k 单元节点位移向量。 点 （ 2） 其中 点 Q 到 P 的变形后的位 置向量， 是 变形协调矩阵， n 的坐标变换矩阵， ， k 是用于减小弹性变形的模型转换变量， k 是模型形变向量。方程（ 2）可写成： （ 3） 其中 影响系数矩阵， 部件 k 的速度向量。 连接各个部件的系统 N 的连接处和角度指示在速度水平上用运动学约束方柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 6 - 程表示为： Cy=g （ 4） 其中 下式确定： y(1)T y(N)T （ 5） 方程： Q+d+F （ 6） 其中是约束反力向量， M 是质量矩阵， Q、 F 分别是 性力向量、阻尼力向量 和实际力向量，分别为： )()1(00， )()1(, )()1(, )()1(, )()1(（ 7） 质量矩阵 （ 8） （ 9） 其中 单元的数量， 是它的密度。 00， 00（ 10） 其中 阻尼矩阵 。在仿真时，结构的质量和 用于组成 %的衰减。 在平面系统中， 小到 ，其中 k 是个标量。 成 ，其中 是 据 k 变换而来的。 当公式（ 8）和（ 9）中由空间决定的变量分离后，就能获得 3,4不随时间改变的矩阵。 )5()5()4()4()3()3()2()2()1()1()1( （ 11） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 7 - 0)1(1 ， 0)1(2 ， 0)2(1 ， 0)2(2 ， 0)4(1 ， 0)4(1 （ 12） 0)2(2)2()2()1()1(1)1(11)1()1(2 )1()1( （ 13） 0)2()1()1(11)1( （ 14） 03)3(22)2()2( 32 DD （ 15） 043 ， 0444432 BB （ 16， 17） 0511111111111 （ 18） 31 （ 19） 臂架是靠驾驶员控制的液压缸来驱动的， 一般来说，运动的整个过程中液压缸以恒定的速度 0v 运动，所以臂架和活塞的振动都能控制在一个很小的水平上。为了避免冲击载荷的产生，活塞的开始运动时速度从 0增大到 0v 以及最终停止时从 0v 减小到 0，速度的变化假设成随时间呈摆线形变化。这个理想的速度曲线如图 4所示，并可用下列方程描述： 32232232230021011102s i i （ 20） 如果部件 1和 2的绞点在不同的位置，这个系统将变成一个不能动的结构。系统之所以能够运动是因为 二者绞点位置相同。所以，部件 1和 2的约束方程是线性相关的。由于这个原因， 其中的一个约束方程可以分解以减少线性损耗。 图 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 8 - 图 重 升时间 30s） 图 重 升时间 10s） 图 、 8、 13的横向位移（载荷 升时间 30s） 活塞反力（ 臂架仰角（度） 活塞反力（ 臂架仰角（度） 横向位移（ m） 臂架仰角（度） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 9 - 图 、 8、 13的横向位移（载荷 升时间 30s） 图 9.（ a）节点 13的横向位移的时间响应 （ b）节点 13的横向位移的 快速傅氏变换算法 用于 分析 实验用起重机的应用软件已经开发 完毕。 在这个软件中， 部件 1（臂架） 的 其中任 一个有限单元 的 形 函数 可以代换其他 任何一个 。 经对臂架的工作范围内，臂架运动 的 30s 过程 做了实验 2,选取这个速度是为了减小弹性变形的作用。 在研究中测量了液压系统的压力和臂架的仰角位置。 由于臂架的 振 动而引起的油压的 振 动已经通过控制系统过滤掉，所以在测量的数据中是看不到的。 实验起重机在起升过程中的吊重为 压系统油压的变化是在臂架运动的 30以 在臂架起升的 30压活塞的反力变化 与臂架仰角的变化有关，所以 可以根据 吊重 计算臂架处于不同仰角位置时的变幅油缸活塞反力。 臂架在起升的 30s 过程中不同仰角位置的变幅油缸活塞反力通过利用计算机代码 模拟出来，并且在图 5中给出。 臂架运动的 30s 过程的实验结果也同时在图 5 中给出。这些数据不包括活塞加速及减速过程。并且，由于臂架 振 动带来的影响已经被滤除，所以在图中是横向位移（ m） 臂架仰角（度） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 10 - 不能看到的。 从图中可以看出，臂架运动过程中仿真的结果与实验数据非 常接近。 吊重 升时间 10s 时臂架不同位置的变幅活塞反力也通过计算机程序计算出来了，为的是模拟更有意义的弹性效果，如图 6所示。 