第3章回归的正交设计

第3章回归正交设计与旋转设计教学目标1掌握一次回归正交设计及统计分析方法2掌握二次回归正交组合设计及统计分析方法3理解回归的旋转设计的基本原理4掌握二次正交旋转组合设计及统计分析方法5掌握二次通用旋转组合设计及统计分析方法6掌握二次回归组合设计的对数编码方法我们知道，正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计有一个缺陷，即不能在一定的试验范围内，根据所得样本数据去确定变量间的相关关系及其相应的回归方程。如果使用传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得的数据，而不能对试验的设计安排做任何要求。这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期试验目的。因而有必要引入把回归与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法回归正交设计。回归设计（也称为响应曲面设计），是在多元线性回归的基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计方法。换言之，回归设计就是在因子空间中选择适当的试验点，以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决生产中的最优化问题，目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律。随着现代科学技术的发展，在各种技术运行过程中，为了实现以较少的生产投资，获得最大的经济效益，经常需要寻求某种产品、材料试验的最佳配方、试验条件与工艺参数，以及建立生产过程的数学模型。特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点，使得在每个试验点上能获得比较充分、有用的资料，并使其数据分析能提供更为科学、充分、有用的信息。比较理想的方法就是通过回归设计进行试验，建立相应的数学模型，寻求最佳生产条件和最优配方。由于电子计算机的应用和普及以及计算技术的发展，为这方面的研究提供了先进手段，从而大大缩短了获得预期效果的时间。回归设计始于20世纪50年代初期，发展至今其内容已相当丰富。回归设计按类型分有回归的正交设计、旋转设计、最优设计、均匀设计以及混料设计等；按次数分为一次回归设计、二次回归设计等。本章将介绍回归的正交设计与旋转设计。31回归正交设计311一次回归正交设计当试验研究的依变量与各自变量之间呈线性关系时，则可采用一次回归正交设计（ORTHOGONALDESIGNBYLINEARREGRESSION）的方法。此方法是利用回归正交设计原理建立依变量Y关于M个自变量Z1、Z2、ZM的一次回归方程（31）012MYBZBZ或带有交互作用项的回归方程IJZ3201MJIJJIJYBZBZ的回归设计与分析方法。3111一次回归正交设计的基本步骤一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似，主要是应用二水平正交表进行设计，如、34L2、等。设计的一般步骤为78L212156L（1）确定试验因素及其水平的变化范围根据试验研究的目的和要求，设影响指标的因子有M个，即,并在此基础上拟定Y12MZ、出每个因素的变化范围。回归正交试验设计的因素一般都大于3个，但也不能太多，否则处理过多，JZ方案难以实施。各试验因素取值最高的那个水平称为上水平，以表示；取值最低的那个水平称为下水平，以2J表示；二者之算术平均数称为零水平，以表示。1J0JZ33/120JJJ上水平和零水平之差称为因素ZJ的变化间距，以J表示，即，34JJJ0221/JJJZ（2）对因素水平进行编码为了回归设计，应对各因素的水平进行编码（CODING）,即对进行如下线性变换J35JJIJIJZX/00,12,IM（；）例如，某试验的第一个因素，其,则各水平的编码值为1421018Z4/00ZX/121经过上述编码，就确定了因素与的一一对应关系，即JJ下水平4111X零水平800Z上水平12122对因素的各水平进行编码的目的是为了使供试因素（也称为实际因素或实际变量）的各水平在JZJZ编码空间是“平等”的，即它们的取值都是在1，L区间内变化，而不受原因素的单位和取值大小J的影响。在对供试因素各水平进行了以上的编码以后，就把试验结果对供试因素JY的回归问题转化为在编码空间内试验结果对编码因素（也称编码变量）、12M、Y1X2的回归问题了。因此，我们可以在以、为坐标轴的编码空间中选择试验点进行回归设MX1X2MX计。这样的设计还可大大简化计算手续。今后，不论是一次回归设计还是二次回归设计，我们都先将各因素进行编码，再去求试验指标对Y、的回归方程，这种方法在试验设计中是经常被采用的。