立体几何典型习题汇编 立体几何典型习题汇编(自己整理,非常实用,尤其是解答题适合程度中等的学生)

立体几何典型习题汇编参考答案一、选择题【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。解析如图，2,24SIN1EGFEGOF2，点E、F在该球面上的球面距离为3O31故选择B。G解连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C二、解答题（20）如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。17（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平1ABCH1AB12A1CH面，且1AB15CH（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长NM1ABMN1ABCM17方法一如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得2,0,2,5ABC1112,0,2,0,25ABC（I）解易得，1,于是所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为114COS,3|2ACB3（II）解易知10,2,5C设平面AA1C1的法向量，MXYZ则即10A50,2不妨令可得，5,X,同样地，设平面A1B1C1的法向量，,NXYZ则即不妨令，可得10,N250X50,52N于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为2COS,|7MN3SIN,7M357（III）解由N为棱B1C1的中点，得设M（A，B，0），则35,2N2,2NAB由平面A1B1C1，得即M10,MA2,3520AB解得故因此，所以线段BM的长为2,4AB2,04M2,04B10|4BM方法二（I）解由于AC/A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角1A因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得1CH2,5,CH113ACB因此2211COS3A所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（II）解连接AC1，易知AC1B1C1，又由于AA1B1A1，A1C1A1C1，所以，过点A作于点R，1连接B1R，于是，故为二面角AA1C1B1的平面角11B在中，连接AB1，在中，1TA21114SIN231ARB，从而111114,COARBBR7135SIN7所以二面角AA1C1B1的正弦值为357（III）解因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，MN1MNAB所以ND/C1H且又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故152D1HN1DA又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则,111,/ME故由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE1,4BEA12EB12在中，所以可得RTNM2,DNDM故254NE4连接BM，在中，TBF2104FB19（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，平面，EF，（）若是线段的中点，求证平面（）若,求二面角的大小19（I）证法一因为EF/AB，FG/BC，EG/AC，所以90ACB90,EGFABCEFG由于AB2EF，因此，BC2FC，连接AF，由于FG/BC，在中，M是线段AD的中点，1,2D则AM/BC，且因此FG/AM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，1,2AMBC因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM/平面AB。FG证法二因为EF/AB，FG/BC，EG/AC，所以90ACB90,EGFABCEFG由于AB2EF，因此，BC2FC，取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN/FB，在中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN/AB，ABCD因为所以平面GMN/平面ABFE。又平面GMN，所以GM/平面ABFE。,NGM（II）解法一因为，又平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直，90,B所以CADE分别以AC，AD，AE所在直线为X轴、Y轴和Z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，不妨设则由题意得A（0，0，0，），B（2，2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），2,ACE所以又所以,0B1,2F,1,1F设平面BFC的法向量为则所以取所以1,MXYZ0,CM1,YXZ1,X得1,0M设平面ABF的法向量为，则2,NXYZ0,NABF所以则所以二面角ABFC的大小为222,1,0XYZ取得1,1COS,|2MN60解法二由题意知，平面平面ABCD，取AB的中点H，连接CH，ABFE因为ACBC，所以，则平面ABFE，过H向BF引垂线交BF于R，CH连接CR，则所以为二面角ABFC的平面角。RR由题意，不妨设ACBC2AE2。在直角梯形ABFE中，连接FH，则，又所以因此在中，FAB2,1,2,FEBTBF63H由于所以在中，因此二面角ABFC的大小为1,CHRTCHTAN3,6RC018如图，在中，P为AB边上的一动点，AB,2,2ABPD/BC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD。（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；APBCD（2）若点P为AB的中点，E为的中点，求证。AABDE18解（1）令02,2,XPX则因为，且平面平面PBCD，故平面PBCD。