内蒙古呼和浩特市2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016年内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程有（ ） ； bx+c=0； 3= x； a2+a x=0； （ m 1） x+ =0； + = ； =2； （ x+1） 2=9 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2关于 x 的一元二次方程（ a 1） x2+x+1=0 的一个根为 0，则 a 的值为（ ） A 1 或 1 B 1 C 1 D 0 3下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A x2+x+1=0 B x 1=0 C 6x+9=0 D 2x+3=0 4已知二次 函数 y=4x+5 的顶点坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 2， 1） D（ 2， 1） 5已知抛物线 y= x+3 的顶点为 P，与 x 轴的两个交点为 A， B，那么 面积等于（ ） A 16 B 8 C 6 D 4 6如果抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 0， 2）， B（ 1， 1）两点，那么此抛物线经过（ ） A第一、二、三、四象限 B第一、二、三象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 7 2008 年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重 的一场金融危机受金融危机的影响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 a%后售价为 148 元，下面所列方程正确的是（ ） A 200（ 1+a%） 2=148 B 200（ 1 a%） 2=148 C 200（ 1 2a%） =148 D 200（ 1 =148 8已知抛物线 y=x 上三点 A（ 5， B（ 1， C（ 12， 则 足的关系式为（ ） A 抛物线 y=bx+c 与抛物线 y=2x2+x 3 关于 x 轴对称，则此抛物线的解析式为（ ） A y= 2x+3 B y= 2x2+x+3 C y=2x+3 D y= 2x2+x 3 10二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则下列结论： 0， b a+c， 4a+2b+c 0， 2c 3b， a+b m（ am+b）（ m 1）中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11关于 x 的方程 2x+1=0 有实数解，则 m 需满足 第 2 页（共 17 页） 12若 方程 4x+2=0 的两根，则 + 的值为 13根据下列表中的对应值： x .4 bx+c 断方程 bx+c=0（ a 0， a， b， c 为常数）的一个解的取值范围为 14将二次函数 y=2 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 所得抛物线的解析式为 15如图所示，已知二次函数 y=bx+c 的图象经过两点（ 1， 0）和（ 0， 1），则化简代数式 + = 16已知二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴交于点（ 2， 0），（ 0），且 1 2，与y 轴的正半轴的交点在（ 0， 2）的下方下列结论： 4a 2b+c=0； a b 0； 2a+c 0； 2a b+1 0其中正确结论有 （填序号） 三、解答题（共 72 分） 17解下列方程 （ 1） 4x 3=0； （ 2） 3x（ x 1） =2（ x 1）； （ 3） 34=0 18已知关于 x 的一元二次方程 4m+1） x+2m 1=0； （ 1）求证：不论 m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若方程的两根为 满足 ，求 m 的值 19如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 为多少米？ 20已知抛物线的解析式为 y= 2m 1） x+m （ 1）请说明此抛物线与 x 轴的交点情况； （ 2）若此抛物线与直线 y=x 3m+4 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值 第 3 页（共 17 页） 21阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程 2x=0，通过因式分解将方程化为 x（ x 1） =0，从而得到 x=0 或 x 2 两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的 解 （ 1）利用上述方法解一元二次不等式： 2x（ x 1） 3（ x 1） 0； （ 2）利用函数的观点解一元二次不等式 x+5 0 22某公司投资建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间租金定为 10 万元，可全部租出，每间的年租金每增加 5000 元，少租出商铺 1 间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元 （ 1）当每间商铺的年租金为 元时，能租出多少间？ （ 2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为 275万元？ 23 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 矩形的三边 成，已知河底 水平的， 6 米， 米，抛物线的顶点 C 到距离是 11 米，以 在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关系 h= （ t 19） 2+8（ 0 t 40），且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ 24已知，如图抛物线 y=ax+c（ a 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A， B 两点，点A 在点 B 左侧点 B 的坐标为（ 1， 0）， （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 D 是线段 方抛物线上的动点，求四边形 积的最大值； （ 3）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上是否存在以 A， C， E， P 为顶点且以 一边的平行四边形？