[理学]工程物理基础 第1篇 声学基础 第1章 质点振动系统

工程物理基础第1篇声学基础声学作为物理学的一个分支，是自然科学中最古老的学科之一。从伽利略1638年发表的两个新科学的讲话，到半个世纪后牛顿提出的恒温声速的理论，17世纪到19世纪这三个世纪中许多重要的数学家和物理学家几乎都研究过声学问题。经过许多科学家的努力，从经典物理声学发展到成熟的阶段，1877年，瑞利的声学理论做了总结。声学同时又是一门渗透性、交叉性极强的应用技术学科。从20世纪初开始，声学主要以外延的形式发展，与其他科学技术分支结合，建立了大量的边缘学科，在工业、农业、医学、国防、通信与信息技术、人工智能、材料科学、家电等领域中具有极其广泛的应用。现代科学技术的发展和科研手段的提高极大地促进了声学学科自身的发展和演变，反过来，现代声学也对当代科学技术的发展产生举足轻重的影响。声学是一门研究声波的产生、传播、接收以及与物质相互作用的科学。声是一种机械扰动在气态、液态、固态物质中传播的现象。所谓扰动，是指在气态、液态、固态物质中的一个密度的、或者是压力的、或者是速度的某种微小变化，这个变化在弹性介质中就会传播出去，这个传递的能量就是声。从声的这个概念上讲，只要在弹性介质中存在扰动，就会产生声波。声波在传播过程中会引起物质的光学、电磁、力学、化学性质以及人类生理、心理等性质的变化，而它们反过来又会影响声音的传播。所以声学研究的范畴非常广，分支很多。声波的振动频率范围宽广，为1041014HZ。最初，声学的研究局限于可听的声音，即大约20HZ至20KHZ频段的声波，称声频声，包括对音乐与乐器的研究，语言及听觉的研究，建筑声学的研究，电声系统（电话、微音器、喇叭等）的研究等。以后研究的领域逐渐扩展，低频方面扩展到20HZ以下的次声波，如1HZ以下的地震波等，高频方面扩展到20KHZ以上的超声波及至数千兆赫的特超声。目前整个声学研究的频率范围跨越1018HZ，是物理学各分支里少有的。随着频率的升高，声学进入微观世界，不断发现新的现象和新的应用。声学既有经典的物理性质，又有量子的性质，成为打开微观世界的一把钥匙。同时，随着频率的降低，低频声波的吸收衰减越来越小，穿透能力和传播距离大大增加，成为观察大气、海洋、地壳中许多现象的强有力的工具。声学作为一门现代科学是从17世纪开始，和力学、电磁学等物理学科一起发展起来的。培根很早就讲过“没有数学的介入，自然界的许多部分就不能详细的解释。”几乎当时所有杰出的物理学家和数学家都对研究物体的振动和声的产生原理做过贡献，如伽利略、牛顿、欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等。伽利略发现摆的等时性规律，是近代振动和声学的科学的开端。此后，法国数学家伽桑狄利用远地枪声和闪光之间的时差测定了声在空气中传播的速度。法国数学家达朗贝尔于1747年首次推出弦的波动方程，并预言可用于声波。经典声学的特点是有比较精确的测量，对声的物理实质有了深刻的认识，发展了相应的数学手段，建立了波动方程，对声波在气体、固体、液体和有限空间中的传播进行了理论和实践研究。经过一百多年许多科学家的努力，1877年英国物理家瑞利（RAYLEIGH）总结了前人的成果，出版了声学理论一书。此书集经典声学之大成，对后来的各种波动传播理论的发展具有重要作用。瑞利声学理论一书中的第一部分包括弦、杆、膜和板的振动。他还提出了瑞利利茨方法，这在固体结构的振动和量子力学中均有广泛的应用；书的第二部分牵涉声在液体中的传播。至今，特别是在理论分析工作中，人们还常引用这部巨著19世纪末，理论工作研究的频段已不局限于音频范围，但由于没有高频声源，所以高频声的研究没能得到发展。1880年居里（CURIE）兄弟发现了压电效应，但是直到电子管放大器发明以后，采用压电效应的电声换能器才能用于工程上，压电换能器作为高频声源才变成现实。20世纪，由于电子学的发展，使用电声换能器和电子仪器设备，可以产生、接收和利用任何频率、任何波形。几乎任何强度的声波，以致声学研究的范围不断扩大。现代声学中最初发展的分支就是建筑声学和电声学以及相应的电声测量；以后，随着频率研究范围的扩展，又发展了超声学和次声学；由于手段的改善，进一步研究听觉，发展了生理声学和心理声学；由于对语言和通信广播的研究，发展了语言声学。第二次世界大战中，开始把超声广泛地用到水下探测，促进了水声学的发展。与其他学科结合，声学形成了许多交叉学科。20世纪初以来，特别是20世纪50年代以来，全世界由于工业、交通等事业的巨大发展出现了环境噪声污染问题，从而促进了噪声、噪声控制、机械振动和冲击声研究的发展。大振幅的非线性声学也得到重视，这样逐渐形成了完整的现代声学体系。声学是一门科学声学作为一门科学，首先要致力于描述、创造和理解人类经验的一部分，即关于声波及声波的效应问题。在声音这个范畴里，有各种各样的现象，声学就是要建立各种各样的方程、定律来描述这些现象，发现一些新的声学现象，在理解的基础上发展新的预测理论。声学的生命力在于其科学的物理基础。L声波的产生机制声学首先要研究的是声波的产生。振动学是研究声源的理论基础。声学所研究的简谐振动及其在各种物质中传播的属性是物理学的本质之一。从伽利略的工作到胡克定律的发现，都是振动学的实验研究。18世纪数学的发展，推动了声学理论的发展。