二次函数的一些应用(初中中考数学题及详细解题过程)

解答题1、（2008莆田）如图，抛物线C1YX22X3与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与Y轴交于点C点P为线段BC上一点，过点P作直线LX轴于点F，交抛物线C1点E（1）求A、B、C三点的坐标；（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；（3）当PE为最大值时，把抛物线C1向右平移得到抛物线C2，抛物线C2与线段BE交于点M，若直线CM把BCE的面积分为12两部分，则抛物线C1应向右平移几个单位长度可得到抛物线C22、（2008宁德）如图1，在RTABC中，C90，BC8厘米，点D在AC上，CD3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒K厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为X秒（0X8），DCQ的面积为Y1平方厘米，PCQ的面积为Y2平方厘米（1）求Y1与X的函数关系，并在图2中画出Y1的图象；（2）如图2，Y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是X轴正半轴上一点0OG6，过G作EF垂直于X轴，分别交Y1、Y2的图象于点E、F说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；当0X6时，求线段EF长的最大值3、（2008宁波）如图，平行四边形ABCD中，AB4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线YAX2BXC经过X轴上的点A，B（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式4、（2008南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B坐标为（M，）（其中M0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA90度（1）求M的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）5、（2008南充）如图，已知平面直角坐标系XOY中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，ABX轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，OAD30度折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上（1）求折痕AD所在直线的解析式；（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；（3）若P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值6、（2008南昌）如图，抛物线Y1AX2AX1经过点P（，），且与抛物线Y2AX2AX1相交于A，B两点（1）求A值；（2）设Y1AX2AX1与X轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），Y2AX2AX1与X轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A，B两点的横坐标分别记为XA，XB，若在X轴上有一动点Q（X，0），且XAXXB，过Q作一条垂直于X轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当X为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少7、（2008梅州）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EFDE交BC于点F（1）求证ADEBEF；（2）设正方形的边长为4，AEX，BFY当X取什么值时，Y有最大值并求出这个最大值8、（2008梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD，ADDB，ADDCCB，AB4以AB所在直线为X轴，过D且垂直于AB的直线为Y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个（不必求点P的坐标，只需说明理由）9、（2008眉山）如图，在平面直角坐标系内，以Y轴为对称轴的抛物线经过直YX2与Y轴的交点A和点M（，0）（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿X轴向右平移在题目所给的图中画出沿X轴平移后经过原点的抛物线大致图象；设沿X轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；（3）P点是沿X轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O，A，C，P四点为顶点的四边形是平行四边形10、（2008茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线YX2BXC经过A（0，4）、B（X1，0）、C（X2，0）三点，且X2X15（1）求B、C的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由11、（2008旅顺口区）如图1，P1、P2、P3、PN分别是抛物线YX2与直线YX、Y2X、Y3X、YKX的交点，连接P1P2、P2P3，PK1PK（1）求OP1P2的面积，并直接写出OP2P3的面积；（2）如图2，猜想OPK1PK的面积，并说明理由；（3）若将抛物线YX2改为抛物线YAX2，其它条件不变，猜想OPK1PK的面积（直接写出答案）12、（2008旅顺口区）已知抛物线MYX22MXN（M，N为常数，且M0，N0）的顶点为A，与Y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于Y