求函数极限的若干方法毕业设计论文

绥化学院本科毕业设计（论文）求函数极限的若干方法SUIHUAUNIVERSITYGRADUATIONPAPERSEVERALMETHODSOFSOLVINGFUNCTIONALLIMITSTUDENTNAMESTUDENTNUMBERMAJORSUPERVISINGTEACHERSUIHUAUNIVERSITY摘要求解函数极限是高等数学的一个重要内容，本文主要探讨一元函数和二元函数极限的求法针对一元函数给出了利用极限的定义、洛比达法则和变量代换等求函数极限的方法；针对二元函数给出了利用二元函数极限的定义、利用极坐标和初等函数的连续性等方法求二元函数的极限并通过具体实例，对这些方法进行了分析比较关键词函数；极限；计算方法；连续性ABSTRACTSOLVINGFUNCTIONALLIMITISANIMPORTANTCONTENTINHIGHERMATHEMATICSTHISPAPERMAINLYINVESTIGATESTHESOLUTIONSTOTHELIMITOFTHEFUNCTIONOFONEVARIABLEANDBINARYFUNCTIONFORTHEFUNCTIONOFONEVARIABLE,THISPAPERGIVESTHEMETHODSOFSOLVINGFUNCTIONALLIMITUSINGDEFINITIONOFLIMIT,LHOSPITALSRULE,ANDVARIABLESUBSTITUTION,ANDSOONFORBINARYFUNCTION,THISPAPERGIVESTHEMETHODSOFUSINGLIMITDEFINITIONOFBINARYFUNCTION,POLARCOORDINATES,CONTINUITYOFELEMENTARYFUNCTION,ETCANDTHESEMETHODSBYSPECIFICEXAMPLESAREANALYZEDANDCOMPAREDKEYWORDSFUNCTIONLIMITCALCULATIONALMETHODCONTINUITY目录摘要IABSTRACTII第1章函数极限的定义及定理1第1节一元函数极限的定义及相关定理1第2节二元函数极限的定义及相关定理4第2章函数极限的计算方法6第1节一元函数极限的计算方法6第2节二元函数极限的计算方法13结论17参考文献18致谢19极限是高等数学的基础，也是高等数学教学过程中的一个难点，它贯穿了高等数学的始终导数等概念都是在函数极限的定义上完成的，由此可见函数极限的重要性本文简要介绍了一元函数和二元函数极限的基本概念，并进一步研究了一元函数和二元函数极限的主要计算方法第1章函数极限的定义及定理第1节一元函数极限的定义及相关定理11一元函数极限的相关定义定义1趋于时的函数极限X0函数在点的空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对任意的正数FA，存在，使得当时，都有，则称趋向于的极限00XXFX0存在，且为，记作A0LIMXFA定义2趋向时的函数极限设为定义在上的函数，为定值，若对任给正数，存在正数XF,AM，使得当时有，则称函数当时以为极限，记作AMAXFXFAAXFXLIM或F注时的函数极限的定义与定义2相似，只要把定义中的改为X即可定义3单侧极限设函数在或内有定义，为定数，若对任给的，XF00XA0存在正数，使得当或时有，则称000XAXF数为函数当趋于或时的右左极限，记作或AFX0XLIMLI00FXX，右极限与左极限统称为单侧极限00AFXF在点的右极限与左极限又分别记为X与LIM00XFXFXLIM00XFFX根据时函数的极限的定义以及左右极限的定义，容易得出函数0当时极限存在的充要条件是左右极限各自存在并且相等，即XF0FX0FX定义4无穷小若，则称函数是无穷小，此定义中可将换成，0LIMXFAAFAXX,，等形式XX12相关定理定理1四则运算法则若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，LIM0XFLI0XGGFF0X且（1）；LIMLILI000XFFXX（2）；000GG又若,则当时极限存在，且有LIM0XF/（3）LIM/LILI000XGFGXX我