高等数学- 作业册- 第10章(01)

第十章微分方程作业20微分方程基本概念1写出下列条件所确定的微分方程（1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分；,YXMXQMY解法线方程为，法线与轴的交点1YX0,YXX由已知0202XXYX（2）曲线上任意点处的切线与线段垂直；,MOM解切线的斜率为，线段的斜率为YYKX由已知1,XX（3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的,YX三角形的面积为常数2A解切线方程为，点与原点的连线为YYXXMYYXX切线与轴即直线的交点，X00,YX由已知222221,2YYAXAYY2求曲线簇所满足的微分方程12EXXC,21为任意常数C解由已知，两边对自变量求导12EXXY两边再对自变量求导X12XY3潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为，M且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件解由已知，,0DVMGKVT作业21可分离变量的微分方程1解微分方程2YAYX解微分方程即DX分离变量2DYXA两边积分1YDAYXA从而LNLLN1CYCAXY2求解初值问题1ETA10,XX解微分方程即NDY分离变量SINCO1EXYD两边积分1S1EEXXXDY从而LNCOL1LNCOSXEY由，0XY01S2,2XCE3当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量XY，且，求21XY0Y1Y解由已知，从而220LIMXDX分离变量21DYX两边积分ARCTN2LNARCTLNXYXYEY由，0XARCT0ARCT,XE4解微分方程YXLN解微分方程即D分离变量LNYX两边积分LLNLNL,LCXDYDXYXCYEY5一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程解由已知3,YYYXX当00,2,2DYXXX分离变量DY两边积分LNLNXCYXYYX由，23X6,C6设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，10AO和OA,PXY曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程P2X解设曲线为YFX由已知201,0,12XYXTDY微分方程即22,XXYX从而2,LNLNDC由，1XY1,12CYX作业22齐次方程1解微分方程XYLN解令则,YUX,U微分方程，即LLLNYUXX，分离变量LN1DUXL1D两边积分NLLUUX1LN1,CXYXCE2求解初值问题2D0,0XY解令则,YUX,UY微分方程，即2D2211YUXUX，分离变量，两边积分21UX21DU2D22LNLN,CYXC由，10Y,YX3作适当的变量代换，求下列方程的通解（1）；2DXY解令222,1,1UDUUXDXUARCTNTANXCYXC（2）；5解令，则,XXAYYB15DYXBAY再令，103,2BA,3XYY再令211,UUYUXX从而2221,DDARCTN21LNARCTNLL,1UUXEX32ARCT223YXEY（3）1解令，则，分离变量，2UXY221UUY2UDX两边积分2ARCTN2DXXCARCTN,2RTYYXY4求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注两曲线正XX交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）解可设在轴上且过原点的任何圆为，22AY则22,0,XYXXYA由已知曲线应满足22YYXAX令则，,YUX23221,1UDUUYXX21,LNLNDXC222,1,1UYCXYCX作业23一阶线性微分方程1解微分方程DSINYX解对照标准的一阶线性微分方程D,YPQXSIN,XDPDPXQEECX111LNLNLNISISIDXDXXXXYEECDCOSSINX2解微分方程2D3YXX解微分方程即2,23221133,CXYXDXXCYX3解微分方程260Y解观察发现，微分方程等价为2D360,2XYYX3,PYDPYDPYQYXEQEC333LN3LN22DYDYYYXEEC333211YYY4求解初值问题，DTANSECX0X解对照标准的一阶线性微分方程D,PYQTANTANTAN,SEC,SECXDXDPXQXYC，由，LNCOSLCOSEOXXYDCX0XYOSX5设曲线积分在右半平面（内与路径无2DDLYFXFXY0X关，其中可导，且，求F1解由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知，0X22,1FXFFFFX111LNL221,DXDXXXPQXYECEDC32CYFXX由，1F121,33FX6解微分方程2DYX解微分方程化为21D1D13,3,3,XXYYY令为一阶线性微分方程DU,XY2233333,XXXDXDPXQEECEDC222223333111XXXXXUEY作业24全微分方程1判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解（1）；2236D4D0XYXY解因为且连续，从而该方程是全微分方程261YX22223223403D64DDDXYXYXY，从而233234XYC（2）；0SINCOSYXYX解方程即IDXYD因为且连续，从而该方程SINCOSSINYXYX是全微分方程，方程右边为某个函数的全微分，,UXY即,SIN,COSXYUYCOCOSGXXYG10,GYC从而微分方程的通解为OSINYXYC（3）ED2D0YX解因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是EYYX全微分方程，方程右边为某个势函数的全微分，可用曲线积分法求一个来。,UXY,020,UED2DE2DEXYYXYYX从而微分方程的通解为2YEC作业25可降阶的高阶微分方程1求下列微分方程的通解（1）；SINYX解211COS,DX23112COSIN6YXXC（2）；E0XY解令,E10XDPPP分离变量，X两边积分，1E1LNELXXDPDC1EXDYP分离变量，两边积分1EXYC11EXXYCD21X（3）；20Y解令2,01DPYDPPPXY分离变量，21Y两边积分，1,LN2LLNDPPYC21DYPX分离变量，两边积分12YCX122DYCX12YCX4YY3解令，分离变量3,DPYDPPPXY，两边积分，21DY1121ARCTN,TANDYCX分离变量，1COTDYX两边积分，211TLNSIXCYC21SINXCYE2求解初值问题3110,XXY解令3,10DPYDPPY分离变量，两边积分，31Y221132,CPYC由，11,0XXY221,DYCPYX分离变量，两边积分，2D21C，由，从而21YXC1,XYC1YX3设第一象限内的曲线对应于一段的长在数值上等于曲边梯形A0，的面积，其中是任意给定的，求0XYA001Y解由已知2220011,1AAYXDYXYY2LN,DYC22LLN,XXCECE,211,XXXYEY考虑到任意常数可得通解为2CE由，得01Y12YC,2XYE作业26线性微分方程解的结构1已知是齐次线性方程1EXY的一个解，求此方程的通解2120Y解方程即212,1XXYPQX由刘维尔公式21212DXPXDXEELN212DXXXXXXYEE1XXXEE由解的结构定理可知，方程的通解12YC2若,，是二阶非齐次线性微分方程（1）的线性无关的解，试用，1Y23,1Y2表达方程（1）的通解3解由解的结构定理可知，均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，213,YY而且现行无关。从而由解的结构定理方程（1）的通解为121231CYCY3已知都是二阶线性非齐次方程22213EXYXY（的解，求此方程的通解（解易知线性无关，从而为二阶线性齐次方程2131EXYXY，的线性无关的特解，由解的结构定理，二阶线性非齐次方程0X（的通解为2YX22EXYXC1作业27二阶常系数齐次线性微分方程1求下列微分方程的通解（1）；4290YY解特征方程为221,214932RR从而通解为312XYCE（2）；2D0ST解特征方程为2120,RRR从而通解为12XYCE（3）；63解特征方程为221,2641302,3,2RRI从而通解为31COSINXYXE（4）520解特征方程为2531,3,4500RRRIIR从而通解为1234COSSNYXCXC2求方程满足所给初始条件，的特解4002XY0X解特征方程为221,RRR从而通解为，由得121XYCE0XY0212CEC由，得0X1221XC2121,CC因此12XYE3设可微函数满足方程，求0EDXUX解由已知，0EX，0D,XU,0XX特征方程为21,2RI从而通解为，由得COSN,XX0E121CCE由，得012ICOS2,0因此CSXE作业28二阶线性非齐次微分方程1求下列各方程的通解（1）；5432YX解对应齐次方程特征方程为12540,4,RRR非齐次项，与标准式比较得FXXNFXPEN对比特征根，推得，从而0K,KYQABY代入方程得1543254328AXBXB从而通解