高中数学 函数图象与性质 知识点总结 精选习题详细答案

课程星级知能梳理一、函数的定义、定义域、值域设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则F，对于集合A中的每一个数X，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为AFY,在函数AXFY,中，叫做自变量，X的取值范围叫做XFY的定义域；与X的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合F称为函数F的值域。函数的三要素定义域、值域和对应法则二、函数的性质（一）函数的有界性设函数FX的定义域为D，数集XD。如果存在数K1，使对任一XX，有FXK1，则称函数FX在X上有上界，而称K1为函数FX在X上的一个上界。图形特点是YFX的图形在直线YK1的下方。如果存在数K2，使对任一XX，有FXK2，则称函数FX在X上有下界，而称K2为函数FX在X上的一个下界。图形特点是，函数YFX的图形在直线YK2的上方。如果存在正数M，使对任一XX，有|FX|M，则称函数FX在X上有界图形特点是，函数YFX的图形在直线YM和YM的之间。如果这样的M不存在，则称函数FX在X上无界。函数FX无界，就是说对任何M，总存在X1X，使|FX|M。例如（1）FXSINX在，上是有界的|SINX|1。（2）函数在开区间0，1内是无上界的。或者说它在0，1内有下界，无上界。这是1因为，对于任一M1，总有X1，使，所以函数无上界。10MMXF1（3）函数在1，2内是有界的。XF（二）函数的单调性（1）设函数YFX的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点X1及X2，当X1FX2，则称函数FX在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。举例函数YX2在区间，0上是单调增加的，在区间0，上是单调减少的，在（，）上不是单调的。（2）证明方法和步骤设元设是给定区间上任意两个值，且；21,X21X作差；FF变形（如因式分解、配方等）；定号即；根据定义下结论。002121XFFXFF或（3）二次函数的单调性对函数，CBAA当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；0AXF2当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小。A（4）复合函数的单调性复合函数在区间具有单调性的规律见下表XGFY,BAUFY增减XG增减增减FY增减减增以上规律还可总结为“同向得增，异向得减”或“同增异减”。（5）函数的单调性的应用判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。XFY需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”（三）函数的奇偶性（1）设函数FX的定义域D关于原点对称即若XD，则XD。如果对于任一XD，有FXFX，则称FX为偶函数。如果对于任一XD，有FXFX，则称FX为奇函数。举例YX2，YCOSX都是偶函数。YX3，YSINX都是奇函数，YSINXCOSX是非奇非偶函数。（2）一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是这个函数的定义域是关于原点对称的实数。可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。（3）判断函数的奇偶性的等价命题若对于定义域内任意一个X，有FXFX0成立，或（FX0）成立，则FX为偶函数。若1FXFX是偶函数，那么FXFXF若对于定义域内任意一个X，有FXFX0成立，或（FX0）成立，则FX为奇函数。1FX（4）在几个函数的共同定义域上，若FIX为奇函数，GIX是偶函数，可知以下几个结论F1XF2X是奇函数，G1X。G2X是偶函数，F1XF2X2是偶函数，G1X。G2X是偶函数，FXGX是奇函数。（5）偶函数的图形关于Y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。（6）函数奇偶性的判定中”六点”勿忘定义域；勿忘化简解析式；勿忘分段讨论；勿忘分类讨论；勿忘等价性；勿忘个别值的特殊性。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”（7）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）定义法先求定义域，看是否关于原点对称再判断或是否恒成立。XFFXFF利用函数奇偶性定义的等价形式，或（）。0FX1FX0F图像法奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于Y轴对称，那么这个函数为偶函数。Y赋值法（8）函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。即奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。若为偶函数，则。FX|FXFX若奇函数定义域中含有0，则必有。故是为奇函数的既不充分也不必要0F0FFX条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。复合函数的奇偶性特点是“内偶则偶，内奇同外”。既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。0FX常用结论1奇偶性满足下列性质奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。（四）函数的周期性（1）对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有XFY都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。FTXFXFY如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。周期函数的图形特点在函数的定义域内，每个长度为T的区间上，函数的图形有相同的形状。（2）常见结论约定A0，则的周期TA；AXFXF，或或，或FFFAF01XFAXF1FXAF,0FX则的周期T2A（五）函数的对称性偶函数关于Y（即X0）轴对称，偶函数有关系式XFF奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0X探讨（1）函数关于对称XFAAFF也可以写成或AF2X2XAFF简证设点在上，通过可知，,1YFFXF11Y即点上，而点与点关于XA对称。得证。2XX也在,1Y,1若写成，函数关于直线对称BFAFF22BAXAX（2）函数关于点对称XY,ABFA或BXFF22上述关系也可以写成F简证设点在上，即，通过可知，,1YXXF1XFYBXFAF22，BAF2211所以，1BF所以点也在上，而点与关于对称。得证。,1YXXF2,1YBXA,1X,BA若写成，函数关于点对称CFAFFY,C（3）函数关于点对称假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个Y值与其XFYBYBX对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线CX,Y0，则有可能会Y出现关于对称，比如圆它会关于Y0对称。