1X2MX一次回归正交设计建立的关于编码变量的一次多元回归方程为JX（3MXBBY2106）或（301MJIJIX7）（3）选择适合的二水平正交表进行设计在应用二水平正交表进行回归设计时，需以“1”代换表中的“2”，以“1”代换表中的“L”，并增加“0”水平。这种变换的目的是为了适应对因素水平进行编码的需要，代换后正交表中的“L”和“1”不仅表示因素水平的不同状态，而且表示变量的取值。原正交表经过上述代换，其交互作用列JX可以直接从表中相应几列对应元素相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，这一点较原正交表使用更为方便。在具体进行设计时，首先将各因素分别安排在所选正交表相应列上，然后将每个因素的各个水平填入相应的编码值中，就得到了一次回归正交设计方案。例如现有某三因素食品添香试验，即香精用1Z量、着香时间、着香温度，其因素水平及编码值如表31所示2Z3Z表31三因素试验水平取值及编码表名称及编码值1ZML/KG物料2ZH3上水平L零水平0下水平11812624168483522变化间距J6813本试验为三个因素。如果除考察主效外，还需考察交互作用，则可选用进行设计，即将正交78L2表中的“1”改为“1”，“2”改为“1”，且把、放在1、2、4列上。这时只要将各供试因素1X23的每个水平填入相应的编码值中，并在“0”水平处中心区安排适当的重复试验，即可得到试验处理JZ方案，如表32所示。表32三元一次回归正交设计试验方案试验号1XZ2XZ3XZ1234567811811811811816161616124124181812412418181481221481221481221481229N012012016016035035这样安排的试验方案具有正交性各列元素之和为0，任两列对应元素乘积之和为0，即（；）0JX0IJXIJ1,2N零水平安排重复试验的主要作用，一方面在于对试验结果进行统计分析时能够检验一次回归方程中各参试结果在被研究区域内与基准水平即零水平的拟合情况；另一方面是当一次回归正交设计属饱和安排时，可以提供剩余自由度，以提高试验误差估计的精确度和准确度。所谓基准水平零水平重复试验，就是指所有供试因素的水平编码值均取零水平的处理组合重复进行若干次试验。例如表32中零水平JZ试验由12ML/KG物料，16H，35所组成的处理组合。至于基准水平的重复试验应安123Z排多少次，主要应根据对试验的要求和实际情况而定。一般来讲，当试验要进行拟合性或称吻合度检验时，基准水平的试验应该至少重复26次。3112一次回归正交设计试验结果的统计分析（1）建立回归方程如果采用二水平正交表编制M元一次回归正交设计，一共进行了N次试验，其试验结果以表示，则编码后的一次回归的数学模型考虑交互作用为12NYY、（）3801JIJAJJIJXX1,2其结构矩阵为1211213122112131MMNNNNXXXXX记,，,则38式12,NYY023,MM2,N的矩阵形式为39YX由于一次回归正交设计的结构矩阵具有正交性，即除第1列的和为N外，其余各列的和以及任意两列的内积和均为零，因而它的信息矩阵系数矩阵为对角阵A212212132100MMANXXAXXX2222211231,MMADIAGNXXX2123,MAA当N次试验中，零水平处重复M0次时，矩阵为对角矩阵A00000,ADIAGNNMNM当时，矩阵为0M,I相关矩阵为C1212311,MMAAADG当和时，矩阵分别为00C000000,DIAGNMNN）和111C相关矩阵为对角阵，即，表明包括在内的偏回归系数、两JCIJIJ0B0BJIJ两间是相互独立的。常数项矩阵为B0112212123311MMMMBYXYBXYBXY根据最小二乘原理，估计参数向量的正规方程组为310ABB其中，0121231,MMBB故311即312011AJJJJIJIJIJIJBBYNXBYA由以上可看出，由于按正交表来安排试验和对因素水平进行了编码，使得信息矩阵的逆矩阵的运C算极为简单，同时消除了偏归系数间的相关性，故一次回归正交设计的计算也就十分简单了。注意，在引入交互作用后，回归方程不再是线性的，但交互作用项的回归系数的计算完全同JIXIJB线性项一样，这是因为交互作用同其他因素一样，正好占了正交表上的一列，正交表中任两列都具有JX正交性。上述回归系数的计算可列表进行，以考虑三个试验因素为例，见表33。表33中的最后两行分别记载了各偏回归系数（包括）和各偏回归平方和（包括），从而可求得（36）式或（37）式所JBIJJQIJ列的回归方程。