振动力学参考答案

请打双面习题与综合训练第一章21一单层房屋结构可简化为题21图所示的模型，房顶质量为M，视为一刚性杆；柱子高H，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为K则MG其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知324GHEJ则K324JH设静平衡位置水平向右为正方向，则有“MX所以固有频率3N24HEJP22一均质等直杆，长为L，重量为W，用两根长H的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题22图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解给杆一个微转角2AH2FMG由动量矩定理AHMGAFAMMLI82COSIN122其中12COSSINHLGAPMLN22304GHLTN323求题23图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1K和3，悬臂梁的质量忽略不计。解悬臂梁可看成刚度分别为K1和K3的弹簧，因此，K1与K2串联，设总刚度为K1。K1与K3并联，设总刚度为K2。K2与K4串联，设总刚度为K。即为21，213K，421344KK4212321442KMP24求题24图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中1J、2和3是三个轴段截面的极FSINFHMGF惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解11/LJK（1）22（2）33/LG（3）2322LJJK（4）/431/2313213222LJILJLLJPINN由由25如题25图所示，质量为2M的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为22222111RXIRMXMT系统的势能为221XKRKU总能量22122143XKRXIMTE由于能量守恒0230D2121XKRXIMT消去X得系统的运动方程为2121XKXI系统的固有频率为2113RIMKP26如题26图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I，求系统的固有频率。解设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为SINTP。很小，系统的动能为2212LMAITOCOSTPN所以，2212MAX1LPAMPITNNNO取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为321,，由0FO，02311LKBGAM（A）由题意可知，系统势能为AGMLKBKAKV12232321112（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，22321MAX1LKBKK由，MAXVT得22121LPPINNNO22321LKBKAK所以，有2132LMAIPON27一个有阻尼的弹簧质量系统，质量为10KG，弹簧静伸长是1CM，自由振动20个循环后，振幅从064CM减至016CM，求阻尼系数C。解振动衰减曲线得包络方程为NTXAE振动20个循环后，振幅比为20641TDLN420TD代入215,得22LN40NPN又NSTGPD2L4021NC69NS/M3MKLA，2NLKAP28一长度为L、质量为M的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题28图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为020AKLCIMCNLKAPLCMLI320312220当NPN时，CCC323MKLAPNC29如题29图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解22222224242014NNCDNIKBCAMLLLKBPLCAMPBKLAKBCAPMLLL当时210如题210图所示，质量为2000KG的重物以3CM/S的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知K48020N/M，C1960NS/M，问重物在碰撞后多少时间达到OMGXOYOFKFC最大振幅最大振幅是多少解以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为022XPNX所以有CMKX0其特征方程为2R1960R4820R0494875I所以X1C49TECOS4875T2C049TESIN4875T由于NT1时，0F，则有SINSIN1SIN12001TPTPKPDTPTMPTXTN218求无阻尼系统对题218图的抛物型外力210TFT的响应，已知0X。题218图解由图得激振力方程为1210TTPTF当0T1时，F，则有10SITNNRDTPBXTNTMSISI1TPTBNNN220求零初始条件的无阻尼系统对题220图所示支承运动的响应。题220图解系统运动的微分方程为SXKMX由图得支承运动方程为12100TTAXS当0312321260407804768MLAEJPLEJ解得123349,19JPMLL解由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为0MM3917678LEJ设振型1205106T10则可得251304TM2876768LMEJ把它们代入下式20|PAM可求得132574EJPML54用邓克莱法求题45系统的基频。解按材料力学挠度公式，则有221313456LLEJ248LL2231356LLJ,123M题45图题45图由邓克莱公式得22131PPM22348616LLLEI307L2135JPML47E55用邓克莱法求题47系统的基频。解由材料力学知，13124EJH1324JH132EJ同理2323133424JHJH由邓克莱法知EMMP832121解之得312HJP56用矩阵迭代法计算题45系统的固有频率和主振型。解由材料力学的知识得柔度矩阵为917683EJLM0M可得到动力矩阵376819MLDJ对初始假设矩阵0,TA进行迭代3330727168407786619LMLLEJEJJ333114075214687874MLLMLDAE3332918766151LMLLEJEJJ323215476LAPJ138JML39L与之对应的第一阶主振型0,410TA下面是求第二阶主频率和主振型21MPD30401234MLEJ01,T2A经过6次迭代，10,0T221384JPML1396EJL下面是求第二阶主频率和主振型2MPTAD3010253251LEJ30,TA题47图题45图经过1次迭代，310,10TA23384EJPML396JL57用矩阵迭代法计算题47系统的固有频率和主振型。