在仿真时，臂架 被离散成 12个单元。其中 两个在 架横截面积从 线性地增加。另外的十个在 架的横截面积从 G 到 部件 1 的阻尼是通过在最初两种模式基础上 依次 减小 2%来近似计算的。在模拟起升时间为 30设臂架起升最初 后 在臂架起升时间为 10速和减速的时间分别假设为 1s。 吊重为 架起升时间为 300点 3（节点 3在臂架节点 之间）， 节点 8（位于臂架节点 之间），及节点 13（对应于臂架尖端节点 C） 的横向位移都根据臂架的不同仰角位置计算出来了， 分别表达在图 7 和图 8 中。 因为节点 3 的横向位移的数量级 为 10以这个节点的横向位移在图中是看不到的。 从图 5以看出活塞反力的幅度和平均值及节点的横向位移在起升时间为 100因此，臂架的弹性效果可以清晰 地 看出来。 在所有的仿真过程中，当臂架在起升过程中，变 幅活塞的反力 像 期望的一样随之减小。 在变幅活塞加速运动过程时，活塞反力、横向位移量及它们的 振 动幅度都比匀速运动期间的要大。在臂架匀速起升的过程中，活塞反力的大小、横向位移及各自的 振 动幅度都平稳地减小。在臂架减速起升的过程中，活塞反力和横向位移 减小，但 振 动的幅度却增加了。但在减速的过程中，活塞反力数值及幅值、横向位移的变化却比加速过程的小。 从仿真中还可以看出存在两种类型的振动 。一种 是 由臂架的振动产生 的，周期较小，另一种由于载荷的振动产生 的， 周期较大。 吊重 升时间为 10s 工况时，臂架尖端（节点 13）的横向振动的时间响应如图 9（ a）所示。图 9（ a）中数据 快速傅氏变换算法 数值曲线在图 9（ b）中给出。 频率小的振动 是 由于系统的激励 产生的 ， 它的大小 变化符合这个规律。 当臂架向上运动时，它朝垂直的位置变化，从而引起臂架的横向偏转量减小。由于载荷振动而产生的振动的频率也降到这个频率范围。频率大于 振动是由于臂架以它的 自然 频率振动。 自然频率随时间变化是多体系统的一个特性，并且这引起了 我们在图 9（ a）中看到的尖锐的信号。 力的仿真 起重机倾翻的模拟是在闭环的条件下来完成的，其目的是为了能够看到在起 重机臂架向上及向下运动的过程中 究竟何时发生倾翻。 当起重机的一个 支腿 受到地面的支反力变成零时，倾翻便发生了。 利用起重机底盘的自由体受力图，如柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 11 - 图 10所示，倾翻时可用方程（ 21）表示： 202101202101/1 （ 21） 式中， 01 02 01 02起重机底盘对臂架及变幅油缸支反 作用 力的分力， 地面对起重机两个支腿的反作用力 ， 起重机底盘的重力。 图 10. 起重机底盘的自由体受力图 3010厂家的数据 当 于或等于零时，就满足了倾翻的条件。对于臂架起升时间分别为 100s 的两种工况，对于不同吊 重，对应的力 成零的臂架位置是通过开发的应用软件计算出来的。实验用起重机的仿真结果在图 11 中给出了。试验用起重机生产厂家提供的额定起重量也同时列于图 11 中。其中的幅度 R 是这样定义的， 起重机在倾翻方向上由回转中心到臂架端点，即载荷所在位置的水平距离，通过式 R 计算得出。 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 12 - 从图 11中可以看出， 当臂架运动时间减少时，相同幅度时对应的许用起重量随之减少了。虽然在算得许用起重量的时候没有包含任何类似臂架运动时间的信息，但与臂架运动 时间为 30除此之外，制造厂家还注释说这些许用载荷数据应该以一个安全系数来用， 在研究中，起重机的起重能力是通过柔性多体动力学分析得到的。为了达到这个分析目的，我们开发了一个能够对起重机进行动力学分析的应用软件。系统的刚性连接和弹性运动通过运用 绝对的耦合和形参 变量 用公式来表达 3, 4。然后， 部件间的铰接 和 特定的运动是通过约束方程来表达的 。柔性体是通过有限元方法来模拟的，形参变量是通过模型转化 得到的， 用以代替弹性变量。并且利用计算机程序对吊重为 架起升运动时间分别为 30s 和 10s 两种工况的 变幅油缸活塞反力 进行了仿真，运动速度的加速和减速时的加速度都是圆滑的摆线形 。 并用臂架运动时间为 30架运动时间分别为 30s 和 10s 两种工况下，节点 3、节点 8 和节点 13 在臂架处于不同仰角位置的 横向位移 都计算出来了。最后，形成了臂架起升时间分别为 100将其与起重机生产厂家提供的数据进行对比。 从分析中可以看出臂架运动时间将很显著地影响起重机的动力学特性。在活塞运动速度较低时（比如臂架起升 时间为 30s），臂架的柔性起的作用很小，所以臂架在这时可以看成是刚性体。 