电路分析第10章 频率响应 多频正弦稳态电路

第十一章频率响应多频正弦稳态电路111基本概念114正弦稳态的叠加115平均功率的叠加116RLC电路的谐振112再论阻抗和导纳113正弦稳态网络函数在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和电容元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的频率的改变而改变，即使激励的大小不变，在电路中各部分所产生的电压和电流（响应）的大小和相位也将发生变化。电路响应随激励频率变化的关系称为电路的频率响应。111基本概念多频正弦稳态电路就是多个不同频率的正弦电源激励下的稳态电路。多频正弦稳态电路的分析仍可采用相量法，但只能逐个频率分别处理，最后再用叠加方法求得结果。一无源单口网络阻抗的性质UIN0ZUIUIUI|Z|Z112再论阻抗和导纳阻抗模|Z|可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有效值的比值关系；由阻抗的辐角Z可以确定端口上电压与电流的相位关系。可见，确定了无源单口网络的阻抗Z，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。同理，确定了无源单口网络的导纳Y，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。解R1R2BA1JCJL例电路如图，求AB端输入阻抗。R21CR12R1CR12JL1CR12R2JL1CR12R1JCR12R2JL1JCR1R1R1ZABR2JLJCR1JC1ZJRJX阻抗的实部和虚部都是频率的函数。实部称为电阻分量，它并不一定只由网络中的电阻所确定；虚部称为电抗分量，它并不一定只由网络中的动态元件所确定。ZJRJX|ZJ|ZZARCTGRX|ZJ|R2X290纯电感性电路90纯电容性电路0纯电阻性电路0Y90电感性输入导纳YJ可看作激励电压10V所产生的电流响应。Y1Z1Z|Y|Y|Z|IN0U阻抗与导纳的关系1定义单一激励时，响应相量与激励相量之比称为网络函数。网络函数HJ响应相量激励相量2策动点函数同一对端钮上响应相量与激励相量的比称为策动点函数或称驱动点函数。U1I1N0U1I1N0策动点函数113正弦稳态网络函数网络函数H策动点函数转移函数策动点阻抗策动点导纳3转移函数转移函数不同对端钮上响应相量与激励相量的比叫转移函数。根据指定响应相量与激励相量的不同，转移函数分为以下四种1转移阻抗转移阻抗2转移导纳转移导纳ZLU2I1N0ZLU1I2N03电压转移函数电压转移函数4电流转移函数电流转移函数ZLU1N0U2I2ZLU2I1N0策动点函数转移函数网络函数HJ|HJ|HJ|幅频特性相频特性频率特性4网络函数的求法网络函数的求法根据相量模型，可选择用串联分压，并联分流，支路电流法，节点分析法，网孔分析法，叠加原理，戴维南定理和诺顿定理等等各种方法。电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。5滤波电路滤波电路下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络函数和分析电路频率特性的方法。低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输出端，高频信号得到有效抑制。低通滤波电路U1是输入信号电压，U2是输出信号电压，两者都是频率的函数。RJC1U1U2CRU1U2电压转移函数AUU2U1JC1RJC11JCR111CR2ARCTGCR低通滤波电路|AU|11CR2幅频特性相频特性ARCTGCRAUU2U1JC1RJC11JCR1幅频特性0707|AU|1C0幅频特性曲线表明此RC电路具有低通特性。|AU|11CR20时，|AU|1，电容阻抗无穷大幅频特性幅频特性时，|AU|0，电容阻抗等于0当CRC1T1时U1U2120707输出电压为最大输出电压的0707倍C称为截止频率，0C为低通网络的通频带。CRU1U2（B）相频特性C0/4/2相频特性说明输出电压总是滞后于输入电压的，因此，这一RC电路又称为滞后网络。|AU|11CR2幅频特性0时，0相频特性时，90ARCTGCR当CRC1T1时，450707|AU|1C0（A）幅频特性230TUUMA20TUUM4B20TUUMC几种非正弦周期电压的波形几种非正弦周期电压的波形20TUUM（D）以非正弦规律作周期变化的电压、电流称为周期性非正弦电压、电流。114正弦稳态的叠加一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。