机械外文翻译文献翻译制订yd-65油锯右箱工序卡及铣镗结合面夹具设计相关外文翻译

毕业设计论文外文资料翻译学院系机械工程院专业机械工程及自动化姓名周雷学号0601510172外文出处THEPARAMETRICANDNONPARAMETRICSPLINES附件1外文资料翻译译文；2外文原文。指导教师评语此翻译文章翻译用词比较准确，文笔也较为通顺，为在以后工作中接触英文资料打下了基础签名年月日注请将该封面与附件装订成册。附件1外文资料翻译译文与的对比196SINF2SINY利用三次样条函数的好处如下是1他们简化计算的必要条件和数字的不稳定性由高阶的曲线引起的。2他们允许有转折点的最低阶的三维曲线。3他们在空间中有能力扭曲。在这章中我们将提出两种类型的样条（参量性的和非参量性的样条），我们在这里负责解释基本的数学推导和举例论证他们的工具的任务。47抛物线的三次样条函数考虑在平面内由随着变化描绘所得的一组数据点。我们的结果,XY,IXY1,IN是要在所有的这些点之间通过一参量性的三次样条函数。参量性的三次样条函数是表示为一或多个参量的函数的曲线。在任何两点之间参量性的三次样条函数等式是根据参数得到的，如下T45632,0,1,IIIIISTATA和根据边界条件和曲线的连续性和稳定性而决定的常数。注意在,0,1,2IIA,3I任何两点之间如何定义精确的距离。如果距离是标准的，因此它的涵义是从0到1。在时，样条与系数相等。从而，TIS,0IAFOR,0IIIIAPXY1,IN457,II我们在这个时候目标是要求在每一时间间隔之间常数的值。参数的弦长定义为T当45822111IIIIITXY12,IN求其它常数的值的方法如下。SA考虑这三点，,和。让在和之间的弦长为和在和之间12P31P22T2P3的弦长为。让为在和之间参量性的三次样条函数和为在和之3TIS21IS间参量性的三次样条函数。因为在开始和在结束，的涵义是应该在IST12T从0开始和在以结束。实际上当它们是被定义点所需要的时，在等式1P2P2T（456）中定义常数有和成分。按照X轴向和Y轴向分量两者所表示的参量XY性样条函数的一般关系式如下被表达45923,0,1,2,3,IXIYIXIYIXIYIXIYIXIYISTTSAATATAT式中和1IT,IN再次注意到当我们在如何求的值以及它的导数的时候，我们得到0IS23,1,0,IIIIIITISTATA4604612,1,2,3,1000IIIIIIITTDSTTA因此已知控制顶点,0,IIIISAPXYN未知4621,I同样地，我们以在点和写入导数24632,1,2,3IIIIIDSTTATA4642,6IIIIT4653,3IIISTD我们由等式（456）定义三次样条函数,当我们代替常数和同从等式,0IA,1I（460）和（461）获得的和的时候，采取下列的形式12S4663,IIISTTAT在控制顶点的连续性使我们得出,IPXY2,N110IIIIITTSP4671IIIIS从那我们求出和。因为已知的和和是的函数，它是更多,2IA,3II,2IA,3IS合乎需要的表示它们468231,1,1,2,3IIIIIISTATTS现在我们可以求出适合和的表达式当作和的函数。利用等,I,I1,II1IS式（467）和（468），我们得到469,21132IIIIIIIASSTT470,3211IIIIIII因此，那样条函数在和之间可以简单的表示为1P247121121223132ISSSSTTTTTTT在计算机图形处理的环境中和通用算法的发展中，我们需要问下列问题1我们怎样才能形成为所有的三次函数解决和的方1,IINSTTST12S法2我们怎样选择,和而得到数据集点1T2T3我们怎样确定在节点中样条函数之间的连续性,NP总之，等式（471）能对于任何两个相邻的立方部分进行归纳而得到解答，例如当时的和，为数据点的数目。为一般的数据集改写等12INIST1ITN式（471），我们得4721111232323IIIIIIIIIISSSSTTTTTTTT回答前面的问题，我们首先指出那个确定在立方部分之间的连续性，我们必须计算和的第二阶导数与在他们的相应的相连点方面把他们等同起来。IT1IT从等式（456），我们得到473,2,36IIISTAT474,0II4752,2,326IIISTAT我们也能分辨那边界条件476210IITS利用等式（473），（474），和（475）与等式（440），（441），和（442）一起我们得到12112IIIIIITSTST（477）21123IIIIIIITST2IN在矩阵形式中，等式（477）是被明确地写成的，显示了那等式的重要特征。简而言之，323214432554310002NNNTTTSTTTTTS47823233442422111213NNNNNTSSTTTSTS等式（478）得到含未知数的个等式是显而易见的。本质上，为了求出未N2知数，我们必须按照的两个附加等式。