北京市西城区2016年中考数学二模试卷含答案解析

2016 年北京市西城区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1调查显示， 2016 年 “两会 ”期间，通过手机等移动端设备对 “两会 ”相关话题的浏览量高达115 000 000 次将 115 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A 109 B 107 C 108 D “瓦当 ”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产下列 “瓦当 ”的图案中，是 轴对称图形的为（ ） A B C D 3下列各式中计算正确的是（ ） A x2x4= 2m（ n+1） =2m n+1 C （ 2a） 3=2有一个可以自由转动且质地均匀的转 盘，被分成 6 个大小相同的扇形在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为 ，则下列各图中涂色方案正确的是（ ） A B C D 5利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 一个等边三角形放大成边长为 20等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（ ） A 1： 2 B 1： 4 C 1： 8 D 1： 16 6如图， O 的一条弦，直径 点 E若 4， ，则 O 的半径为（ ） A 15 B 13 C 12 D 10 7如图，在一次定向越野活动中， “超越 ”小组准备从目前所在的 A 处前往相距 2 相对于 A 处来说， B 处的位置是（ ） A南偏西 50， 2南偏东 50， 2北偏西 40， 2北偏东 40， 2教材中 “整式的加减 ”一章的知识结构如图所示，则 A 和 B 分别代表的是（ ） A分式，因式分解 B二次根式，合并同类项 C多项式，因式分解 D多项式，合并同类项 9某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过 200 元的商品，超过 200 元的部分可以享受打折优惠若购买商品的实际付款金额 y（单位：元）与商品原价 x（单位：元）的函 数关系的图象如图所示，则超过 200 元的部分可以享受的优惠是（ ） A打八折 B打七折 C打六折 D打五折 10一组管道如图 1 所示，其中四边形 矩形， O 是 中点，管道由 D， 成，在 中点 M 处放置了一台定位仪器一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测设机器人行进的时间为 x，机器人与定位仪器之间的距离为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则机器人的行进路线可能为（ ） A AOD B BOD C ABO D ADO 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11方程 |x+2|+ =0，则 值为 12一个扇形的半径长为 5，且圆心角为 72，则此扇形的弧长为 13有一张直角三角形纸片，记作 中 B=90按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 ，若 1=165，则 2 的度数为 14某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如表所示： 组别 平均分 中位数 方差 甲 认为哪一组的成绩更好一些？并说明理由 答： 组（填 “甲 ”或 “乙 ”），理由是 15有一列有序数对：（ 1， 2），（ 4， 5），（ 9， 10），（ 16， 17）， ，按此规律，第 5对有序数对为 ；若在平面直角坐标系 ，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 16 在平面直角坐标系 ，点 A 的坐标为（ 1， 0）， P 是第一象限内任意一点，连接 m， n，则我们把（ m， n）叫做点 P 的 “双角坐标 ”例如，点（ 1， 1）的 “双角坐标 ”为（ 45， 90） （ 1）点（ ， ）的 “双角坐标 ”为 ； （ 2）若点 P 到 x 轴的距离为 ，则 m+n 的最小值为 三、解答题（本题共 72 分，第 17，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29题 8 分） 17（ 5 分）计算：（ 9） +（ 2） 3+|2 |+2 18（ 5 分）如图，在 ， D 是 上一点，且 B点 E 在 延长线上，且 证： B 19（ 5 分）先化简，再求值： （ ），其中 x= 1 20（ 5 分）如图，在 ，对角线 交于点 O， ， ， （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）过点 A 作 点 H，求 长 21（ 5 分）已知关于 x 的方程 49=0 （ 1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （ 2）设 此方程的两个根分别为 中 2x1=，求 m 的值 22（ 5 分）列方程或方程组解应用题： 为祝贺北京成功获得 2022 年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”生产一枚 “纪念章 ”需要用甲种原料 4 盒，乙种原料 3 盒；生产一枚 “冬奥印 ”需要用甲种原料 5 盒，乙种原料 10 盒该厂购进甲、乙两种原料分别为 20000 盒和30000 盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”各多少枚？ 