初稿-离散lti系统数值解法实用程序设计

毕业设计离散LTI系统数值解法实用程序设计所在院系物理与电信工程学院专业班级电子信息科学与技术102班摘要研究离散LTI系统数值解法实用程序设计，先探索连续LTI系统转化为离散LTI系统的有效方法及初值条件的转化的有效方法，再用迭代法求解指定时区上的LTI离散系统0输入响应YXIK和0状态响应YZSK，同时编写LTI连续系统转化为LTI离散系统，并用迭代方法求解系统的MATHEMATICA程序，以LTI连续系统分析实例展示程序的高效性和可靠性，我们研究发现，数据量较大时，应用迭代编程实现更为有效更为快捷。关键词离散系统，迭代法，MATHEMATICA程序引言随着数字技术以及计算机技术的飞速发展，鉴于离散系统在精度、抗干扰能力和可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此原来对连续信号和系统的研究问题，越来越多地转化为对离散信号和系统的处理。通信和计算机设备等数字化的高科技产品渗透于人们的生活、学习、工作等诸多方面，这样，对于离散系统的分析、研究、改进成为了必不可少的课题。离散系统的响应问题是求解及分析离散系统的基础理论问题，是我们深入分析线性时不变离散系统的基础。离散LTI系统的求解方法有许多，本课题所研究的是用迭代法求解数值解。利用迭代的方法分析不借助任何变换而直接求解，直观准确。根据差分方程，用迭代的方法解出零输入响应YZIK，零状态响应YZSK。这种方法是用逐次带入来求解的，方法概念清楚，简单，对于低阶的系统手工操作就可以解出，但对于高阶系统，计算量比较大，利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，使用MATHEMATICA软件编程实现这一过程，则更方便快捷。作为理论上的研究，此课题虽然简单，但其在基础上的意义和用途确实很不不错，为进一步深入研究奠定了很好的基础。例如在通信、计算机、自动化等工程很多领域方面都离不开对各类离散系统的分析处理，其中必定涉及高阶系统的实例。在未来的“数字化”工业发展进程中，此课题的研究方法将有更加广泛和深入的应用。1连续LTI系统转化为离散LTI系统的方法11连续系统的解析解当用数字计算机求解LTI连续系统的解析解时，或直接在系统中采用数字计算机进行求解时，对于连续低阶系统，可以通过MATHEMATICA软件编程来实现，例如求解连续低阶系统YT5YT6YT10COS20T,Y01,Y005，用MATHEMATICA软件编程，结果如下CLEARYEQYT5YT6YT10COS20T,Y01,Y005SOLDSOLVEEQ,YT,T1/EXPANDYT_YT/SOLPLOTYT,T,0,5123450204060810对于LTI连续低阶系统，用MATHEMATICA软件编程可以求解它的解析解，没有多大困难。但是对于连续高阶系统，求解析解是相当困难的，例如求解YT150000YT12YT567YT123YT100SIN157T,Y00,Y04,Y0186,Y012，用MATHEMATICA软件编程如下EQYT150000YT12YT567YT123YT100SIN157T,Y00,Y04,Y0186,Y012SOLDSOLVEEQ,YT,T1/EXPANDYT_YT/SOLPLOTYT,T,0,50用这种方法求解，在MATHEMATICA软件解的过程中出现了问题，如下面所示ROWREDUCELUC病态矩阵10,00,10,10,172271071631191021,2,1,4构成的ROWREDUCE的结果可能包含明显的数值错误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通过上面例子已经了解到要求解连续高阶系统的解析解是比较困难的，所以需要将它化为离散系统，来求解它在指定区间上的数值解。这样既简便又可靠，而且不会出现上面的错误。1离散系统的数值解YT150000YT12YT567YT123YT100SIN157T,Y00,Y04,Y0186,Y012同样地，对于上面要求解的方程,将其化为离散系统，用MATHEMATICA对离散高阶系统进行编程，求解它在一个指定时间段上的数值解，则很容易进行求解，而且不会出现太大的错误。编程如下CLEARYEQYT150000YT12YT567YT123YT100SIN157T,Y00,Y04,Y0186,Y012SOLNDSOLVEEQ,YT,T,0,50,MAXSTEPS10000001/EXPANDYT_YT/SOLPLOTYT,T,0,50所得到的结果如下INTERPOLATINGFUNCTION0,50,T102030405060040020002004006008001连续LTI系统转化为离散LTI系统由于用离散系统求解数值解更为简便、快捷和准确，故通常我们先将连续系统转化为离散系统，离散化就是导出能在采样时刻上与连续系统状态等价的离散状态方程。连续LTI系统转化为离散LTI系统,包含自变量的离散化、导函数的离散化和方程的离散化。