另一方面，如果端点和已知，NS1SN通常就是这样在射束偏转中分析,然后方程组结果形成一致的联立方程式为我们求出所有的未知数。现在我们能检验边界条件使上述问题彻底地解决。边界条件自然样条函数。亦称衰减条件，自然样条函数由根据时间函数ST从开始阶段和到0结束所设定第二阶导数来确定。因此，T47910ST1NN480按照写出这些条件，我们得到两个等式S4811221205/SST和48211246/NNNT增加等式（481）和（482）给等式（449）个方程，我们因此能求出所有2的S定位样条函数。为这样条函数提出的边界条件是以致于在和的第一阶0TNT导数（斜率）被确定。它们必须在等式（478）里构成附加的其他两个等式。471总结在任何两点之间参量性的三次样条函数构造如下1求出最大弦长和计算。1,2NT2利用等式（478）和相应的边界条件求出。1,2,NS3利用等式（462），（469），和（470）求出组成参量性三次样条函数的系数。范例45为以下数据集1,1,15,2,25,175,和30,325，求出参数的三次样条函数在基点的两个末端假设一种衰减形式。解答图表47IXIYITI101111181152010312251750707330225我们首先计算弦的跨度22111IIIIITXY计算所必须的精确等式从等式（474）获得SI012213STI1233333221TTSTSTSI24244443TTI348334ST利用等式（481）和（482）得到边界条件，与上述等式（454）或者简单地利用等式（478）一起，我们得484TISCS式中4852100349876132T22222323113131144244233XYSXXYYXYSSTTCTSTSSTSTTT146837952486为了给作解答，我们经过倍增等式（484），使其自动地得到常数，得IS1TC,1IA出1ITSS式中4871,23,410279836015A现在我们使用等式（469）得到,2IAFORI1,2,34881,2123IIIIIISASTT4891,23,0456713A相似地,等式（468）给出常数,IA490,3113212IIIIIIISSTT4911,32,05763A总之，我们已经得到联接所有的4个数据点的所有的三条样条和他们在他们的明确形式中被表达。23102791013507STTT23258461TT492372056T在图410中表示。图410参数的三次曲线是等式（492）得出的。范例45结束48非参量性的三次样条函数非参量性的三次样条函数被定义为是有唯一的单参数的函数的曲线。非参量性的三次样条函数允许在参数值和那三次样条函数的数值之间的直线变量的关系式来X决定。这从它的数学表达式中可看出49323SXABCXD从等式（493），我们注意到那三次样条函数是独自的函数。如此，我们可以说在范围内的时间间隔中适合于已知的数据集点的判定，我们0,1,NX12,NP必须建立经过所有这些点的样条。让每一子区间由来表示；因此，我们的,IX任务将求出这些间隔中的每个三次样条函数。再次，我们必须得到一个为常数,和作解答的算法。ABCD三次样条函数是由三次部分样条组成。每个点有和数值；因SX1NXY此，那的函数是为所有的点定义。对那间隔，我们可以写X1,IX494IISXY49511IIII考虑那三次样条函数的平滑性和连续性，从下列的情况得到49611IIISXX497III那非参量性的三次样条函数适合于任何间隔可以表示为1IIX49823IIIIIIISXABXCD它的第一和第二导数是499223IIIIIX41006IIIISCD由等式（494）到（4100）得到样条的利用标准，我们推断出下列的4101IIIXAY4102231IIIIIISBHCD和4103IIX410421113IIIIIIISBCHD410511126IIIIIISXXCDH式中1IIH因为所有的的值是已知的，我们可以利用等式（4102）和（4105）求出IAIB41061123IIIIIACB本质上，上述等式适合于利用和求出的结果。类似这样的函数，如果ISIIB我们使用和，我们将得到另一个表达式，如下1ISI41071123IIIIIAHCB等式（4106）和（4107）定义同样的。一旦我们使他们相等，他们就会变成IB一个依据未知的等式SC41081111123IIIIIIIAAHHCH当系数被确定时，我们再一次在一矩阵形式中写出上述等式SC011022132221000NNNCHHHHC4109210123NNAAH等式（4109）由等式同未知数组成；因此,它不能被求解。但是，样条的2端点和通常被认为必须满足完全的边界条件。通过已知和，等式0PN0CN（4109）用于通过值求出其余的。上述等式可以用紧凑结构来表示，如下1C1CFORI1,4110IHHA1N和可以当作它们随精确地已知系数来分别地计算HA依次，样条的等式确定通过由等式（476）得出的随着由等式（4106）得出的DS来计算。