设周期函数为FT,其角频率为,可以分解为下列傅里叶级数FTA0A1MCOST1A2MCOS2T2A0AKMCOSKTKK1式中，A0不随时间变化，称为恒定分量或直流分量，也就是一个周期内的平均值0TFTDT1TA002FTDT12式中,第二项A1MCOST1的频率与非正弦周期函数的频率相同,称为基波或一次谐波其余各项的频率为周期函数的频率的整数倍,分别称为二次谐波、三次谐波等等。几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式矩形波电压矩齿波电压三角波电压从上面几个式子可以看出傅里叶级数具有收敛性。0T2UMU0T24UMU0T2UMU矩形波锯齿波三角波2TUM0UUT4UMSINTSIN3TSIN5T13基波分量U1三次谐波U3五次谐波U5U1U3U1U3U5例如，矩形波电压可以分解为15设非正弦周期电压U可分解成傅里叶级数UU0U1MCOST1U2MCOS2T2,它的作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。RLCUURULUCIRLCU1URULUCIU2U0非正弦周期信号的谐波分析法非正弦周期信号的谐波分析法RLCU1URULUCIU2U0图中,U1U1MCOST1U2U2MCOS2T2这样的电源接在线性电路中所引起的电流,可以用叠加原理来计算，即分别计算电压的恒定分量U0和各次正弦谐波分量U1、U2单独存在时，在某支路中产生的电流分量I0、I1、I2而后把它们的瞬时值加起来，其和即为该支路的电流，即II0I1I2URL5HC10FUR2K例例已知图中电压U101273COST424COS3TV角频率314RAD/S，试求UR、UR、P。U101273COST424COS3TV式中2F314RAD/S解解1直流分量直流分量U0单独作用时单独作用时JLJ3145J1570U0U1U3UR0U010V2基波分量基波分量U1单独作用时单独作用时电感L视为短路，电容C视为开路。ZRC11JCRR1/JCR/JC31458095RUR1M1273ZRC1JLZRC1U1M31458095126087753181687VUR1318COS314T1687V3三次三次谐波谐波分量分量U3单独作用时单独作用时J3LJ33145J4710ZRC31J3CRR1/J3CR/J3C1068696RUR3M424ZRC3J3LZRC3U3M106869646048993011769VURL5HC10FUR2KUR301COS942T1769V瞬时值瞬时值URUR0UR1UR3有效值有效值URUR0UR1UR3222有功功率有功功率PPRUR/R0053W21210231820121025V10318COS314T168701COS942T1769V因为谐波的频率越高，幅值越小，通常可取前几项来计算有效值。PP0P1P2P0PKK1或0TI2DT1TI依据周期电流有效值定义非正弦周期信号的有效值非正弦周期信号的有效值若某一非正弦周期非正弦周期电流已分解成傅里叶级数ITI0IKMCOSKTKK1I0I1MCOST1I2MCOS2T2I2TI0I1MCOST1I2MCOS2T22INM2COS2NTN和INMCOSNTNIMMCOSMTM上式展开后只有四种可能形式I02I0INMCOSNTN下面分析后两种可能形式的积分T1T0INMCOSNTNIMMCOSMTMDTT1T012INMIMMCOSNTNMTMCOSNTNMTMDT0II0212I1M212I2M2I02I12I22IU02U12U22UT1T0INM2COS2NTNDTT1T0INM2INM2COS2NTN1DT1212非正弦周期非正弦周期电压的有效值为非正弦周期非正弦周期电流的有效值为U1510COST5COS3TV，I215COS（T30）A例已知求电压有效值、电流有效值。解UU02U12U32II02I12152（10252）1217V2215212226ATOIM23I例例已知非正弦周期电流已知非正弦周期电流I的波形如图所示，试求该的波形如图所示，试求该电流的有效值和平均值电流的有效值和平均值解解1有效值有效值0TI2DT1TI012IMSINT2DT2IM2平均值平均值0TIDT1TI0IM012IMSINTDT设US1和US2为两个任意波形的电压源US2单独作用时，流过R的电流为I2TPTRI2TRI1I22RI12RI222RI1I2P1P22RI1I2电阻消耗的瞬时功率115平均功率的叠加依据叠加原理ITI1TI2T式中P1、P2分别为US1、US1单独作用时，电阻所消耗的瞬时功率。一般情况下，I1I20，因此PP1P2，即叠加原理不适用于瞬时功率的计算。当US1单独作用时，流过R的电流为I1TUS2RUS1I设US1单独作用时，流过R的电流为I1TUS2单独作用时，流过R的电流为I2TPTRI2TRI1I22RI12RI222RI1I2P1P22RI1I2电阻消耗的瞬时功率如果PT是周期函数，其周期为T，则其平均功率为0TPTDT1TP0T1TP1P22RI1I2DT0T1T2RI1I2DTP1P2一般情况下，I1I20，因此PP1P2，即叠加原理也不适用于平均功率的计算。