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形如果存在，请求出M的值；如果不存在，请说明理由说明（1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；（2）在你完成（1）之后，可以从、中选取一个条件，完成解答（选取得7分；选取得10分）N1；N213、（2008泸州）如图，已知二次函数YAX2BXC的图象经过三点A（1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数YKX的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量X的取值范围；（3）0K2时，求四边形PCMB的面积S的最小值【参考公式已知两点D（X1，Y1），E（X2，Y2），则线段DE的中点坐标为】14、（2008庐阳区）在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示已知AOB90，AOBO，点A的坐标为（3，1）（1）求点B的坐标（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为BL，连接AB1，求TANAB1B的值15、（2008娄底）如图，已知直线YX8交X轴于A点，交Y轴于B点，过A、0两点的抛物线YAX2BX（AO）的顶点C在直线AB上，以C为圆心，CA的长为半径作C（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式；（2）将C沿X轴翻折后，得到C，求证直线AC是C的切线；（3）若M点是C的优弧（不与0、A重合）上的一个动点，P是抛物线上的点，且POAAM0，求满足条件的P点的坐标16、（2008龙岩）如图，等腰梯形ABCD中，AB4，CD9，C60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CPX，问当X为何值时PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由17、（2008临沂）如图，已知抛物线与X轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与Y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标18、（2008辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线YX与X轴交于点A，与Y轴交于点C，抛物线YAX2XC（A0）经过A，B，C三点（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由19、（2008连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1和2将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB，COD处，直角边OB，OD在X轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与X轴分别交于点G，H（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究点M到X轴的距离H与线段BH的长是否总相等请说明理由；两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由20、（2008兰州）如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在X轴的正半轴上，点C在Y轴的正半轴上，OA5，OC4（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为T秒（0T5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N求四边形PMNE的面积S与时间T之间的函数关系式；当T取何值时，S有最大值，最大值是多少（3）在（2）的条件下，当T为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标21、（2008来宾）直线YX6分别与X轴、Y轴交于点A、B，经过A、B两点的抛物线与X轴的另一交点为C，且其对称轴为X3（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）设D（X，Y）是抛物线在第一象限内的一个点，点D到直线AB的距离为D、试写出D关于X的函数关系式，这个函数是否有最大值或最小值如果有，并求这个值和此时点D的坐标；如果没有，说明理由22、（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交X轴的正半轴于点A，交X轴的负半轴交于点B，交Y轴的正半轴于点C，过点C的直线交X轴的负半轴于点D（9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证直线CD是M的切线；（3）若抛物线YX2BXC经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAMSCEF3，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意本题中的结果均保留根号）23、（2008荆州）已知如图，RTAOB的两直角边OA、OB分别在X轴的正半轴和Y轴的负半轴上，C为OA上一点且OCOB，抛物线Y（X2）（XM）（P2）（PM）（M、P为常数且M22P0）经过A、C两点（1）用M、P分别表示OA、OC的长；（2）当M、P满足什么关系时，AOB的面积最大24、（2008荆州）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，ACBC4，ACB90，直角边AC在X轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交Y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在X轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