表33三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表试验号0X12X312X13X23试验结果111111111Y211111112311111113411111114511111115Y611111116711111117811111118JJBXY0B23B23B232JA8888888JJB0B12B312B121B2JJQQQ323Q（2）回归方程和偏回归系数的显著性测验对回归方程的显著性检验，首先进行平方和与自由度的分解313YRRSSDFF在一次回归正交设计下，偏回归平方和3142JJJQBAB1,2,3,1JM）所以31520/YARJJRYRSNBQS3161/2/YRRDFMFN然后对回归关系的显著性进行检验F317,/21RRRRRRDFFDFSMF对偏回归系数的显著性检验通常用检验（也可用检验）FT318RJRJJSQ,12RDFDF如果有不显著的偏回归系数一个或多个，可将其同时从回归方程中剔除，此时不影响其它回归系数的数值。将剔除因素的偏回归平方和、自由度并入离回归平方和与自由度，进行有关检验。（3）拟合度检验拟合度检验TESTOFGOODNESSOFFIT，亦称吻合度检验或失拟性检验。前面谈到，用基准水平的重复试验可以检验被研究的整个回归区域内特别是中心区回归方程预测值与实测值的拟合程度，也就是能够检验本试验用线性模型描述是否确切，是否有必要引入二次或更高次的项。上述对一次回归的F测验，只能说明自变量的作用相对于剩余均方而言，影响是否显著。即使检验是显著的，也仅仅反映一次回归方程在其试验点上与试验结果拟合得较好，但并不能说明在被研究的整个回归区域的拟合情况如何，即不能保证采用一次回归模型是最合适的。为了分析经F检验结果为显著的一次回归方程这里包括有交互作用的情况在整个被研究区域内的拟合情况，可通过在零水平处所安排的重复试验估计0120,MZ真正的试验误差，进而检验所建回归方程的拟合度，即失拟性。设在零水平处安排了次重复试验，试验结果分别为，则利用这个重复观测值可0M0012,Y0以计算出反映真正试验误差的平方和称为纯误差平方和及相应的自由度。即31902200010/MEIIIISYDF此时，反映除各的一次项考虑互作时，还包括有关一级互作以外的其它因素包括别的因素RESJX和各的高次项等所引起的变异，是回归方程所未能拟合的部分，称为失拟平方和，记为，相应的JXLFS自由度记为。和的计算公式如下LFDFLF320LFRESSDF此时平方和与自由度的分解式为321YRRRLFESSSDFFD拟合度F检验公式为322,/21ELFELFFELFFDFFSMF若显著，而不显著，说明所建立的回归方程拟合度差，需考虑别的因素或有必要建立二次LFR甚至更高次的回归方程，或与诸无关。YJX若显著，亦显著，说明所建立的一次回归方程有一定作用，但不能说明此方程是拟合得好FF的，仍需要查明原因，选用别的数学模型，作进一步研究。若及均不显著，说明没有什么因素对有系统影响或试验误差太大。LFFRY若不显著，而显著，说明所建立的回归方程是拟合得好的。R3113一次回归正交设计示例【例31】为了探索某水稻品种在低肥力土壤条件下，最佳的氮、磷、钾施用配方，采用一次回归正交设计进行试验。用、分别代表氮、磷、钾三种肥料，施用量单位均为KG/66667M2；试验指1Z23标是水稻产量、KG/66667M2，用表示。Y1因素水平及编码。氮、磷、钾三种肥料的因素水平及编码见表34。由公式33、34和35计算各因素的零水平、变化间隔及水平编码。表34氮、磷、钾肥水平编码表编码IJXN1ZP2O5ZK2O3Z上水平180100120零水平0606075下水平1402030间距2040452制定试验方案。根据研究因素的主效因和互作个数，选择相应的二水平正交表进行试验方案设计。本例为三因素，一级互作（任两因素的乘积项）有三个，共6列，可选用正交表经编码后进行试78L2验方案设计。设计时，将由、和变换的、和分别置于表的1、2、4列，各列的11Z231X23和1与相应因素的实际上、下水平对应，零水平中心区重复6次，具体方案见表35。表35一次回归正交设计试验方案试验设计试验方案试验号1X2X3XZ1NZ2P2O5Z3K2O111180100120211180100303111802012041118020305111401001206111401003071114020120811140203090006060751000060607511000606075120006060751300060607514000606075（3）建立回归方程。水稻氮、磷、钾肥试验结果的一次回归正交设计计算表见36。