23（ 5 分）在平面直角坐标系 ， 反比例函数 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A（ 1， 3）和 B（ 3， m） （ 1）求反比例函数 和一次函数 y2=ax+b 的表达式； （ 2）点 C 是坐标平面内一点， x 轴， 直线 点 D，连接 D，求点 C 的坐标 24（ 5 分）如图，四边形 接于 O，点 E 在 延长线上，连接 5 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 D， ， ，求 长 25（ 5 分）阅读下列材料： 根据联合国人口老龄化及其社会经济后果中提到的标准，当一个国家或地区 65 岁及以上老年人口数量占总人口比例超过 7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化从经济角度，一般可用 “老年人口抚养比 ”来反映人口老龄化社会的后果所谓 “老年人口抚养 比 ”是指某范围人口中，老年人口数（ 65 岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（ 15 64 岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每 100 名劳动年龄人口要负担多少名老年人 以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表 2011 2014 年全国人口年龄分布图 2011 2014 年全国人口年龄分布表 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 0 14 岁人口占总人口的百分比 15 64 岁人口占总人口的百分比 65 岁及以上人口占总人口的百分比 m 根据以上材料解答下列问题： （ 1） 2011 年末，我国总人口约为 亿，全国人口年龄分布表中 m 的值为 ； （ 2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到 2027 年末我国约有 人假设 0 14岁人口占总人口的百分比一直稳定在 15 64 岁人口一直稳定在 10 亿，那么 2027 年末我国 0 14 岁人口约为 亿， “老年人口抚养比 ”约为 ；（精确到 1%） （ 3） 2016 年 1 月 1 日起我国开始实施 “全面二胎 ”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来 10 年内，假设出生率显著提高，这 （填 “会 ”或 “不会 ”）对我国的 “老年人口抚养比 ”产生影响 26（ 5 分）【探究函数 y=x+ 的图象与性质】 （ 1）函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围是 ； （ 2）下列四个函数图象中，函数 y=x+ 的图象大致是 ； （ 3）对于函数 y=x+ ，求当 x 0 时， y 的取值范围 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解： x 0 y=x+ =（ ） 2+（ ） 2 =（ ） 2+ （ ） 2 0， y 【拓展运用】 （ 4）若函数 y= ，则 y 的取值范围是 27（ 7 分）在平面直角坐标系 ，抛物线 y1=44 的顶点在 x 轴上，直线 l： x+5 与 x 轴交于点 A （ 1）求抛物线 y1=44 的表达式及其顶点坐标； （ 2）点 B 是线段 的一个动点，且点 B 的坐标为（ t， 0）过点 B 作直线 x 轴交直线 l 于点 D，交抛物线 y3=44+t 于点 E设点 D 的纵坐标为 m，点 E设点 E 的纵坐标为 n，求证： m n； （ 3）在（ 2）的条件下，若抛物线 y3=44+t 与线段 公共点，结合函数的图象，求 t 的取值范围 28（ 7 分）在等腰直角三角形 ， C， 0点 P 为直线 一个动点（点 P 不与点 A， B 重合），连接 D 在直线 ，且 C过点 P 作 C，点 D， E 在直线 同侧，且 C，连接 （ 1）情况一：当点 P 在线段 时，图形如图 1 所示； 情况二：如图 2，当点 P 在 延长线上，且 ，请依题意补全图 2； （ 2）请从问题（ 1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题： 求证： 用等式表示线段 间的数量关系，并证明 29（ 8 分）在平面直角坐标系 ，对于点 P（ x， y），以及两个无公共点的 图形 2，若在图形 分别存在点 M （ 和 N （ ，使得 P 是线段中点，则称点 M 和 N 被点 P“关联 ”，并称点 P 为图形 一个 “中位点 ”，此时 P， M， N 三个点的坐标满足 x= ， y= （ 1）已知点 A（ 0， 1）， B（ 4， 1）， C（ 3， 1）， D（ 3， 2），连接 对于线段 线段 点 