止设平移时间为T（S），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF重叠的面积为S（1）求折痕EF的长；（2）是否存在某一时刻T使平移中直角顶点C经过抛物线YX24X3的顶点若存在，求出T值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出S与T的函数关系式及自变量T的取值范围25、（2008荆门）已知抛物线YAX2BXC的顶点A在X轴上，与Y轴的交点为B（0，1），且B4AC（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系26、（2008济宁）ABC中，C90，A60，AC2CM长为1CM的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1CM/S的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为TS（1）若AMP的面积为Y，写出Y与T的函数关系式（写出自变量T的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗若有可能，求出此时T的值；若不可能，说明理由；（3）T为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似27、（2008济南）已知抛物线YAX2BXC（A0），顶点C（1，3），与X轴交于A，B两点，A（1，0）（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由28、（2008吉林）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（1，0），将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90度，得矩形OABC矩形设直线BB与X轴交于点M，与Y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N点解答下列问题（1）设直线BB表示的函数解析式为YMXN，求M，N；（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；（3）在抛物线上求出使SPBCS矩形OABC的所有点P的坐标29、（2008黄石）如图，已知抛物线与X轴交于点A（2，0），B（4，0），与Y轴交于点C（0，8）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交X轴于点E在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作X轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究抛物线向上最多可平移多少个单位长度向下最多可平移多少个单位长度30、（2008淮安）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数YA（X2）21图象的顶点为P，与X轴交点为A、B，与Y轴交点为C，连接BP并延长交Y轴于点D（1）写出点P的坐标；（2）连接AP，如果APB为等腰直角三角形，求A的值及点C、D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，B）在线段CD（端点C、D除外）上，将BCD绕点E逆时针方向旋转90，得到一个新三角形设该三角形与ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含B的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当B为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值答案与评分标准解答题1、（2008莆田）如图，抛物线C1YX22X3与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与Y轴交于点C点P为线段BC上一点，过点P作直线LX轴于点F，交抛物线C1点E（1）求A、B、C三点的坐标；（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；（3）当PE为最大值时，把抛物线C1向右平移得到抛物线C2，抛物线C2与线段BE交于点M，若直线CM把BCE的面积分为12两部分，则抛物线C1应向右平移几个单位长度可得到抛物线C2考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标（2）由于直线L与Y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值（3）先用平移的单位设出C2的解析式由于直线CM把BCE的面积分为12两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出BEME21或MEBE21因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作X轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标由于抛物线C2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位解答解（1）已知抛物线过A、B、C三点，令Y0，则有X22X30，解得X1，X3；因此A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0）；令X0，Y3，因此C点的坐标为（0，3）（2）设直线BC的解析式为YKX3则有3K30，K1，因此直线BC的解析式为YX3设F点的坐标为（A，0）PEEFPF|A22A3|A3|A23A（A）2（0A3）因此PE长的最大值为（3）由（2）可知F点的坐标为（，0）因此BFOBOF设直线BE的解析式为YKXB则有，解得，直线BE的解析式为YX设平移后的抛物线C2的解析式为Y（X1K）24（K0）过M作MNX轴于N，MEMB21；MNEFBN，N点的坐标为（，0），又直线BE过M点M点坐标为（