表36三元一次回归正交设计结构矩阵及计算表试验号0X12X312X13X23Y11111111500002111111146735311111114626541111111462305111111146315611111114635071111111460508111111142980910000004625010100000046585111000000462751210000004600013100000046335141000000458352JJXA14888888648205YYB64820575357875633560526512525364774SJJB463003694188984387918807563033130156319921993R2JJQ7097028775195350165284575308778019535442781R根据表36计算的有关数据，可建立如下的回归方程32312132156007560918784390364XXXXXY（4回归关系的显著性测验。由表36计算的有关数据，可列成如下方差分析表，见表37。表37回归关系的方差分析表变异来源SDFMSFF1X7097028170970289128051,7927751953177519539970350165281501652864521457531457530059X08778108778001132019531019530003回归19921993633203324270016,738F离回归54427817777540总变异2536477413F检验表明，产量Y与、和的回归关系均达到显著水平，而一级互作、1X231X23均不显著。因此，可将一级互作的偏回归平方和及自由度并入离回归剩余项，而后再进行方差分2X3析，结果见表38。表38回归关系的第二次方差分析表变异来源SDFMSF0501F1X709702817097028129055100427751953177519531409635016528150165289122496回归198655093662183612041655离回归549926510549927总变异2536477413第二次方差分析表明，产量与各因素之间的总的回归关系达到极显著，和达到极显著，达Y1X23X到显著。因此，回归方程可简化为12346309483798X上述回归关系显著，只说明一次回归方程在试验点上与试验结果拟合得好，至于在被研究的整个回归区域内部拟合如何，还需进一步作拟合度检验。（5）拟合度检验。由公式319计算零水平试验点的纯误差平方和及其自由度354854602/220220MYSIIE7/385465160MDFE由公式320计算失拟平方和及其自由度219ERLFS510DF故8604/6732/ELFFEFLFMF因为，所以极显著。说明所建立的三元一次回归方程虽然有一定015,97F015,FLFF意义，但其在整个回归空间内的拟合度并不是很好的，因此应考虑建立二次回归方程。这样，还需在因素空间内再选一些适当的试验点。6将回归方程中的编码变量还原为实际变量。本例，假定最后建立的回归方程是合适的，则JXJZ由（35）式得，1016,2ZX20264303754ZX代入回归方程，3126439489891820405ZZY经整理的1236735475YZ312二次回归正交组合设计当使用一次回归正交设计时，如果发现拟合程度不理想，就说明使用一次回归设计不合适，需要引人二次回归正交设计。大多数食品试验研究，重点是寻找最优工艺参数、最佳配比组合和最适研究条件等，其试验多数为二次或更高次反应，因而研究二次回归正交组合设计COMBINATORIALDESIGN十分必要。3121二次回归组合设计当有M个自变量时，二次回归方程的数学模型为3232011MMJIJJJIJJYXXX回归方程为（324）2011MMJIJJIYBXBXX回归系数的个数包括。因此，回归方程的剩余自由度为0B221QCC325MRNDF其中N为试验点数。这就说明，为了使回归方程比较可信，要想获得M个变量的二次回归方程，试验点数N不能太小，至少应该大于,才能使得剩余自由度大于零；另一方面，为了使试验在实际操作中经济可行，试验点Q数N又不能太大。因此，试验点数N的确定就成为关键了。同时，为了计算二次回归方程的系数，每个因素所取的水平数应3。故M个因素自变量的三水平全面试验OVERALLEXPERIMENT的试验点数N为。3M表39列出了不同自变量数目M26时，二次回归下三水平全面试验的剩余自由度。可见，RDF随着因素（自变量）个数的增加，全面试验点数在急剧增加，试验规模也迅速扩大，以至于试验无法实施。如4时，全面试点数为3481。为了解决这一问题，20世纪50年代BOX提出了组合设计。表39全面试验与组合设计的剩余自由度三水平全面试验组合设计实施12因素数MQNRDFNRDFNRDF269393310271715541581662510521243222432227662872970177494517组合设计又称中心组合设计，就是在参试因子自变量的编码空间中选择几类不同特点即分别处于不同球面上的试验点，适当组合而形成试验方案。由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型点的数目试验次数又可适当调节，所以组合设计对调节试验点数N，进而调节剩余自由度方RDF面，要比全面试验灵活，并且也更为科学实用。