解得系统的质量矩阵和柔度矩阵0MM31132424HEJHJ313213244HEJHJ3132123344EHJHEJ取假设振动1T0A324MHEJDM513322145MHJEJ0AT332115250147MHHEJEJD7T2A3321152097285714392MHMHEJEJ2DA879T333211587092901437HHEJEJ390TA332115290292143MHMHEJEJ7D94T5332115290982143HHEJEJ5A9T6332115290292143MHMHEJEJ6D9T7A332115290292143HHEJEJ79T8由于78A3210MHPEJ397136JPH与之对应的第一阶主振型,29,T1A下面计算第二阶振型和频率题47图202064M19325786311TAT11M得到含清除矩阵的动力矩阵21MPD3093046945MHEJ假设初始振型为1T20A，经过8次迭代后得到1,358,4T2249EJPMH2371下面计算第3次振型和频率3204630619HMPEJTAD用同样的方法可得经过三次迭代，233150EJPMH331,0645,120TA最后的结果是13EJPMH237EJPH1,291,3TA5804,6,2T358用矩阵迭代法计算题48系统的固有频率和主振型。解如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为M0M，K3K214K可得动力矩阵D214KM12K设初始假设振型0AT进行迭代经过一次迭代后得0D214KM1KM1A由于A所以K21即K21与之对应的第一阶主振型为T1又由于M31AA1011T所以可得含清除矩阵的动力矩阵题48图A21221KMDT选取初始假设振型T20A20D21KM16K21K第二次迭代A21D21KM124KM2K由于21所以42所以MK42与之对应的第二阶主振型为2AT1由于226M124012MT所以可得动力矩阵A30242KMDT假设T130A30D10823024KK18KM第二次迭代3132410304AKMKKM由于2A所以K413所以K23所以第三阶振型为T10综上所得可以写出主振型A2固有频率为MK1，K2，K359用子空间迭代法计算题45系统的第一、二阶固有频率和主振型。解系统的质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵0,M329192,73EJKL36789LEJ。现取假设振型021TA由动力矩阵迭代得到30397011627825468MLMEJL分别归一化得到1210T题45图题511图求得1M、K113409256788TTMEJL再由李兹法特征植问题为2110KPA即1235670419008A其中23MPLEJ。由上述方程非零解的条件得频率方程解12074,8710AA1T所以1420A重复上述过程进行第二次迭代，有3021647381678TMLMEJ归一化得09T则有320871953TTMEJKL由2PMA有1280005987A得12,A14096T则AA结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型221339584,48EJEJPPMLML2061TA510用传递矩阵法求题510图所示系统的固有频率和主振型。511题511图示的悬臂梁质量不计，抗弯刚度为EJ，用传递矩阵法求梁横向弯曲振动的固有频率和主振型。512用传递矩阵法求题45系统的固有频率和主振型。习题六61一等直杆沿纵向以等速V向右运动，求下列情况中杆的自由振动1杆的左端突然固定；2杆的右端突然固定；3杆的中点突然固定。题510图题45图解；1杆的左端突然固定；杆的初始条件为0,UX,0UXV有题可知1352IAPILASN,IIUXDX201LIDL得2IDALASNIIUXXL0I2IVDL，0IID所以有SINIIPT进而有A221,351,351,3528,ISINSINIIIIIIXLVLXAUXTTDAVPTTLALLAIU全部改成IU62求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动1常力F作用于杆的中点，如题62A图所示；2常力F作用于杆的三分之一点处，如题62B图所示；3两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图62C所示。解（1）根据题意，0T时杆内的应变/2PEA杆的初始条件为00/2,XLUXLX因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为1,2SIN,IIAPILUXDXEA将主振型代入归一化条件，得20SIN1LIAXDLDL得到正则振型1,2IUXA得到以正则坐标表示的初始条件为200ISIN1,2LIIILUDDXDLXI得到以正则坐标表示的对初始条件的响应COSIIIPT于是杆的自由振动,UXT201,21,2SINSINCOIIIIILUTDXAPTL0221,SI4COSIILIXPTL1221,3SINIPLIATEALL（2）根据题意，0T时杆内的应变题62图120/3/PPEAEA设杆的初始条件为102/3,XLUXLX02/331LLX因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为1,2SINIIAPILUXDX将主振型代入归一化条件，得20SIN1LIAXDLL得到正则振型2SIN1,2IUXXIAL得到以正则坐标表示的初始条件为200SISIN31,2LIIILUXDDXADLXI得到以正则坐标表示的对初始条件的响应COSIIIPT于是杆的自由振动,UXT201,21,2SINSINCO3IIIIILUDXAPTL0221,SI3COSIILIXPTL221SINIPLIATEALL（3）根据题意，0T时杆内的应变0PEA杆的初始条件为00/4,/2/3XXLUXLLL因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为1,2SINIIAPILUXDX将主振型代入归一化条件，得20SIN1LIAXDLL得到正则振型2SIN1,2IUXXIAL得到以正则坐标表示的初始条件为2003SINSINI41,2LIIILUXDDXADLXI得到以正则坐标表示的对初始条件的响应0COSIIIPT于是杆的自由振动,UXT201,21,23SINSINICOS4IIIIILUDXAPTL0221,3SII4SICOIILXPTL422,610SINILIATEALL63如题63图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀题63图分布力LFP0的作用，求分布力突然移去时杆的响应。