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比形式的极限统称为未定式极限，记作1型或型,其它能化成这两种极限形式的函数极限也称为未定式极限对求解未定0式极限来讲，洛比达法则是一种便捷而有效的方法使用时要注意和其它方法结合，使求解过程简洁化洛比达法则有两种形式型或型，对于这两种类型的未定式0极限，能够直接使用洛比达法则求极限，下面是针对这两种极限形式的洛比达法则定理2一元函数的洛比达法则（1）型未定式函数极限0若当时，；的值存在，且为可以是无0X0,XGFXGFX0LIMA穷大；在点的某空心邻域内，都可导，且0，那么0FAXGFXF00LIMLI（2）型未定式函数极限若当时，；的值存在且为可以是无0XXGF,XGFX0LIMA穷大；在点的某空心邻域内，都可导，且0，那么0FAXGFXF00LIMLI注其它类型的未定式极限其它是类的未定式（1）对于型的函数极限，要先把这种类型的极限化成型或型极限若0为，那么可将化成（）或者（），然后用洛XGF0XGFF1XFG1比达法则求解；（2）对于，型的未定式极限，要先对底函数取对数，将其化为型或100型，再用洛比达法则求解定理3一元函数的两边夹定理若或，有，且，则XA,XXFGXHBXHFAAXLIMLIBGAXLIM定理4有限个无穷小的和也是无穷小定理5有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小推论1有限个无穷小的乘积也是无穷小定义5无穷小的比较设与为同一变化过程下的无穷小，且XFGXG0（1）若，称比高阶无穷小，记作；LIM0FXFGFOGXA（2）若，称与同阶无穷小；LI0FXBGXFG特别的，若，则称与等价无穷小，记作LIM1FXFXFG若以为标准的无穷小，且与是同阶无穷小，称是关X0XF0F于的阶无穷小注常用的等价无穷小有（当时）0XSINXTANXARCSINXARCTNCO121L1E1定理6设，且存在，则LIMLI在求某些函数极限时，利用等价无穷小的代换会使问题变得更简单，这也是近几年研究生入学考试重点考查的知识点之一第2节二元函数极限的定义及相关定理定义1设函数在内有定义，是内的点，的某个去心,YXFZD,0YXPD0P领域，如果，使得即满足不等式OUD0,OU，2020YX的一切点，都有成立，则称为当时的极限，记PAYXF,A,XFZ0P作或,上述极限又称为二重极限YXFYX,LIM0FP,LIM0注定义中要求任意方式趋于时，函数都无限接近,YX,0YXP,FXY于A定义2二元初等函数在定义域内都是连续的，由二元函数极限的定义可知，若为二元初等函数，是函数定义域内的一点，则F0,YXPF,LIM0,0YXFYX定理7二元函数的洛必达法则若二元函数满足PF（1）为有限点；,0YXP（2）；0LIMLI00GFP（3），不同时为零；P（4）AYPGXGFFYXPLI000则，（条件（2）在时结论依然成立）APFPLIM0LIMLI00PGFPP定理8二元函数的两边夹定理设在区域有意义，是的内点或边界点，且,YXGHYXFD,0YXD，,HF若，则AYXHYXGY,LIM,LI00AYXYX,LIM0本章给出了一元函数、二元函数极限的基本概念以及相关定理，下一章将重点研究一元函数、二元函数极限的若干计算方法第2章函数极限的计算方法在这一章里将利用第一章中一元函数、二元函数极限的相关定义及定理，研究一元函数、二元函数极限的若干计算方法与技巧第1节一元函数极限的计算方法11利用定义求函数的极限例1证明42LIM1X证0，成立，解得，取，于是1X1X2存在，使得当0时,有2X，42故LIM1X注一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的在上例中还可以把取的更小一些，这取决于函数式放缩的程度例2证明XLIX231解析这是一个关于自变量趋向于无穷大的函数极限，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限证，2365123XX当，2X56002X有，XXXX19536531222，取，则01MAX2,N当时，有X，X231故XLIMX231利用定义法求函数极