，）由于抛物线C2过M点，因此（1K）24，解得K（负值舍去）MBME12；BN1N点的坐标为（2，0），M点的坐标为（2，）由于抛物线C2过M点，则有（21K）24，解得K1（负值舍去）因此抛物线C1应向右平移或1个单位长度后可得到抛物线C2点评本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，考查了学生分类讨论数形结合的数学思想方法2、（2008宁德）如图1，在RTABC中，C90，BC8厘米，点D在AC上，CD3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒K厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为X秒（0X8），DCQ的面积为Y1平方厘米，PCQ的面积为Y2平方厘米（1）求Y1与X的函数关系，并在图2中画出Y1的图象；（2）如图2，Y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是X轴正半轴上一点0OG6，过G作EF垂直于X轴，分别交Y1、Y2的图象于点E、F说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；当0X6时，求线段EF长的最大值考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）已知了CD3，根据Q点的速度可以用时间X表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出Y1，X的函数关系式；（2）可先求出Y2的函数式，然后根据其顶点坐标来确定K的取值已知了P点走完AC用时8S，因此AC8K，而APKX，CQX，那么可根据三角形的面积公式列出关于Y2，X的函数关系式，进而可根据定点坐标求出K的值；（3）EF其实就是Y2Y1，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值解答解（1）SDCQCQCD，CD3，CQX，Y1X图象如图所示；（2）SPCQCQCP，CP8KXK，CQX，Y2（8KKX）XKX24KX抛物线顶点坐标是（4，12），K424K412解得K则点P的速度每秒厘米，AC12厘米；（3）观察图象，知线段的长EFY2Y1，表示PCQ与DCQ的面积差（或PDQ面积）由（2）得Y2X26XEFX26XXX2X，二次项系数小于0，在0X6范围，当X3时，EF最大点评本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题3、（2008宁波）如图，平行四边形ABCD中，AB4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线YAX2BXC经过X轴上的点A，B（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式考点二次函数综合题。专题代数综合题。分析（1）在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CDAB且CDAB4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出；（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴不变根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为Y2（X4）28K，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可解答解（1）在平行四边形ABCD中，CDAB且CDAB4，点C的坐标为（4，8）（1分）设抛物线的对称轴与X轴相交于点H，则AHBH2，（2分）点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0）（4分）（2）由抛物线YAX2BXC的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为YA（X4）28，（5分）把A（2，0）代入上式，解得A2（6分）设平移后抛物线的解析式为Y2（X4）28K，把（0，8）代入上式得K32，（7分）平移后抛物线的解析式为Y2（X4）240，（8分）即Y2X216X8点评考查二次函数顶点，对称轴的性质，以及抛物线上下平移时的特征4、（2008南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B坐标为（M，）（其中M0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA90度（1）求M的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）考点二次函数综合题。专题开放型。分析（1）根据折叠的性质可知ABAGOG，而OABCM，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出M的值（2）由于OGA是个等腰直角三角形，已知了OA的长，因此不难求出G点的坐标，根据O，A，G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）本题要分情况进行讨论当OPPG，那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点因此P与H重合，P点坐标为（1，0）当OPOG，那么OPG为等腰直角三角形因此GHPH1，P点坐标为（1，1）当GPOG时，GP，因此P点的坐标为（1，1），（1，1）（在G点上下各有一点）解答解（1）解法一B（M，），由题意可知AGAB，OGOC，OAM（2分）OGA90，OG2AG2OA222M2又M0，M2解法二B（M，），由题意可知AGAB，OGOC，OAMOGA90，GOAGAO45MOA2（2）解法一过G作直线GHX轴于H，则OH1，HG1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），设过O，G，A三点的抛物线解析式为YAX2BXC抛物线过原点，C0又抛物线过G，A两点，解得，所求抛物线为YX22X，它