然而，当活塞运动速度提高时（比如臂架起升时间为 10s），臂架的柔性起显著的作用 。 在臂架运动时间为 10s 时， 从活塞反力和起升能力的仿真结果中可以看出臂架的柔性起的作用。 另外需要注意的是，这里计算出来的载荷曲线是在活塞运动速度曲线为摆线形的 情况下得出的，这是为了近似地模拟 有经验的驾驶员操作时的 速度 特性。其他形状的速度曲线对应的载荷曲线也同样可以通过开发的计算机程序 计算 生成。变幅活塞突然加速和减速时将会显著的降低起升能力，这是由于这将会产生较大的横向位移和惯性冲击载荷。 参考文献：略 1999) 223(4), 645657 o. at , T. . K. 06531 3 997, 999) In of a by a of to of a of is to it is dein of is in to of to a 10 t # 1999 . as in In of of as a of of is to of In of is A of a of is 1. is to is to a to a in a at of of as as of a is of is on 2. In by of of to of In of is by 022460X/99/240645 13 $ # 1999 646 S. T 3, 4. as is by as by of to to by to of 2. F is on of a 30 of of 5. of be to of In by is to is of is of is by of is to as or In of is a of up of is a in . of 5) C n(5) 647 n(5) 1 n(2) A D 1 2 n(1) n(1) 1 2 n(2) n(3) (3) 1 (1) (2) n(3) 1 B a n(4) (4) O n(4) 1 2 . of in 000; 7 500; 823; 850; 65; 455; of is of be ve is . of is a of t, as . 0 at 0, G . is a 5 mm in is a 80 mm in e0 0G C f0 t=20 60 160 440 207 120 120 . . in 648 S. T 0 is a 30 46 mm 440 of of 00 750 kg/of 850 kg/of of it is to (In to be in of 1. of is in of ). of to of it is 2. is 3. is as a to of a is as a is . is as as of in ed 4. of is by 5. is to be by of up of 3. et nk a to k is den a xk of of nk in n, ok be k. of an in i k is is to is ak is of is as is in nk is of Tk is nk to n, o k wk is to of k is of 2) be 49 in by at as y is is be by ing s to of of as l is of M is Q, Fd 650 v0 v(t) 0 S. T . le k is k is k. In of in k to a 2% in 8) 9) a of 3, 4. in 6) of 4) y l. by a to of of 00is of 0A of C as of 51 is by a is by In is to a to is to of v0 to at of be in le is be as If at be a is to to of of is to 652 600 400 200 0 20 S. T 0 60 80 . to 324 kN 0 s 4. F of In . of in 0 s 2. in to In in of in 00 400 0 20 40 60 80 . to 324 kN 0 s 8 12 653 20 40 60 80 . deof , 8 3 to 324 kN 0 s in in a 324 kN in of in to 0 s of of to 0 s be 24 kN of to 24 kN 0 s by . 