大学数学竞赛-高等数学竞赛辅导综合题[1]

高等数学综合练习题1、设，满足证明0ANX,0X,21,0,21NXANN收敛，并求NX。NLIM2、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，F0X3101LIMEXFX0F及0FF3、设，且在满足AXF,A，有（为常数）。,YX|YXKF0证明在有界。F,4、设函数且F0存在,试确定常数A,B,C0,2XCBAXEF5、设当时,可微函数满足条件，且1XF0D10XTFFXF，试证当时,有成立0FX1EX7、讨论积分的敛散性。DQPCOS8、设在上二阶可导，XF0,10,FF求证使,29、设F在上可微，且A与B同号，证明存在，使,BA,BA（1）；22FF（2）LNABF11、设是定义在上的函数，XF,10,FXF且,YFYXFY证明在上可导，且FX12、设，且,21,SINSINI21NIRAXAXI，证明|SIN|XF1|2|1NAA13、设F在上二阶可微，则方程,BA0BF0BF在内至少有一个根0“XF,14、（浙江师范大学2004）设在上具有二阶导数，且满足条件FX,1，其中都是非负常数，是内的任一点，证明FXAFXB,AC0,1。2FC15、设证明，使021,10,3FFFCF1,024|F16、设函数F具有一阶连续导数，存在，且，“F00,XAFXG（1）确定，使处处连续；AX（2）对以上所确定的，证明具有一阶连续导数AXG17、设。证明，并求其值。3SIN,022XS1LIMXS18、设在0，1上具有二阶导数，且，求证F0F2110FDXF19、设01,2NU且LI1NU，求证级数11NNU条件收敛19、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向AO对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数OB，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线1V2V曲线方程；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B20、已知，求证（1）数列10X304X4132X431NX收敛；（2）的极限值A是方程的唯一正根NN0421设，试确定、的值，使都存在1LIM2NXBAXFNB与LIM1XFLI1XF22、设的一个原函数，且，求FF是10FXF2COS,DF0|23设在上连续且单调增加，试证对任意正数，恒有F,0ABBABADXFXFDXF00224设，判别数列的敛散性NNX112N25设在0,1上连续，在（0，1）内可导，F01F，试证（1）存在，使得（2）对任意实数，2LIM1X1,2必存在，使得（3）在0,1上的最大值大,0FFXF于126设函数在0,上存在二阶连续的导数，若存在，且XLIMXX在0,有界，试证0LIMXX27求极限NK1SIL28设在0，2上二次可导，且，则XF01F20XMXF203MDXF29设在上连续，存在连续导数，且以，分别,BAXFAF表示，在上的最大值，证明（1）XF|FBADXF22（2）BADXFM|230求极限2131LIMNN31设且证明0LI09,XF20,FX209FX32求函数在区间上的最大值和最小值2XFTD1,33求其中的原函数为1,XFFXCOSX34设的定义域为，可导，且，F,2FX01F0FX，试求以及的极值212COSTAN0CSLIMXXHHFXEFF35设在上非负连续，且满足关系式，求FX0,242COSXFTFTDX20FD36（1）证明当时有；01T2SIN2TT（2）设是正整数，求极限N110LIMINNTD37设是单调连续函数，是它的反函数，且，求XF1XFCXFDFDF138、设，证明当时，0,1FX0X2300XXFTFT40设，求的最小值21|TGXEDG4