行列式的计算方法

行列式的计算方法摘要行列式是一种常用的数学工具，是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中，在数学及其他学科中都有广泛的应用。行列式也为解决实际问题带来了许多方便。本文针对行列式的计算方法这一问题进行了深入研究，在利用行列式的定义及基本性质计算行列式的基础上提出了一些更加简便的方法，如三角形法、利用范德蒙行列式、利用数学归纳法、利用递推公式、降阶法、升阶法、拆开法、利用方阵特征值与行列式的关系、析因法，并结合相应的例题进行更深入的分析。关键词行列式；三角形法；范德蒙行列式；数学归纳法；递推公式；降阶法；升阶法；拆开法；析因法THECALCULATIONMETHODOFDETERMINANTABSTRACTDETERMINANTISAKINDOFCOMMONMATHEMATICALTOOL,ISLINEARALGEBRATHEORYEXTREMELYIMPORTANTPARTOFHIGHERMATHEMATICSISONEOFTHEBASICCONCEPTSDETERMINANTPRODUCEDINSOLUTIONSYSTEMOFLINEAREQUATIONS,ANDISALSOTHEEARLIESTAPPLIEDTOSOLUTIONSYSTEMOFLINEAREQUATIONS,INMATHEMATICSANDOTHERSUBJECTSHAVEAWIDERANGEOFAPPLICATIONDETERMINANTFORSOLVINGACTUALPROBLEMSBRINGALOTOFCONVENIENCEINTHISPAPERTHECALCULATIONMETHODOFDETERMINANTTHISPROBLEMISSTUDIED,THEUSEOFDETERMINANTDEFINITIONANDBASICPROPERTIESOFDETERMINANTCALCULATIONAREPUTFORWARDONTHEBASISOFSOMEMORESIMPLEMETHODS,SUCHASTRIANGLEMETHOD,USINGVANDERMONDEDETERMINANT,USINGMATHEMATICALINDUCTION,USINGRECURSIONFORMULA,REDUCEDORDERMETHOD,ASCENDINGORDERMETHOD,APARTMETHOD,USINGSQUAREMATRIXEIGENVALUESANDTHERELATIONSHIPBETWEENTHEDETERMINANT,FACTORIALMETHOD，ANDCOMBINEDWITHTHECORRESPONDINGEXAMPLESFURTHERANALYSISKEYWORDSDETERMINANTTRIANGULARMETHODVANDERMONDEDETERMINANTMATHEMATICALINDUCTION,RECURSIONFORMULATHEORDERREDUCTIONMETHODRISEOFORDERAPARTMETHODFACTORIALMETHOD1引言行列式是线性代数中重要的一部分，有着极其重要的地位。行列式问题在诸多数学问题中都有所涉及，而行列式的计算往往是解决问题的关键。它的应用范围极其广泛，可作为很多学科解决问题的重要工具。国际上一些知名的数学家如拉普拉斯LAPLACE,范得蒙VANDERMONDE等都对行列式有着深入的研究,并为行列式的计算奠定了理论基础。行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，本文就行列式的计算方法进行归纳总结以及举例分析说明。2研究问题及成果21利用行列式的定义直接计算211二阶行列式的定义121212AA例1D28468|2468|212三阶行列式的定义1213123123132113213123123123AAAAA例2020114111124110|014121110|1103213阶行列式的定义N12121212112NNNNJJNJJJJNNAADAAA也就是说阶行列式NNNAA212211等于所有取自不同行不同列的N几个元素的乘积21NJJA的代数和。这里NJ21是1,2的一个排列，当NJ是偶排列时，式取正号，当是奇排列时式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用，即阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素乘积的代N数和。对于一个级行列式,按定义展开后共有项,计算它就需要做N（1）个乘法,当较大时,是一个相当大的数字,直接从定NN义来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般适用于阶数较低的行列式。例3计算行列式0123D解这是一个四阶行列式,展开式应有424项,但由于出现很多零元素,所以不为零的项只有这一项,而,故14231A43216。123D22利用行列式的性质计算性质1行列互换，行列式的值不变，即DNNNNNNAAAAAA21221121221性质2交换行列式中两行对应元素的位置，行列式变号。推论若一个行列式中有两行的对应元素相同，则这个行列式的值为零。性质3把行列式中某一行的所有元素同乘以数K，等于用数K乘以这个行列式。NNIIINNNIIINAAAAKAKA2111221112推论1行列式某一行有公因子时，可以把这个公因子提到行列式的符号外面。推论2如果行列式某两行的对应元素成比例，则这个行列式为零。性质4如果行列式第I行的各元素都是两元素的和，则这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个元素作为第I行对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同（I1,2，N）。NNNNNNNNNNNNAACCAAABBAAACCBAA211122111221211121性质5行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的K倍，行列式的值不变。性质6N阶行列式D等于它的任一行的各元素与它们对应的代|数余子式的乘积之和，即D，I1,2，N1122推论若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代数余子式之和。23化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。上三角行列式D|1112022120044|1122下三角行列式D|1102122001244|1122例1计算N阶行列式ABBDBA解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，N列都加到第1列上，行列式不变，得11ANBBADANBA11BBANBA00BAB1NN例2计算行列式12313795045612D解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算2314523423112311231000044025522D43525241231131040421620066例3计算1231452121NNDN分析若直接化为三角形行列式，计算很繁琐，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有N1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第N1列开始乘以1加到第N列，第N2列乘以1加到第N1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解112,2,111120031100002120000112IINNNRINRNNDNNNNN12112NN24利用范德蒙行列式，N1221112NIJIJNNXXDXXX2例计算行列式12221121NNNNXXDX解把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第N1行的1倍加到第N行，便得范德蒙行列式1221112NIJIJNNXXDXXX25利用数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例计算N阶行列式1221100NNXDXAA解用数学归纳法当N2时2121XDXAA12假设NK时，有121KKKKDXAXAX则当NK1时，把DK1按第一列展开，得11KX11KKAXA12KKX由此，对任意的正整数N，有121NNDXAXA26利用递推公式对N阶行列式DN找出DN与DN1或DN与DN1,DN2之间的一种关系即递推公式（其中DN,DN1,DN2等结构相同），再由递推公式求出DN的方法。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，很难找出递推关系式，从而不能使用此方法例计算N阶行列式|2112112112112|解这是三对角行列式，其递推公式是212适当移项可得关于的递推关系式1122321因413，2，故1，1，1，归纳可2121321得11）1（N1）N11（2127降阶法降阶法又称按行（列）展开法，是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。按行（列）展开法可以将一个N阶行列式化为N个N1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将N阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开拉普拉斯定理设在N阶行列式D中取定某K行，则D等于这K阶子式I1,2,，T与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即D,其中T11221例1计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是N阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算例2计算N阶行列式010010NADA解将DN按第1行展开100000NNAAA12NNA228升阶法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为N1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是例计算N阶行列式1212NNNXAADAXA解10NNAD（箭形行列式）1202,1NIAAXNX第行减第1行1200NJNAAXX1NJAX29拆开法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。例计算行列式ND1212NNAA解ND1212NNAAAA120NNAA120NN1D121NNAD121NINIIA210利用方阵特征值与行列式的关系例计算显然的N个特征值为B,B,B的N个特征值为0,0，01故的特征值为BB,B,BN1个B1由矩阵特征值与对应行列式的关系知|11211析因法如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些DXXF变换，求出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为XF，则，再比较与的某一项的系数，求出XGCGXFG值C例计算解令3结束语以上总共给出了计算行列