若存在，写出点 P 的坐标；若不存在 ，请说明理由 第 4 页（共 17 页） 2016年内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程有（ ） ； bx+c=0； 3= x； a2+a x=0； （ m 1） x+ =0； + = ； =2； （ x+1） 2=9 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行分析即可 【解答】 解： ； 3= x 是关于 x 的一元二次方程，共 2 个， 故选： A 2关于 x 的一元二次方程（ a 1） x2+x+1=0 的一个根为 0，则 a 的值为（ ） A 1 或 1 B 1 C 1 D 0 【考点】 一元二次方程的解；一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程和一元二次方程的解得出 a 1 0， 1=0，求出 a 的值即可 【解答】 解：把 x=0 代入方程得： 1=0， 解得： a= 1， （ a 1） x2+ax+1=0 是关于 x 的一元二次方程， a 1 0， 即 a 1， a 的值是 1， 故选： B 3下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A x2+x+1=0 B x 1=0 C 6x+9=0 D 2x+3=0 【考点】 根的判别式 【分析】 分别计算出四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况 【解答】 解： A、 =12 4 1 1= 3 0，则方程没有实数根，故本选项错误； B、 =（ 1） 2 4 1 （ 1） =5 0，则方程有两个不相等的实数根，故本选项 正确； C、 =（ 6） 2 4 1 9=0，则方程有两个相等的实数根，故本选项错误； D、 =（ 2） 2 4 1 3= 8 0，则方程没有实数根，故本选项错误 故选： B 4已知二次函数 y=4x+5 的顶点坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 2， 1） D（ 2， 1） 【考点】 二次函数的性质 第 5 页（共 17 页） 【分析】 把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标 【解答】 解： y=4x+5， =4x+4+1， =（ x 2） 2+1， 所以，顶点坐标为（ 2， 1） 故 选 B 5已知抛物线 y= x+3 的顶点为 P，与 x 轴的两个交点为 A， B，那么 面积等于（ ） A 16 B 8 C 6 D 4 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接顶点坐标进而求出图象与 x 轴交点坐标，即可求出三角形面积 【解答】 解： y= x+3， y=（ x 1） 2+4， 顶点坐标为（ 1， 4） 0=（ x 1） 2+4， 1， ， 与 x 轴的两个交点为 A， B（ 3， 0），（ 1， 0）， ， P 到 距离为： 4， S 4 4=8， 故选： B 6如果抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 0， 2）， B（ 1， 1）两点，那么此抛物线经过（ ） A第一、二、三、四象限 B第一、二、三象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】 利用待定系数法求得该抛物线的解析式，然后根据解析式求得该抛物线与 y 轴的交点坐标、顶点坐标，从而推知该抛物线所经过的象限 【解答】 解： 抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 0， 2）， B（ 1， 1）两点， ， 解得， ； 该抛物线的解析式是： y= 4x 2=（ x+2） 2 2， 该抛物线的开口向下，顶点坐标是（ 2， 2），与 y 轴的交点是（ 0， 2）， 该抛物线经过第二、三、四象限 故选 D 第 6 页（共 17 页） 7 2008 年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机受金融危机的影响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 a%后 售价为 148 元，下面所列方程正确的是（ ） A 200（ 1+a%） 2=148 B 200（ 1 a%） 2=148 C 200（ 1 2a%） =148 D 200（ 1 =148 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 本题可先用 a 表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于 a 的方程 【解答】 解：当商品第一次降价 a%时，其售价为 200 200a%=200（ 1 a%） 当商品第二次降价 a%后，其售价为 200（ 1 a%） 200（ 1 a%） a%=200（ 1 a%） 2 200（ 1 a%） 2=148 故选 B 8已知抛物线 y=x 上三点 A（ 5， B（ 1， C（ 12， 则 足的关系式为（ ） A 考点】 二次函数的性质 【分析】 首先求出抛物线 y=x 的对称轴，然后根据 A、 B、 C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解 【解答】 解： 抛物线 y=x， x= 1， 而 A（ 5， B（ 1， C（ 12， B 离对称轴最近， A 次之， C 最远， 故选 C 9抛物线 y=bx+c 与抛物线 y=2x2+x 3 关于 x 轴对称，则此抛物线的解析式为（ ） A y= 2x+3 B y= 2x2+x+3 C y=2x+3 D y= 2x2+x 3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 抛物线 y=2x2+x 3=2（ x+ ） 2 的顶点坐标为（ ， ），则它关于 x 轴对称的顶点坐标是（ ， ），由此求得抛物线 