A 和 C 被点 P“关联 ”，则点 P 的坐标为 ； 线段 线段 一 “中位点 ”是 Q （ 2， ），求这两条线段上被点 Q“关联 ”的两个点的坐标； （ 2）如图 1，已知点 R（ 2， 0）和抛物线 y=2x，对于抛物线 的每一个点M，在抛物线 都存在点 N，使得点 N 和 M 被点 R“关联 ”，请在图 1 中画出符合条件的抛物线 （ 3）正方形 顶点分别是 E（ 4， 1）， F（ 4， 1）， G（ 2， 1）， H（ 2，1）， T 的圆心为 T（ 3， 0），半径为 1请在图 2 中画出由正方形 T 的所 有 “中位点 ”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积 2016 年北京市西城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1调查显示， 2016 年 “两会 ”期间，通过手机等移动端设备对 “两会 ”相关话题的浏览量高达115 000 000 次将 115 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A 109 B 107 C 108 D 考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 115 000 000 用科学记数法表示应为 108， 故选： C 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2 “瓦当 ”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产下列 “瓦当 ”的图案中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误 故选 B 【点评】 本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴 3下列各式中计算正确的是（ ） A x2x4= 2m（ n+1） =2m n+1 C （ 2a） 3=2考点】 幂的乘方与积的乘方；合 并同类项；去括号与添括号；同底数幂的乘法 【分析】 直接利用同底数幂的乘法运算法则以及去括号法则以及积的乘方运算法则分别化简进而求出答案 【解答】 解： A、 x2x4=确； B、 2m（ n+1） =2m n 1，故此选项错误； C、 此选项错误； D、（ 2a） 3=8此选项错误； 故选： A 【点评】 此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘法运算以及去括号法则，正确掌握运算法则是解题关键 4有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成 6 个大小相同的扇形在转盘的适当 地方涂上灰色，未涂色部分为白色为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为 ，则下列各图中涂色方案正确的是（ ） A B C D 【考点】 几何概率 【分析】 指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积 比即可 【解答】 解： A、指针指向灰色的概率为 2 6= ，故选项错误； B、指针指向灰色的概率为 3 6= ，故选项错误； C、指针指向灰色的概率为 4 6= ，故选项正确； D、指针指向灰色的概率为 5 6= ，故选项错误 故选： C 【点评】 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表 示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生的概率 5利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5一个等边三角形放大成边长为 20等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（ ） A 1： 2 B 1： 4 C 1： 8 D 1： 16 【考点】 相似图形 【分析】 根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可 【解答】 解：因为原图中边长为 5一个等边三角形放大成边长为 20等边三角形， 所以放大前后的两个三角形的面积比 为 1： 16， 故选 D 【点评】 本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答 6如图， O 的一条弦，直径 点 E若 4， ，则 O 的半径为（ ） A 15 B 13 C 12 D 10 【考点】 垂径定理 【分析】 连接 直径 点 E，得到 2，根据勾股定理得到结论 【解答】 解：连接 直径 点 E， 2， = =13， O 的半径为 13， 故选 13 【点评】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 7如图，在一次定向越野活动中， “超越 ”小组准备从目前所在的 A 处前往相距 2 则相对于 A 处来说， B 处的位置是（ ） A南偏西 50， 2南偏东 50， 2北偏西 40， 2北偏东 40， 2考点】 方向角 【分析】 直接利用方向角的定义得出相对于 A 处来说， B 