1713年泰勒（BTAYLOR）第一次成功地把牛顿定律用于连续介质中微分元的运动，得出弦振动基频模的动力学解。偏微分方程的引入得出了振动弦偏微分方程的近代严格解，只有应用偏微分方程才可能解决可压缩连续介质的运动问题。在胡克对弹性体应力和应变关系研究的基础上，18世纪的数理学家进一步研究了金属棒、弹性板的振动。瑞利于19世纪末最早提出声波动理论，对后来的各种波动传播理论的发展有重要作用。目前的声波产生机制研究前沿，主要包括流致噪声、结构声辐射和热声学等几个方面。流致噪声研究的是流体的流动所产生的噪声，其应用很广。当前最困难的问题是湍流所产生的无规噪声。计算机中的风扇、潜艇在水下的活动，都会产生流动的不稳定，这种不稳定可以发展成为一系列的涡，涡流变化比较快的时候，就会变成更加复杂的湍流。研究表明实际上，湍流里面不是无规的，而是有序的，有一定的科学规律，称之为混饨现象。掌握了这些规律，我们就可以利用声与涡之间的相互作用，来达到控制流场或声场的目的。如利用声波来控制涡的产生与发展，可以把声的能量变成涡的能量耗散掉。热声学研究声与热之间的关系。1982年，WHEATLEY发现在驻波管内近四分之一波长内放一摞薄片，在声波作用下，薄片两端产生温度差，这就是热声现象。由于热梯度的存在和某种声场共振的机制，热变成了声。实际上只要有一个温度梯度，建立一定的机制，就可以通过热的传导发出非常强的声音。反过来，声音的传播也可以有效地传热或制冷，这种新技术为声制冷，给不用氟里昂的冷藏系统提出前景。目前已经用在航天上，用来冷却红外探测头，其优点是可以产生一般的压缩机不可能达到的非常低的温度。L声波的传播和衰减机制由振动而形成的声波能量产生以后就要传播，因此我们需要认识声波是怎样传播的。如在混浊、含盐的海水中，无论是光波还是电磁波，它们的传播衰减都非常大，在海水中的传播距离十分有限。相比之下，声波在水中的传播性能就好得多，它在海水中的衰减比电磁波小1000倍以上。因此，声波在人类海洋活动中，如水下目标探测、通讯、导航等方面得到了广泛的应用。在水下声学中，20世纪第一次世界大战和第二次世界大战之间，人们就对海水中变化多端的声传播机理有了认识。20世纪20年代末和30年代初，船用回声定位设备在性能上存在一种神秘的不可靠性，也就是说，在早晨往往能得到良好的回波，可是一到下午回波就变差或者根本就收不到。直到弄清了回波一到下午就确实变弱，而与声纳员和仪器设备无关后，人们才开始在海水介质的传播特性上寻找原因。只有靠特殊的温度测量装置，才能使人们明显地看到很小的温度梯度就会使声音向海底折射，从而使目标处于影区。EBSTEPHENSON称这种现象为“午后效应”。为了测量海面以下几百英尺范围内的温度梯度，AF，SPILHAUS于1937年首先研制成了温度深度仪，第二次世界大战开始时几乎每一条参与反潜的海军舰只都装有这种设备。为了监测海洋中温度的变化，美国于1995年开始筹备，1997年正式启动了一个国际性的声学大洋测温计划，在夏威夷附近的一个小岛边的水下，放置了一个大功率的声源，发出70HZ左右的低频声波，然后在大洋的其他地方（包括我国的台湾以东）布置了一些接收点，通过测量从声波发射到接收处两点之间的距离和时间，就知道了声波的传播速度，而声速与海水温度有关，从而就可以测出从发射点到接收点之间的大洋的平均水温。同时，声波在大气中的传播也是目前研究的内容。大气中的湍流、大气层的厚度、温度分布、湿度分布等等变化，都会对声的传播产生很大的影响。特别是对于不透光的物体，声波是很好的探测手段。因此，需要研究声波在固体中的传播，如B超，就要研究声波在人体的各种器官中是如何传播的。然后才能做出判断。L声波的接收声波的接收是研究怎样把声信号变成电信号，如传声器，并在仪器上进行显示。同时声学的接收还研究听觉的机理，这与人直接有关，人感受到声音首先是通过耳朵。在生物世界里，声学也许是最早进入人脑的物理学科。如研究人耳听见的声音通过耳蜗是怎样进入大脑的，人的大脑怎么对声调有这么强的分辨能力，怎么能够识别不同人的讲话声，对音乐的细微差别为什么能觉察得那么灵敏；再进一步研究，人是怎样理解语言的。通过对大脑这个“黑匣子”的分析，人们可以对大脑有更深入的理解。L声波的作用在声与物质相互作用的研究过程中，到目前为止，虽然主要是研究物质的声速、声衰减及密度、弹性系数（或黏度）等宏观量，但通过宏观量的测量，可以揭示物质微观世界的本质。如分子声学从超声传播速度和衰减及其弛豫效应的测定，可以研究气体中分子的各种运动之间的能量转移以及分子间的能量转移，液体中的各种分子结构有关的动力学过程，以及固体物质的相变、缺陷、晶粒尺寸乃至微观的分子结构，半导体和超导体中的能隙及能级分布情况等。当声波强度较强时，它除了产生线性效应之外，还有非线性效应。声音在传播过程中，会引起物质的性质和状态的变化这些效应包括力学、热学、光学、电学、化学效应这些效应在不同的场合中得到了具体的应用。力学效应搅拌作用；分散作用；去气作用；成雾作用；凝聚作用；定向作用；冲击破坏作用；疲劳破坏作用等热学效应吸收引起的整体加热；边界面处的局部加热；形成激波时波前处局部加热光学效应引起光的衍射、折射、双折射；声致发光等电学效应在压电、压磁材料中产生电场和磁场；引起电子逸出；电化学效应等化学效应促进化学反应；促进氧气还原；促进高分子物质的聚合或分解；引起照相底片的感光；引起声化学发光等L声学是一门技术声学是一门技术，是因为我们可以利用已知的声学的科学原理，去改造人类生存的环境，去发展人类需求的各种方法和工具。