0 s of . do in 3 0 40 60 80 . deof , 8 3 to 324 kN 0 s m)m) 654 . T 2 4 6 8 10 0 4 8 s) . (a) of deof 3. (b) of deof 3. It is 0 s to of to 24 kN 0 s by in to as . In is 2 of 0G is 0 of C is is by a 2% It is 5 s is 5 s is of 0 s In 0 s to s. A 02 F 1A A C 2 B 0. of in m: A 550; C 337; m)60 120 80 40 0 55 6 10 m) 14 18 656 S. T at to to of As it deto to 5 Hz to at of is a of in a as (a). 5. F N is in of to as in of to of 0, 21) is as of by on by to of or to 0 s 0 s by 1. ed by of is 1 is deas of of to of at t be 1 is is no as of is 0 s In to it is by be a 6. n by In to is of of of by 3, 4. as 57 by as by of to 24 kN 0 s 0 s by le 30 s deof , 3 to 0 s 0 s 0 s 0 s of It is 30 s of is be as a is 10 s of is is in of on 0 s It is a le by an be by A le in to de. K. . 988 8, 20852105. 2. T. 995 , 174183. A 3. A. A. 985 1, 431439. of of 4. S. K. 991 0, 939945. 5. 1983 . 7347, 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 2 - 柔性臂架 自行式 起重机 倾翻载荷 S. T. . K. 耳其安卡拉 中东科技大学机械工程学院 16531 摘 要 在这一项研究中， 自行式 起重机的特性是利用 基于 柔性多体动力学 理论建模 分析 得到的， 用以确定起重机不 产生倾翻危险的 起重量 。只有起重机的臂架被假设成柔性的，因为臂架是唯一一个在吊载过程中挠度 较大的 部件 。用数学方程描述起重机的刚性 部件 与柔性部件 之间 的 相互作用与耦合 ，并且开发了用于进行动力学分析的 应用软件。 变幅油缸的推力因臂架的 仰角 不同而不同，臂 架运动的同时，变幅油缸的推力被计算出来， 同时绘制出载荷曲线，并且将结果与用一台10吨的自行式工程起重机实验得到的数据进行比较。 作为机械系统的起重机一般被看成包含柔性部件的闭环的机械装置。 在以臂架的角度位置作为自变量来确定起重机额定起重量的时候，就需要用到动力学的解决方法。 目前只有极少数关于自行式起重机 的 动力学分析控制的研究，并且这些研究中的大部分 都 没有考虑部件的挠性。 立了一个动力学模型，用于控制一个同时进行三种运动 （回转运动、起升运动、变幅运动） 的柔性回转起重机 1。 只有主臂与副臂间的连接被假设成为柔性的，这样假设的目的是能够使载荷得到恰当的转化， 这样在转化结束时，载荷幅值的摆动能够以最快的速度衰减。这个能够对起重机进行实际载荷和额定载荷对比显示并加以限制的系统在巴尔干半岛上得到应用，这个基于微 型计算机 的 控制 系统 是通过油压和臂架仰角 来确定当前吊钩的实际载荷的。 在这篇文章中，起重机的特性是通过柔性多体动力学来分析得到的。 给出了 柔性多体动力学的 动力学和运动学方程 ， 同时开发了 对起重机进行动力学分析的应用软件。 在多体动力学分析时，系统的刚性联接和柔性运动通过运用绝对的耦合 和形 参 变量 用公式来表达 3, 4。 然后， 部件间的连接 和 指定的运动用约束方程来描述 。 柔性体是通过有限元方法来模拟的，形参变量 是通过模型转化 得到的， 用以代替弹性变量。 变幅油缸的推力因臂架的角度位置不同而不同，臂架运动的同时，变幅油缸的推力被计算出来，通过开发的应用软件来图示弹性效果。 同时绘制出臂架不同仰角的载荷曲线， 并且将结果与 起重机 制造厂家提供的 数据进行比较。 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 3 - 我们用 一台 930 型 自行式起重机的倾翻载荷控制的实验数据用于开发的软件的计算，并且 用了这台起重机的结构和参数 5。但这个分析方法只要经 过简单的修改就可以用于类似的起重机的分析。 重物吊在吊钩上，臂架起升，因为重物起升过高非常危险，重物的高度是通过 测量 起升绳 的长度 来控制的。