解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法

解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想即一般的，若函数在定义域为D，则当XD时，有恒成立XFMXF；恒成立因而,含参数不等式的恒成立问MXFMINMFMA题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论例一已知函数12XXF求的反函数XFF1若不等式对于恒成立,求实数A的取值范围XAXF1416分析本题的第二问将不等式转化成为关于T的一次函XAF1数在恒成立的问题那么，怎样完成这个转化呢21ATTG,4T转化之后又应当如何处理呢【解析】略解101XXF由题设有,AX1XA2即对于恒成立显然,A102AX41,6令,由可知T41,62,T则对于恒成立02ATTG1,4T由于是关于T的一次函数（在的条件下21ATTG21,4T表示一条线段，只要线段的两个端点在X轴上方就可以保证21TAT恒成立）0G4510124012AAG例二定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有XF2,0恒成立，求实数M的取值范围02SIN2COMFF分析利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号F，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间0，1上恒为正的问题而对于0在给定区间XFA，B上恒成立问题可以转化成为在A，B上的最小值问题，若中含有XFF参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由得到02SIN2COMFFSIC2FMF因为为奇函数，X故有恒成立，2SIN2COFF又因为为R减函数，X从而有对恒成立2SIN2COM,0设，则对于恒成立，TSIN1T1,T在设函数,对称轴为22GM当时，0MT0M即，又21TGTO1图1TGTO1图2TMTM如图1021M当，即时,T1,即,4202M,又,11M如图20当时，恒成立T0212MG如图31M故由可知21例三定义在R上的单调函数FX满足F3LOG3且对任意X，YR都有FXY2FXFY1求证FX为奇函数；2若对任意XR恒成立，求实数K的取值范围0293XXFKF分析问题1欲证FX为奇函数即要证对任意X都有FXFX成立在式子FXYFXFY中，令YX可得F0FXFX于是又提出新的问题，求F0的值令XY0可得F0F0F0即F00，FX是奇函数得到证明问题2的上述解法是根据函数的性质FX是奇函数且在XR上是增函数，把问题转化成二次函数FTT1KT20对于任意T0恒成立对二次函数FT进行研究求解2【解析】1证明FXYFXFYX，YR，令XY0，代入式，得F00F0F0，即F00令YX，代入式，得FXXFXFX，又F00，则有0FXFX即FXFX对任意XR成立，所以FX是奇函数2解F3LOG30，即F3F0，又FX在R上是单调函数，2所以FX在R上是增函数，又由1FX是奇函数，2939XXXFFKF23即对于任意恒成立012XXKRX令T30，TGTO1图3TM问题等价于对于任意恒成立0212TKT0T令,其对称轴为直线TF21KX当,即时,021K恒成立,符合题意,故F1K当时,K对于任意,恒成立，解得0TTF0241K21K综上所述,当时,对于任意恒成立21K93XXFKFRX本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷分离系数,由得93XX12X由于,所以,故,即U的最小值为RX03XU12要使对于不等式恒成立,只要XK2K说明上述解法是将K分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖例四已知向量，X1，1X，T。若函数在区间（A2BBAXF1，1）上是增函数，求T的取值范围。（2005年湖北卷第17题）分析利用导数将“函数在区间（1，1）上是增函数”的问题转化为“XF在（1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数0XF在区间（1，1）上恒成立”，利用分离系数法将T分离023TX出来，通过讨论最值来解出T的取值范围。【解析】依定义。TXXTF2321则，TXXF32若在（1，1）上是增函数，则在（1，1）上可设恒成立。0XF在（1，1）上恒成立。0XFXT2考虑函数，（如图4）G3OX11YGX31X由于的图象是对称轴为，XG31X开口向上的抛物线，故要使在（1，1）上恒成立，T231GT即。5而当时，在（1，1）上满足0，即在（1，1）上是增T