声学技术的广泛应用，首先要归功于声波的物理特性。技术对声学来说，是它的竞争所在。其主要的应用技术包括L水声技术水声技术是利用声波对水下目标进行探测、识别、定位、通讯和导航等功能的声学技术，这是由于声波是唯一能在海水中有效地进行远距离信息传递的载体。蓝绿光在海水中衰减系数为123DB/KM，100HZ超长电磁波在海水中衰减系数为345DB/KM，但100HZ声波在海水中的衰减系数仅为00015DB/KM。声波能在水下传播很远距离，而光波和电磁波则在很短距离内就会被海水完全吸收。因此，所有的水下探测、通讯、导航、遥控等活动都离不开声学。水面舰艇、水中潜艇、鱼雷、水雷、水下暗礁、鱼群以及其他发出声波或产生回波的水下物体，均可看为声纳（即水声设备）的探测目标。所以，声纳在军事上和国民经济中具有广泛的用途。1826年，法国数学家查尔斯斯特姆（CHARLESSTURM）和瑞典物理学家丹尼尔克拉顿（DANIELCOLLADON）在日内瓦湖第一次测出了声音在水中传播速度的测量值（如图03所示）。斯特姆（图中左）敲响了浸在水中的钟。克拉顿用秒表记下了声音传过水下所用的时间，测得的声音的传播速度为1435M/S。比现在公认的速度值只差3M/S。L噪声控制技术现代工业和交通飞速发展，伴随着出现大量的噪声问题，如机器噪声、交通噪声等等。噪声妨碍人的健康，影响人们的工作和生活、干扰精密仪器的运转。高强度噪声还会造成人们听力丧失，甚至损害房屋建筑。因此，20世纪60年代前后，“噪声控制”作为一门独特的学科从建筑声学中分离出来，得到迅速发展，是当前研究的前沿热点之一。有源噪声与振动控制技术是当前噪声控制技术中最先进的研究方向，它的物理意义是用声波来抵消声波。这时只需用一个可控制的噪声，不需要任何别的材料和结构。可控制的噪声源发出一个声波来，使它与噪声的振幅大小相等，位相相反，两个波叠加的结果就使得噪声被抵消了。如用随身听听音乐时，噪声和音乐都一起进入了耳朵，听起来很不清楚，这时在耳机中再发出一个噪声信号，把噪声抵消掉，把音乐留下来，听到的音乐就很清楚了。L电声技术电声技术是声学领域中发展得比较快的一个分支。它的发展和近代通讯技术的发展紧密相关，主要包括录放声技术、扩声技术以及与它们有关的电声测试技术等。微音器的发明使人们能够利用电子设备把语言信息传到远处。电子学的发展促进了电声换能器件的研制与电声测量方法的发展。把电信号转变为声信号，或者把声信号转变为电信号的技术都是电声研究与应用的范畴。如话筒、喇叭、音响、电声系统等等。当前比较热门的研究主要集中在新概念扬声器。如强指向性声源，使用两束很强的超声波，这两束超声波的频率稍微有一些变化，由于非线性效应，这两束超声波会产生差频信号，差频出来的声音，刚好落在20HZ到20KHZ的频率之间，人的耳朵就能听见了。由于超声频率很高，它的指向性很强，而差频出来的这个听得见的声音是跟着超声一起传播的，所以它的指向性也很强，又因为差频声是低频的，所以衰减很慢。L语音技术语音历来是信息传递的要素。语音信号处理解决的是人机对话的问题，它研究语音的识别、合成、编码、解码、传送等等。语音识别是根据语音信号的声学特征，有时加上语音的结构规则和语意线索，由机器认出与该语音输入相关的语音来。可以根据使用要求，由机器以不同的方式做出响应，如打印语音相应的文字、符号，完成规定的动作。识别是指从语音到文本的转换，即让计算机把人发出的有意义的语音，变成书面语言。语音合成是指从文本到语音的转换，也就是把书面的语言转变为语音，再通过喇叭发出来，这是目前较成熟的语音技术。当前话音合成系统可分为两类一类是利用数字化技术预先存储语音数据；另一类则是利用语音参数和发音规则产生语言，从而还可以实现文语转换。这种人机交互语言应用前景广泛。在国外许多电话公司已开始试用，如机场、车站等交通和其他商业部门。语音编码与压缩是指在语音信号传输的过程中，为了减少传送的数据量而又不会造成语音信息的损失，首先必须对其进行编码，给出压缩表示，变成一系列的数字，到了接收端还要再不失真地还原为语音（解码）。L超声技术超声及其应用是近代声学发展中最为迅速的新兴分支。超声技术与介质中超声的产生和接收的研究密切相关。19世纪末，理论工作研究的频段已不限于音频范围，但由于没有高频声源，高频声的研究没有能得到发展。1880年居里（CURIE）兄弟发现的压电效应，以及20世纪初电子学的发展，使人们能利用某些材料的压电效应和磁致伸缩效应制成各种机电换能器。1917年，法国物理学家朗之万用天然压电石英制成了夹心式超声换能器，用来探查海底的潜艇。随后又出现了更大超声功率的磁致伸缩换能器，以及各种不同用途的电动型、电磁力型、静电型换能器等多种超声换能器。高频声源一旦出现，声学研究的领域马上扩展一方面是超声波的产生、接收、传播以及在物质中的作用的研究；另一方面是液体和固体中声波和超声波在各种工业上应用的研究。利用声波和超声波在介质中传播时的物理、化学作用，以及对生物生态的影响，推广了它在各种工业技术上的应用。L次声波应用早在第二次世界大战前，次声学方法就已应用于探测火炮的位置利用接收到的被测声源所辐射出的次声波，探测它的位置、大小和其他特性。核爆炸时会形成强大的次声源，它所产生的次声波在大气中可以传播得非常远。