的对称轴为X1解法二过G作直线GHX轴于H，则OH1，HG1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），点A，O关于直线L对称，点G为抛物线的顶点于是可设过O，G，A三点的抛物线解析式为YA（X1）21，抛物线过点O（0，0），0A（01）21，解得A1，所求抛物线为Y（1）（X1）21X22X它的对称轴为X1（3）答存在满足条件的点P有（1，0），（1，1），（1，1），（1，1）点评本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法5、（2008南充）如图，已知平面直角坐标系XOY中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，ABX轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，OAD30度折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上（1）求折痕AD所在直线的解析式；（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；（3）若P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）根据B点的坐标即可得出A点的坐标，也就知道了OA的长，可在直角三角形OAD中，根据OA的长和OAD的度数求出OD的长，即可得出D点的坐标，进而可用待定系数法求出直线AD的解析式（2）本题的关键是求出C1的横坐标，可过C1作X轴的垂线，由于ADOAOC160，因此可得出C1DC60，因此可在构建的直角三角形中用BC的长和C1DC的度数来求出C1的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）由于圆P与两坐标轴都相切，如果设P点的坐标为（X、Y），则有|X|Y|，进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标也就得出了圆的半径的长解答解（1）由已知得OA，OAD30度ODOATAN301，A（0，），D（1，0）设直线AD的解析式为YKXB把A，D坐标代入上式得，解得，折痕AD所在的直线的解析式是YX（2）过C1作C1FOC于点F，由已知得ADOADO160，C1DC60又DC312，DC1DC2在RTC1DF中，C1FDC1SINC1DF2SIN60则DFDC11，C1（2，），而已知C（3，0）设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是YAX2BXC，（A0）把O，C1，C的坐标代入上式得，解得，YX2X为所求（3）设圆心P（X，Y），则当P与两坐标轴都相切时，有YX由YX，得X2XX，解得X10（舍去），由YX，得X2XX解得X10（舍去），所求P的半径R3或R3点评本题主要考查了二次函数解析式的确定、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质等知识点综合性较强6、（2008南昌）如图，抛物线Y1AX2AX1经过点P（，），且与抛物线Y2AX2AX1相交于A，B两点（1）求A值；（2）设Y1AX2AX1与X轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），Y2AX2AX1与X轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A，B两点的横坐标分别记为XA，XB，若在X轴上有一动点Q（X，0），且XAXXB，过Q作一条垂直于X轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当X为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少考点二次函数综合题。专题代数几何综合题。分析（1）抛物线Y1AX2AX1经过点P（，），则把P点的坐标代入解析式就可以求出A的值（2）求出A的值以后，两个函数的解析式就可以求出，在解析式中，令Y0就可以求出函数与X轴的交点坐标，得出M，N，E，F四点的坐标（3）线段CD的长度可以用X表示出来，即Y2与Y1的差CD的长度就可以表示为X的一个二次函数，求CD的最值，就是求函数的最值问题解答解（1）点在抛物线Y1AX2AX1上，（2分）解得（3分）（2）如图，由（1）知，抛物线，（5分）当时，解得X12，X21点M在点N的左边，XM2，XN1（6分）当时，解得X31，X42点E在点F的左边，XE1，XF2（7分）XMXF0，XNXE0，点M与点F对称，点N与点E对称（8分）（3）抛物线Y1开口向下，抛物线Y2开口向上（9分）根据题意，得CDY1Y2（11分）XAXXB，当X0时，CD有最大值2（12分）点评本题主要考查了函数解析式与图象的关系，在函数图象上的点的坐标一定满足函数的解析式求最值的问题解决的基本思路是转化为函数求最值的问题7、（2008梅州）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EFDE交BC于点F（1）求证ADEBEF；（2）设正方形的边长为4，AEX，BFY当X取什么值时，Y有最大值并求出这个最大值考点二次函数综合题；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。专题综合题；动点型。分析（1）这两个三角形中，已知的条件有AB90，那么只要得出另外两组对应角相等即可得出两三角形相似，因为DEAFEB1809090，而ADEDEA90，因此ADEFEB，同理可得出BFEAED，那么就构成了两三角形相似的条件；（2）可用X表示出BE的长，然后根据（1）中三角形ADE和FEB相似可得出关于AD，AE，BE，BF的比例关系式，然后就能得出一个关于X，Y的函数关系式根据函数的性质即可得出Y的最大值及相应的X的值解答证明（1）因为ABCD是正方形，所以DAEFBE90所以ADEDEA90又因为EFDE，所以AEDFEB90，所以ADEFEB，所以ADEBEF（2）解由（1）ADEBEF，AD4，BE4X，得，得Y（X24X）（X2）24（X2）21，所以当X2时，Y有最大值，Y的最大值为1点评本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点8、（2008梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD，ADDB，ADDCCB，AB4以AB所在直线为X轴，过D且垂直于AB的直线为Y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个（不必求点P的坐标，只需说明理由）考点二次函数综合题。