US2RUS1IUS1单独作用时I1TI1MCOS1TQ1US2单独作用时I2TI2MCOS2TQ2PTI2RI1I22RI1MCOS1TQ1I2MCOS2TQ22RPT1T0I1MCOS1TQ1I2MCOS2TQ22RDTT1T02I1MI2MCOS1TQ1COS2TQ2RDTT1T0I1M2COS21TQ1RDTT1T0I2M2COS22TQ2RDT电阻消耗的瞬时功率在正弦稳态下若12，且2R1，R为有理数，则存在一个公周期T，PT的周期即为T，而TMT1NT2,T1、T2分别为I1T、I2T的周期，M、N均为正整数。则平均功率为US2RUS1IP12I1M2R12I2M2RI12RI22RP1P212P12I1M2R12I2M2RI1MI2MCOSQ1Q2R12激励同频率时不能用叠加原理求功率，不同频率时可以用叠加原理求功率，即多个不同频率的正弦电流（电压）产生的平均功率等于每一正弦电流（电压）单独作用时产生的平均功率的和。PP1P2（2）若12，则（1）若12，则PT1T0I1M2COS21TQ1RDTT1T02I1MI2MCOS1TQ1COS2TQ2RDTT1T0I2M2COS22TQ2RDT由公式2COSCOSCOSCOS可知设UTU0UKMSINKTUKK1ITI0IKMSINKTIKK1瞬时功率瞬时功率PUTITKUKIKPP0P1P2P0PKK1N0ITUT平均功率平均功率PU0I0UKIKCOSKK1非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。正弦谐波分量的平均功率之和。一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。相当于一系列不同频率的激励作用于电路。U1510COST5COS3TV，I215COS（T30）A,例已知求电路消耗的功率。解PP0P11521015COS303375W12N0ITUTURL5HC10FUR2K例例已知图中电压U101273COST424COS3TV角频率314RAD/S，试求UR、UR、P。U101273COST424COS3TV式中2F314RAD/S解解1直流分量直流分量U0单独作用时单独作用时JLJ3145J1570U0U1U3UR0U010V2基波分量基波分量U1单独作用时单独作用时电感L视为短路，电容C视为开路。ZRC11JCRR1/JCR/JC31458095RUR1M1273ZRC1JLZRC1U1M31458095126087753181687VUR1318COS314T1687V3三次三次谐波谐波分量分量U3单独作用时单独作用时J3LJ33145J4710ZRC31J3CRR1/J3CR/J3C1068696RUR3M424ZRC3J3LZRC3U3M106869646048993011769VURL5HC10FUR2KUR301COS942T1769V瞬时值瞬时值URUR0UR1UR3有效值有效值URUR0UR1UR3222有功功率有功功率PPRUR/R0053W21210231820121025V10318COS314T168701COS942T1769V计算有效值。PP0P1P2P0PKK1或在具有电感和电容的电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电压与电流同相位，则称电路发生了谐振现象。一、一、RLC串联谐振串联谐振116RLC电路的谐振IUURULUCULUCURULUCIUIUURUCULJXCRJXL一、一、RLC串联谐振串联谐振串联谐振条件即XLXC串联谐振频率CRLURULUCIU或2FL12FCF02LC1FZUIUUIIUIUIZR2X2阻抗模阻抗角ARCTANXRZRJXRJXLXC）Z01LCJXCRJXLIUURUCUL一、一、RLC串联谐振串联谐振串联谐振电路的特征I00FI0FR1CLZ1阻抗模最小,为R。电路电流最大，为U/R。3电感和电容两端电压大小相等相位相反。当XLXCR时，电路中将出现分电压大于总电压的现象。2电路呈电阻性,电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉。F0F0IUURUCUL4PUICOSUII2RQUISIN0ZRJXRJXLXC）Z串联谐振曲线F00FII01I02容性感性R2R1R2R10FII00707I0F0F2F1通频带F2F1IUURUCULJXCRJXL一、一、RLC串联谐振串联谐振RLC串联谐振电路的品质因数QQQLPULIURIULUR0LIRI0LR品质因数Q用于表明电路谐振的程度，无量纲。Q|QC|PUCIURIUCURI/0CIR0CR1可见品质因数Q完全由电路的元件参数所决定。UCULQURQU串联谐振又称电压谐振。