因此，次声方法成为探测大气中核爆炸的主要方法之一。可以通过接收核爆炸、火箭发射火炮或台风所产生的次声波去探测这些次声源的有关参数。可预测自然灾害性事件，许多灾害性现象如火山喷发、龙卷风、海啸和雷暴等在发生前可能会辐射出次声波，因此可以利用这些前兆现象预测灾害性事件。L声学微机电器件声学微机电器件是指采用微电子工艺技术制造的，工艺特征尺度在微米至毫米之间，由声学、机械和微电子器件构成，或依据声学的原理设计及发生作用的，能够独立完成一定的信号采集、信息处理和驱动控制作用的器件。主要包括三种类型（1）微型声学传感器实现声信号到电信号的转换，直接的有传声器、加速度计、水听器、惯性传感器等；间接的有微量气体传感器、生物传感器、温度传感器等。（2）声学微机电驱动器件实现电学量向声学驱动量转换，或者是用声信号来驱动器件，如微型耳机、振动激励器、微喷、微运输、超声微马达、微振动冲击钻等。（3）微声处理器件使用声学方法实现电信号、光信号或其他类型信号的滤波、调制等处理功能的器件，如声表面滤波器件、光声器件等。它首先把电信号变成声信号，经过声学的传播和调制以后，再从声信号变回电信号，中间本应由电信号完成的卷积、滤波的过程，让声学过程来完成。这些器件由于尺度小，在无线电通信等许多方面都得到应用。声学还是一门艺术声学从一开始就与音乐分不开，音乐声学是声学中最古老的学科分支。声学是一门艺术在于声音与人的主观反应之间的关系，声音可以用来满足人类的精神生活的需要。音质的好坏，除了客观地用物理仪器测量以外，还要有主观评价。要把主观评价的客观基础与主观感受联系起来，牵涉到人的生理和心理状态。因此，声学反映了主体与客体的关系。建筑声学，特别是室内声学中的厅堂音质设计问题，就是科学为艺术服务的学科之一。在厅堂里说话出现的小回声持续时间既不要太长，又不要太短，即混响时间参数的选择，是评价厅堂音质的主要物理量。如果混响时间太长，就要在屋顶、墙壁和地上加上吸声材料，使每一次声反射时损失声能量多一些，混响时间就短了。为了满足多种用途，如做报告、演奏现代音乐、演奏古典音乐，厅堂内往往装有吸声性能可变的墙板或柱子。在需要混响时间长的时候，就把吸声能力弱的一面翻出来，增加混响时间；在需要混响时间短的时候，就把吸声能力强的一面翻出来，减小混响时间。L质点振动系统L弹性体的振动L理想流体介质中声波的传播L声波的辐射L声波的散射L声波的接收L声波的吸收主要章节内容包括第1章质点振动系统L质点的自由振动L质点的衰减振动L质点的强迫振动L机电类比L耦合系统的自由振动自然界中普遍存在着振动现象。各种机器和仪表的振动，车辆在不平路面上行驶时的颠簸，轮船在海浪冲击下的左右摇摆和前后纵摇，树叶在风吹动下微动等等，都是振动的例子。我们把物体或质点系统按一定规律在其平衡位置附近所作的周期往复运动，称为振动。振动学是研究声学的基础，因为不仅声学现象实质上是传声介质（气体、液体和固体等）质点所产生的一系列力学振动过程的表现，而且声波的产生基本上也来源于物体的振动。既然声是由物体振动而来，因而从物体的振动规律中自然也可预知声的一些规律。例如，由扬声器发出的声音的强弱及其频率与扬声器的纸盆振动幅度及其频率有关。一个声学工作者免不了要使用或者研制一些电声器件，而这些器件大多数都有一个（或多个）振动系统。可以发现，这些振动系统的特性，对控制电声器件的声学性能往往会起着关键作用。由此可知，振动学的基础知识对研究声学是非常重要的振动学所研究的范围很广，我们主要讨论与声学问题联系比较密切的力学振动的基础知识。在对任何一个真实物理系统进行任何理论研究时，我们总是不得不对系统的性质作一定程度的简化、理想化。为了建立所研究的物理系统的数学模型，列出描述此物理系统之性质和状态的某方程时，应该考虑这样的一些基本的、决定性的因素，它们决定着那些目前我们最关心的系统特点。本章就从研究最简单的振动系统质点的振动系统开始。一方面，许多实际系统可以足够准确地简化为这样的系统；另一方面，质点振动系统的一些重要概念、特性和研究方法，又是研究更复杂振动系统问题的基础。所谓质点振动系统是指构成整个振动系统的质量块与弹簧不论其几何大小如何，都可以看成是物理性质集中的系统，对于这种系统，质量块的质量认为是集中在一点上，而整个弹簧的弹性是均匀的，即认为弹性也集中在一点上，构成整个振动系统的质量和弹簧运动状态都是均匀的，也称为集中参数系统。一个振动物体能否作为质点系统来看，并不由它的“绝对”几何尺寸所决定，而要看它的线度与物体中振动传播波长的相对比值而定。实际物体总有一定的几何大小，并且物体的各个部分振动状态往往也不可能处处相等。但如果物体振动形变的传输所需的时间与物体中振动周期（振动一次所需的时间）相比短得多，或物体的线度比物体中振动传播波长小得多，那么这一物体的各部分振动状态就可以近似看成是均匀的，因此这一振动系统就可以近似地看作是质点振动系统。实际上，常有另一些振动系统，其中每一部分都具有惯性、弹性和消耗能量的性质，即系统的质量、弹性和阻尼在空间上表现为连续分布的系统，这样的振动系统称为分布参数系统。11质点的自由振动我们首先来研究最简单系统的可能振动，即质点的无阻尼自由振动。111振动方程及其解一个与弹簧紧联的质量块M构成了一简单的振动系统，见图11。