概率与数理统计-3-习题

第一二三章习题课第一章、主要内容随机现象随机试验事件的独立性随机事件基本事件必然事件对立事件概率古典概型几何概率乘法定理事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式性质定义条件概率不可能事件复合事件第一章、要求1）熟练掌握事件的关系与运算法则包含、交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律会用事件的关系表示随机事件,BA,BABA,ABBBA,BAABA,BASBABAAAAA,2掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型中的概率；2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,121AA则是两两互不相容事件若,221AAAN2121APAPAPAAAPNN3APBPABPBA14APAP5ABPBPAPBAP6ABPBPABP3熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公式，事件的独立性及性质求概率。1BPABPBAP2ABPAPABPNKKKABPAPBP13|4BKAPBPBKAP,1|NJJABPJAPKABPKAP5BPAPABP重要公式与结论1BAABA或BAABBABPAPBAPBAPBAPABPAP2A与B相互独立BPAPABP|BPABP|ABPABP3BABABABA与与与与,中有一组相互独立,则其余三组也相互独立第二章、主要内容随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义第二章要求1掌握随机变量分布函数的定义XXPXF,12121XXXFXF分布函数的性质,0LIM3XFFX,LIM2000XXFXFXX1LIMXFFX2会求离散型随机变量的分布函数会求离散型随机变量的分布律10123X1214141XPK2112341413掌握连续型随机变量概率密度的性质会确定密度函数中的未知参数掌握分布函数与概率密度的关系,会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某一区间上的概率XDTTFXF2011XFDXXF31221XFXFXXXP21XXDXXF4XFXF4掌握二项分布的概率背景,即会把实际问题中服从二项分布的随机变量构设出来,运用有关公式求概率若X表示N重贝努里试验中成功出现的次数,则XBN,PNKPPCKXPKNKKN，101，210KEKKXPK5掌握泊松分布6掌握均匀分布XUA,B7掌握指数分布其它01BXAABXF000XXEXFX8掌握正态分布及其性质,理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系,会查表求概率,正态变量的线性变换仍然是正态变量10，NXXEXX22212，NXXEXFX2222112|,1,210,210,1,0AAXPAANX则若XXPXFXX2，NXBBXAAP,2ABANBAXY有9随机变量的函数的分布,也是连续型随机变量其函数是连续型随机变量如果XGYX的分布函数求出数的密度函的概率密度通常是根据计算YXFXYXYXGPYYPYFY,DXXXFYXGX的密度函数求导得到再对YYFY定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广第三章、主要内容1掌握二维离散型随机变量分布的定义会求二维离散型随机变量的分布律2掌握二维连续型随机变量概率密度的性质,会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面某一区域上的概率GDXDYYXFGYXP,第三章,要求3会求边缘分布律和边缘概率密度DYYXFXFX，DXYXFYFY，YX1Y2YJYIP1X11P12PJP11P2X21P22PJP22PIX1IP2IPIJPIPJP1P2PJP4掌握随机变量独立性的充分必要条件YFXFYXFYX，JIIJPPP5掌握二维均匀分布的定义及性质DYXDYXAYXF，01,ABDXDYYXFGYXPGDXYAGB,0,1,其它DYCBXACDABYXFYXX与Y相互独立,且分别服从A,B与C,D上的均匀分布6掌握正态分布的性质2IIINX，相互独立，如果随机变量NXXX21，令NIIIXAZ1NIIINIIIAANZ1221，则注若X1,X2不相互独立,则K1X1K2X2不一定服从正态分布,222121NYX若则X,Y分别具有XN1,12,YN2,22且2,22212121NYX7）会求二维离散型随机变量和连续型随机变量函数的分布。