处的位置 【解答】 解：如图所示：相对于 A 处来说， B 处的位置是：南偏西 50， 2 故选： A 【点评】 此题主要考查了方向角，利用方向角确定位置是解题关键 8教材中 “整式 的加减 ”一章的知识结构如图所示，则 A 和 B 分别代表的是（ ） A分式，因式分解 B二次根式，合并同类项 C多项式，因式分解 D多项式，合并同类项 【考点】 二次根式的定义；合并同类项；整式；多项式；分式的定义 【分析】 根据整式的定义，整式的加减，可得答案 【解答】 解：单项式和多项式统称作整式，整式的加减就是合并同类项， 故选： D 【点评】 本题考查了整式，单项式和多项式统称作整式，注意整式的加减就是合并同类项 9某商店在节日期间开展 优惠促销活动：购买原价超过 200 元的商品，超过 200 元的部分可以享受打折优惠若购买商品的实际付款金额 y（单位：元）与商品原价 x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过 200 元的部分可以享受的优惠是（ ） A打八折 B打七折 C打六折 D打五折 【考点】 一次函数的应用 【分析】 设超过 200 元的部分可以享受的优惠是打 n 折，根据：实际付款金额 =200+（商品原价 200） ，列出 y 关 于 x 的函数关系式，由图象将 x=500、 y=410 代入求解可得 【解答】 解：设超过 200 元的部分可以享受的优惠是打 n 折， 根据题意，得： y=200+（ x 200） ， 由图象可知，当 x=500 时， y=410，即： 410=200+（ 500 200） ， 解得： n=7， 超过 200 元的部分可以享受的优惠是打 7 折， 故选： B 【点评】 本题主要考查一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金 额 x 间的函数关系式是解题的关键 10一组管道如图 1 所示，其中四边形 矩形， O 是 中点，管道由 D， 成，在 中点 M 处放置了一台定位仪器一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测设机器人行进的时间为 x，机器人与定位仪器之间的距离为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则机器人的行进路线可能为（ ） A AOD B BOD C ABO D ADO 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 根据图 1 中各路线的位置，判断机器人与定位仪器之间的距离的变换情况，再结合图 2 确定机器人的行进路线即可 【解答】 解：（ A）若行进路线为 AOD，则起点和终点与定位仪器之间的距离 y 都是最远，不符合图 2，故（ A）错误； （ B）若行进路线为 BOD，则终点与定位仪器之间的距离 y 最远，不符合图 2，故（ B）错误； （ C）若行进路线为 ABO，则距离先变小，再变小，最后又变大，符合图 2，故（ C）正确； （ D）若行进路线为 ADO，则终点与定位仪器之间的距离 y 最小，不符合图 2，故（ D）错误 故选（ C） 【点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，弄清图象的变化趋势以及机器人与定位仪器之间的距离的变换情况是解题的关键 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11方程 |x+2|+ =0，则 值为 6 【考点】 非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 【分析】 根据非负数的性质列式求出 x、 y 的值，再代入代数式进行计算即可求解 【解答】 解： |x+2|+ =0， x+2=0， x= 2， y 3=0， y=3， 2 3= 6， 故答案为： 6 【点评】 本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 列式是解题的关键 12一个扇形的半径长为 5，且圆心角为 72，则此扇形的弧长为 【考点】 弧长的计算 【分析】 根据弧长的公式 l= 列式计算即可 【解答】 解： 一个扇形的半径长为 5，且圆心角为 72， 此扇形的弧长为 = 故答案为 【点评】 本题考查了弧长公式： l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），熟记公式是解题的关键 13有一张直角三角形纸片，记作 中 B=90按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 ，若 1=165，则 2 的度数为 105 【考点】 三角形内角和定理 【分析】 根据三角形内角和定理结合 B 的度数即可得出 度数，再根据 2 互补、 1 互补，即可求出 1+ 2 的度数，代入 1=165即可得出结论 【解答】 解： B=90， 80 B=90， 又 2=180， 1=180， 1+ 2=360（ =270 1=165， 2=105 故答案为： 105 【点评】 本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出 度数是解题的关键 14 某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如表所示： 组别 平均分 中位数 方差 甲 认为哪一组的成绩更好一些？