如果可以不计弹簧质量的影响（在弹簧质量远比质量M小的情况下），并将假定物体M是绝定刚性的（如物体M的刚性远较弹簧为大时），在这种情况下，可以将它当作是单个自由度的质点的振动系统来研究，简称单振子。我们研究沿X方向的运动情况。当它从静止的位置被轻轻移动，并放开，则质量M将振动。测量表明质量M离开它静止位置的位移是时间的正弦函数，这种类型的振动称为简谐振动。声学中使用的大量振动都被认为是这种振动，甚至更复杂的振动系统也有许多简谐振动的特征，常常可以用简谐振动来近似。假定质点离开平衡位置的位移X很小（即限于讨论微小振动），以致弹簧的伸长或收缩没有超出弹性限度范围，对于这种质点自由振动的唯一制约力是恢复力（弹力），其正比于位移，即满足胡克定律。根据胡克定律有此处X是质量M离开平衡位置的位移，D是弹簧的劲度或称弹性系数，有时也使用其倒数CM表示，CM1/D称为顺性系数或力顺，式中的负号表示弹力方向与质量位移方向相反。根据牛顿第二定律有此处是质点的加速度。D和M是正值，定义常数称为振动的角频率。将它代入式（112），得到质点的自由振动方程这是一个重要的线性微分方程，它的解是众所周知的，其完全一般解为其中，因此，方程（114）的解为此处A1和A2是待定常数，式（115）也可以写成另一种形式其中A和也为待定的常数，它们与A1和A2之间的关系为参数是以每秒弧度为单位的角频率，因为一周有2弧度，所以以赫兹（HZ）为单位（周/秒）的频率与角频率的关系为一个完全振动的周期T由下式给出112初始条件上面已经指出，描述质点自由振动的位移表达式中有两个待定常数A1和A2或A和，它们决定于系统的起振条件，如果两个常数一旦确定，那么这一系统的振动状态就可以完全知道。假定T0时，质量有一个初始位移，初始速度，将此条件代人式（115）得到则式（115）变为由式（119）可以看到一个很重要的物理事实，这就是振动频率只与D和M有关，而与X0和V0无关。也就是说，一个给定的质量块和一个给定的弹簧，只要弹簧施于质量块上的力满足，那么，振动的频率也就确定了，不管我们是如何使这个系统开始振动的，也不管它振动的初始振幅是1CM还是0001MM，这在应用上是个很重要的结果。因为假如实际弹簧的作用力不近似地满足，或是式（112）的解无此性质，那么就没有一种乐器可以奏出协和的音调来。如果说弹钢琴时，每个键子的音调与弹的轻重有关，那将会是一件多么难以想像的事在很多情况下，我们也可以用一系列的实验方法来得出上面的结论。但上面数学分析的结果已立即告诉我们，任一质量块在力的作用下都会有这种性质。这类的振动称为简谐振动。我们可看到，为了表征这种“正弦”的简谐振动，必须给定三个量A是最大偏离或振幅，是在内的振动次数或角频率，是所谓振动的初相位。当我们同时考虑几个振动过程时，初相位将起着极其重要的作用。实际上，因为振动的相位完全取决于计算时间的初瞬时，如果计算时间的初瞬时已由某一其他过程给定了，那么这个过程的初相位便不能随便选取了。但是当我们只研究某一个“孤立”的过程时，振动的相位便不起任何实际作用了。总之，简谐振动因作周期正弦运动而得名。只有在X00和V00的情况下，即振子在初瞬时处于平衡状态时，才不会产生振动，在这种情况下，振子将一直保持静止。进一步微分得到质点的速度和加速度为可以看出，位移滞后速度RAD，而加速度与位移有RAD的相差。113振动的能量以振幅A、角频率振动的振动系统的能量E是系统位能EP和动能EK的和。系统具有位能是由于质点离开它的静止平衡位置运动，使弹簧畸变所做的功，由于质点施加在弹簧上的力在位移的方向上为DX，因此弹簧储存的势能和质点M具有的动能分别是整个系统的能量从这一关系式可以看出系统在振动时各个时刻的总能量是一个常数，它等于质点达到最大位移时的位能，或等于质点具有最大速度时的动能，同时也可以推知系统的总能量应等于初始时刻外部所给予系统的能量。114弹簧质量对系统固有频率的影响确定一个系统的固有频率，是研究振动问题的重要任务，当系统作无阻尼自由振动时，系统的机械能是守恒的，这时可以利用能量方程求出系统的固有频率。在上面的讨论中都没有考虑到弹簧本身的质量，认为系统的质量都集中在质量块上，然而一般弹簧总是或多或少具有质量的。如果弹簧本身的质量比起质量块质量小得多，那么允许忽略弹簧的质量；如果弹簧的质量并不是很小，那么这种忽略就有问题了。例如，一种所谓高顺性扬声器，它是采用橡皮等材料做纸盒的折环，使振动系统的力顺提高，弹性降低，从而降低系统的固有频率，以便扩展扬声器的低频范围，橡皮的弹性限度比纸大，所以也就扩展了扬声器纸盒振动幅度的限度。对于这种振动系统，由于橡皮比较重，因此橡皮折环部分的质量就不能轻易忽略。下面研究在考虑了弹簧质量时振动系统的一些特性。设有如图13所示的单振子，设弹簧的长度为L，弹簧的质量为MS，它在整个弹簧上均匀分布。因为弹簧具有质量，所以振动时它具有动能，为此要来分析它的速度分布。弹簧在X0端固定，该端的位移与速度为零，在XL端弹簧与质量块MM相连，位移与速度同MS一样等于与V。现把弹簧分成很多小元段，每一元段长为DX，因为弹簧伸缩均匀，所以每一弹簧元段产生的位移为这些弹簧元段串联相接，因此在X处弹簧的总位移应是在0至X之间所有弹簧元段位移贡献的总和，它等于由此可知在X处弹簧的速度应等于。