北京四中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析

2015年北京四中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3分） 1下列图形中，不是轴对称 图形的是 ( ) A B C D 2把 4a 多项式分解因式，结果正确的是 ( ) A a（ a 4） B（ a+2）（ a 2） C a（ a+2）（ a 2） D（ a 2） 2 4 3使分式 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A x1 B x=1 C x1 D x1 4点 A（ 2， 3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是 ( ) A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 5在 ABC中，已知 A= A， B，添加下列条件中的一个，不能使 ABC一定成立的是 ( ) A C B C C B= B D C= C 6下列各式中，正确的是 ( ) A B C = D 7等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 8如图， ， C， A=36， 上的高，则 度数是 ( ) A 18 B 24 C 30 D 36 9如图， 3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1 的度数为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 10如图， 30，若 别垂直平分 于 ( ) A 50 B 75 C 80 D 105 二、填空题（本题共 20 分，每小题 2分） 11 已知某种植物花粉的直径为 35000 纳米，即 ，把 科学记数法表示为 _ 12因式分解： 36x+3=_ 13计算 的结果是 _ 14如图，在 ， C=90， B=30， 分 D， E若 _ 15如图，已知 等边三角形，点 B、 C、 D、 E 在同一直线上，且 D， E，则 E=_度 16如图， ， 别平分 0 周长 =_ 17已知 ，则代数式 的值为 _ 18如图 ， 分 ， ，且 面积为 3，则 面积为 _ 19如图， 正方形 一条对称轴，点 P 是直线 的一个动点，当 _ 20如图所示，矩形 ， ， ，点 E 是折线段 A D C 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合），点 P 是点 A 关于 B E 的对称点，在点 E 运动的过程中，使 的位置共有 _个 三、解答题 21分解因式 （ 1） m 2） +92 m） （ 2）（ ） 2 4 22计算： （ 1） （ 2） 23先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a= 1 24解方程： 25已知：如图， E， C， 证： E 26甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个字问：甲、乙两人每分钟各打多少字？ 27小明在做课本 “目标与评定 ”中的一道题：如图 1，直线 a， b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图 2，画 a，量出直线 b 与 夹角度数，即直线 a， b 所成角的度数 （ 1）请写出这种做法的理由； （ 2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图 3）： 以 P 为圆心，任意长为半径画圆弧 ，分别交直线 b， 点 A， D； 连结 延长交直线 a 于点 B，请写出图 3中所有与 等的角，并说明理由； （ 3）请在图 3 画板内作出 “直线 a， b 所成的跑到画板外面去的角 ”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹 28（ 1）如图（ 1），已知：在 ， 0， C，直线 l 经过点 A， 直线 l， 直线 l，垂足分别为点 D、 E证明： D+ （ 2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 ， C， D、 A、 E 三点都在直线 ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 D+否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由 （ 3）拓展与应用：如图（ 3）， D、 E 是直线 l 上的两动点（ D、 A、 E 三点互不重合），点 分线上的一点，且 为等边三角形，连接 证： F 附加题（满分 20分，计入总分） 29已知： a b=2， 2a2+a 4=0，则 =_ _ 30已知： ，则（ b c） x+（ c a） y+（ a b） z 的值为 _ 31等腰 ， 0，点 A、点 B 分别是 x 轴、 y 轴两个动点，直角边 x 轴于点 D，斜边 y 轴于点 E； （ 1）如图（ 1），若 A（ 0， 1）， B（ 2， 0），求 C 点的坐标； （ 2）如图（ 2），当等腰 恰为 接 证： 3）如图（ 3），在等腰 断运动的过程中，若满足 终是 平分线，试探究：线段 者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由 2015年北京四中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3分） 1下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A B C D 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 故选 A 【点评】 本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2把 4a 多项式分解因式，结果正确的是 ( ) A a（ a 4） B（ a+2）（ a 2） C a（ a+2）（ a 2） D（ a 2） 2 4 【考点】 因式分解 【分析】 直接提取公因式 a 即可 【解答】 解： 4a=a（ a 4）， 故选： A 【点评】 此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的 3使分式 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A x1 B x=1 C x1 D x1 【考点】 分式有意义的条件 【分析】 根据分式有意义的条件：分母不等于 0，即可求解 【解答】 解：根据题意得： x 10， 解得： x1 故选： A 【点评】 本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键 4点 A（ 2， 3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是 ( ) A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 【考点】 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标 【分析】 根据关于 y 轴对称 的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可求出 【解答】 解：点 A（ 2， 3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（ 2， 3） 故选： B 【点评】 本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系，根据关于 y 轴对称的两点的性质得出是解题关键 5在 ABC中，已知 A= A， B，添加下列条件中的一个，不能使 ABC一定成立的是 ( ) A C B C C B= B D C= C 【考点】 全等三角形的判定 【专题】 证明题 【分析】 全 等三角形的判定定理有 据图形和已知看看是否符合即可 【解答】 解： A、 A= A， BC，根据 推出 ABC，故 A 选项错误； B、具备 A= A， B， C，不能判断 ABC，故 B 选项正确； C、根据 推出 ABC，故 C 选项错误； D、根据 推出 ABC，故 D 选项错误 故选： B 【点评】 本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等 的方法有 不能判断两三角形全等 6下列各式中，正确的是 ( ) A B C = D 【考点】 分式的基本性质 