在重物起升、下降和运输时，起重机是不能回转的， 这是由于一些限制条件，比如重物非常大或非常重、空间问题等。 在臂架的每一个角度位置都对应着一个最大载荷，超过这个载荷后起重机很有可能倾翻。因为臂架的仰角只有在重物起升或下降时才会发生改变， 而且恰巧 这 又 是个平面运动，所以建模和分析计算都是在二维空间进行的。 图 意 图 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 4 - 图 单位： 000;7500;823;850;65;455;350;05 图 1 表示实验用起重机的示意图， 图 2 表示它的动力学模型，模型共分成五部分。 横截面、材料特性及各部分的尺寸是通过技术数据文件和直接对实验起重机进行测量得到的。部件 1（臂架） 的横截面是个空心的多边形，壁厚为 t，如图 3 所示。 这个横截面的尺寸线性地从 大到 G，又线性地从 G 减小到 C，截面 G 和 C 的尺寸如图 3 所示。部件 2 是个圆柱形的杆，直径 25件 3 是个液压活塞杆，直 径 180厚 20件 4 是变幅油缸筒，内径230径 246 长 3440件 1 的弹性模量和密度分别为 200750kg/它部件的密度均认为是 7850kg/ 图 （臂架）横截面 .（单位： 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 5 - 当考虑 了 各部件的尺寸（长度和横截面）和弹性模量 ，就可以只认为部件 1（臂架）是弹性的，这样的话其他部件均被假设成是刚性的。 在对起重机进行分析时要考虑以下假设： 件 4）的质量中，液压缸质量的改变是由于考虑了缸内的液压油质量的改变； 且通过一根被看成是刚性杆的绳子连接到臂架 头部。这根绳子在平面内可以绕 只要这个杆相对于垂直位置的摆动很小并且这个杆仍然处于张紧状态时 这个假设就是正确的。 在正常操作速度和吊重下这些条件都符合 ； 用 是通过在起重机臂架升降过程中改变绳长来实现的。 令 示一个部件的结构，部件 k 的变形 通过这个 系数来定义， n 表示一个确定的结构。 令 k 表示结构 原点的位置， k 表示部件 利用有限单元法，部件 k的 的变形位移向量 ： u （ 1） 其中 是 形的单元形函数矩阵， 单元间联系的 坐标变换 矩阵，k 单元节点位移向量。 点 （ 2） 其中 点 Q 到 P 的变形后的位 置向量， 是 变形协调矩阵， n 的坐标变换矩阵， ， k 是用于减小弹性变形的模型转换变量， k 是模型形变向量。方程（ 2）可写成： （ 3） 其中 影响系数矩阵， 部件 k 的速度向量。 连接各个部件的系统 N 的连接处和角度指示在速度水平上用运动学约束方柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 6 - 程表示为： Cy=g （ 4） 其中 下式确定： y(1)T y(N)T （ 5） 方程： Q+d+F （ 6） 其中是约束反力向量， M 是质量矩阵， Q、 F 分别是 性力向量、阻尼力向量 和实际力向量，分别为： )()1(00， )()1(, )()1(, )()1(, )()1(（ 7） 质量矩阵 （ 8） （ 9） 其中 单元的数量， 是它的密度。 00， 00（ 10） 其中 阻尼矩阵 。在仿真时，结构的质量和 用于组成 %的衰减。 在平面系统中， 小到 ，其中 k 是个标量。 成 ，其中 是 据 k 变换而来的。 当公式（ 8）和（ 9）中由空间决定的变量分离后，就能获得 3,4不随时间改变的矩阵。 )5()5()4()4()3()3()2()2()1()1()1( （ 11） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 7 - 0)1(1 ， 0)1(2 ， 0)2(1 ， 0)2(2 ， 0)4(1 ， 0)4(1 （ 12） 0)2(2)2()2()1()1(1)1(11)1()1(2 )1()1( （ 13） 0)2()1()1(11)1( （ 14） 03)3(22)2()2( 32 DD （ 15） 043 ， 0444432 BB （ 16， 17） 0511111111111 （ 18） 31 （ 19） 臂架是靠驾驶员控制的液压缸来驱动的， 一般来说，运动的整个过程中液压缸以恒定的速度 0v 运动，所以臂架和活塞的振动都能控制在一个很小的水平上。为了避免冲击载荷的产生，活塞的开始运动时速度从 0增大到 0v 以及最终停止时从 0v 减小到 0，速度的变化假设成随时间呈摆线形变化。这个理想的速度曲线如图 4所示，并可用下列方程描述： 32232232230021011102s i i （ 20） 如果部件 1和 2的绞点在不同的位置，这个系统将变成一个不能动的结构。