考虑到元段DX的质量为，所以在X处元段的动能可表示为因此，弹簧的总动能等于因为已知质量MM的动能为所以系统的总动能应等于对于一个没有能量损耗的保守系统，按能量守恒定律，在运动的每一瞬间其振动动能与位能的和应为常数，因为位能仍可表示为，所以有将代入，并对式（1118）取时间T的一阶导数，经计算后可得到如下方程将此式与式（114）比较，就可求得系统的固有频率为从此式可见，考虑弹簧本身质量的系统仍可看作为质点振动系统，但此时系统的等效质量为，即系统的总的质量除了质量块的质量外还附加了三分之一的弹簧质量。显然考虑了弹簧的质量后，该系统的固有频率应相应变低。115弹簧串联与并联系统的振动除了上面的基本的自由振动系统外，在实际中还会有些更为复杂的系统。如在系统中的弹簧不是一根，而是两根，或多根，并且它们可以是串联相接或并联相接。我们来简单地讨论这种系统振动的一般特性。首先引入系统产生静态位移的一些关系。在上图11所示的单振子系统中，假设弹簧D在重力MG作用下产生了静态位移，从而弹簧对质量产生了弹力（）。在静态平衡时，作用在质量M上的合力应为零，即有如下关系将此式代入式（113），可得固有频率的另一表示式上式表明，固有频率与系统的静态位移发生了直接关系这一结果很有实际应用意义。它告诉我们，如果我们测得系统的静态位移，则无需再去知道系统的固有参量M和D，就可直接从式（122）中求得系统的固有频率。下面讨论双弹簧串联相接与并联相接的两种振动。1双弹簧串联相接设两根弹簧的弹性系数分别为D1和D2，质量M的重力作用下，产生的静态位移分别为和，如图14所示。于是每一弹簧所产生的弹力分别为和。因为两根弹簧是串联相接，每一根弹簧受到质量M的拉力都相等，并且等于MG，因此根据静力学平衡条件可得两根弹簧的总静态位移应等于各个弹簧静态位移的总和，于是，系统的固有频率就等于其中，为弹簧串接时的等效弹性系数。这表明，两根弹簧的串接使系统的弹性减小，固有频率降低如果有D1D2D，则DD/2，因此两根相同弹簧的串联相接，可使系统的弹性比单根时减少一半，从而使固有频率降低倍。2双弹簧并联相接同样设有两根弹簧的弹性系数分别为D1和D2，因为是并联相接（如图15），在质量M的重力的作用下，两根弹簧的静位移相同，都为，所以它们所产生的弹力分别为D1和D2。这时作用在质量M上共有三个力，质量的重力和两根弹簧的弹力。根据静力学平衡条件可得于是系统的固有频率就等于其中DD1D2为弹簧并接时的等效弹性系数这表明，两根弹簧的并接使系统的弹性增大，固有频率提高。假如D1D2D，则D2D。所以两根相同的弹簧的并联相接，可使系统的弹性比单根时增加一倍，而使固有频率提高倍。12质点的阻尼振动在无阻尼的自由振动中，由于机械能守恒，运动保持为等幅振动，但在实际情况中，一个真正的物体进入振动状态后都会出现振幅逐渐衰减的过程，亦即系统在振动时，始终会受到一种阻尼力的作用，这种阻尼力作用可能是振动物体与周围介质之间的黏性摩擦（或者振动物体自己的内摩擦）的效果；也可能是物体向周围介质辐射声波的效果。前者使振动能逐渐转化为热能，后者使振动能逐渐转化为声能，虽然热能与声能表现形式不同，但对系统来说都是使能量损耗的原因。121振动方程和解由于阻力有各种各样的来源，要精确地描述它是困难的。一般地，我们只知道阻力是与运动方向相反的，通常处理阻力的最简单的方法是假定阻力是运动速度的函数，对于小振幅振动可以认为阻力与速度呈线性关系，即有RM称为阻力系数，也称力阻，是正的常数，单位是NS/M（牛顿秒/米）。式中负号表示阻力总是与系统的运动方向相反。如果增加了阻力效应，则振动系统的运动方程变为或写成这里式（122）是带系数的线性微分方程，其一般解为是特征方程的两个根，由此得分两种情况讨论1，即（阻力很大时），则均为实数，且，于是其中每一项均按指数规律衰减，所以对应的是一种衰减运动，但不是震荡形式的。可以证明，不同的初始条件，C1、C2值不一样，则位移X（T）的变化规律也不同。2，即（阻力不大时），则令或这里A1，A2是取决于振子的初始条件的常数。式（126）表示一个“振幅”随时间衰减的振动，函数称为阻尼系数的物理意义是愈大，即阻力愈大，振幅衰减得愈快，当T0时，振幅ATA0，经过T时间后，下降为AT。有时也用振幅衰减到初始值的倍的时间来度量系统衰减的快慢，这一时间称为衰减模量，单位为S。对于系统所受到的阻力还可以用品质因素QM表示。QM定义为振幅衰减到初始值的时所经过的周期数，即它和电路中的品质因素类似。可以看出，阻尼作用愈大，QM愈小，则振动衰减愈快。所以QM是表征振动系统特征的常数，其值反映了系统受阻尼作用的大小。阻尼振动衰减情况如图16所示。由式（126），我们还可以看出，相隔一个周期T时间的相邻两次振动的振幅值比是I代表振动的序数，由此可以求出第一次与第I次幅值的比为可见幅值的衰减是以几何级数规律进行的，因此即使在小阻尼的情况下，即固有频率变化甚微的情况下，幅值的衰减也可能进行得很快。122阻尼振动的能量阻尼振动在每一瞬间的总能量应等于该时刻的振动位能与动能的总和，即已知所以由上式可以看出总能量对时间T的关系非常复杂，考虑到，近似有由上式可以看出阻尼系统中的总能量随时间变化，即使在一个周期内也是有起伏的，如果取整个周期中能量的平均有由此可见，由于阻尼的存在，质点振动系统的平均能量随时间作指数规律衰减。能量的散失系由于阻力（RM）引起，可能变为热能形式散失。在介质中振动时，部分消耗在系统内部变为热能，部分变为声能。