【专题】 计算题 【分析】 利用分式的基本性质对各式进行化简即可 【解答】 解： A、 已经是最简分式，故本选项错误； B、 ，故本选项错误； C、 = ，故本选项错误； D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以 x+y 即可得到，故本选项正确； 故选 D 【点评】 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时 要同时乘除 7等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 【考点】 等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】 因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 【解答】 解： 当 3 为底时，其它两边都为 6， 3、 6、 6 可以构成三角形， 周长为 15； 当 3 为腰时， 其它两边为 3 和 6， 3+3=6=6， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有 15 故选 B 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形 的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 8如图， ， C， A=36， 上的高，则 度数是 ( ) A 18 B 24 C 30 D 36 【考点】 等腰三角形的性质 【分析】 根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得 度数 【解答】 解： C， A=36， 2 上的高， 0 72=18 故选 A 【点评】 本题 主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般 9如图， 3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1 的度数为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 【考点】 生活中的轴对称现象；平行线的性质 【专题】 压轴题 【分析】 要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则 2=60，根据 1、 2 对称，则能求出 1 的度数 【解答】 解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， 2+ 3=90， 3=30， 2=60， 1=60 故选： C 【点评】 本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想 10如图， 30，若 别垂直平分 于 ( ) A 50 B 75 C 80 D 105 【考点】 线段垂直平分线的性质 【分析】 根据线段垂直平分线性质得出 P， Q，推出 B= C= 出 B+ C， 即可求出 可求出答案 【解答】 解： 别垂直平分 P， Q， B= C= 30， B+ C=180 0， 0， =130 50=80， 故选： C 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角 二、填空题（本题共 20 分 ，每小题 2分） 11已知某种植物花粉的直径为 35000 纳米，即 ，把 科学记数法表示为 0 5 米 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】 解： =0 5 米 故答案为： 0 5 米 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a| 10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12因式分解： 36x+3=3（ x 1） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】 解： 36x+3， =3（ 2x+1）， =3（ x 1） 2 【点评】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 13计算 的结果是 4 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【专题】 计算题 【分析】 分别计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，然后合并即可得出答案 【解答】 解：原式 =2 1+3=4 【点评】 此题考查了零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则 14如图，在 ， C=90， B=30， 分 D， E若 【考点】 含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质 【专题】 计算题 【分析】 根据角平分线 性质求出 长和 度数，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 入 D+出即可 【解答】 解： 分 C=90， E=1， B=30， 2， +2=3， 故答案为： 3 【点评】 本题考查了对含 30 度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出 长是解此题的关键 15如图，已知 等边三角形，点 B、 C、 D、 E 在同一直线上，且 D， E，则 E=15 度 【考点】 等边三角形的性 质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质 【专题】 几何图形问题 【分析】 根据等边三角形三个角相等，可知 0，根据等腰三角形底角相等即可得出 E 的度数 【解答】 解： 等边三角形， 0， 20， D， 0， 50， E， E=15 故答案为： 15 【点评】 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三角形的性质，难度适中 16如图， ， 别平分 0 周长 =10 【考点】 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 【分析】 由 平分线，得到一对角相等，再由 行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到 由等角对等边得到M，同理 N，然后利用三边之和表示出三角形 周长，等量代换得到其周长等于 长，由 长即可求出三角形 周长 【解答】 解： 分 又 M， 同理 M， 0 则 周长 c=N+M+C=0 故答案为 10 【点评】 此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键 17已知 ，则代数式 的值为 4 【考点】 分式的加减法 【专题】 计算题 【分析】 已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值 【解答】 解：解法一 ： = =3，即 x y= 3 则原式 = = =4 解法二：将原式的分子和分母同时除以 = = =4 故答案为： 4 【点评】 此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母 18如图 ， 分 ， ，且 面积为 3，则 面积为 【考点】 角平分线的性质 【专题】 探究型 【分析】 过点 D 作 角平分线的性质可得出 F，再由 ， 求出 长，由 即可得出 面积 【解答】 解：过点 D 作 分 F， ， 面积为 3， S E= 4，解得 ； ， ， S F= 2 = 故答案为： 【点评】 本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键 19如图， 正方形 一条对称轴，点 P 是直线 的一个动点，当 5 【考点】 轴对称 【分析】 根据当 D 最小时，作出 D 点关于 对称点，正好是 A 点，连接 可得出 度数 【解答】 解： 当 D 最小时，作出 D 点关于 对称点，正好是 A 点， 连接 正方形对角线，根据正方形的性质得出 5， 5 故答案为： 45 【点评】 此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出 D 点关于 对称点，正好是 A 点是解题关键 20如图所示，矩 形 ， ， ，点 E 是折线段 A D C 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合），点 P 是点 A 