排列组合应用题解法[最新]

浙江省玉环县楚门中学吕联华从N个不同元素中,任取M个元素,并成一组,叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合从N个不同元素中,任取M个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。1排列的定义2组合的定义3排列数公式4组合数公式排列与组合的关键是问题与次序有无关系。5加法原理和乘法原理完成任务时是分类进行还是步进行。例17种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法解一分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置解二第一步由葵花去占位第二步由其余元素占位小结当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。例2要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种【图示】解5个独唱节目的排法是，小结当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排，只要把舞蹈节目，插入独唱节目的5个空隙中即可，即舞蹈节目的排法是，所以排法的种数为。例3某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮中间，有多少种装法【图示】解先把三个方按钮排好，有种排法，小结如果某几个元素必须相邻时，首先可以把这几个元先进行排列，然后把这几个元素捆绑在一起看成一个元素，再与其它元素进行排列，这种方法叫捆绑法。然后把三个方按钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个按钮排成一排，有种排法，所以共有种装法。例4空间十个点A1，A2，A3，A10，其中A1，A2A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面，以这些点为顶点，一共可以构成几个四面体A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10【图示】解因为四面体需四个顶点组成所以在十个点中取四个点共有种方法。小结在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元素的取法数，这种方法叫排除法。但四个点在同一平面上不能组成四面体，所以排除同一平面上五个点取四个点的情况共有种方法，这样，一共可以构成个四面体。例5圆周上有N个点（N6），用线段将它们彼此相连，这些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多少个顶点在圆内的三角形A1B2B1C2C1A2所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内三角形，从圆周上N个点中选6个点的组合数就是圆内三角形的个数。解圆内三角形ABC，AB，在A1B2上，ABC在A1B2的一侧，则BC所在的B1C2，AC所在的A2C1都被A1B2一截为二，即在A1B2的两侧各有两点A2，B1，和C1，C2，同理，在A2C1，B1C2的两侧也各有两点，因此每一个圆内的三角形决定圆周上6个点，反之，如在圆周上任取6个点，也可用上述方法找出三对点，每对点之间连线段，这三线段相交成一个圆内三角形例6有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人，每人有05元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一枚，问有多不同的凑合方法解把所有人的硬币都凑合起来共有2305101215元，所以多15元，这样问题可转化为取多余钱的方法数即取3个05的硬币或取1个05硬币和1个1元硬币的方法数，则有种取法。小结对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若能转化为与其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种方法叫转化法。例7在从2，3，5，7，11，13这六个数字中任选两个，分别作分子，分母的分数中，真分数有几个真分数真分数真分数真分数真分数假分数假分数假分数假分数假分数解因为从六个数字中任选两个作为分子分母的分数中，其中真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分数的个数为个。5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同,问甲比乙先到达终点的可能有几种小结在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的二分之一，这种方法叫机会均等法。（概率法）例812个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须全部分完，有多少种分法解将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定两隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人，每一种隔法对应一种分法，于是分法的总数为种方法。小结将N个相同的元素分成M份（N，M为正整数），可以用M1块隔板，插入N个元素排成一排的N1个空隙中，所有的插法数就是分法数，这种方法叫隔板法。55巩固练习分配5人担任5种不同的工作，如果甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作，那么共有多少种分配方法由A，B，C，D，F六个字母中，每次取4个进行排列，若每个排列都包含A，B且A在B前的有多少个在1，2，3，100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法有多少种求方程XYZW100的正整数解的组数是多少某区有7条南北向街道5条东西向街道（如图）从A点走向B点，最短走法有多少种AB小结在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很多如数形结合思想；