13质点的强迫振动振动系统内部总是有阻尼作用，能量会逐渐损耗，因此初始激发引起的自由振动，终将因能量逐渐损耗，振动逐渐减弱，以致运动停止，要维持运动必须由另一个系统不断的给予激发，不断的补充能量，这种由外力作用维持的振动称为强迫振动。例如扬声器的音圈纸盒振动系统受到持续的电磁策动力作用而振动，产生声波，传声器的音膜在持续的声波作用下产生振动，感应出电压等等，本节只限于讨论谐和外力作用下的强迫振动。131无阻尼系统的强迫振动仍以弹簧振子为例，当此系统无阻尼时，质量元件M上受两个作用力，一个是弹性力DX，一个是外加推动力F，于是它的运动方程式为设，FM为外力的振幅，是外力的角频率。为了采用复函数求解，可以把外力写为复数，则方程变为一般。式（131）的通解包括两部分XTX1TX2T，X1T是方程（131）右边为零时所得的齐次方程的解。在前面已经讨论过，X2T是方程（131）的特解，设以复数形式表示为，其含义为它按外力的振动规律而变，其振动频率等于外力的频率，代入式（131）得因为实际的外力是复数的实数部分，应而得到复数解的实数部分此式便是无阻尼系统在外加谐和力作用下的普通形式解，第一项与自由振动形式相同，称为自由振动分量，第二项与外加作用力有关，且与外力的变化规律相同，称为强迫振动分量。设初始条件有因为，为此要求得式133的第二个因子随时间变化的周期与第三个因子相比缓慢得多，因此该式表示一个拍频振动，拍的周期即拍频等于外力频率与固有频率的差。所以得到在零初始条件下的振动位移是拍是很有趣的物理现象，是一种随时间变化的干涉现象。在图17（A）中有两组波动，它们的频率不同，但相差小。图17（B）便是两组波动叠加后的图形，在开始时振幅很小，渐渐地振幅会变大，之后又回复到振幅较小的状态，周而复始。当外力频率和固有频率相等时（）则式（133）变为此式表明，在无阻尼系统中，当加上与固有频率相同频率的外力时，系统的振幅与时间将成正比的增加。由此可见，如果外力持续作用，随着时间的增加，振幅将无限增大，这在实际中是不存在的。132有阻尼系统的强迫振动当考虑到系统的阻尼时，运动方程写成或式（136）的解为X1（T）是式（136）右边为零时的解当时，有，则近似有A0和是由初始条件确定的常数，X2T是式（136）的特解，令是外力的角频率，AM是待定的位移复振幅，代人式（136）得ZM称为系统的力阻抗（或机械阻抗），RM称为力阻，XM称为力抗，为力阻抗的模值，为其幅角，力阻抗的单位为NS/M（牛秒每米），旧称力欧姆。于是其中式（1311）为阻尼系统强迫振动的一般解。第一项称为瞬态解，它描述了系统自由衰减振动，此项与系统的初始条件有关，并且仅在振动的开始阶段起作用，当时间足够长时，它的影响逐渐减弱最终消失。第二项称稳态解，它描述了在外力作用下，系统进行强制性振动的状态，它的振动频率等于外作用力的频率，它的振幅是恒定的，所以称稳态振动。从（1311）式可以看出，当外力刚加到系统上去时，质点的振动状态颇为复杂，它是上述两种振动状态的合成。这种振动状态描述了强迫振动中稳态解逐渐建立的过渡过程；当一定时间以后，瞬态振动消失，系统振动仅由第二项稳态解来描述，系统达到稳定状态。133强迫振动的能量对于大多数的声学问题，研究的是稳定振动状态下系统的情况。因此我们在下面几节中着重讨论振动达到稳定时的特点。在稳态振动中，由于存在阻力，系统要不断损失能量，因此，需要不断从外部获得能量。外界强迫力每秒钟向系统提供的能量，可用强迫力每秒对系统所做的功来表示。以A表示强迫力所做的功，则瞬时功率稳态时可见功率随时间而变，取一个周期平均值，即得机械功率以WM表示机械功率其中式（1314）表明WM和VM的平方成正比，并和系统的阻力系数（力阻）RM成正比，当给定振速，而增加力阻RM时，振动一周所消耗的能量增加，所以需要的功率也愈大。如果力阻是由系统向空间辐射声波所引起的，那么显然力阻愈大就表示系统向空间辐射声波的能量愈多。由式（1314）还可以发现一有趣的规律。由于，所以该式还可以写成式中，XM为位移幅度。该式表明，假定力阻RM对频率是常数，而如果要求系统机械功率对各频率相同，那么频率愈低，质点振动的位移就要求愈大，频率低10倍，位移振幅大100倍。以后我们将知道，一般频率愈高，声辐射阻抗愈大。因此，对于一振动系统，低频的声辐射往往要比高频困难得多。例如对于一振动系统，如果要求它在高频与低频时的声的“机械功率”相同，那么显然该系统的位移振幅在低频时要比高频时大得多过大的位移振幅会带来声学技术上的困难，例如扬声器纸盆产生过大的位移，就会使折环的弹性超出胡克定律所遵循的弹性限度范围，从而使振动系统产生非线性效应。134速度振幅和位移振幅的频率响应在稳态振动中，位移为式（1316）表明振动的速度的振幅和外力的振幅成正比，而相位落后。由此可见，位移和速度与外力之间的比例系数为和，而是的函数，所以在交变力作用下的位移和速度幅值不仅与力的幅值有关，而且和外力的频率有关，即使在谐和力作用的情况下，外力振幅虽然不变，但只要频率变化，则位移和速度的幅值和相位都会发生变化。而振速为由式138），当时，则达到最小值，为零，于是振速达到最大，并且和外力同相位，这种现象称为机械谐振（共振）现象，即当外力频率等于系统的固有频率时系统达到谐振。如果系统的阻力系数RM（又称机械有功阻抗）很小，虽然外力振幅不大，但谐振时的幅值仍可很大。谐振状态下，振速达最大，振动幅度也很大，效率很高。