系统之所以能够运动是因为 二者绞点位置相同。所以，部件 1和 2的约束方程是线性相关的。由于这个原因， 其中的一个约束方程可以分解以减少线性损耗。 图 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 8 - 图 重 升时间 30s） 图 重 升时间 10s） 图 、 8、 13的横向位移（载荷 升时间 30s） 活塞反力（ 臂架仰角（度） 活塞反力（ 臂架仰角（度） 横向位移（ m） 臂架仰角（度） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 9 - 图 、 8、 13的横向位移（载荷 升时间 30s） 图 9.（ a）节点 13的横向位移的时间响应 （ b）节点 13的横向位移的 快速傅氏变换算法 用于 分析 实验用起重机的应用软件已经开发 完毕。 在这个软件中， 部件 1（臂架） 的 其中任 一个有限单元 的 形 函数 可以代换其他 任何一个 。 经对臂架的工作范围内，臂架运动 的 30s 过程 做了实验 2,选取这个速度是为了减小弹性变形的作用。 在研究中测量了液压系统的压力和臂架的仰角位置。 由于臂架的 振 动而引起的油压的 振 动已经通过控制系统过滤掉，所以在测量的数据中是看不到的。 实验起重机在起升过程中的吊重为 压系统油压的变化是在臂架运动的 30以 在臂架起升的 30压活塞的反力变化 与臂架仰角的变化有关，所以 可以根据 吊重 计算臂架处于不同仰角位置时的变幅油缸活塞反力。 臂架在起升的 30s 过程中不同仰角位置的变幅油缸活塞反力通过利用计算机代码 模拟出来，并且在图 5中给出。 臂架运动的 30s 过程的实验结果也同时在图 5 中给出。这些数据不包括活塞加速及减速过程。并且，由于臂架 振 动带来的影响已经被滤除，所以在图中是横向位移（ m） 臂架仰角（度） 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 10 - 不能看到的。 从图中可以看出，臂架运动过程中仿真的结果与实验数据非 常接近。 吊重 升时间 10s 时臂架不同位置的变幅活塞反力也通过计算机程序计算出来了，为的是模拟更有意义的弹性效果，如图 6所示。 在仿真时，臂架 被离散成 12个单元。其中 两个在 架横截面积从 线性地增加。另外的十个在 架的横截面积从 G 到 部件 1 的阻尼是通过在最初两种模式基础上 依次 减小 2%来近似计算的。在模拟起升时间为 30设臂架起升最初 后 在臂架起升时间为 10速和减速的时间分别假设为 1s。 吊重为 架起升时间为 300点 3（节点 3在臂架节点 之间）， 节点 8（位于臂架节点 之间），及节点 13（对应于臂架尖端节点 C） 的横向位移都根据臂架的不同仰角位置计算出来了， 分别表达在图 7 和图 8 中。 因为节点 3 的横向位移的数量级 为 10以这个节点的横向位移在图中是看不到的。 从图 5以看出活塞反力的幅度和平均值及节点的横向位移在起升时间为 100因此，臂架的弹性效果可以清晰 地 看出来。 在所有的仿真过程中，当臂架在起升过程中，变 幅活塞的反力 像 期望的一样随之减小。 在变幅活塞加速运动过程时，活塞反力、横向位移量及它们的 振 动幅度都比匀速运动期间的要大。在臂架匀速起升的过程中，活塞反力的大小、横向位移及各自的 振 动幅度都平稳地减小。在臂架减速起升的过程中，活塞反力和横向位移 减小，但 振 动的幅度却增加了。但在减速的过程中，活塞反力数值及幅值、横向位移的变化却比加速过程的小。 从仿真中还可以看出存在两种类型的振动 。一种 是 由臂架的振动产生 的，周期较小，另一种由于载荷的振动产生 的， 周期较大。 吊重 升时间为 10s 工况时，臂架尖端（节点 13）的横向振动的时间响应如图 9（ a）所示。图 9（ a）中数据 快速傅氏变换算法 数值曲线在图 9（ b）中给出。 频率小的振动 是 由于系统的激励 产生的 ， 它的大小 变化符合这个规律。 当臂架向上运动时，它朝垂直的位置变化，从而引起臂架的横向偏转量减小。由于载荷振动而产生的振动的频率也降到这个频率范围。频率大于 振动是由于臂架以它的 自然 频率振动。 自然频率随时间变化是多体系统的一个特性，并且这引起了 我们在图 9（ a）中看到的尖锐的信号。 力的仿真 起重机倾翻的模拟是在闭环的条件下来完成的，其目的是为了能够看到在起 重机臂架向上及向下运动的过程中 究竟何时发生倾翻。 当起重机的一个 支腿 受到地面的支反力变成零时，倾翻便发生了。 