并说明理由 答： 乙 组（填 “甲 ”或 “乙 ”），理由是 乙组同学平均水平略高于甲组同学；且乙组同学比甲组同学成绩整齐、相对稳定 【考点】 方差；中位数 【分析】 根据平均数、方差、中位数的意义进行比较分析即可 【解答】 解：乙组的成绩更好一些理由如下： 平均数： 明乙组同学平均水平略高于甲组同学； 方差 明乙组同学比甲组同学成绩整齐、相对稳定； 所以乙组的成绩更好一些 故答案为乙；乙组同学平均水平略高于甲组同学；且乙组同学比甲组同学成绩整齐、相对稳定 【点评】 本题考查的是方差、平均数以及中位数的意义，解答时，注意概念的意义要准确把握 15有一列有序数对：（ 1， 2），（ 4， 5），（ 9， 10），（ 16， 17）， ，按此规律，第 5对有序数对为 （ 25， 26） ；若在平面直角坐标系 ，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 y=x+1 【考点】 待定系数法求一次 函数解析式 【分析】 根据题意找出各点横纵坐标之间的关系，利用待定系数法求出直线的解析式即可 【解答】 解： 第 1 对是（ 1， 2）， 1=12， 2=12+1； 第 2 对是（ 4， 5）， 4=22， 5=22+1； 第 3 对是（ 9， 10）， 9=32， 10=32+1； 第 4 对是（ 16， 17）， 16=42， 17=42+1， 第 5 对有序数对为（ 25， 26） 设这条直线的解析式为 y=kx+b（ k 0）， 直线过点（ 1， 2），（ 4， 5）， ，解得 ， 这条直线的表达式为： y=x+1 故答案为：（ 25， 26）， y=x+1 【点评】 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出各序对之间横纵坐标之间的规律是解答此题的关键 16在平面直角坐标系 ，点 A 的坐标为（ 1， 0）， P 是第一象限内任意一点，连接 m， n，则我们把（ m， n）叫做点 P 的 “双角坐标 ”例如，点（ 1， 1）的 “双角坐标 ”为（ 45， 90） （ 1）点（ ， ）的 “双角坐标 ”为 （ 60， 60） ； （ 2）若点 P 到 x 轴的距离为 ，则 m+n 的最小值为 90 【考点】 坐标与图形性质 【分析】 （ 1）分别求出 可得 度数，从而得出答案； （ 2）根据三角形内角和定理知若要使 m+n 取得最小值，即 得最小值，则 取得最大值， 点为圆心， 为半径画圆，与直线 y= 相切于点 P，由 1 知此时 大， 0，即可得出答案 【解答】 解：（ 1） P（ ， ）， ， = ， = ， 0， 0， 即点 P 的 “双角坐标 ”为（ 60， 60）， 故答案为：（ 60， 60）； （ 2）根据三角形内角和定理知若要使 m+n 取得最小值，即 得最小值， 则 取得最大值， 如图， 点 P 到 x 轴的距离为 ， ， 点为圆心， 为半径画圆，与直线 y= 相切于点 P， 在直线 y= 上任取一点 P，连接 PO、 PA， PO 交圆于点 Q， 1 ， 此时 大， 0， m+n 的最小值为 90， 故答案为： 90 【点评】 本题主要考查坐标与图形的性质、锐角的三角函数、三角形的内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出 m+n 取得最小 值即为 得最大值，且找到满足条件的点 P 位置是关键 三、解答题（本题共 72 分，第 17，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29题 8 分） 17计算：（ 9） +（ 2） 3+|2 |+2 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】 直接利用有理数的乘方运算法则以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简求出答案 【解答】 解：（ 9） +（ 2） 3+|2 |+2=9 8+ 2+1 = 【点评】 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18如图，在 ， D 是 上一点，且 B点 E 在 延长线上，且 证： B 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 欲证明 B，只要证明 可 【解答】 证明： B， 在 ， ， B 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型 19先化简，再求值： （ ），其中 x= 1 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先算括号里面的，再算除法，最后把 x 的值代入进行计算即可 【解答】 解：原式 = = = = ， 当 x= 1 时，原式 = = 【点评】 本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想 ，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助 20如图，在 ，对角线 交于点 O， ， ， （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）过点 