如果外力频率不等于谐振频率，速度振幅便会减小，并且频率偏离愈大减小得愈多，保持外力的幅值不变（FM常数），而改变频率，得到速度幅值随变化的关系，见图18的曲线，称之为频率特性曲线，又称谐振曲线。可以看出，速度谐振频率与QM无关，它恒等于系统的固有频率，而速度谐振峰值与QM成正比。机械阻抗与频率的关系见图19，可以看出，当时，最小，可对应于图18中的最大值，同时可以看出不同的RM值，曲线形状不同。RM愈大，谐振时幅值愈小，曲线也愈平坦。共振现象在各种工程技术中起很大的作用。正如一切自然现象一样，在一定的时间、地点条件下，它可能对我们是有利的，而在另一些条件下则是有害的，有时还有破坏性，能使振动系统毁坏。如图110所示，一个高脚玻璃杯，有它的谐振频率，拿一个喇叭按照这个频率对它用力吹，玻璃杯的振动越来越大，最后就振碎了。1940年，美国建成的塔科马窄桥（TAROMANARROWSBRIDGE），由于风吹，产生自持振动，自持振动的频率正好和桥的固有频率一致，振动就愈来愈大，终于使这座大桥在建成4个月后振塌了，这就是谐振的作用。振动系统的频率特性曲线分布对水声换能器声波的收发系统的工作有很大影响。某些换能器接收的电压和它的机械系统的振速有关。由于在谐振频率时振速幅值最大，因此作为接收单频声波的接收器来说，应使换能器机械系统的固有频率等于声波信号的频率，其目的是在给定声波强度情况下，可得到更大的振速幅值，从而可获得较大的灵敏度，此外还可提高接收机的抗干扰能力。因为，对频率不等于系统固有频率的干扰声波将引起的振幅更小，其接收灵敏度也小，所以从抗干扰和提高灵敏度考虑，希望系统的阻尼愈小愈好。但在实际设计换能器的机械系统时，还需考虑其他有关因素（如阻尼过小，系统自振时间长，对瞬态脉冲接收是不利的）。如果机械系统接收的外力为多频率的复合信号，则尽管机械声波的各频率分量的幅值相等，但它们在接收端所产生的各频率分量的振速幅值和相位却不相等，这就会造成信号的“波形失真”。当谐振曲线过分尖锐，则失真程度将更严重。如在接收脉冲或多频的声信号时，为了避免此种现象，应保证在接收信号频带内有较平坦的频率特性曲线。从上节讨论中得到系统的机械功率为以，代入，则当谐振时为最大值，即于是有其中是机械品质因素。根据式（1317）可以画出不同的QM值的功率特性曲线（图111）。我们定义功率降到最大值的1/2时，两频率差为频率宽度。（此时速度振幅峰值下降倍。）令，故频率满足两式消去QM，得，又将两式相加，得式（1318）说明，品质因素QM愈大，则相对频率宽度的数值愈小，频率特性曲线愈尖锐。这与电学中的Q情况类似，由此也再次说明了QM定义为机械品质因素的含义。强迫振动时，振子的位移也与外力的振幅及频率有关。根据式（1315），位移幅值为式中为时的位移振幅，；。此时外力产生的振动位移振幅等于同样大小的静态力产生的位移振幅的QM倍。因此，当系统阻尼作用力很小时，品质因素相应增加，则在时位移振幅很大，但是并不是位移最大值的所在点，见图112，将式（1319）取对的一阶导数，并令其为零，可以得位移达到极大值时的频率。解出最大值时的频率可见位移最大值的频率比谐振频率略小，但当QM相当大时。由图112可见，QM愈大曲线愈陡峭，QM愈小，曲线愈平坦由式（1320）可以提出位移谐振的频率与QM值有关，这与速度谐振是不同的135强迫振动的过渡过程由前面对阻尼强迫振动的分析（1311）可知，其解包括瞬态和稳态两部分。其中，瞬态解是当外力移去后，振子的自由衰减振动，稳态解则是由于外力的作用而使振子获得的振动。当力加到系统以后，开始时两部分对位移都有贡献，一段时间以后，第一项衰减到很小，这时只有第二项起作用，它表现为等幅的振动。尽管自由振动是衰减的，而且持续时间也不长，但这一“自由振动”的成分搅杂在受迫振动中，总会引起一些畸变。从力开始作用到稳态的建立一段时间内，“振幅值”随时间而变，此过程称为强迫振动稳态建立的过渡过程。不同外力作用下，振动过渡过程的形式不同，我们讨论几种典型情况。1振动系统开始时完全处于静止状态（零初始条件），即且所加谐和力的频率等于系统的固有频率。因，故，则由式（1311）得由初始条件可得其曲线可见图113，可见纯衰减振动的包络可由描述（见图113中曲线2），而与稳态解叠加之后总位移的包络则由描述（见图113中曲线3）。可见，在此种情况下，衰减模量既可反映包络衰减的时间，也可衡量包络上升的时间。从理论上说，要经过无穷大的时间方能达到稳态值，实用上，当振幅达到稳态值的95时，就认为振动已经基本达到稳态，稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。即由此可算出稳态振动建立的时间为，把代入，则即稳态建立时间约需QM倍振动周期的时间。因此QM值不但表征着共振曲线的锐度，而且还表征着受迫振动的建立时间。QM值愈大，共振曲线愈锐利，则稳态振动建立的时间愈长，即稳定状态来到愈慢。（2）如外力频率接近而又不等于谐振频率，则在过渡过程中，瞬态成分和稳态成分叠加表现出拍现象，如图114所示。随着时间增加，振幅的起伏愈来愈小，最后趋于稳态。同样，这种起伏阶段与系统的QM值有关（3）正弦脉冲填充作用。设正弦脉冲作用力的持续时间为，当力加到系统上后，振动的振幅按曲线随时间增长，而脉冲结束后，系统振动则按自由振动规律的指数衰减