二次回归正交组合试验设计，一般由下面三种类型的试验点组合而成（1二水平析因点。这些点的每一个坐标，都分别各自只取1或1；这种试验点的个数记为；当这些点组成二CM水平全因素试验时。若根据正交表配置二水平部分2C实施PARTLYEXECUTED1/2或1/4等的试验点时，这种试验点的个数或。调节，就相应地调节了1MCCC误差剩余自由度。RDF图31M2的二次回归正交组合设计试验点分布图（2轴点。这些点都在坐标轴上，且与坐标原点中心点的距离都为，即这些点只有一个坐标自变量取或，而其余坐标都取0。这些点在坐标图上通常都用星号（）标出，故又称星号点。其中称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据正交性或旋转性的要求来确定。这些点的个数为，记为2M。M（3原点。又称中心点基准点，即各自变量都取0的点，本试验点可试验一次，也可重复多次，其次数记为。调节，显然也能相应地调节误差剩余自由度。00MRDF上述三种类型试验点个数的和，就是组合试验设计的总试验点数（次数），即N32602CNM例如，M2，二因素X1与X2二次回归正交组合设计，由9个试验点组成，如图31所示，其试验处理组合如表310所示。表310二元二次回归正交设计处理组合表处理号12说明123411111111这4（22）个点为2个2水平因素的全面试验点CM56780000这4（22）个试验点在和轴上，即星号点1X2900由和的零水平所组成的中心试验点0M1X2二因素，二次回归组合设计的结构矩阵如表311所示。1X2表311二元二次回归组合设计的结构矩阵（）X试验号01X2X12X21X2X11111112111111311111141111115100206100207100028100029100000当M3时，三因素、二次回归正交组合设计则由15个试验点组成，如图32所示，其试X23验处理组合如表312所示。X30,0,1,1,1,0,01,1,10,0X21,1,11,1,10,01,1,11,1,1,0,01,1,11,1,10,0,0,0,0X1图32M3的二次回归正交组合设计试验点分布图表312三元二次回归正交设计处理组合表处理号1X2X说明12345678111111111111111111111111这8（23）个试验点为3个2水平因素的全面试验点91011121314000000000000这6（23）个试验点分布在、轴上，即星号点1X2315000由、的零水平组成的中心试验点1X23三因素、二次回归组合设计的结构矩阵如表313所示。1X23表313三元二次回归组合设计的结构矩阵（）X试验号012X312X13X2321X223X111111111112111111111131111111111411111111115111111111161111111111711111111118111111111191000002001010000020011100000020121000000201310000000214100000002151000000000二次回归组合设计的试验点数，如表314所示。表314二次回归组合设计试验点数因素数M选用正交表表头设计CM20MNQ2L4231、2列2242241963L8271、2、4列238236115104L162151、2、4、8列2416248125155L322311、2、4、8、16列25322510143215实施L162151、2、4、8、15列25116251012721可以看出，组合设计具有以下明显的优点它可使剩余自由度R取得适中，大大地减少试验点DF数N，且因子越多，试验次数减少得越多。组合设计的试验点在因子空间中的分布是较均匀的，而且每个因子（变量）都可取5个水平，故试验方案所确定的试验点分布范围较广。组合设计还便于在一次回归的基础上实施。若一次回归不显著，可以在原先个二水平全面试验的，或部分实施的试验点CM基础上，补充一些中心点与轴点试验，即可求得二次回归方程，这是组合试验设计的又一个不可比拟的优点。试验方案还有较大的灵活性，因为在方案中留有两个待定参数（中心点的试验次数）和0（星号点的位置），这给人们留下活动余地，使二次回归设计具有正交性、旋转性等成为可能。中心点处的次重复，使较为准确地估计试验误差成为可能，从而使对方程与系数的检验有了可靠依据。0M3122正交性的实现如果一个设计具有正交性，则数据分析将是十分方便的。由于所得的回归系数的估计间互不相关，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数的估计，从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。