专题压轴题；分类讨论。分析（1）已知ADDCCB，根据等边对等角，以及平行线的性质可以得到，CDBCBDDBA若设，CDBCBDDBAX度，则ABC2X度，C90X度根据平行线的性质同旁内角互补，就可以求出X的值在直角ABD和直角AOD中，根据三角函数，就可以求出OA、OD的长度，就可以得到A，D，C的坐标（2）已知A，D，C的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式以及对称轴（3）PDB为等腰三角形，应分BD是底边，和BD是腰两种情况进行讨论而BD是腰又要分D是顶角的顶点和B是顶角的顶点两种情况进行讨论解答解（1）DCAB，ADDCCB，CDBCBDDBA（5分）DABCBA，DAB2DBA，（1分DABDBA90，DAB60（5分）DBA30，AB4，DCAD2，（2分）RTAOD，OA1，OD，AD2（5分）A（1，0），D（0，），C（2，）（4分）（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为YA（X1）（X3）（6分）将点D（0，）的坐标代入上式得，A所求抛物线的解析式为Y（X1）（X3），（7分）其对称轴L为直线X1（8分）（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1DP1B，P1DB为等腰三角形；（9分）因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DBDP2，DBDP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；与同理，L上也有两个点P4、P5，使得BDBP4，BDBP5（10分）由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个点评本题主要考查了梯形的有关计算，以及待定系数法求函数的解析式，正确地进行讨论是解决本题的关键9、（2008眉山）如图，在平面直角坐标系内，以Y轴为对称轴的抛物线经过直YX2与Y轴的交点A和点M（，0）（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿X轴向右平移在题目所给的图中画出沿X轴平移后经过原点的抛物线大致图象；设沿X轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；（3）P点是沿X轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O，A，C，P四点为顶点的四边形是平行四边形考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）先根据直线的解析式求出抛物线顶点A的坐标，然后根据M的坐标求出抛物线的解析式（2）根据（1）得出的抛物线可设出平移后抛物线的解析式，然后将原点坐标代入即可求出平移后函数的解析式进而可求出向右平移后抛物线对称轴与直线AB的交点然后证OC是否与AB垂直即可（3）存在要分两种情况进行讨论以OA、AC为边，那么将C点向下平移OA个单位即可得出P点的坐标以OA为边，AC为对角线，将C点坐标向上平移OA个单位即可得出P点坐标解答解（1）易知A（0，2），因此可设抛物线的解析式为YAX22，已知抛物线过M点，则有A（）220，解得A；抛物线的解析式为YX22（2）设向右平移H（H0）个单位，则抛物线的解析式为Y（XH）22，已知抛物线过原点则有0H22，解得H；向右平移后抛物线的解析式为Y（X）22；其对称轴为X易知C点坐标为（，），OC在三角形OAC，OC，OA2，OAB60，OCAB，以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB相切（3）P（，）或（，）点评本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、直线与圆的位置关系、平行四边形的判定等知识点综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法10、（2008茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线YX2BXC经过A（0，4）、B（X1，0）、C（X2，0）三点，且X2X15（1）求B、C的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）把A（0，4）代入可求C，运用两根关系及X2X15，对式子合理变形，求B；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形解答解（1）解法一抛物线YX2BXC经过点A（0，4），C4又由题意可知，X1、X2是方程X2BXC0的两个根，X1X2B，X1X2C由已知得（X2X1）225又（X2X1）2（X2X1）24X1X2B224B22425解得B当B时，抛物线与X轴的交点在X轴的正半轴上，不合题意，舍去B解法二X1、X2是方程X2BXC0的两个根，即方程2X23BX120的两个根X，X2X15，解得B（以下与解法一相同）（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又YX2X4（X）2抛物线的顶点（，）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线X3与抛物线YX2X4的交点，当X3时，Y（3）2（3）44，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上点评本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法11、（2008旅顺口区）如图1，P1、P2、P3、PN分别是抛物线YX2与直线YX、Y2X、Y3X、YKX的交点，连接P1P2、P2P3，PK1PK（1）求OP1P2的面积，并直接写出OP2P3的面积；（2）如图2，猜想OPK1PK的面积，并说明理由；（3）若将抛物线YX2改为抛物线YAX2，其它条件不变，猜想OPK1PK的面积（直接写出答案）考点二次函数综合题。