所以，令3114366APBCDVSHX314,6FXX由，当单调递增240,3FXX得20,0,F时当单调递减，,FFX时所以，当时，取得最大值，即当最大时，3XAPBCDV2PA（2）设F为的中点，连接PF，FE，则有B1/,/2EF所以DE/PF，又所以，故APABD（18）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD12（I）证明平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值18解如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间直角坐标系DXYZ（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）则1,0,1,0DQCPQ所以即PQDQ，PQDC故PQ平面DCQ,P又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ6分（II）依题意有B（1，0，1），1,01,2B设是平面PBC的法向量，则,NXYZ0,NCXYZP即因此可取设M是平面PBQ的法向量，则可取0,12,0MBQ51,COS,MN所以故二面角QBPC的余弦值为12分120（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，245DA（I）求证平面PAB平面PAD；（II）设ABAP（I）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；30（II）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等说明理由。20解法一（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又PAACPAB,ADP所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。BB（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系AXYZ（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则D在中，DE，RTCDECOS451SIN451,设ABAPT，则B（T，0，0），P（0，0，T）由ABAD4，得AD4T，所以，,3,1,TD,0,4CPT（I）设平面PCD的法向量为，由，得,NXYZND0,XYT取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，XT,4T,0BT30得222|1COS60|,|NPBTTX即解得（舍去，因为AD），所以45TT或4045A（II）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，M，0）（其中）0MT则，1,3,0,GCDTMT由得，（2）|24T由（1）、（2）消去T，化简得（3）40由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二（I）同解法一。（II）（I）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系AXYZ（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E，则。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则CDAD在中，DE，RTECOS451SIN451,设ABAPT，则B（T，0，0），P（0，0，T）由ABAD4，得AD4T，所以，,3,1,CT,0,4PT设平面PCD的法向量为，由，得,NXYZNCD0XYT取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，XT,4T,BT30得解得（舍去，因为AD），222|1COS60|,|NPBTTX即45TT或4T所以45A（II）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GCCD，得，从而，即45CD90,GA设，SIN451,GDC,AB则D4,3AGD在中，RTAB2223291,这与GBGD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。16如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，PCDAA2,60A求证平面B（）若求与所成角的余弦值；,A（）当平面与平面垂直时，求的长PCPA（16）证明（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD又因为PA平面ABCD所以PABD所以BD平面PAC（）设ACBDO因为BAD60，PAPB2,所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系OXYZ，则3P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）3所以设PB与AC所成角为，则,2,1CB463|COSAP（）由（）知设P（0，T）（T0），则,13,31TBP设平面PBC的法向量,则所以ZYXM0,MBC0TZYX令则所以同理，平面PDC的法向量,3Y6,TZX6,3T6,3TN因为平面PCB平面PDC,所以0，即解得所以PAN02T6T（19）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，1ABCDEFBC1,2CFE24（1）求异面直线与所成角的余弦值；F1（2）证明平面AD（3）求二面角的正弦值。1E（19）方法一如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,AB02,12F104A3,02E（1）解易得,于是1F1,24AD113COS,5EFAD所以异面直线与所成角的余弦值为E135（2）证明已知,2AF1,42E1,02ED于是0，0因此，,又所以平面AF1ED1AF1AEAF1ED3解设平面的法向量，则,即,UXYZ0UED02YZX不妨令X1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。1,）F1A于是，从而COS,3|AFU5SIN,3U所以二面角的正弦值为1ED5方法二（1）解设AB1，可得AD2,AA14,CF1CE链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由2,可知EFBC1故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BMCM,所以1CFB4BMC152,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为223COS5M3（2）证明连接AC，设AC与DE交点N因为，所以，从而，2EBCRTCETBACDEBA又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以90CDE90A1DE平面ACF，从而AFDE连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所1以AF平面A1ED3解连接A1NFN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1EDF的平面角易知，所以，又所以，在1NFRTCNETBCE55CN21305RTCFTA中，在中21430A连接A1C1,A1F在211114RTAFC中，。所以所以二面角A1DEF正弦值为2111COS3NTN在中，15SIN3ANF53（19）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（）证明CD平面ABF；（）求二面角BEFA的正切值。