由表311和313可见，在加入中心点与轴点后，一次项与乘积项（,IJ并没有12,MXIX失去正交性，即,，I,J1,2,M；10NJX10NIJXIJ且一次项与乘积项所在的列任意两列内积之和也等于零。而项和二次项，所在列则失去了0X21X2M正交性，即；2100MXNCA0212NCAJ120CJ12CAJIX为了二次回归组合设计成为正交设计，也就是使设计的结构矩阵具有正交性，应该在选择好适当X的二水平正交表并做好表头设计的基础上,使为对角阵。1X因此，须先对平方项列，进行中心化变换，即用代替。21XMJX2J令327NJJJX12NCJ/2J1，M；1，,N这样变换后的平方项项与项正交，即X,21，0，J1,2,M1NJ10NJX其次，我们可取适当的轴臂，使变换后的项之间正交，即M,，32810NIJX,1,2IJ；将326与327式代入328式则有22214NCCCIJMMXNN24NMCC22C/240120CC即32902124MMCC由于，所以为了实现正交性，使328式（亦即329式）成立，只须由330式求得即可。03302/0CC当试验因素数M和零水平重复次数确定时，值就可以通过上330式计算出来。为了应用上的0M方便，将由330式算得的一些常用值列于表315。表315二次回归正交组合设计常用值表因素数MM02345实施56实施67实施1100000121541141421154671159601172443176064188488210780912871914825816071716618317841918240219434731147441353131546711664431724431841391884882000004121000141421160717171885178419189629194347205464512671014711916644317707418413919491020000021075461319721524651718851820361896292000002054642158847136857157504177074186792194910204915210754220866814142116227318203619136120000020966821588422570991457091668031867921957592049152142722208662304241014975517112019136120000020966821873822570923501811153587175245195759204096214272223073230424239498例如，在M2、MC2M4（在正交表L423的第1、2列安排试验因素）、M01的情形下，由表315可查得1。为了实现结构矩阵的正交性需要对平方项列的元素进行中心化变换，即22293JJJXX变换后，使得，实现了结构矩阵的正交性。从而可以拟出经中心化变换后的二元二次回归正交0JX组合设计的结构矩阵，如表316所示。表316二元二次回归正交组合设计的结构矩阵试验号01X2X12X1X2X121111111103330333033303333411111111033303330333033356781111110000110000033303330667066706670667033303339190006670667类似地可拟出三元二次回归正交组合设计的结构矩阵（，），如表13173M328C01M所示。四因素、五因素等的二次回归正交组合设计的结构矩阵亦然。表317三元二次回归正交组合设计的结构矩阵试验号0X12X312X1323X12X31234567811111111111111111111111111111111111111111111111111111111027002700270027002700270027002700270027002700270027002700270027002700270027002700270027002700270910111213141111111215121500000012151215000000121512150000000000000000000746074607300730073007300730073007460746073007300730073007300730074607461510000000730730733123二次回归正交组合设计的基本步骤进行二次回归正交组合设计的步骤如下（1）确定试验因素及其上、下水平。设有M个试验因素，因素的上、下水平分MZ,21J别为、，零水平为2JZ1J210JJJZ（2）将因素水平编码。从表315由M、M0查出使此组合设计具有正交性的星号臂，将因素水平编码JJJZX其中为变化间隔。具体编码方法有二J方法I将因素的上、下水平、编码为、，进而算出编码为1、1的实际水平。JZ2J1J此时JJJJZZ020,因为JJJJJXZX00,所以1010,JJXJJXJJZZ表318因素水平编码表（方法）因素JX1Z2ZMZ221000012M1ZZZ1121方法II将因素的上、下水平、编码为1、1，进而算出，实际水平。