BS41111123IIIIIAHCBFORI0,41123IICDN49边界条件491自然样条函数在自然样条函数的边界条件中由在曲线的开始和末端的点设定第二导数为0时而被求出。因此，41130NSX当代入等式466时使我们得出41140NC492定位样条函数定位的边界条件由在AT和确定第一导数（斜率）来求出。简而言之，0XN41150SFX和4116NNF当是一个指定函数。下列范例说明这种方法计算非参量性的三次样条函数和使F它的有用的部分最显著。注意在唯一的一个简单化的方法中我们已经采用样条的基本概念；它被留给读者去研究在这个最主要的曲线拟合法之后数学的推进。范例46为在下面的表格中显示出的点求出非参量性的三次样条函数（自然样条函数）。IIXIYIH0110511521N225175解答第1步控制点,时间间隔和IA第2步求出自然样条01C0C21000123AHHH755C1025C第3步求出和IBIDFORI0,1123IIIAH1NFORI1,1IIIICFORI0,IICDH100100237553ACBICDH结果如下2112110753ACBICDHIIXIIYAIBICID0105123750151151021252250752N251750图411非参量性的三次样条函数。410贝塞尔曲线贝塞尔曲线的形状是由那位置上的交点来定义的，并且那曲线不能与除边界点之外的所有的已知点相交。在确实的情况中，存在着不适当的交点或不适合地定位点，那三次样条函数的方法在不判定更多点时不能形成平滑曲线。贝塞尔曲线允许非限制曲线的弯曲度适当地贯穿所有的点。这样可设想曲线的形状适合由一系列的点所定义的多边形。贝塞尔曲线的数学基础（影响弯曲的形状的重量因素）与伯恩斯坦基础相关，通过下列4117,1ININIJTT式中INI和定义为N411812在有序集合中是多项式的阶和是特殊的极点（在0到之间）。那曲线的交点被IN定义为4119,1NISTJT1T从到，和等相当于不同的点的矢量分量。1INI为了建立贝塞尔曲线，我们必须求的值，它有参数的函数。它是假设,NIJT在时存在最大值的函数和是由其给予的IT,NIJ,I4120,ININ下列范例说明贝塞尔曲线的曲线拟合法。范例47判定贝塞尔曲线经过下列各点01P125P24536求出贝塞尔曲线经过这些点的间距。解答我们注意到4个点构成贝塞尔曲线的多边形。因为我们有4个判定极点，则。利用等式4117我们可求出函数的值，式中3NJ41210333,02,13,23,1JTTTTTJ因此，412203,13,23,23,STPJPJ因为不同的的值，在图表48中可以求出贝塞尔曲线适合的系数。结果是的TST函数是求出方式01S01592S352373469480591S那答案被绘制在图412。图412贝塞尔曲线表示为图表48图表48贝塞尔曲线函数的赋值按照参数3,10,2JITT3,0J3,1J3,2J3,J010000150614032500574000340350275044402390043050125037503750125065004302390444027508500034005740325061410001范例47结束411贝塞尔曲线等式的区别贝塞尔曲线利用一阶乘积的表达式和需要为了简单化的计算而需要限制紧凑结构的的特征函数。我们知道任何曲线的函数必须是在交点那个时候的区别，是,NIJT定位最小值或最大值，斜率，和边界点的必要条件。让我们从那贝塞尔曲线正如等式4119所定义的开始，式中4123,1NISTJT01T利用由等式4123部分地区别，我们获得4124,11NNIIIDTSJTJT让我们寻找一个由和两者都为了完成我们的区别的表达式。注解变为零IIS是因为它在时表示出的特征值，和I,1ININIDJTT412511INIINITT代替等式4125变成等式4124使我们得出贝塞尔曲线的区别4126111INIINIDSTTSTS上述等式注意到左边和右边的关系和标志在和通过随着在左边关II1J系简单地转换使我们可以引导的数值。S简而言之4127111100NNJNJINIJIDSTTTS式中11NJJ和1NII然后等式4101取下列的式子4128110NINJIIIDSTTS412B样条曲线在贝塞尔曲线中B样条曲线被引入克服一些薄弱部分。看起来控制顶点的数目影响曲线的真实度。此外，在贝塞尔曲线中的混合函数的性质无法考虑到一个比较容易的方法修正当前曲线的形状。B样条曲线被定义为如下4129,0NIKSTNT11KNTT式中4130,11,IKIKIKIKITTTNT和其余的全部4131,10INT1IIT此外，被认为是节点值并需要求值是为可获得所有的的函数。知道ITN是一常数；所以，根据等式4130是比例为1的一个函数。类似这样式,1IN,2IN子我们可看见有比例为，当是更大的时就要求按1的比例。的数,IKT1KK值明确表示B样条曲线的种类。