解T0时的应变为0PXEA杆的初始条件为2000XYUD一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为1,352SIN,IIAPLUXDXL将主振型代入上式归一化为20I1LIADL以正则坐标表示初始条件为30028SIN2SIN21,35LIIIPLAUXDDXDLEI028SIPLEI以正则坐标表示对初始条件的响应为COIIIT于是杆的自由振动为3021,351,3520,8SIN2,SIN6SINCO2IIIIIPXLUXTUTDLEPLXATEALLTLILXILFTXUI2CSS1,30杆左端固定端，右端为自由端INO,PTBTAXUTAXDPCSC边界条件00LXD得固有频率，主振型ALIPI21XLIDXUII21SNI1,2,ICOSIN,31TLABTLIALTXUII杆在X处的应变DELF0ALX2初始条件0,203XUEALFU由0X得IBTLAIALXITUII2COSSN,31再利用三角函数正交性LLIDXLIDLA002LXIEF3SN得IL3016TLAIALXITXUII2COSSN,31IEFI6,3064假定一轴向常力F突然作用于题62的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。解COSINPUXCXDA由题意知，边界条件为0L由此解出固有频率1,2IPILSNIIXUDL将主振型代入归一化条件201LIAD，得20SIN1LIADXDLL得到正则振型2SIN1,2IUXXIAL由20,IIIPQTUD因为PT为集中力，不是分布力002,SINLLIIIXQXTDTXPTPAL所以由上式得稳态响应2SIN1COS1,32ILPIATTAALL20,121,2,INSIN1COS2IIJIXLPIAUXTXTTALIAALL1,3,SCOSIPLUTTEAILL（I1，2，3）65假定题63的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力TLFSIN0，求该杆的稳态强迫振动。解因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为1,352SINIIAPILUXDX将主振型代入归一化条件，得20SI1LIAXDLDL得到正则振型2SIN1,35IUXXIAL又第I个正则方程为20,LIIIPQXTUD0SIN2LFITXDL02I1,35IDT所以可得正则坐标的稳态响应为02SINIIDFTTP杆的稳态响应振动为1,2,IIUXTUT1,35IIUT021,354SSINIIFTXLLP其中,IEAL。66一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力21TFT，其中1、T为常数，假设起初杆处于静止，求杆的响应。解COSINPUXCXDAEAICOSDPX由题意知，边界条件为0,0XXL有这些边界条件得,DSINPCA，所以IPALIL,123I所以COSIIUXXL0,123I由20LIACDL所以2ICAL,13I所以COSIUXXL2由0,LIIIPQXTD由于21TPTP集中力，而非分布力所以2100,COSLLIIIITQXTUDPTXUDPTCPI2211COS,02,4IIITCPCPT，因为是在中央作用力，所以L所以，由上式求得稳态响应212COSIITTPIP当,4时，0IP，21021SNCO2COSTIIIIIIITCTDPTPTPT当时，I，2132112041210TTTDVALTPVLLTDAL所以2120,120,120,12,COSCOSCOSIIIIJJJJITUXTXTCXPILPPALTPL412,4412212,4,COS2COSIIIIIIIIITPUXTUXTALTCTPTPTLPT67一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘，如题67图所示，已知轴长L，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为SI及0，求系统扭转振动的频率方程。解22XAT（G）设SINCO,TBTAUX代入运动微分方程得022XAD上式的解可表示为AXDCSINCO其边界条件当X0时，020UKDXIGS当XL时，20LISU（0）UL1TAN20ALILSS,其中GA268题68图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为PJ，质量密度为，长度为L，弹簧的扭转刚度为K，求系统扭转的频率方程。XAT22（G）设SINCO,TBTAXUT代入运动微分方程得022XUADX上式的解可表示为AXDCSINCO（A）其边界条件为0，在L处LUKDXGJF（B）将（B）中第一式代入（A）得CLDSIN（C）将（B）中第二式代入（A）得LAKLGJFSIN题67图题68图ALKGJLPTAN,其中EA202000LIJLJIJLLJJPJPJDUEAXIJDDEAXKXIK称为第J阶主刚度69写出题69图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。解边界条件为0,U2XLXLUEAMKUTTCOSIN,SPCDXAUXTUATBPT由0,得0，COSINPTTXA22ICOSIUPDXATBPTTA由条件（2）得2COSSINSIPEALMLKDLAA所以INIPUXX22COSSINPPALMKLAAETG这就是我们所要求的频率方程所以主振型关于质量的正交性00LIJLIJPJPJAUDXIM为第阶主质量主振型关于刚度的正交性为解该题中杆的振动方程为SINCO,PTBTAXUTU其中/SIN/COS2EAPXDAPXCXU由于边界条件中U（0）0代入U（X）中得C0再将U（X）代入中，由知LXUSINCOSINPTBTAAPLII22TTLDTLX再由边界知EALXLXLXTUMKU2得APEAPATN2即KL2已知方程2,1222IIIJUAPDXEAUPDXEXUAT得及另一特解取一特解代入该式中得将由2乘并对杆积分得题69图DXUAPDXUEAXJLIIILJ020所以3020DXPXJLIIJLILIJ由LXLLXTUMKUEA2得UKPDULXIJJIJLIIJJIJLIJIJLIJLIJIJJIJLIJLIJIIPLUKDXEALMULKDXMPILUKXEAALU2000200255,430得将上式代入两式相减得互换得代入及所以，其解为正交。610试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振