y=bx+c 的解析式 【解答】 解： 抛物线 y=2x2+x 3=2（ x+ ） 2 的顶点坐标为（ ， ）， 它关于 x 轴对称的顶点坐标是（ ， ）， 此抛物线的解析式为 y=2（ x ） 2 = 2x+3 故选： A 10二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则下列结论： 0， b a+c， 4a+2b+c 0， 2c 3b， a+b m（ am+b）（ m 1）中正确的是（ ） 第 7 页（共 17 页） A B C D 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】 解： 由图象可知： a 0， b 0， c 0， 0，故此选项正确； 当 x= 1 时， y=a b+c 0，即 b a+c，错误； 由对称知，当 x=2 时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c 0，故此选项正确； 当 x=3 时函数值小于 0， y=9a+3b+c 0，且 x= =1， 即 a= b，代入得 9（ b） +3b+c 0，得 2c 3b，故此选项正确； 当 x=1 时， y 的值最大此时， y=a+b+c， 而当 x=m 时， y=bm+c， 所以 a+b+c bm+c， 故 a+b a+b m（ am+b），故此选项错误 故 正确 故选 C 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11关于 x 的方程 2x+1=0 有实数解，则 m 需满足 m 1 【考点】 根的判别式 【分析】 根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】 解： 方程 2x+1=0 有实数解， =（ 2） 2 4m=4 4m 0， 解得： m 1 故答案为： m 1 12若 方程 4x+2=0 的两 根，则 + 的值为 6 【考点】 根与系数的关系 第 8 页（共 17 页） 【分析】 根据根与系数的关系可得出 x1+、 x1，将 + 变形为，代入数据即可得出结论 【解答】 解： 方程 4x+2=0 的两根， x1+， x1， + = = = =6 故答案为： 6 13根据下列表中的对应值： x .4 bx+c 断方程 bx+c=0（ a 0， a， b， c 为常数）的一个解的取值范围为 x 【考点】 图象法求一元二次方程的近似根 【分析】 根据函数 y=bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 bx+c=0 的根，再根据函数的增减性即可判断方程 bx+c=0 一个解的范围 【解答】 解：函数 y=bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 bx+c=0 的根， 函数 y=bx+c 的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0； 由表中数据可知： y=0 在 y= y=间， 对应的 x 的值在 间，即 x 故答案为 x 14将二次函数 y=2 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 y=x+3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 直接根据 “上加下减、左加右减 ”的原则进行解答即可 【解答】 解：由 “左加右减 ”的原则可知，二次函数 y=2 的图象向左平移 2 个单位得到 y=（ x+2） 2 2， 由 “上加下减 ”的原则可知，将二次函数 y=（ x+2） 2 2 的图象向上平移 1 个单位可得到函数y=（ x+2） 2 2+1， 即 y=x+3 故答案为 ： y=x+3 15如图所示，已知二次函数 y=bx+c 的图象经过两点（ 1， 0）和（ 0， 1），则化简代数式 + = 第 9 页（共 17 页） 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 把已知点的坐标代入可求得 a=b+1，再由对称轴在 y 轴的右侧可求得 b 0，则可求得 0 a 1，则可比 较 a 和 的大小关系，化简可求得答案 【解答】 解： y=bx+c 的图象经过两点（ 1， 0）和（ 0， 1）， ，整理可得 a=b+1， 对称轴在 y 轴的右侧，抛物线开口向上， 0，且 a 0， b 0， 0 a 1， a ， + = + = a+a+ = ， 故答案为： 16已知二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴交于点（ 2， 0），（ 0），且 1 2，与y 轴的正半轴的交点在（ 0， 2）的下方下列结论： 4a 2b+c=0； a b 0； 2a+c 0； 2a b+1 0其中正确结论有 （填序号） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断 a、 b、 c 的符号，把两根关系与抛物线与 x 的交点情况结合起来分析问题 【解答】 解： 由二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴交于点（ 2， 0）， 4a 2b+c=0，故 正确； 因为图象与 x 轴两交点为（ 2， 0），（ 0），且 1 2， 对称轴 x= = ， 则对称轴 0，且 a 0， a b 0， 由抛物线与 y 轴的正半轴的交点在（ 0， 2）的下方，得 c 0，即 a b c，故 正确； 第 10 页（共 17 页） 设 2，则 ，而 1 2， 4 2， 4 2， 2a+c 0， 4a+c 0，故 正确； c 2， 4a 2b+c=0， 4a 2b+2 0， 2a b+1 0，故 错误； 故答案为： 三、解答题（共 72 分） 17解下列方程 （ 1） 4x 3=0； （ 2） 3x（ x 1） =2（ x 1）； （ 3） 34=0 【考点】 换元法解一元二次方程；解一元二次方程 【分析】 （ 1）用配方法解一元二次方程即可； （ 2）先移项，再提公 因式即可； （ 3）把 作整体，再用因式分解法求解即可 【解答】 解：（ 1） 4x=3， 4x+4=7， （ x 2） 2=7， x 2= ， x= +2， +2， +2； （ 2） 3x（ x 1） 2（ x 1） =0， （ x 1）（ 3x 2） =0； x 1=0 或 3x 2=0， ， ； （ 3）（ 4）（ ） =0， 4=0， =0， 或 1（舍去）， ， 