此时，JJJ20212120,JJJJJJJJJJZZ因为JJJJJXZX0,所以0JJXJJXJJ表319因素水平编码表（方法）因素JX1Z2ZMZ00012201211M10Z0ZZ0注意，当采用方法将因素水平编码时，对应的实际水平要有意义，不能为负数。（3）列出二次回归正交组合设计结构矩阵，确定实施方案。首先选择适当的2水平正交表作好表头设计。例如，对的情况，表317列出了二次回归正交组合设计结构矩阵（注意，30,2,1CM列的元素已中心化），表中的所在的列组成了编码因素的试验方案，即试验设计；将试验设计2JX3,X各因素编码水平换为实际水平即得实施方案。3124二次回归正交组合设计试验结果的统计分析如果研究M个因素对试验指标Y的影响，采用二次回归正交组合设计共有N个处理（包括），其0M试验结果以表示，则二次回归的数学模型见公式323。当对平方项进行了中心变换，消除12,NY平方项与常数项的相关性以后，数学模型变为（331）式所示。331011MMJIJJJJIJYXXX用样本估计时其回归方程为（332）式所示。332011JIJJJIJBBB例如，当M3时，三元二次回归方程为23213231213210XBXXXY或BBB其余依此类推，。要建立二次回归方程，首先必须计算出不同类型的回归系数，。0JIJJB由于二次回归正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵为AMMAAN01121XA其中2JJXA,2JIIJX,JI2JJXA常数项矩阵为B01121,MMXYBB式中Y0YJJYJJXJIIJI相关矩阵为C11121,100MMMNAAAA于是正规方程组的解，即二次回归方程的回归系数为ABB1AYN02JJJXYABB2JJJXYABB2JIIJIJXYABBJI为简便起见，上述计算可列表进行，如表320所示。表中也代表、等，J0ANIJJA、亦然。JBJBJQ表320二次回归正交设计结构矩阵及运算表试验号X0X1XM12XMX11MXY11X11X1MX11X121Y121X21X2MX21X2221212Y2N11NXNMX12NXNMX11NMXYNN222L22Y01YM21YM11AMY2/SYB1AAB12AB,1BRJIJJQ2JJAXBJJJJABJJQ/2QMQ1MQMRYRSS经过上述运算可建立相应的二次回归方程（333）。3332011MMJIJJIYBXBX式中201NJAJ回归关系的显著性检验一般采用检验。如果在中心点设有次重复，试验结果分别为,F0M01Y02,，则可对所建立的回归方程进行拟合度检验（有关计算公式见（319）（322）。0MY最后，可将经检验确定的回归方程中的编码变量还原为实际变量。JXJZ3125二次回归正交组合设计示例【例32】某食品试验，欲考察三个因素，即Z1、Z2、Z3，试进行二次回归正交组合设计，并进行统计分析。（1）根据初步试验确定各因素上、下水平。Z11800、600；Z2240、80；Z3480、220（2）因素水平编码。由、，根据表315查得。设三个实际因素Z1、Z2、Z3M014的相应编码因素为、,采用方法进行因素水平编码。1X23计算各因素的零水平（中心点）1800600/2120001Z24080/21602480220/235003计算各因素的变化间距18001200/14144241240160/14145702480350/1414923因素水平编码表见表321。表321三因素二次组合设计水平取值及编码表（方法）编码1Z2Z3ZL0118001624120077660024021716010380480442350258220J4245792（3列出试验设计及试验方案。将、依次安排在正交表L827的第1、2、4列上，将列中1X23的数字2改为1；加入6个星号点和4个中心点获得三因素二次回归正交组合设计；将试验设计中的编码水平换成相应的实际水平，即得试验实际方案，见表322。表322三因素二次回归正交组合设计及实施方案试验设计实施方案试验号1X23X1Z2Z3Z1111162421744221111624217258311116241034424111162410325851117762174426111776217258711177610344281117761032589141400180016035010141400600160350110141401200240350120141401200803501300141412001604801400141412001602201500012001603501600012001603501700012001603501800012001603504试验结果的统计分析。