A 作 点 H，求 长 【考点】 菱形的判定；平行四边形的性质 【分析】 （ 1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出 直角三角形，进而得出四边形 菱形； （ 2）利用菱形的面积求法得出 长 【解答】 （ 1）证明： 在 ，对角线 交于点 O， ， ， ， ， ， ，且 32+42=52， 直角三角形，且 0， 四边形 菱形； （ 2）解：如图所示： 四边形 菱形， B=5， S O= H， 6 4= 5 解得： 【点评】 此题主要考查了菱形的判定与性质，正确掌握菱形的判定方法是解题关键 21已知关于 x 的方程 49=0 （ 1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （ 2）设此方程的两个根分别为 中 2x1=，求 m 的值 【考点】 根与系数的关系；根的判别式 【分析】 （ 1）首先得到 =（ 4m） 2 4（ 49） =36 0 证得方程有两个不相等的实数根； （ 2）根据已知条件得到得出关于 m 的方程求得答案即可 【解答】 解：（ 1） =（ 4m） 2 4（ 49） =36 0， 此方程有两个不相等的实数根； （ 2） x= =2m 3， m 3， m+3， 2x1=， 2（ 2m 3） =2m+3+1， m=5 【点评】 本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（ 2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点 22列方程或方程组解应用题： 为祝贺北京成功获得 2022 年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”生产一枚 “纪念章 ”需要用甲种原料 4 盒，乙种原料 3 盒；生产一枚 “冬奥印 ”需要用甲种原料 5 盒，乙种原料 10 盒该厂购进甲、乙两种原料分别为 20000 盒和30000 盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”各多少枚？ 【考点】 二元一次方程组的应用 【分析】 通过理解题意可知本题存在两个等量关系，生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”需甲原料 20 000盒 ”和 “生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”需乙原料 30 000 盒 ”即根据这两个等量关系可列出方程组 【解答】 解：设生产 “纪念章 ”x 套，生产 “冬奥印 ”y 套 根据题意得： ， 2 得： 5x=10 000 x=2000 把 x=2000 代入 得： 5y=12 000 y=2400 答：该厂能生产 “纪念章 ”2000 套，生产 “冬奥印 ”2400 套 【点评】 此题考查方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系：生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”需甲原料 20 000 盒 ”和 “生产 “纪念章 ”和 “冬奥印 ”需乙原料 30 000 盒 ” “列出方程组 23在平面直角坐标系 ，反比例函数 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点A（ 1， 3）和 B（ 3， m） （ 1）求反比例函数 和一次函数 y2=ax+b 的表达式； （ 2）点 C 是坐标平面内一点， x 轴， 直线 点 D，连接 D，求点 C 的坐标 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）由点 A 在反比例函数图象上，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，由点 B 在反比例函数图象上，可求出点 B 的坐标，由点 A、 B 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （ 2）由 x 轴结合 点 B 的坐标可得出点 C 的纵坐标，再由点 A 的坐标结合 点 D，即可得出点 D 的坐标，即得出线段 长，在 ，由勾股定理以及线段的关系可求出线段 长，再结合点 D 的坐标即可求出点 C 的坐标 【解答】 解：（ 1） 反比例函数 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A（ 1， 3）和 B（ 3， m）， 点 A（ 1， 3）在反比例函数 的图象上， k=1 3=3， 反比 例函数的表达式为 点 B（ 3， m）在反比例函数 的图象上， m= = 1 点 A（ 1， 3）和点 B（ 3， 1）在一次函数 y2=ax+b 的图象上， ，解得： 一次函数的表达式为 y2=x+2 （ 2）依照题意画出图 形，如图所示 x 轴， 点 C 的纵坐标为 1， 点 D， 0 点 A 的坐标为（ 1， 3）， 点 D 的坐标为（ 1， 1）， ， 在 ， ，解得： 点 坐标为（ 3， 1），点 坐标为（ 1， 1） 故点 C 的坐标为（ 1， 1）或（ 3， 1） 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（ 1）根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（ 2）通过解直角三角形求出线段 长本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键 24如图，四边形 接于 O，点 E 在 延长线上，连接 5 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 D， ， ，求 长 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 圆周角定理得出 0，由等腰直角三角形的性质得出 5，求出 0，即可得出结论； （ 2）作 F，证出 ，由圆周角定理得出 5，由三角函数求出 F=AC， ，即可得出 长 【解答】 （ 1）证明：连接 图 1 所示： 5， 0， B， 5， 5， 0， O 的切线； （ 2）解：作 F，如图 2 所示： D， ， 5， 0， ， 在 ， F=AC =2， 在 ， =3， ， F+ = 【点评】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定，由三角函数求出 解决问题（ 2）的关键 25阅读下列材料： 根据联合国人口老龄化及其社会经济后果中提到的标准，当一个国家或地区 65 岁及以上老年人口数量占总人口比例超过 7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化从 经济角度，一般可用 “老年人口抚养比 ”来反映人口老龄化社会的后果所谓 “老年人口抚养比 ”是指某范围人口中，老年人口数（ 65 岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（ 15 64 岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每 100 名劳动年龄人口要负担多少名老年人 以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表 2011 2014 年全国人口年龄分布图 2011 2014 年全国人口年龄分布表 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 0 14 岁人口占总人口的百分比 15 64 岁人口占总人口的百分比 65 岁及以上人口占总人口的百分比 m 根据以上材料解答下列问题： （ 1） 2011 年末，我国总人口约为 ，全国人口年龄分布表中 m 的值为 ； （ 2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到 2027 年末我国约有 人假设 0 14岁人口占总人口的百分 比一直稳定在 15 64 岁人口一直稳定在 10 亿，那么 2027 年末我国 0 14 岁人口约为 ， “老年人口抚养比 ”约为 15% ；（精确到 1%） （ 3） 2016 年 1 月 1 日起我国开始实施 “全面二胎 ”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来 10 年内，假设出生率显著提高，这 会 （填 “会 ”或 “不会 ”）对我国的 “老年人口抚养比 ”产生影响 【考点】 条形统计图；近似数和有效数字；统计表 【分析】 （ 1）根据人口年龄分布图可以求得 2011 年末我国的人口数和 m 的值； （ 2）由题目中的数据可以解答本 题； （ 3）有题意可知，人口的出生率增加了，所以老年人的比重相对减少了，从而可以解答本题 【解答】 解：（ 1）由题意可得， 2011 年末，我国总人口约为： ）， m=1 故答案为： （ 2）由题意可得， 2027 年末我国 0 14 岁人口约为： ）， “老年人口抚养比 ”约为： 15%， 故答案为： 15%； （ 3） 2016 年 1 月 1 日起我国开始实施 “全面二胎 ”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来 10 年内， 假设出生率显著提高，这会对我国的 “老年人口抚养比 ”产生影响， 故答案为：会 【点评】 本题考查条形统计图、近似数与有效数字、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 26【探究函数 y=x+ 的图象与性质】 （ 1）函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围是 x 0 ； （ 2）下列四个函数 图象中，函数 y=x+ 的图象大致是 C ； （ 3）对于函数 y=x+ ，求当 x 0 时， y 的取值范围 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解： x 0 y=x+ =（ ） 2+（ ） 2 =（ ） 2+ 6 （ ） 2 0， y 6 【拓展运用】 （ 4）若函数 y= ，则 y 的取值范围是 y 11 或 y 1 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 （ 1）由 中 x 0，即可得出函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围； （ 2