这有两种节点的类型A周期性的节点4132ITK0INKB非周期性的节点4133012ITKNIKNI当明确表示周期性的节点的曲线无法经过第一个和最后一个点时，就由贝塞尔曲线来确定，反之非周期性的节点确定第一个和最后一个点经过曲线。这个是由于K函数的双重节点在第一和最后的节点如等式4133描述。范例48用例3定义B样条曲线适合非周期性统一的节点。因为控制点的弯曲由,和01P给予的。2P解答当那相邻的节点之间的间隔总是1时，这个定义那统一的节点情况。从等式4133我们获得那节点值如下和01234,0,TTT5T注解ANDNK从等式4130我们得到的函数。我们需要求出的函数相当于按要求排序,INTN点1,2,和3。从到我们定义的混合函数。0TNK1N种类1让我们求解全部可能的函数。0,11,2,13,14,100NTTTNTT012345TELSTLTELSTLTELS4134从以上可知在和时我们需要选择非零的函数。因为我们选择TT是在范围0,1内有特征值为1的仅有的非零的函数。2,1NT种类2我们获得种类2的函数如下,IN1,32,11,TT2,T4135附件2外文原文（复印件）FIGURE49GRAPHFORVERSUS196SINF2SINYTHEBENEFITSOFUSINGCUBICSPLINESAREASFOLLOWS1THEYREDUCECOMPUTATIONALREQUIREMENTSANDNUMERICALINSTABILITIESTHATARISEFROMHIGHERORDERCURVES2THEYHAVETHELOWESTDEGREESPACECURVETHATALLOWSINFLECTIONPOINTS3THEYHAVETHEABILITYTOTWISTINSPACEINTHISCHAPTERWEWILLINTRODUCETWOTYPESOFSPLINESTHEPARAMETRICANDTHENONPARAMETRICSPLINES,WHEREWEUNDERTAKETHETASKOFEXPLAININGTHEBASICMATHEMATICALDERIVATIONANDPROVIDEEXAMPLESTODEMONSTRATETHEIRIMPLEMENTATION47PARABOLICCUBICSPLINESCONSIDERASETOFDATAPOINTSDESCRIBEDINTHEPLANEBYWITHOUR,XY,IXY1,INOBJECTIVEISTOPASSAPARAMETRICCUBICSPLINEBETWEENALLTHESEPOINTSAPARAMETRICCUBICSPLINEISACURVETHATISREPRESENTEDASAFUNCTIONOFONEORMOREPARAMETERSTHEPARAMETRICCUBICSPLINEEQUATIONBETWEENANYTWOPOINTSISGIVENINTERMSOFAPARAMETERASFOLLOWST45632,0,1,IIIIISTATANDARECONSTANTSTHATAREDETERMINEDFROMTHEBOUNDARYCONDITIONSAND,0,1,2IIA,3ITHECONTINUITYANDSMOOTHNESSOFTHECURVEOBSERVEHOWDEFINESAPRECISELENGTHTBETWEENANYTWOPOINTSSOITSVALUEGOESFROM0TO1IFTHELENGTHISNORMALIZEDAT,THESPLINEISEQUALTOTHECOEFFICIENTHENCE,TIS,IAFOR,0,IIIIAPXYN457,IIOUROBJECTIVEATTHISPOINTISTOEVALUATETHECONSTANTSBETWEENEACHINTERVALPARAMETERCORDLENGTHISDEFINEDBYTFOR45822111IIIIIXY12,INTHEPROCEDUREFOREVALUATINGTHEOTHERCONSTANTSISASFOLLOWSSACONSIDERTHREEPOINTS,ANDLETTHECHORDLENGTHBETWEENANDBE12P31P2TANDTHEONEBETWEENANDBELETBETHEPARAMETRICCUBICSPLINEBETWEEN23TIS1ANDANDTHEONEBETWEENANDBECAUSESTARTSATANDENDSAT,2P1IS23IT12THEVALUEOFSHOULDSTARTFROM0ATANDENDWITHATINREALITYTHECONSTANTST1P2PDEFINEDINEQUATION456HAVEANDCOMPONENTSASTHEYARENEEDEDTODEFINEPOINTSXYAGENERALFORMOFTHEPARAMETRICSPLINEEXPRESSEDINTERMSOFBOTHANDXCOMPONENTSCANBEEXPRESSEDASFOLLOWSY45923,0,1,2,3,IXIYIXIYIXIYIXIYIXIYISTTSAATATATWHEREAND10IT1,INAGAINOBSERVEHOWWHENWEEVALUATEATASWELLASITSDERIVATIVEWEOBTAINIS0T46023,0,1,0IIIIIITISTATA4612,1,2,3,100IIIIIIITTDTATHEREFOREKNOWNSCONTROLPOINTS,0,IIIISAPXYNUNKNOWNS4621,ISIMILARLY,WEWRITETHEDERIVATIVESATPOINTSANDAS12P463,3IIIIIDSTTATA4642,2,6IIIIT4653,3IIISTDOURCUBICSPLINEDEFINEDBYEQUATION456,WHENWESUBSTITUTETHECONSTANTSAND,0IAWITHANDOBTAINEDFROMEQUATIONS460AND461,TAKESTHEFOLLOWINGFORM,1IA12466231,IIITTATCONTINUITYATTHECONTROLPOINTSYIELDSIPXY1N10IIIIISTTSP46711IIIIFROMWHICHWESOLVEFORANDBECAUSEISKNOWNANDANDARE,2IA,3II,2IA,3IFUNCTIONSOFITISMOREDESIRABLETOEXPRESSTHEMASS4681,21,31,3IIIIIITTATSNOWWECANFINDTHEEXPRESSIONFORANDASFUNCTIONSOFAND,2I,3I1,IIS1ISUSINGEQUATIONS467AND468,WEGET469,21132IIIIIIIASSTT470,3211IIIIIIITHEREFORE,THESPLINEFUNCTIONBETWEENANDCOULDSIMPLEBEEXPRESSEDAS1P247121211231323ISSSSTTTTTTTINTHECONTEXTOFCOMPUTERGRAPHICSANDGENERALPURPOSEALGORITHMDEVELOPMENT,WENEEDTOASKTHEFOLLOWINGQUESTIONS1HOWCANWEGENERATEASOLUTIONFORANDFORALLCUBICFUNCTIONS1S21,IINSTTST2HOWDOWESELECT,ANDFORAGIVENSETOFDATAPOINTS12T3HOWDOWEENSURECONTINUITYBETWEENTHESPLINESATKNOTS12,NPINANYCASE,THESOLUTIONGIVENBYEQUATION471CANBEGENERALIZEDFORANYTWOADJACENTCUBICSEGMENTSSUCHASANDFOR,WHEREISTHENUMBERIST1ITIOFDATAPOINTSREWRITINGEQUATION471FORAGENERALDATASETWEGET4721111232323IIIIIIIIIISSSSTTTTTTTTTOANSWERTHEFOREGOINGQUESTIONS,WEFIRSTNOTETHATTOENSURECONTINUITYBETWEENTHECUBICSEGMENTS,WENEEDTOCOMPUTETHESECONDDERIVATIVEOFANDANDIT1ITEQUATETHEMATTHEIRCORRESPONDINGCONNECTINGPOINTSFROMEQUATION456,WEOBTAIN473,2,36IIISTAT474,0II4752,2,32IIITTWEALSOKNOWFROMTHEBOUNDARYCONDITIONSTHAT476210IISTUSINGEQUATIONS473,474,AND475TOGETHERWITHEQUATIONS440,441,AND442WEOBTAIN12112IIIIIITSTT（477）21123IIIIIIISTST2ININMATRIXFORM,EQUATION477CANBEWRITTENEXPLICITLYTOSHOWTHEIMPORTANTFEATUREOFTHEEQUATIONTHATIS,323214432554310002NNNTTTSTTTTTS47823233442422111213NNNNNTSSTTTSTSITISOBVIOUSTHATEQUATION478YIELDSEQUATIONSWITHUNKNOWNSESSENTIALLYWENEEDTWOADDITIONALEQUATIONSINTERMSOFINORDERTOSOLVEFORTHEUNKNOWNSNONTHEOTHERHAND,IFENDPOINTSANDAREKNOW,ASISTHECASEINBEAMDEFLECTION1NANALYSIS,THENTHESYSTEMOFEQUATIONSRESULTSINACONSISTENTSETOFEQUATIONSFORWHICHWECANSOLVEFORALLTHEUNKNOWNSNOWWECANEXAMINETHEBOUNDARYCONDITIONSTOCOMPLETETHESOLUTIONTOTHEABOVEPROBLEMBOUNDARYCONDITIONSNATURALSPLINEALSOKNOWNASRELAXEDCONDITIONS,NATURALSPLINESAREDETERMINEDBYSETTINGTHESECONDDERIVATIVESOFWITHRESPECTTOTIMESTTATTHEBEGINNINGANDENDTO0THUS,47910ST480NNWRITINGTHESECONDITIONSINTERMOF,WEOBTAINTWOEQUATIONS4811221205/SSTAND48211246/NNNTADDINGEQUATIONS481AND482TOTHEEQUATIONSGIVENBYEQUATION449,WE2CANTHENSOLVEFORALLTHESCLAMPEDSPLINETHEBOUNDARYCONDITIONSFORTHISSPLINEARESUCHTHATTHEFIRSTDERIVATIVESSLOPEATANDARESPECIFIEDHENCE,THEYFORMTHEADDITIONAL0TNTTWOOTHEREQUATIONSNEEDEDINEQUATION478471SUMMARYTHEPARAMETRICCUBICSPLINEBETWEENANYTWOPOINTSISCONSTRUCTEDASFOLLOWS1FINDTHEMAXIMUMCORDLENGTHANDDETERMINE1,2NT2USEEQUATION478TOGETHERWITHTHECORRESPONDINGBOUNDARYCONDITIONSTOSOLVEFORTHE1,2,NS3SOLVEFORTHECOEFFICIENTSTHATMAKEUPTHEPARAMETRICCUBICSPLINESUSINGEQUATIONS462,469,AND470EXAMPLE45FORFOLLOWINGDATASET1,1,15,2,25,175,AND30,325,FINDTHEPARAMETRICCUBICSPLINEASSUMINGARELAXEDCONDITIONATBOTHENDSOFTHEDATASOLUTIONTABLE47IXIYITI101111181152010312251750707330225WEFIRSTCOMPUTETHECORDLENGTH22111IIIIITXYTHEEXPLICITEQUATIONSNEEDEDTOEVALUATETHEAREOBTAINEDFROMEQUATION474SI012213SSTI1233333221TTTTSI24244443TTI348334SSTUSINGTHEBOUNDARYCONDITIONSGIVENBYEQUATIONS481AND482,TOGETHERWITHEITHERTHEABOVEEQUATION454ORSIMPLYMAKINGUSEOFEQUATION478,WEGET484TISCSWHERE4852100349876132T22222323113131144244233XYSXXYYXYSSTTCTSTSSTSTTT48668719542TOSOLVEFORWEMULTIPLYEQUATION484BYWHICHAUTOMATICALLYYIELDSTHEIS1TCCONSTANTSGIVENBY,1IA1ITSSWHERES4871,23,410279836015AWENOWUSEEQUATION469TOFIND,2IAFORI1,2,34881,2123IIIIIISASTT4891,23,0456713AINASIMILARFASHION,EQUATION468GIVESTHECOEFFICIENTS,3IA490,3113212IIIIIIISSTT4911,32,05763AINCONCLUSION,WEHAVEDERIVEDALLTHREESPLINESJOININGALLFOURDATAPOINTSANDTHEYAREEXPRESSEDINTHEIREXPLICITFORMS23102791013507STTT232150784105167071STTT492323556THEDISPLAYOFTHISISGIVENINFIGURE410FIGURE410PARAMETRICCUBICCURVEGIVENBYEQUATION492ENDOFEXAMPLE4548NONPARAMETRICCUBICSPLINEANONPARAMETRICCUBICSPLINEISDEFINEDASACURVEHAVINGAFUNCTIONOFONLYONEPARAMETERNONPARAMETRICCUBICSPLINESALLOWADIRECTVARIABLERELATIONSHIPBETWEENTHEPARAMETERVALUEANDTHEVALUEOFTHECUBICSPLINEFUNCTIONTOBEDETERMINEDTHISISXSEENFROMITSMATHEMATICALREPRESENTATION49323SABXCDFROMEQUATION493,WESEETHATTHECUBICSPLINEISAFUNCTIONOFALONETHUS,WEXCOULDSAYTHATFORAGIVENSETOFDATAPOINTSDEFINEDINTHEINTERVALINTHE12,NPDOMAIN,WENEEDTOCONSTRUCTTHESPLINETHATPASSESTHROUGHALLTHESEPOINTS0,1,NXLETEACHSUBINTERVALBEDENOTEDBYHENCE,OURTASKISTOFINDTHECUBICSPLINE,1IXFUNCTIONFOREACHOFTHESEINTERVALSONCEMORE,WEMUSTFINDANALGORITHMTOSOLVEFORTHECONSTANTS,ANDABCDCUBICSPLINEISCOMPOSEDOFCUBICSEGMENTSPLINESEACHPOINTHASANSX1NANDVALUEHENCE,THEFUNCTIONISDEFINEDFORALLPOINTSFORTHEINTERVALXY,WECANWRITE1I494IISXY49511IIIIBYCONSIDERINGTHESMOOTHNESSANDCONTINUITYOFTHECUBICSPLINES,THEFOLLOWINGCONDITIONSAREDERIVED49611IIISXX497IIITHENONPARAMETRICCUBICSPLINEFUNCTIONFORANYINTERVALCOULDBEEXPRESSED1IIXAS49823IIIIIIISXABXCDXITSFIRSTANDSECONDDERIVATIVESARE499223IIIII41006IIIISCDXMAKINGUSEOFTHECRITERIAOFTHESPLINEGIVENBYEQUATIONS494TO4100,WEDEDUCETHEFOLLOWING4101IIIXAY4102231IIIIIISBHCDAND4103IIX410421113IIIIIIISBCHD410526IIIIIIXXWHERE1IIHBECAUSEALLTHEVALUESAREKNOWN,WECANSOLVEFORUSINGEQUATIONS4102ANDIAIB410541061123IIIIIACBINESSENCE,THEFOREGOINGEQUATIONFORWASTHERESULTOFUSINGANDINASIMILARIBIS1IFASHION,IFWEUSEAND,WEWILLGETANOTHEREXPRESSIONASFOLLOWS1ISI410711IIIIIHCEQUATIONS4106AND4107DEFINETHESAMEONCEWEEQUATETHEMTHEYRESULTINTOIANEQUATIONINTERMSOFTHEUNKNOWNS41081111123IIIIIIIAAHCHCHONCEAGAINWEWRITETHEABOVEEQUATIONINAMATRIXFORM,WHERETHECOEFFICIENTSARETOSCBEDETERMINED0110221322212000NNNHHCHH410210123NNAHAEQUATION4109CONSISTSOFEQUATIONSWITHUNKNOWNSTHEREFORE,ITCANNOT2BESOLVEDHOWEVER,ENDPOINTSANDOFTHESPLINEAREUSUALLYKNOWNTHROUGHTHE0PNBOUNDARYCONDITIONSTHATMUSTBESUPPLIEDBYKNOWINGAND,EQUATION4109IS0CNTHENUSEDTOSOLVEFORTHEREMAININGTHROUGHVALUESTHEABOVEEQUATIONCANBE1C1EXPRESSEDINACOMPACTFORMASFORI1,4110IHHANANDCANBECOMPUTEDSEPARATELYASTHEYDEPENDSTRICTLYONKNOWNCOEFFICIENTSHAINTURN,THEEQUATIONOFTHESPLINESCANBEDETERMINEDBYCOMPUTINGTHEFROMDSEQUATION476FOLLOWEDBYTHEFROMEQUATION4106BS41111123IIIIIAHCFORI0,41123IICDN49BOUNDARYCONDITIONS491NATURALSPLINESTHEBOUNDARYCONDITIONSINNATURALSPLINESAREFOUNDBYSETTINGTHESECONDDERIVATIVESATBOTHTHEBEGINNINGANDENDPOINTSOFTHECURVETO0THEREFORE,41130NSXWHICHWHENSUBSTITUTEDINTOEQUATION466YIELDS41140NC492CLAMPEDSPLINESTHECLAMPEDENDCONDITIONSAREDETERMINEDBYSPECIFYINGTHEFIRSTDERIVATIVESSLOPEATANDTHATIS,0XN411500SXFAND4116NNFWHEREISASPECIFIEDFUNCTIONTHEFOLLOWINGEXAMPLEILLUSTRATESTHEMETHODUSEDTOFEVALUATETHENONPARAMETRICCUBICSPLINESANDHIGHLIGHTSITSUSEFULNESSNOTETHATWEHAVEINTRODUCEDTHECONCEPTSOFSPLINESINONLYASIMPLISTICWAYITISLEFTFORTHEREADERTOEXPLOREFURTHERTHEMATHEMATICSBEHINDTHISMOSTIMPORTANTCURVEFITTINGMETHODEXAMPLE46FINDTHENONPARAMETRICCUBICSPLINENATURALSPLINEFORTHEPOINTSSHOWNINTHETABLEBELOWIIXIYIH0110511521N225175SOLUTIONSTEP1CONTROLPOINTS,INTERVALS,ANDIASTEP2SOLVEFORNATURALSPLINE01C0C210001223AHHH755102CSTEP3SOLVEFORANDIBIDFORI0,1123IIIAHC1NFORI1,1IIIIFORI0,IICDH1N10000237553ACBICDH2112110753ACBICDHTHERESULTSARECOMPILEDINTHEFOLLOWINGTABLEANDSHOWNINFIGURE411IIXIHIYAIBICID0105123750151151021252250752N251750FIGURE411NONPARAMETRICCUBICSPLINEFUNCTION410BEZIERCURVESTHESHAPESOFBEZIERCURVESAREDEFINEDBYTHEPOSITIONOFTHEPOINTS,ANDTHECURVESMAYNOTINTERSECTALLTHEGIVENPOINTSEXCEPTFORTHEENDPOINTSINCERTAINCIRCUMSTANCES,WHERETHEREAREINSUFFICIENTPOINTSORAWKWARDLYLOCATEDPOINTS,THECUBICSPLINEMETHODMAYNOTPROVIDEASMOOTHCURVEWITHOUTDEFININGMOREPOINTSBEZIERCURVESALLOWTHEFLEXIBILITYOFNOTCONSTRAININGTHECURVETOFITTHROUGHALLTHEPOINTSONECANIMAGINETHESHAPEOFTHECURVETOFITINAPOLYGONDEFINEDBYASERIESOFPOINTSTHEMATHEMATICALBASESTHEWEIGHINGFACTORTHATAFFECTSTHESHAPEOFTHECURVEOFTHEBEZIERCURVEISRELATEDTOTHEBERNSTEINBASISGIVENBY4117,1ININIJTTWHERENIIANDISDEFINEDASN411812NNWHEREISTHEDEGREEOFTHEPOLYNOMIALANDISTHEPARTICULARVERTEXINTHEORDEREDSETIBETWEEN0ANDTHECURVEPOINTSAREDEFINEDBYN4119,1NISTJT01TWHERETO,ANDTHECONTAINTHEVECTORCOMPONENTSOFTHEVARIOUSPOINTS1IIINORDERTOCONSTRUCTTHEBEZIERCURVE,WENEEDTOEVALUATETHE,WHICHARENIJFUNCTIONSOFPARAMETERITISSEENTHATTHEMAXIMUMVALUEOFTHEFUNCTIONOCCURSATTANDISGIVENBYI