19I解因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED故为异面直线CE与AF所成的角CED因为FA平面ABCD，所以FACD故EDCD在RTCDE中，CD1，ED，CE3,故COS22E23所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为3证明过点B作BG/CD,交AD于点G，则由,可得BGAB,从而45BACD45BACDAB,又CDFA,FAABA,所以CD平面ABF解由（）及已知，可得AG，即G为AD的中点取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC/AD,2所以BC/EF过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角BEFA的平面角。N连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM从而BCGM由已知，可得GM由NG/FA,FAGM,得NGGM2在RTNGM中，TAN,所以二面角BEFA的正切值为1G414（20）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为ABCDABCD/PMAEGF、的中点，且MBPC2PM（I）求证平面平面；EF（II）求三棱锥与四棱锥的体积之比（19）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形2（）求证平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【解析】（）证明因为ABC45，AB2，BC4，所以在中，由余弦定理得2ABC，解得，22AC4COS458C所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，2B816BCA又PA，所以，又ABCD，所以，又因为平面PCD平面P，所以平面PCD平面PAC；DC平面P（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点AH平面CPCPCDPB到平面的距离，过点B作BO平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所DBBOH2以，即，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；1SINPO2P3030（）由（）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得ACD平面，AC，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为E12（）。12319如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是鞭形，B1CA1B证明平面AB1C平面A1BC1（设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值（16）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB，CEEF12（）求证AF平面BDE；（）求证CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小。18、（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是正方形，ABCDEFABCD，为的中点。EF290FHBCABCDEFH求证平面；求证平面；求二面角的大小。FHEAEDBBDEC（20）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中PACBAC,EFO,PABC点，。16,10（I）设是的中点，证明平面；WWWKS5UCOMO/OEXYZ（II）证明在内存在一点，使平面，并求点到,的距离。ABOMFBOEMAOB20、证明（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直XYZ角坐标系O，WWWKS5UCOM则，由题意得，XYZ0,80,0,8AC,60,43PE,0F因，因此平面BOE的法向量为，得，0,4G8,43ENG0NG又直线不在平面内，因此有平面FB/FGBE（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有0,XY0,3MXYFM/M，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组094,XY94,XOYAOB，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，8XY使平面，由点M的坐标得点到，的距离为WWWKS5UCOMFBOEOAB94,19如图，在四棱锥ACDP中，CD平面，且DB平分ADC，E为PC的中点，1CDA,2（）证明BE平面/（）证明P平面（）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值【解析】证明设HDAC，连结EH，在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故PE/,又BEPBE平面平面,所以BEP平面/（2）证明因为BP平面，平面，所以A由（1）知，ACBD,D故DAC平面3解由平面可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由A,23,2,1HB可得在BHCRT中，3TANHC,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为31。（19）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。2（）求证ACSD；WWWKS5UCOM（）若SD平面PAC，求二面角PACD的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,5UCOM使得BE平面PAC。若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由。（19）解法一（）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以SACACBDONAPBCMDZXY,得ACSBD平面ACS设正方形边长，则。又，所以,A2A2ODA06SOD连，由（）知,所以,WWWKS5UCOMOPASB平面ACP且,所以是二面角的平面角。ACD由,知,所以,即二面角的大小为。S平面P03AC03（）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使/BAC平面24PDASPN,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面PNDPCSEBN/O/EC，得,由于,故/BEA平面/平面21N1SE解法二（）；连,设交于于，由题意知以O为坐标原点，分BADOAC平面BOS，别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。