试验结果及计算见表323。表323三因素二次回归正交组合设计结构矩阵及计算表试验号0X12X321X312X12X3结果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总平方和22113486502/17834NNYSY总自由度87DF回归平方和0659RJQ回归自由度2239MFC剩余平方和148031654RYRSS剩余自由度7DFF纯误差平方和0022112158465958046159009MMEIIIIYY纯误差自由度13EDF失拟平方和654109285LFRESS失拟自由度8F回归关系方差分析表见表324。表324回归关系的方差分析表变异来源SDFMSFF1X0672510672517000251,8424843114843112239,33735581735581858901,862149141149141124193X47586147586120262390601390609871136817613681769304420861110861121763X108193110819327342回归74948098327621045019,85F剩余31654803957失拟210855042171197005,3纯误10569303523总变异78113417方差分析表明失拟性不显著，总的回归关系达到极显著水平，说明回归方程拟合的较好,；除和（）以外，其余各项因子都达到极显著或显著，本试验设计的因素、水平2095R1X2X选择是成功的。有时候，所建立的回归方程中的各项并不是都这么显著，即达到显著的项目没有这么多，其原因应具体问题具体分析。通常，我们将在005水平上不显著的项从回归方程中剔除。但在回归正交试验设计的分析检验中，显著水平可放宽到025。也就是说，当某项的显著水平达到025时，一般不要盲目将其从回归方程中剔除。因为在这种回归正交试验中，第一次方差分析往往因为误差剩余自由度偏小而影响了检验的精确度。由于回归正交组合设计具有的正交性，保证了方程中各项间的相互独立，因此我们可以将未达到025以上显著水平的项目直接剔除而不影响其它各项，且将其平方和及自由度并入误差剩余项,进行第二次方差分析，以提高检验的精确度。这种方法在一定程度上对回归方程实行了优化。就本例而言，虽然和在005水平上不显著，但在025水平上是显著的，故可不予剔除。所1X2建立的回归方程为2312132319456037650780769881XXXY将代入以上方程中得207JJX1231213232146530763507880706988YXXXXX再将,代入上式，便得到用实际因素1XZ2Z359Z表示的回归方程J1231232343707100989YZZ3126回归方程的应用当我们得到二次回归方程以后，可以对它进行以下三方面的应用（1）局部最优点的计算机选取。这是目前广泛使用的计算机程序SPSS和SAS系统中经常运用的，是一种局部优化的方法。通过程序对试验所设计的因子编码进行自动寻优，找出每一个因素已有的局部最优点，作为本试验的优化试验点。这种方法的特点是简单、有效、实用，但找出的局部“最优”水平编码并不是理论上的最优点，不能代表真正的最优。（2）寻找方程局部最优点的数学方法。即利用数学求极值的方法，寻找所得到的三元二次回归方程的局部最优解。如对【例32】所建立的编码回归方程，先求其关于三个编码变量的一阶偏导并令等于零。因此有23110237680712460YXXX1225698823307830160YXXX经整理，得下列方程组1234290783012766549850XX解此方程组得159X2X329X根据多元函数极值点的有关判别方法可知，（11591，45854，20908）是一极大点，极值为。751Y将编码值还原成试验因素的实际水平1211591424709101ZX1645854574214223520980925430303把，代入用实际因素表示的回归方程得，之所以不等于1709Z2454JZ70Y751是由于计算误差。需要注意的是利用这种方法寻优，对于编码变量的取值范围没有给出约束。如本例，、在极2X3值点的取值显然超出了建立回归方程时的编码变量的取值范围1414，1414。在自变量取值范围（试验空间）以外，没有充分证据可以证明回归方程所表示的变量间的关系仍然成立。所以，在专业意义上利用这种方法就本例寻求的最优点是不可靠的。在编码变量的取值范围内，用EXCEL中的“规划求解”法寻求的局部最优点是、0、（即、10364X214X381X1047Z206），此时。因为（亦即）的取值却好是上限，所以实践中可考虑将的上下341Z65YZZ限适当向高位移动，以建立更合适的方程，进而寻求更优点。（3）寻求最佳试验方案。上面我们所寻求的局部最优点不一定是最佳试验方案。所谓寻求最佳试验方案是根据试验所耗费的人力、物力、财力综合平衡，在保证试验质量和结果真实