2 18已知关于 x 的一元二次方程 4m+1） x+2m 1=0； （ 1）求证：不论 m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若方程的两根为 满足 ，求 m 的值 【考点】 根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （ 1）要证明方程总有 两个不相等的实数根，那么只要证明 0 即可 （ 2）因为 = = ，所以由根与系数的关系可得 = ，解方程可得 m 的值 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解：（ 1）证明： =（ 4m+1） 2 4（ 2m 1） =16m+1 8m+4=16 0， 不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根 （ 2） ，即 = ， 由根与系数的关系可得 = ， 解得 m= ， 经检验得出 m= 是原方程的根， 即 m 的值为 19如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 为多少米？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设 长度为 x 米，则 长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程 【解答】 解：设 长度为 x 米，则 长度为米 根据题意得 x=400， 解得 0， 则 100 4x=20 或 100 4x=80 80 25， 舍去 即 0， 0 答：羊圈的边长 别是 20 米、 20 米 20已知抛物线的解析式为 y= 2m 1） x+m （ 1）请说明此抛物线与 x 轴的交点情况； （ 2）若此抛物线与直线 y=x 3m+4 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 （ 1）利用一元二次方程根的判别式判断即可； （ 2）根据题意列出方程，解方程即可 【解答】 解：（ 1） =（ 2m 1） 2 4 （ m） =44m+1 4m=1 0， 所以抛物线与 x 轴有两个不相同的交点； （ 2）当 x=0 时，可得 m= 3m+4， 第 12 页（共 17 页） 整理得， m 4=0， 解得， 1 ， 1 21阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程 2x=0，通过因式分解将方程化为 x（ x 1） =0，从而得到 x=0 或 x 2 两个 一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解 （ 1）利用上述方法解一元二次不等式： 2x（ x 1） 3（ x 1） 0； （ 2）利用函数的观点解一元二次不等式 x+5 0 【考点】 二次函数与不等式（组）；解一元一次方程；解一元二次方程 【分析】 （ 1）利用因式分解的方程可把该不等式化成两个一元一次不等式组，分别求其解集即可求得答案； （ 2）设 y=x+5，可求得 y=0 时对应的 x 的值，再结合抛物线的开口方向，可求得不等式的解集 【解答】 解： （ 1） 2x（ x 1） 3（ x 1） 0 可化为（ x 1）（ 2x 3） 0， 或 ， 解 得 1 x ，解 得 1 且 x （此不等式组无解）， 原不等式的解集为 1 x ； （ 2）设 y=x+5， 当 y=0 即 x+5=0 时，可求得 x= 5 或 x= 1， 即 y=x+5 与 x 轴的交点坐标为（ 5， 0）和（ 1， 0），且开口向上， 原不等式的解集为 x 5 或 x 1 22某公司投资建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间租金定为 10 万元，可全部租出，每间的年租金每增加 5000 元，少租出商铺 1 间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元 （ 1）当每间商铺的年租金为 元时，能租出多少间？ （ 2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为 275万元？ 【考点】 一元二次方程的 应用 【分析】 （ 1）直接根据题意先求出增加的租金是 4 个 5000，从而计算出租出多少间； （ 2）设每间商铺的年租金增加 x 万元，直接根据收益 =租金各种费用 =275 万元作为等量关系列方程求解即可 【解答】 解：（ 1） 5000=6， 能租出 30 6=24（间） （ 2）设每间商铺年租金增加 x 万元 所以（ 30 ）（ 10+x）（ 30 ） 1 75， 解得 ， 第 13 页（共 17 页） 每间商铺的年租金为 元或 15 万元 若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为 元时，该公司的年收益为 275万元 23如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 矩形的三边 成，已知河底 水平的， 6 米， 米，抛物线的顶点 C 到距离是 11 米，以 在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水 面与河底 距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关系 h= （ t 19） 2+8（ 0 t 40），且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把 B 坐标代入即可求解； （ 2）水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 距离 h 至多为 6，把 6 代入所给二次函数关系式，求得 t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间 【解答】 解：（ 1） 点 C 到 距离是 11 米， 1， 设抛物线的解析式为 y=1，由题意得 B（ 8， 8）， 64a+11=8， 解得 a= ， y= 1； （ 2）水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 距离 h 至多为 11 5=6（米）， 6= （ t 19） 2+8， （ t 19） 2=256， t 19= 16， 解得 5， ， 35 3=32（小时） 答：需 32 小时禁止船只通