XYZXYZA62SA于是,WWWKS5UCOM,WWWKS5UCOM620,0SAD2,0CA20,C,0D0CSD故从而OCSASD由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，P6,2AAC6,2OA设所求二面角为，则,所求二面角的大小为3COSS03（）在棱上存在一点使由（）知是平面的一个法向量，SCE/BPAC平面DSPAC且设WWWKS5UCOM2626,0,0,DASA（,ET则而,1,BECBTTAT103BCT即当时，WWWKS5UCOM而不在平面内，故21SEDSBPA/EA平面20如图，在四棱锥PA中，底面AC是矩形，平面D，4，2B以D的中点O为球心、B为直径的球面交于点M（1）求证平面M平面；（2）求直线PC与平面A所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离解方法（一）（1）证依题设，在以为直径的球面上，则因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是C与平面AB所成的角，且PNMCDTANTAN2PDPNC（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离因为在RTPAD中，4A，AM，所以为中点，2D，则O点到平面ABM的距离等于2。方法二（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则0,A，,04P，2,0B，,40C，,，0,2，设平面ABM的一个法向量,NXYZ，由,NABM可得20XYZ，令1，则Y，即0,1N设所求角为，则2SI3PC（3）设所求距离为H，由,2,20OA，得2AOH19如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，ABEFCDABEFCD09,BADFBC/，分别为的中点12AD/12,GH,（）证明四边形是平行四边形；（）四点是否共面为什么,CFE（）设，证明平面平面；ABADEC解法一（）由题意知，,所以,FGAHDG/12A又，故,所以四边形是平行四边形。BC/12AD/BC（）四点共面。理由如下,FE由，是的中点知，所以/12GBE/GH/FB由（）知，所以，故共面。又点在直线上,所以四点共面。/BCH/F,CDH,CDFE（）连结，由，及知是正方形故。由题设知EAA09AEGBA两两垂直，故平面，因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，,FADDBEFBG又，所以平面由（）知，所以平面。EBGA/CHBADE由（）知平面，故平面，得平面平面CEHADE解法二由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半AFFABX轴，建立如图所示的直角坐标系XYZ（）设，则由题设得,BABC,0,0,02,0,0,ACDBEACGHBC所以于是,HGHBC又点不在直线上,所以四边形是平行四边形。B（）四点共面。理由如下由题设知，所以,DFE0,2FC又，故四点共面。0,0ACCACEEHD,CEF（）由得，所以又，因此AB,HAA02AB0,HACD即,又，所以平面,HEDAC故由平面，得平面平面CFE（19）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD,底面ABCD为直角梯形，其中2BCAD,ABAD,AD2AB2BC2，O为AD中点求证PO平面ABCD；求异面直线PB与CD所成角的余弦值；求点A到平面PCD的距离解法一（）证明在PAD卡中PAPD，O为AD中点，所以POAD又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD（）连结BO，在直角梯形ABCD中，BCAD,AD2AB2BC，有ODBC且ODBC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC由（）知POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角因为AD2AB2BC2，在RTAOB中，AB1，AO1，所以OB，2在RTPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RTPBO中，PB,232OBPCOSPBO,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36PBO36由（）得CDOB，在RTPOC中，PC，所以PCCDDP，SPCD2222OPC432又S设点A到平面PCD的距离H，由VPACDVAPCD，,12AD得SACDOPSPCDH，即11H，解得H313312332解法二（）同解法一，（）以O为坐标原点，的方向分别为X轴、Y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系OXYZOPDC、则A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）所以（1，1，0），（T，1，1），COS、，CDBC3621D所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，36（）设平面PCD的法向量为N（X0,Y0,X0），由（）知（1，0，1），CP（1，1，0），CD则N0，所以X0X00,PN0，X0Y00，即X0Y0X0,取X01，得平面的一个法向量为N1,1,1又1,1,0从而点A到平面PCD的距离DAC32NAC（18）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，底面，OBCD14ABCOABCD，为的中点，为的中点2OMN（I）证明直线平面（II）求异面直线与所成角的大小A（III）求点到平面的距离BC【解析】（I）取的中点，连接、，OEMNEABCD又，平面平面MENOCD平面（II），为异面直线与所成的角（或其补角）ADAB作于点，连接平面，PPP，4D22M，1COSM3C所以，异面直线与所成的角为AB（III）平面，所以点和点到平面的距离相等。ODBAOCD连接，过点作于点PQP，平面，,ACCQ又，平面，线段的长就是点到平面的距离相等AA，2223OPDODP2ADEPQ所以，点到平面的距离为23OAPQBOCD2319（2007陕西理19）如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD，,BC6求证求二面角的大小解法一平面,平面又,即又平面过作,垂足为,连接平面,是在平面上的射影,由三垂线定理知,为二面角的平面角又,又,由得在中,二面角的大小为如图,建立坐标系,则,又,平面设平面的法向量为,则,又,解得平面的法向量取为,二面角的大小为17已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC，PEF都是正三角形，PFAB（）证明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长（）证明连结CF,21PCAB,PFF平面4分CAPC平面平面（）解法一,B为所求二面角的平面角设ABA，则ABA，则FACFEP23,8分32COSAPFC解法二设P在平面ABC内的射影为OPAFPABE,C得PAPBPC于是O是A