JXCRJXL01LC由得0II00707I00HL通频带HL只能为正值RLC串联谐振电路的通频带BW和FBWCRLURULUCIU串联谐振频率F02LC1例R、L、C串联电路如图，已知R2、L01MH、C1F，电源电压U10COSTV,求电路谐振时电流有效值I及电感电压有效值UL。2解I5AUR102串联谐振角频率0105RAD/S1LCUL0LI10501103550V例图示电路中，电感L2250H，其导线电阻R20。1如果天线上接收的信号有三个，其频率F1820103HZ、F2620103HZ、F31200103HZ。要收到F1820103HZ信号节目，电容器的电容C调变到多大2如果接收的三个信号幅值均为10V，在电容调变到对F1发生谐振时，在L2中产生的三个信号电流各是多少毫安对频率为F1的信号在电感L2上产生的电压是多少伏L3L2L1C例图示电路中，电感L2250H，其导线电阻R20。解1C150PFL3L2L1C1C11L2要收听频率为F1信号的节目应该使谐振电路对F1发生谐振，即2当C150PF，L2250H时，L2C电路对三种信号的电抗值不同，如下表所示F/HZ8201036201031200103XLXCZIU/Z129012902005A10001660660001518908851000001ULXL/RU645VL3L2L1C其它频率在电感上的电压不到30V，而对F1信号则放大了645倍R20，C150PF，L2250HU10VCRLURULUCIU例R、L、C串联电路如图，已知R2、L01MH、C1F，电源电压U10COSTV,求电路谐振时电流有效值I、谐振角频率0及电感电压有效值UL。（5分）2解I5AUR102串联谐振角频率0105RAD/S1LCUL0LI10501103550V设UUMCOSTR、L、C并联电路二、二、并联谐振并联谐振UCRLIIRICILJLJC1R相量图二、二、并联谐振并联谐振UR1JXL1JXC1（）U）R1XC1XL1J（YR1XC1XL1J（）并联谐振条件XC1XL10YR1并联谐振频率即XLXC或2FL12FCF02LC1FJLJC1R01LC并联谐振电路特征2电流I为最小值，I0U/R1电路呈电阻性，ZR最大，Y最小。3支路电流IL或IC可能会大于总电流I。二、二、并联谐振并联谐振0FF0I所以并联谐振又称电流谐振。I0并联谐振曲线JLJC1RRLC并联谐振电路的品质因数QQILI00GL10CGQQLPUILUIRILIRU/0LU/RR0LQ0CR|QC|PUICUIRICIRU0CU/R或JLJC1R0UU00707U00HL通频带HLGIU0221LCGIU,210UUCGBWLHCGFBWP2RLC并联谐振电路的通频带BW和FBW0II00707I00HL通频带HL只能为正值RLC串联谐振电路的通频带BW和FBW0UU00707U00HLCGBWLHCGFBWP2RLC并联谐振电路的通频带BW和FBWRLC串联谐振电路的通频带BW和FBW0II00707I00HL并联谐振频率F02LC1例GCL并联电路中，已知R1K、L05H、C50F，求此电路的谐振频率F0，谐振时的品质因数Q。（4分）解3185RAD/S品质因数Q102F0LR23185051000解Z1JXL/JXC例图示正弦稳态电路中，已知UST202COSTV,电流I1T0,求电源角频率及电路消耗的功率。（12分）3125H1UST121/6F15H2H1/8FI1T因I1T0，故1/8F电容与2H电感并联部分的阻抗为无穷大JXLJXCJXLJXCJXLXCXLXCLC12RAD/S1LC201251XLXC即解Z21J21251J25例图示正弦稳态电路中，已知UST202COSTV,电流I1T0,求电源角频率及电路消耗的功率。（12分）3125H1UST121/6F15H2H1/8FI1TZ3Z4Z3Z4ZZ2Z33J3J321/612RAD/SZ41J2151J31J253J31J34J45654541I35445AZUS56545200VPUSICOSUI20354COS04550W解N0ITUTRU0/I015V/3A5RUTCLITL128RAD/S1LC0125L1ZLCJXL/JXCJXLJXCJXLJXCJ067JXLXCXCXLXLL05L0125HXC1/C24RAD/S时Z1RJL1ZLC5J4L1J067例已知U1540COST5COS2TV，I32COST755A,设4RAD/S，试确定无源网络N0中一种可能的元件组成及结构。设C0125F例已知U1540COST5COS2TV，I32COST755A,设4RAD/S，试确定无源网络N0中一种可能的元件组成及结构。设C0125FN0ITUTRUTCLITL1解RU0/I015V/3A528RAD/S1LC0125L1L0125H4RAD/S时Z1RJL1ZLC5J4L1J067|Z1|524L10672|Z1|20U1M40I1M2解得L1467H第十一章作业1017,1019,1020,1022第十一章作业118,1111,1114,