高考三角函数经典解答题及答案

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莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄薆袆羂艿蒂袅膄肂蒈袅袄莈莄蒁羆膀芀蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀薈羃膇芆薇肅羀薅薆螅膅薁薅羇肈蒇薄聿芄莃薃蝿肆艿薃袁节薇薂羄肅蒃蚁肆芀荿蚀螆肃芅虿羈芈芁蚈肀膁薀蚇螀莇蒆蚇袂膀莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆螄螇羁蒂螃衿膆莈螂肁罿莄螁螁芄芀螁袃肇蕿螀1在ABC中，角A、B、C所对的边分别是A，B，C，且A2C2B2（1）求SIN21AC2ACCOS2B的值；2（2）若B2，求ABC面积的最大值1解1由余弦定理4SIN2AB1421,得SINBB2，44（2）由COSB11822AC,得AC,SAC时取等号ABCAC22332故SABC的最大值为32在ABC中，角A，B，C的对边分别为A，B，C，且BCOSC3ACOSBCCOSB（I）求COSB的值；（II）若2，且B22，求A和CB的值解（I）由正弦定理得A2RSINA,B2RSINB,C2RSINC，则2RSINBCOSC6RSINACOSB2RSINCCOSB,故SINBCOSC3SINACOSBSINCCOSB,可得SINBCOSCSINCCOSB3SINACOSB,即SINBC3SINACOSB,可得SINA3SINACOSB又SINA0,1因此COSB3（II）解由2,可得ACOSB2，1又COSB,故AC6,3由B2A2C22ACCOSB,可得A2C212,所以AC20,即AC,所以AC63已知向量MSINB,1COSB,向量N（2，0），且M与N所成角为，31其中A、B、C是ABC的31COSBSINBSINACOSB1SINB6又0B1276665B662B3B（2）由（1）知，B2，AC3313COSAASINASINCSINASINASINA22330A3，3A323,1,1，SINASINCSINA3224已知向量M1,2SINA，NSINA,1COSA,满足M/N,BC（I）求A的大小；（II）求SINB6的值解（1）由M/N得2SIN2A1COSA02分即2COS2ACOSA10COSA1或COSA12A是ABC的A3（2）BCA由正弦定理，SINBSINCSINA322BC32SINB23B32333COSBSINB即SINB222625在ABC中，A、B、C分别是角A、B、C的对边，C2A，COSA（1）求COSC,COSB的值；（2）若3，427，求边AC的长。2解（1）COSCCOS2A2COS2A12911168由COSC13737,得SINC由COSA,得SINA8844COSBCOSACSINASINCCOSACOSC（2）7373194848162727,ACCOSB,AC2422AC3又,C2A,C2ACOSAASINASINC2由解得A4，C6B2A2C22ACCOSB163648B5，即AC边的长为592516ABAB6已知A、B是ABC的两个,SIN）22（）试问TANATANB是否为定值若为定值，请求出；否则请说明理由；（）求TANC的最大值，并判断此时三角形的形状解（）由条件32|A|22ABAB1COSABSIN21COSAB2221COSABCOSAB213SINASINBCOSACOSBTANATANB为定值3TANATANB（）TANCTANAB1TANATANB1由（）知TANATANB，TANA,TANB032COS23从而TANC33TANATANB222，即AB取得最大值，6取等号条件是TANATANB7在ABC中，角A、B、C的对边分别为A、B、C已知AB5，C24SIN7，且AB7COS2C221求角C的大小；（2）求ABC的面积解1ABC180AB7C7COS2C得4COS2COS2C22221COSC742COS2C122由4SIN2整理，得4COS2C4COSC1015分20C180C60解得COSC（2）解由余弦定理得CAB2ABCOSC，即7ABAB7AB3AB由条件AB5得7253ABAB610分SABC22222211333ABSINC622228已知角A,B,C为ABC的三个内角，其对边分别为A,B,C，若MCOSA,NSI2A，2NCOSAA1,SIN，A2，且MN222（1）若ABC的面积S（2）求BC的取值范围，求BC的值AAAA1,SIN，NCOS,SIN，且MN22222AA1122分COS2SIN2，即COSA，又A0,，A222231又由SABCBCSINA，BC422由余弦定理得A2B2C22BCCOSB2C2BC3解（1）MCOS16BC2，故BC44（2）由正弦定理得BCA234，又BCA，2SINBSINCSINA3SIN3BC4SINB4SINC4SINB4SINB4SINB330B3，则3B332则SINB1，即BC的取值范围是2332,410分9在锐角ABC中，已知1若AABCB，求A、B、C的大小；2已知向量MSINA，COSA，NCOSB，SINB，求3M2N的取值范围、C的对边分别为A、B、C10在ABC中，角A、B，M2BC,A，NCOSA,COSC，且MN。