为1218YCE（2）；X解对应齐次方程特征方程为221,2124130,4RRR非齐次项，与标准式比较得XFEXNFXPE0,1N对比特征根，推得，从而0K,KXXYQAYEA代入方程得21AA从而通解为12XXYCEE（3）；3解对应齐次方程特征方程为21220,RRR非齐次项，与标准式比较得XFEXNFXPEN对比特征根，推得，从而1K2,KXYQAB22,4XXYAXBEXE代入方程得2433ABABX,20,3,2AB2213XYXCE（4）；COSYX解对应齐次方程特征方程为21,240RI非齐次项，与标准式CS,FXCOSSINXMLFEPXX比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为MA1NLI0K12COSSNCSSI,KXYXQXEABXDXICO,2O2SINBDYCAX代入方程得13,30,0,39AXCXC1212COSINSIN9YX（5）X解对应齐次方程特征方程为21,20R非齐次项利用解的结构定理知特解形式可设为1COS,FXXCS2INYABIOS,4COS2INXYBX代入方程得115CI,02ABC121S20XXYCEX2求方程满足初始条件，的特解4EY0Y1解对应齐次方程特征方程为2224,RRR非齐次项，与标准式比较得2XFEXNFXPE0,N对比特征根，推得，从而K222,284KXXXXNYQAYAYAXE代入方程得1844,从而通解为，21XYCE100YC，要的特解为22XYCXE201,YC21XYXE3已知二阶线性非齐次微分方程的三个特解为，PQXF1Y，试求方程满足初始条件，的特解2EXY23X01Y3解由这个三个解的线性无关性，以及解的结构理论，得通解为，由得21XXCC12C及得2EE1Y03Y213,C所要特解为22EXX4设，其中连续，求DTFF0SINFFX解00I0XXFXFTTFF，0COSCOS1XFFTDFSINFXFX对应齐次方程特征方程为21,20RI非齐次项，与标准式SIN,FXCOSSINXMLFEPXX比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为MALI1K12COSSNCSI,KXNYXQXEABXI,2O2SINABAYBX代入方程得12CSS0,XX，由1INOC2FX2FC，由21CSISINOSXX1F因此CFX第十章微分方程测试题1填空题（1）函数是常系数线性微分方程的解的充分必要条件是ERXY0QYP；20RPQ（2）曲线簇（为任意常数）满足的一阶微分方程是COSYXC；21（3）已知二阶线性齐次方程的两个解，则该方程为1EXY2X；20Y（4）方程的通解为；XYTANSINCX（5）设，都是方程13Y2223E6YYXY的解，则方程的通解为21ECX2求下列各方程的通解（1）；EDD0XXYY解令，则UY,XUY原方程化为，分离变量，1EED0UU1ED0UY两边积分得LNLNUUYYC从而E,EXUYYCC（2）；3DX解原方程化为，2DXY从而1132LN2DYDYYYXECEDC（3）；20X解令，则原方程化为，YP210XP分离变量，2D01X两边积分得22LN1LNPPXCX从而12,ARCT1DYCX（4）；EX解令，则原方程化为，YPEXP从而11LN112DXDXXXDYEECEDCC211XXYC（5）；9SIN3Y解对应齐次方程特征方程为21,2903RI非齐次项，与标准式SI,FXCOSSINXMLFEPXX比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为MA13NLI1K2212COSSNCS3SI3,KXYXQXEABXDX233INDBCD2269SI6219COSYCAXXCXAX代入方程得21N3OSI3A11261,6210,0,236CBAXDACXACBDOS3INOS3SIN6YCX（6）；2XY解方程可化为，从而21YX211,YXCYXC因此3112YCDCX（7）；24EXY解对应齐次方程特征方程为21240,RRR非齐次项，与标准式比较得23XFEXNFXPE,N对比特征根，推得，从而K222,284KXXXXNYQAYAYAXE代入方程得3844,从而通解为213XYCE825D6D0XY解令，则,XAYYB25346YXAB再令，3041,B1,XYY再令225257,44UUUYUX从而243,11DXDLNLLNL3UUXC23243,14XUXC即2XYC2YXY3设具有二阶连续导数，且，并且XF0,FF2DD0XYFXYFXY为一全微分方程，求F解由已知222,XYXFXYFFX对应齐次方程特征方程为21,0RI非齐次项，与标准式FXXNFXPE比较得,对比