例如对于方程YTAYTBYTCFT,Y0_Y0Y0_YP0,首先是自变量的离散化，用MATHEMATICA进行编程，如下TA0TB10N100TSTBTA/NTSRANGE0,NTS然后是导函数的离散化，用MATHEMATICA进行编程，如下YKYKYK1/TSYKYK2YK1YK2/TS2YKYK3YK13YK2YK3/TS3YK1/TS4YK4YK16YK24YK3YK4再是方程的离散化，对于对于方程YTAYTBYTCFT，将导函数离散化的结果代入此方程，再整理便可得到离散化的方程，用MATHEMATICA进行编程，如下YK2YK1YK2ATSYKYK1BTS2YKCTS2FK1ATSBTS2YK2ATSYK1YK2CTS2FKQ1/1ATSBTS2YK2ATSQYK1QYK2CTS2QFKP2ATSQCTS2QYKPYK1QYK2FK连续LTI系统初值条件转化为LTI离散系统初值条件的方法探索连续LTI系统初值条件转化为LTI离散系统初值条件的有效方法，首先我们是对上面导函数离散化的方程进行变形，然后赋值得到的，具体如下对YKYKYK1/TS，进行变形，得到TSYKYKYK1，然后给K赋值为1，再移项就可得到Y1Y0_，对YKYK2YK1YK2/TS2进行变形，得到TS2YKYK2YK1YK2，然后给K赋值为1，再移项就可得到YYYTS2Y0_，依次类推，得到如下结果Y1Y0_Y2Y1TSY0_YYYTS2Y0_3迭代法求解指定时区上的LTI离散系统零输入响应和零状态响应的编程技巧迭代法求解指定时区上零输入响应在没有外加激励时，仅有T0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性，这种相应随时间按指数规律衰减。同样对于方程YT260300YT12YT6YT123YT120SIN17T,Y00,Y04,Y0186,Y012，用迭代法求解它在050S的零输入响应。即就是输入信号为的情况下求解，则上面的微分方程变为YT260300YT12YT6YT123YT，用MATHEMATICA软件进行编程求解，如下CLEARY,UTA0TB50N400TSTBTA/NTSRANGE0,NTSFN0Q1/1260300TS12TS26TS3123TS4Q43260300TS212TS26TS3Q63260300TS12TS2Q4260300TSY10Y24TSY3186TS28TSY43186TS212TS12TS3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE迭代法求解指定时区上零状态响应零状态响应就是电路的储能元器件（电容、电感类元件）无初始储能，仅由外部激励作用而产生的响应。同样对于方程YT260300YT12YT6YT123YT120SIN17T,Y00,Y04,Y0186,Y012，用迭代法求解它在0100S的零状态响应。即就是初始状态都为的情况下求解，则Y00,Y0,Y0,Y0，用MATHEMATICA软件进行编程求解，如下CLEARY,UTA0TB100N200TSTBTA/NTSRANGE0,NTSFN100SIN157TSQ1/1260300TS12TS26TS3123TS4Q43260300TS212TS26TS3Q63260300TS12TS2Q4260300TSY10Y20Y30Y40UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE20406080100200150100050053迭代法求解指定时区上全响应全响应就是线性系统或电路在激励作用下产生的零状态响应与零输入响应之和。它是系统或电路在输入和初始条件共同作用下的响应。是零输入响应和零状态响应叠加的结果,也体现了线性电路的叠加性。对于方程YT260300YT12YT6YT123YT120SIN17T,Y00,Y04,Y0186,Y012，用迭代法求解它在050S的全响应。即就是初始状态和输入信号都不为的情况下求解，用MATHEMATICA软件进行编程求解，如下CLEARY,UTA0TB50N400TSTBTA/NTSRANGE0,NTSFN100SIN157TSQ1/1260300TS12TS26TS3123TS4Q43260300TS212TS26TS3Q63260300TS12TS2Q4260300TSY10Y24TSY3186TS28TSY43186TS212TS12TS3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE102030405060402004LTI连续系统转化为LTI离散系统，迭代方法求解系统的MATHEMATICA程序对于方程YT150000YT12YT567YT123YT100SIN157T,Y00,Y04,Y0186,Y012，将它化为离散系统，再用迭代法求解它在050S的解。