求角A的大小；5当Y2SIN2BSIN2B6取最大值时，求角B的大小解由MN，得MN0，从而2BCCOSAACOSC0由正弦定理得2SINBCOSASINCCOSASINACOSC02SINBCOSASINAC0,2SINBCOSASINB0A,B0,，SINB0,COSA1，A（623分）Y2SIN2BSIN2B61COS2BSIN2BCOS6COS2BSIN6112BCOS2B1SIN2B26由1得，0B即B27,2B,时，3666623时，Y取最大值211在ABC中，A、B、C分别是角A、B、C的对边，且（I）求角B的大小；（II）若B，AC4，求ABC的面积解（I）解法一由正弦定理COSBBCOSC2ACABC2R得SINASINBSINCA2RSINA，B2RSINB，C2RSINC将上式代入已知COSBBCOSBSINB得COSC2ACCOSC2SINASINC即2SINACOSBSINCCOSBCOSCSINB0即2SINACOSBSINBC0ABC，SINBCSINA，2SINACOSBSINA0SINA0，COSB1，223B为三角形的解法二由余弦定理得COSB2AC2ABCOSBBA2C2B22ABB得2将上式代入22COSC2AC2AC2ACABC6整理得A2C2B2ACA2C2B2AC1COSB2AC2AC2B为三角形32代入余弦定理B2A2C22ACCOSB得3（II）将B，AC4，BBAC2AC2ACCOSB，2213162AC1，AC3SABC1213ACSINB32412ABC中，A、B、C是三个（2）若CCOSC0COSC0即，即1，2COSC2或COSC16SINC24COSC021故，角的最大CCOSC2值为60。6分1（2）当C60时，SABCABSINCABAB6，242222由余弦定理得CAB2ABCOSCAB2AB2ABCOSC，12111AB2C23AB，AB。4213在ABC中，角A、B、C的对边分别为A、B、C，且满足（2AC）COSBBCOSC（）求角B的大小；（）设MSINA,COS2A,N4K,1K1,且MN的最大值是5，求K的值解（I）2ACCOSBBCOSC，（2SINASINC）COSBSINBCOSC2分即2SINACOSBSINBCOSCSINCCOSBSINBCABC，2SINACOSBSINA4分0A,SINA0715分20B，B6分3（II）MN4KSINACOS2A7分COSB2SINA4KSINA1，A（0，设SINAT，则T0,1222）10分3222则MN2T4KT12TK12K,T0,112分K1，T1时，MN取最大值依题意得，24K15，K3214已知锐角ABC三个（）求函数Y2SIN2BCOS解（）P,Q共线C3B的最大值222SINA1SINACOSASINACOSASINA2分34分4又A为锐角，所以SINAA6分23B3BC3B3（）Y2SIN2BCOS2SIN2BCOS2212SIN2BCOS2B1COS2BCOS2B2B22312BCOS2B1SIN2B19分265B0,2B,10分2666SIN2A2B62B3时，YMAX212分15在三角形ABC中，M（COS（1）求C；（2）已知CCCCC,SIN）,NCOS,SIN且M的夹角为2222337,三角形的面积S,求AB（A、B、C分别A、B、C所对的边）228CCSIN2COSC221MN|M|N|COS321COSCC237222（2）CAB2ABCOSCC2解（1）COS234922112ABABAB3ABSABSINCABSINAB2422342AB6AB4949121113AB18AB442416已知ABC中，角A，B，C，所对的边分别是A,B,C，且2A2B2C23AB；（1）求SIN2AB2（2）若C2，求ABC面积的最大值。3A2B2C232分解（）ABCAB,COSC22AB4222ABC,SIN2AB1COSAB1COSC76分222833（）A2B2C2AB,且C2，A2B24AB，223又A2B22AB,AB2AB4,AB88分2237310分COSC,SINCCOS2C444SABC1ABSINC,2当且仅当AB22时，ABC面积取最大值，最大值为717在ABC中，角A,B,C所对的边分别为A,B,C，且满足CSINAACOSC（）求角C的大小；SINACOS（B4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。