的密度函数为则的概率密度为设YXZYXFYX,D,D,YYYZFXXZXFZFZ当X,Y独立时,也可表示为ZFZDYYFYZFYXXXZFXFZFYXZD的分布及,MIN,MAXYXNYXM则有,YFXFYXYX和分布函数分别为它们的变量是两个相互独立的随机设,MAXZFZFZFYX111MINZFZFZFYX,MIN4,MAX3,MIN2,MAX1000000000000ZYZXPZYXPZYZXPZYXPZYZXPZYXPZYZXPZYXP或或的分布及,MIN,MAXYXNYXM设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则MAX,1PXY19例12006解由题设知，具有相同的概率密度1,330,XFX0其他XY与则MAX,11,1PXYPXY11PXPY2120111D39PXX本题属几何概型，也可如下计算，如下图1MAX,11,19SPXYPXYS阴已知,则全不发生的概率为61,0,41BCPACPABPCPBPAPCBA,CBAPCBAPCBAP1ABCPBCPACPABPCPBPAP112311276243ACPAP解例2199200,ABPABCPABABC0ABCP40,7PY0PXMAX,0_PXY设则解MAX,00,0XYXYMAX,0PXY0,0PXY30,7PY0PX又因为00PXY10,0PXY47故3340,0777PXY2757例31995,730,0YXP0,MAX10,MAXYXPYXP0000YXPYPXP某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为P00时，YXYPYFYFXXYFY0,0Y0,21YYFYFYXX3,0181,1480,YYYYFYFYYY其他（II）1,42F211,4,422PXYPXX11,22222PXXPX12111D24X设二维随机变量X,Y的概率密度为2,01,01,0,XYXYFXY其它I求YXP2II求Z的概率密度ZFZ例6（2007）解IYXP2YXDXDYYXF2,122102YDXYXDY247IIDXXZXFZFZ,0,10,10,2,其他XZXXZXXZXF2,01,01,0,XYXYFXY其它DXXZXFZFZ,0,1,10,2其他XZXXZ当Z0或Z2时,0ZFZ当01Z时,ZZDXZZF022ZZ21Z112ZZDXZZF22Z故Z的概率密度ZFZ,0,21,2,10,222其他ZZZZZXZ12随机变量X和Y相互独立，其密度分别为其它，其它，00,00,YEYFXEXFYYXX，且参数0,求Z的分布律YXYXZ当当,0,1引入随机变量ZXYOXY例7YXYXZ当当,0,1,YFXFYXFYX,00,0,其它YXEYX1YXPZPYXDXDYYXF,XYOXY00YYXDXEDYDYDXEEYXY00由独立性解XYOXYDYEEYXY00DYEEYY10DYEDYEYY0001YE11YXPZPDYDXEEYXY000ZP111ZPPZ10例8设二维随机变量X,Y在矩形区域GX,Y|0X2,0Y1上服从均匀分布，若YXYXU01YXYXV2021试求U,V的联合分布律，并判断U与V是否相互独立。解X,Y在G上服从均匀分布，则联合密度函数为O12XY1YXX2YGGYXGYXYXF,0,21,2,0,0YXPYXYXPVUPYXXDYDXDXDYYXF1014121,02,1,0YXYXPVUP22,0,1YXYPYXYXPVUPYXYYYDXDYDXDYYXF21024121,22,1,1YXPYXYXPVUPYXXDYDXDXDYYXF220202121,U,V的联合分布律和边缘分布律为VU01PI01/401/411/41/23/4PJ1/21/2经检验，U和V不是相互独立的。其中PIJPIPJ例1已知随机变量X的分布函数FX是严格单调的连续函数,证明YFX服从0,1上的均匀分布又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F1存在且严格递增证明设Y的分布函数是GY,于是对Y1,GY1对Y0,GY010Y由于对0Y1,GYPYYPFXY即Y的分布函数是1,110,0,0YYYYYGPXY1F1FFYY四、证明题其它,010,1YYG求导得Y的密度函数可见,Y服从0，1上的均匀分布本例的结论在计算机模拟中有重要的应用例如，想得到具有密度函数为的随机数000XXEXFX0参数为的指数分布根据前面的结论，YFX服从0,1上的均匀分布由于当X0时，XEXF1是严格单调的连续函数应如何做呢于是得到产生指数分布的随机数的方法如下均匀随机数UI给指数分布参数令1LN1IIUXIX指数随机数在区间0,1上随机地投掷两点,试证这两点间的距离的密度函数为21,010,ZZFZ其它证明设这两个随机点分别为X,Y,则有0,1,XU0,1YU于是X,Y的概率密度分别为1,010,XXFX其它例21,010,YYFY其它所以X,Y的联合密度为因为X,Y相互独立,1,01,01,0,XYFXY其