利用起重机底盘的自由体受力图，如柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 11 - 图 10所示，倾翻时可用方程（ 21）表示： 202101202101/1 （ 21） 式中， 01 02 01 02起重机底盘对臂架及变幅油缸支反 作用 力的分力， 地面对起重机两个支腿的反作用力 ， 起重机底盘的重力。 图 10. 起重机底盘的自由体受力图 3010厂家的数据 当 于或等于零时，就满足了倾翻的条件。对于臂架起升时间分别为 100s 的两种工况，对于不同吊 重，对应的力 成零的臂架位置是通过开发的应用软件计算出来的。实验用起重机的仿真结果在图 11 中给出了。试验用起重机生产厂家提供的额定起重量也同时列于图 11 中。其中的幅度 R 是这样定义的， 起重机在倾翻方向上由回转中心到臂架端点，即载荷所在位置的水平距离，通过式 R 计算得出。 柔性臂架自行式起重机倾翻载荷 - 12 - 从图 11中可以看出， 当臂架运动时间减少时，相同幅度时对应的许用起重量随之减少了。虽然在算得许用起重量的时候没有包含任何类似臂架运动时间的信息，但与臂架运动 时间为 30除此之外，制造厂家还注释说这些许用载荷数据应该以一个安全系数来用， 在研究中，起重机的起重能力是通过柔性多体动力学分析得到的。为了达到这个分析目的，我们开发了一个能够对起重机进行动力学分析的应用软件。系统的刚性连接和弹性运动通过运用 绝对的耦合和形参 变量 用公式来表达 3, 4。然后， 部件间的铰接 和 特定的运动是通过约束方程来表达的 。柔性体是通过有限元方法来模拟的，形参变量是通过模型转化 得到的， 用以代替弹性变量。并且利用计算机程序对吊重为 架起升运动时间分别为 30s 和 10s 两种工况的 变幅油缸活塞反力 进行了仿真，运动速度的加速和减速时的加速度都是圆滑的摆线形 。 并用臂架运动时间为 30架运动时间分别为 30s 和 10s 两种工况下，节点 3、节点 8 和节点 13 在臂架处于不同仰角位置的 横向位移 都计算出来了。最后，形成了臂架起升时间分别为 100将其与起重机生产厂家提供的数据进行对比。 从分析中可以看出臂架运动时间将很显著地影响起重机的动力学特性。在活塞运动速度较低时（比如臂架起升 时间为 30s），臂架的柔性起的作用很小，所以臂架在这时可以看成是刚性体。 然而，当活塞运动速度提高时（比如臂架起升时间为 10s），臂架的柔性起显著的作用 。 在臂架运动时间为 10s 时， 从活塞反力和起升能力的仿真结果中可以看出臂架的柔性起的作用。 另外需要注意的是，这里计算出来的载荷曲线是在活塞运动速度曲线为摆线形的 情况下得出的，这是为了近似地模拟 有经验的驾驶员操作时的 速度 特性。其他形状的速度曲线对应的载荷曲线也同样可以通过开发的计算机程序 计算 生成。变幅活塞突然加速和减速时将会显著的降低起升能力，这是由于这将会产生较大的横向位移和惯性冲击载荷。 参考文献：略 1999) 223(4), 645657 o. at , T. . K. 06531 3 997, 999) In of a by a of to of a of is to it is dein of is in to of to a 10 t # 1999 . as in In of of as a of of is to of In of is A of a of is 1. is to is to a to a in a at of of as as of a is of is on 2. In by of of to of In of is by 022460X/99/240645 13 $ # 1999 646 S. T 3, 4. as is by as by of to to by to of 2. F is on of a 30 of of 5. of be to of In by is to is of is of is by of is to as or In of is a of up of is a in . of 5) C n(5) 647 n(5) 1 n(2) A D 1 2 n(1) n(1) 1 2 n(2) n(3) (3) 1 (1) (2) n(3) 1 B a n(4) (4) O n(4) 1 2 . of in 000; 7 500; 823; 850; 65; 455; of is of be ve is . of is a of t, as . 0 at 0, G . is a 5 mm in is a 80 mm in e0 0G C f0 t=20 60 160 440 207 120 120 . . in 648 S. T 0 is a 30 46 mm 440 of of 00 750 kg/of 850 kg/of