关于 对称点，在点 E 运动的过程中，使 的位置共有 4 个 【考点】 矩形的性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质 【专题】 压轴题 【分析】 分为三种情况： 以 底时，有两个，是 垂直平分线与以 B 为圆心 以 底， C 为顶点时，有两个，是以 B 为圆心 半径的圆与以 C 为圆心 半径的圆的交点； 以 底， B 为顶点时，没有， 是以 B 为圆心半径的圆与以 B 为圆心 半径的圆没有交点 【解答】 解：分为 三种情况： 以 底时，有两个，是 垂直平分线与以 B 为圆心 半径的圆的交点； 以 底， C 为顶点时，有两个，是以 B 为圆心 半径的圆与以 C 为圆心 半径的圆的交点； 以 底， B 为顶点时，没有， 是以 B 为圆心 半径的圆与以 B 为圆心 半径的圆没有交点； 综上满足要求的 P 有 4 个， 故答案为： 4 【点评】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力 三、解答题 21分解因式 （ 1） m 2） +92 m） （ 2） （ ） 2 4 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【专题】 计算题；因式分解 【分析】 （ 1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （ 2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可 【解答】 解：（ 1）原式 =m 2） +9m 2） =（ m 2）（ 9=（ m 2）（ x 3y）（ x+3y） （ 2）原式 =（ +2x）（ 2x） =（ x 1） 2（ x+1） 2 【点评】 此题考查了提公因式法与 公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 22 计算： （ 1） （ 2） 【考点】 分式的混合运算 【专题】 计算题；分式 【分析】 （ 1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果； （ 2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 = = ； （ 2）原式 = = = 【点评】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 23先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a= 1 【考点】 分式的化简求值 【专题】 探究型 【分析】 先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值 代入进行计算即可 【解答】 解：原式 = = =a+1 当 a= 1 时，原式 = 1+1= 【点评】 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 24解方程： 【考点】 解分式方程 【专题】 计算题 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得：（ x+3）（ x+1） 8=1， 去括号得： x+3 8=1， 移项合并得： 4x=4， 解得： x=1， 经检验 x=1 是原方程的 增根，分式方程无解 【点评】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 25已知：如图， E， C， 证： E 【考点】 全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据角与角之间的等量关系求出 据 据全等三角形的性质推出即可 【解答】 证明： 在 ， ， C 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有 等三角形的对应边相等 26甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个字问：甲、乙两人每分钟各打多少字？ 【考点】 分式方程的应用 【专题】 应用题 【分析】 设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打（ x+5）个字，再由甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案 【解答】 解：设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打（ x+5）个字， 由题意得， = ， 解得： x=45， 经检验： x=45 是原方程的解 答：甲每分钟打 50 个字，乙每分钟打 45 个字 【点评】 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验 27小明在做课本 “目标与评定 ”中的一道题：如图 1，直线 a， b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是 ：如图 2，画 a，量出直线 b 与 夹角度数，即直线 a， b 所成角的度数 （ 1）请写出这种做法的理由； （ 2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图 3）： 以 P 为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线 b， 点 A， D； 连结 延长交直线 a 于点 B，请写出图 3中所有与 等的角，并说明理由； （ 3）请在图 3 画板内作出 “直线 a， b 所成的跑到画板外面去的角 ”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹 【考点】 作图 应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质 【分析】 （ 1）根据平行线的性质得出即可； （ 2）根据题意，有 3 个角与 等由等腰三角形的性质，可知 对顶角相等，可知 平行线性质，可知 1因此 1； （ 3）作出线段 垂直平分线 等腰三角形的性质可知， 顶角的平分线，故为所求作的图形 【解答】 解：（ 1） a（两直线平行，同位角相等）； （ 2） 1， 如图， D， ， 顶角 相等）， 又 a， 1， 1； （ 3）如图，作线段 垂直平分线 所求作的图形 【点评】 本题涉及到的几何基本作图包括：（ 1）过直线外一点作直线的平行线，（ 2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（ 1）平行线的性质，（ 2）等腰三角形的性质，（ 3）对顶角的性质，（ 4）垂直平分线的性质等本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答 28（ 1）如图（ 1），已知：在 ， 0， C，直线 l 经过点 A， 直线 l， 直线 l，垂足分别为点 D、 E证明： D+ （ 2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 ， C， D、 A、 E 三点都在直线 ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 D+否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由 （ 3）拓展与应用：如图（ 3）， D、 E 是直线 l 上的两动点（ D、 A、 E 三点互不重合），点 分线上的一点，且 为等边三角形，连 接 证： F 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）由条件可证明 得 E， D，可得 D+ （ 2）由条件可知 80 ，且 80 ，可得 合条件可证明 （ 1）可得出结论 （ 3）由（ 2）知， 到 A， 得到 F， 求出 0，所以 可得到 F 【解答】 解：（ 1） l， l， 0 又 0， 0， 0， ， ， E， E， D+ E+ （ 2）成立 = ， 80 ， 在 ， ， D， E， E=D= （ 3）由（ 2）知， A， 为等边三角形， 0， F 在 ， ， F， 0， 等边三角形 F 【点评】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键 附加题（满分 20分，计入总分） 29已知： a b=2， 2a2+a 4=0，则 = 2 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题；分式 【分析】 由 a b=2 可得 b=a 2，代入 变为只含有 a 的代数式，由