BY04,2YXC需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”精讲精练【例】下列判断正确的是（）A函数是奇函数B函数是偶函数2XF1XFXC函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数1FF答案C选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非,1,X关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数【例】已知函数1,3,52XF判断函数的单调性，并证明；求函数的最大值和最小值FX解设任取且12,X12X1212123XFF1235X120,0X即FFFFX在上为增函数X,由知，在上为增函数，则F3,5MAX457FFMIN235FXF【例】一已知为偶函数，为奇函数，且有，求,FXGXFX1GFXG解为偶函数，为奇函数，,F不妨用代换中的,XFX1X即FGF1G显见即可消去,求出函数再代入求出X2X21XG需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”【例】在R上定义的函数是偶函数，且若在区间上是减函数，则FXFX2FFX1,2FXA在区间上是增函数，在区间上是减函数2,13,4B在区间上是增函数，在区间上是减函数,C在区间2,1上是减函数，在区间3,4上是增函数D在区间,上是减函数，在区间,上是增函数答案B解由可知图象关于对称又因为为偶函数图象关于对称，可得到2FXFXX1FX0X为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图故选BF,2F【例】定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在XFT0XF闭区间上的根的个数记为，则可能为（D）T,NA0B1C3D5答案D解，0FTF22TTFFFF，则可能为5，选D2N【例】已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，求XF2X410XXF的值519F解的图象关于直线对称，即，XXXFF同样，满足，知是以4为周期的函数FFF4X，同时还知是偶函数，所以53451950FFXF00FF【例】已知函数YFX是定义在上的周期函数，周期T5，函数是奇函数头HTP/WXJKYGCOM126T/J又知YFR1YFX在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在X2时函数取得最小值5证明；140F求的解析式；,YX求在4,9上的解析式F解FX是以为周期的周期函数，5451FF又是奇函数，头HTP/WXJKYGCOM126T/J1YFX140F当时，由题意可设，,420FAX由得，0F254A2A头HTP/WXJKYGCOM126T/J2X是奇函数，1YF0F又知YFX在0,1上是一次函数，可设，而，1XK2153F，当时，FX3X，3K0从而当时，故时，FX3X，13当时，有，046X15当时，94225575FX23,6759FX【例】已知定义在R上的奇函数XF，满足4FXFX,且在区间0,2上是增函数,则A25180FFFB80125C25D25FFF答案D解因为XF满足4FFX,所以8FFX,所以函数是以8为周期的周期函数,则125FF,08F,31F,又因为X在R上是奇函数，,得08F,125FFF,而由4FF得14FFF,又因为X在区间0,2上是增函数,所以1,所以F,即80FFF,故选D考点本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”【例】已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶2FXYFFXYXY0FFX函数。证明令0,则已知等式变为20FF在中令0则22Y0F010FFYFYFYF为偶函数。X【例】奇函数在定义域（1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。F210FMFM解由得，20M21FM为奇函数，FX2F又在（1，1）内递减，F2101M【例】设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。XFYXXFY证明由的图象关于直线对称，得，1X2FF又是定义在R上的奇函数，所以XFYX，则2F4XFFFFXF由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结一般地，,均可断定函数的周期为2T。XFTXF1XFT【例】已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足FYRBA,。判断的奇偶性，并证明你的结论。ABAFXFY解令，则，得；11F0F令，则，得；10F令，得，得AXB1FXFXFX因此函数为奇函数。Y总结赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。【例】已知函数对任意实数X，Y，均有，且当时，XFYFXYF0X0XF，求在区间2，1上的值域。1F解设，则，当时，2X01XX0XF12XF，112FFF，即，为增函数1212XFX2XFFF在条件中，令YX，则，再令XY0，则，002FF，故，为奇函数，0FFFXF，又，21412的值域为4，2。XF【例】设是定义在上的函数，对任意，恒有，当时，有R,XYRFXYFY0X01FX求证，且当时，；0X1FX证明在上单调递减FR解令得0,1YFF当时，有，XX01F当时，有，又0X0X1FX01FXF1FXF设且12,R122121F又2121211XFXFXFXF在上单调递减21210FFFFR需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘宝上搜索“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”【例】设函数FX的定义域为R，对于任意实数M、N，总有，且时NFMNF0X。10XF（1）证明F01，且X1；（2）证明FX在R上单调递减；（3）设，若，确定RA,12YAXF,B,1FYXF,A2BAA的范围。（4）试举出一个满足条件的函数F解（1）证明NMNF令0,，已知时，FFX1XF10设，XM0N,0F，即当X11NMFF（2），则R210XF,1X,X22FFXF11F10121FX在R上单调递减。（3）FYXF21FYX2FX在R上单调递减（单位圆内部分）1YX2（一条直线）0FAF02YAXBA123,A（4）如XF1【例】已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有F,0,0,YX，当且仅当时，成立，YXYF1X0XF（1）设，求证；,0,YF（2）设，若，试比较与的大小；21X21XF1X2（3）解关于的不等式02AXF分析本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题证明（1），YFYFYFXFFXFYXF（2），即21XFF021FF2121FFF021F当且仅当时，成立，当时，0FXF21X