解析（I）由正弦定理得SINCSINASINACOSC因为0A,所以9SINA0从而SINCCOSC又COSC0,所以TANC1,则C4B3（II）由（I）知4A于是ACOSB4ACOSAACOSA2SINA60A3114,6A612,从而当A62,即A3时,2SINA6取最大值2ACOSBA,B54的最大值为2，此时31218ABC的3分又由于AC90,B180AC,故COSCSINCAC2C2C7分CCCOS2C,COS45CCOS2C因为0C90，所以2C45C,COSA2COSC2CA19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为A，B，C已知COSBB10CSINC1（I）求SINA的值；（II）若COSB4，B2，ABC的面积S。ABCK,SINASINBSINC解（I）由正弦定理，设2CA2KSINCKSINA2SINCSINA,KSINBSINB则BCOSA2COSC2SINCSINACOSBSINB所以即COSA2COSCSINB2SINCSINACOSB，化简可得SINAB2SINBC又ABC，所以SINC2SINASINC2因此SINASINC2SINA（II）由得C2A由余弦定理1B2A2C22ACCOSB及COSB,B2,41得4A24A24A24解得A1。因此C21SINBCOSB,且GB4又因为所以因此20在ABC中，A、B、C分别为112即ABCBC由余弦定理得ABC2BCCOSA故COSA2222221,A1202222（）由（）得SINASINBSINCSINBSINC又SINBSINC1，得SINBSINC因为0B90,0C90，12故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。21在ABC中，A,B,C分别为ABCBC由余弦定理得ABC2BCCOSA故COSA22222221，A1206分2（）由（）得SINBSINCSINBSIN60B1BSINB22SIN60B故当B30时，SINBSINC取得最大值1。12分22ABC中，角A，B，C所对的边分别为A,B,C,设S为ABC的面积，满足S2AB2C2。（）求角C的大小；（）求SINASINB的最大值。1223设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为A，B，C，A2BSINA（）求B的大小；（）求COSASINC的取值范围解（）由A2BSINA，根据正弦定理得SINA2SINBSINA，所以SINB由ABC为锐角三角形得B1，26A（）COSASINCCOSASINCOSASINA61COSACOSAA2A3由ABC为锐角三角形知，AB，B2222632A，336所以1SINA2313A，33所以，COSASINC的取值范围为224在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为A,B,C，A，TANABCTAN4,222SINBCOSCSINA，求A,B及B,C解由TANAB2TANC24得COTC2TANC24COSCCSIN41SINCC42COS2SIN2COS2SINC12，又C0,C56，或C6由2SINBCOSCSINA得2SINBCOSBSINBC即SINBC0BCBC6ABC23由正弦定理ABCSINASINBSINC得1BCASINBSINA2225在锐角ABC中，A、B、C分别为角A、B、C所对的边，且3A2CSINA确定角C的大小（）若C7,且ABC的面积为332,求AB的值。解（12CSINA及正弦定理得，ACSINASINC21世纪教育网14QSINA0,SINC2QABC是锐角三角形，C（2）解法1QC3C3由面积公式得1ABSIN即AB623由余弦定理得21世纪教育网A2B22ABCOS327,即A2B2AB7（AB25,故AB5由变形得解法2前同解法1，联立、得A2B2AB7A2B2AB6AB6消去B并整理得A13A360解得A4或A9所以4222A2A3或故AB5B3B215螁肈芀蚄袃袁膆蚃薃肆肂蚂蚅衿莁蚂袇肅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿芆螂羆肅芆袄膁莄芅薄羄艿莄蚆腿膅莃螈羂肁莂羁螅蒀莁蚀肁莆莀螂袃节莀袅聿膈荿薄袂肄莈蚇肇莃蒇蝿袀艿蒆袁肅膅蒅蚁袈膁蒄螃膄肇蒄袆羇莅蒃薅膂芁蒂蚈羅膇蒁螀膀肃薀袂羃莂蕿薂螆芈薈螄羁芄薈袆袄膀薇薆肀肆薆蚈袃莄薅螁肈芀蚄袃袁膆蚃薃肆肂蚂蚅衿莁蚂袇肅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿芆螂羆肅芆袄膁莄芅薄羄艿莄蚆腿膅莃螈羂肁莂羁螅蒀莁蚀肁莆莀螂袃节莀袅聿膈荿薄袂肄莈蚇肇莃蒇蝿袀艿蒆袁肅膅蒅蚁袈膁蒄螃膄肇蒄袆羇莅蒃薅膂芁蒂蚈羅膇蒁螀膀肃薀袂羃莂蕿薂螆芈薈螄羁芄薈袆袄膀薇薆肀肆薆蚈袃莄薅螁