用MATHEMATICA进行编程，如下CLEARY,UTA0TB50N200TSTBTA/NTSRANGE0,NTSFN100SIN157TSQ1/1150000TS12TS2567TS3123TS4Q43150000TS212TS2567TS3Q63150000TS12TS2Q4150000TSY10Y24TSY3186TS28TSY43186TS212TS12TS3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4在离散化的过程中，将导函数的离散化结果带入到微分方程中，并合并相同幂数的系数，将他们分别用字母表示，这样就得到离散化的差分方程为YKYK1YK2YK3QYK4QTS4FNK再通过MATHEMATICA进行编程，画出它的图形DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE102030405060040020002004006008005以LTI连续系统分析实例展示程序的高效性和可靠性以RLC三阶电路电路为例，具有电阻电感电容的无源二端网络如图1所示，其中R1，L1H,C2F。电压为输入，电压150SIN18T为输出，分析该RLC2UT三阶系统的解。图41RLC时域电路如图1所示，设第一个网孔电流为，第二个网孔电流为；电容两端的电压上正1I2I下负设为，根据KVL定律，所列方程为CUT112CCCRILUTTIIT21222LRUTLCICIIIIRL整理得微分方程22221IIIIUTLC所以输出响应为UT2TI图42RLC频域电路利用拉普拉斯变换进行分析电阻不变，电感，电容，时域电路LS1CS变成S域电路，即如图2所示，由复频域电路图建立复频域代数方程1OCSUUSLR其等效阻抗01SCZL输出像函数20111OCRUSSULSSRSCSL代入R,L,C的值，最后的输出象函数2132USUSS由输出象函数得系统函数321HSS根据系统函数可以列出微分方程2YT4YT4YT2YTFT，然后通过MATHEMATICA进行编程离散化后求解，先求零输入响应TA0TB20N200TSTBTA/NTSRANGE0,NTSYKYKYK1/TSYKYK2YK1YK2/TS2YKYK3YK13YK2YK3/TS3Q1/4TS4TS22TS32Q68TS4TS2Q64TSQ2YKYK1YK2YK3QTS3FNKY10Y2Y3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE再用MATHEMATICA进行编程求零输入响应TA0TB20N200TSTBTA/NTSRANGE0,NTSYKYKYK1/TSYKYK2YK1YK2/TS2YKYK3YK13YK2YK3/TS3Q1/4TS4TS22TS3Q68TS4TS2Q64TSQ2YKYK1YK2YK30Y10Y24TSY3186TS28TSY43186TS212TS12TS3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE最后用MATHEMATICA进行编程全响应就是零输入响应加上零状态响应CLEARY,UTA0TB50N400TSTBTA/NTSRANGE0,NTSFN100SIN157TSQ1/1260300TS12TS26TS3123TS4Q43260300TS212TS26TS3Q63260300TS12TS2Q4260300TSY10Y24TSY3186TS28TSY43186TS212TS12TS3UCONSTANTARRAY0,N14U14Y4,Y3,Y2,Y1FORJ5,JN5,J,UJUJ1UJ2UJ3QUJ4QTS4FNJ4DATATRANSPOSETS,U51LISTPLOTDATA,JOINEDTRUE5结束语毕业设计是对大学四年学习成果的一次大检阅，平时课堂上学到的知识很难以融会贯通，通过本次毕业设计，让我们平时在课堂上学习的知识得到了进一步巩固，通过毕业设计基本可以将平时所学的一些知识应用到实际的设计中。设计刚开始时，由于对编程不是很熟悉，出现了许多错误，造成了多次的返工。但是，正是这一次次的尝试磨练了我的耐性并加强了我对软件的操作水平。在这次设计中，我不仅收获了专业知识，还在与同学的沟通交流方面有了很大的提高，非常感谢龙老师细心的指导，使我的毕业设计才我能顺利完成。这次毕设为未来踏上社会、步入工作岗位打下了良好基础。毕业设计，让我深深地体会到这是一个连接学习和工作的桥梁。毕业设计的完成标志着大学生活的结束，今后迎接我们的是更多的挑战，通过毕业设计的磨练，我相信我能够更好的面对这些，把握机遇。在大学里我们得到了最好的锻炼，我们要将学到的知识转换成力量，为了自己的梦想而努力奋斗。参考文献1吴大正信号与线性系统分析M北京高等教育出版社,2005841102ALANVOPPENHEIMSIGNALSANDSYSTEMS（SECONDEDITION）M北京电子工业出版社,20092845103ALANVOPPENHEIMDISCRETETIMESIGNALPROCESSING（THIRDEDITION）M北京电子工业出版社,20119704AMBARDARA信号系统与信号处理M北京机械工业出版社,20015邹云平信号与系统分析M北京科学出版社,20031197,3293316王同科、张东丽、王彩华编MATHEMATICAA与数值分析实验M北京清华大学出版社,201111937高西全、丁玉美数字信号处理（第三版）M西安西安电子科技大学出版社,20084198李平二阶线性离散系统时域分析的一种方法J苏州市职业大学学报,2000,019朱小奇三阶线性离散系统的时域分析J铁道师院学报,2001,02NUMERICALSOLUTIONOFDISCRETELTISYSTEMUT