专题探究型。分析（1）求三角形OP1P2的面积，要想利用P1、P2的坐标就必须通过构建三角形，根据其他三角形的面积的“和，差”关系来求出三角形OP1P2的面积过P2作X轴的垂线交YX于M，然后过P1作P1NP2M于N，那么三角形OP1P2的面积就是三角形OP2M和P1P2M的面积差，然后通过求P1、P2、M点的坐标，得出P2M的长以及以P2M为底边的三角形OP2M和P1P2M的高，进而可求出三角形OP1P2的面积求三角形PO2P3的面积时，方法同上（2）（3）方法同（1）解答解（1）P1是抛物线YX2与直线YX交点，由X2X，解得X11，X20（舍去）代入，YX，解得Y1所以P1点坐标为（1，1）同理，可求出P2点坐标为（2，4）过P2作X轴的垂线交直线YX于M，过P1作P1QP2M于NM在直线YX上，M点坐标为（2，2），P2M422PN211SOP1P2SOMP2SP1MP222211OP2P3的面积是3（2）OPK1PK的面积是K（K1）方法同（1），求得PK点坐标为（K，K2），PK1坐标为（K1，K22K1），M坐标为（K，K2K）PKMK2K（K1）KSOPK1PKKKK1K（K1）（3）OPK1PK的面积是K（K1）点评本题结合三角形面积的求法考查了一次函数和二次函数的综合应用，通过构建三角形从而利用直线与抛物线的交点来求三角形的面积是解题的基本思路12、（2008旅顺口区）已知抛物线MYX22MXN（M，N为常数，且M0，N0）的顶点为A，与Y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于Y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形如果存在，请求出M的值；如果不存在，请说明理由说明（1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；（2）在你完成（1）之后，可以从、中选取一个条件，完成解答（选取得7分；选取得10分）N1；N2考点二次函数综合题。专题压轴题。分析可假设存在这样的P点，根据四边形ABCP是菱形，可得出ABBCAP，根据抛物线的对称性可得出ACAP，因此ACAPPC，三角形ACP为等边三角形，可根据抛物线M的坐标求出A、C的坐标，如果连接CP，过A作X轴的垂线，垂足为D，交CP于E；那么根据C、A的坐标，即可求出CE、AE的长，然后根据ACE60，用三角函数即可得出关于M的方程，进而可求出M的值解答解假设抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，连接CP，作ADX轴于D，交CP于E，则AD为抛物线M的对称轴，且PCABBCAP由抛物线的对称性可得ACAP，APPCAC从而APC为等边三角形ACE60由抛物线M配方得，YX22MXN（XM）2M2N点A、C的坐标分别为A（M，M2N）、C（0，N），AEM2NNM2，CEM在RTACE中，TAN60|M|M0M抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时M点评本题主要考查了二次函数的性质，轴对称图形以及菱形的性质等知识点根据抛物线的对称性得出三角形ACP是等边三角形是解题的关键13、（2008泸州）如图，已知二次函数YAX2BXC的图象经过三点A（1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数YKX的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量X的取值范围；（3）0K2时，求四边形PCMB的面积S的最小值【参考公式已知两点D（X1，Y1），E（X2，Y2），则线段DE的中点坐标为】考点二次函数综合题。专题综合题。分析（1）已知二次函数YAX2BXC的图象经过三点A（1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函数解析式，并确定顶点坐标；（2）把E（2，3）代入YKX中得正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和抛物线解析式，可得D点坐标，根据图象求出符合条件的X的范围；（3）求直线与抛物线的交点D，E的坐标，根据中点坐标公式求出P点坐标，利用割补法表示四边形PCMB的面积，然后求最小值解答解（1）由YAX2BXC，则得，解得，故函数解析式是YX22X3由YX22X3（X1）24知，点M（1，4）（2）由点E（2，3）在正比例函数YKX的图象上得，32K，得K，故YX，由，解得D点坐标为（），由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量X的取值范围是X2（3），解得，点D、E坐标为D（）、E（），则点P坐标为P（）由0K2，知点P在第一象限由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），得S四边形COBM，则S四边形PCMB，整理，配方得S四边形PCMB故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是点评本题考查了二次函数解析式的求法，学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系，并对二次函数进行运用14、（2008庐阳区）在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示已知AOB90，AOBO，点A的坐标为（3，1）（1）求点B的坐标（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为BL，连接AB1，求TANAB1B的值考点二次函数综合题。专题压轴题。分析（1）作辅助线，构造直角，在直角三角形中解题，证三角形全等，从而求得B点坐标；（2）求解析式已知两定点，用待定系数求出解析式；（3