限时要注意（1）在上面的式子中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的来确定，同时要注意此题中的不NN一定非要是整数，只要是正数即可；（2）函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律对于一般的函数而言，利用定义法来求函数的极限通常比较麻烦，但是，对于分段函数间断点处的极限问题最常用的还是定义法对于这类问题，通常根据分段函数极限的定义，先求出函数在此间断点处的左右极限，若左右极限相等，则所求函数极限存在，否则，极限不存在例3，求在时的极限0,COS1,SIN2XXFXF0解，2SINLM0XFX，21LICOS1LI0020FXX，FF故2LIM0XF例4讨论，在点处的极限1,SIN,2XXF1X解3，01F2LIM1X1LI1XX，SNLI1FX，0F故不存在XF1LIM对于未定式的极限问题最常用的是洛比达法则12用洛比达法则求未定式极限例5求极限X23LI0解析当时，分子趋向于0，分母趋向于0，这是一个型极限，可直接用0洛比达法则解由洛比达法则，X23LIM003LN2L3IN1XX注若使用了洛比达法则后，分子分母导数之比依然符合洛比达法则，则可继续使用洛比达法则，直到求出函数极限值为止例如61LIM6LI31LI0020XXXEEE例6求极限XLNIM分析用恒等变形，这是一个型的极限，再用洛比达法则求解X21L解0LIM2NX02LIM1LI2LI0200XXX例7求极限（）XSIN0L解析，对取对数，使函数变为的形式，然后利用上题的I,X0方法求解解，其中XXSIN0LM0LSINLXE0LIXSL0LNIM1X201LIX，LI0X故E1XXSIN0LM0在运用洛比达法则时，应该注意以下问题洛比达法则中的求导是分别对分子和分母同时求导，而不是对整个式子的求导；倘若最后所得的极限不存在，并不代表函数无极限，可以换用其它方法求函数极限；在运用时要注意洛比达法则所要满足的条件13用代换法求函数的极限洛比达法则成功的解决了未定式极限的问题，但有时函数比较复杂，若使用洛比达法则较麻烦，这时可以将函数用其它形式的函数等价代换，化繁为简，这就是用代换法求极限3（1）利用马克劳林公式求函数极限马克劳林公式231000NNFFFFXFFXXXO例8求极限420SINCOLIMXEX解首先将下列初等函数化成马克劳林公式，245COS1XOX2XE24518XO5SINXO代入得420SINCOLIMXEX4540112LIM2XOX注在应用马克劳林公式时，要用相同幂次数的来代换，这样函数才能化繁为简（2）利用等价无穷小代换法求函数极限当时，有下列常用的一组等价无穷小，0XXSINXTAXRCSIN，1LNXEX1COS2XAXL11X例9求极限XX1LNSICOLM20解这个函数极限用洛比达法则求较复杂，直接用等价无穷小替换，代入得XX1LNSICOL2021LIM20X注只有当因式相乘或相除时才能用等价无穷小代换，若相加或相减时不能随意代换，否则，可能得出错误的结论14利用一些变形技巧求函数极限对于连续函数，在应用某些法则时，往往需要先对函数做一些变形，采用怎样的变形，要根据具体的函数确定，常用的变形方法有分子分母有理化法，添加中介元素法及通分法等（1）分子分母有理化法对于带根式的函数，我们通常将带根式的那一部分进行有理化，消去根号，再进行求解例10求极限XX13LIM0解当时，,10X将分母有理化XX13LIM0XXX113LIM03XLI202（2）添加中介元素法有时在函数式中添加一些中介元素，将函数式进行合理变形，再利用一些常见的函数极限，例如，等，可以使求解函数极限变得易如反1SINLM0XEXXLI掌例11求极限XX3SINL0分析利用，添加中介元素1IX解XX3SINLM031SINLM31SINL00XX当然，对于此题添加中介元素法不是唯一的方法，由于其满足洛比达法则，因此用洛比达法则求解也是比较方便的，由此可以看出，对于一道题的解法是不唯一的，做题的时候要具体问题具体分析，选择最恰当简洁的方法进行求解（3）通分法对于型极限的求解通常将分母进行通分，以消去分母中的零因子，从而解出函数的极限例12求极限31LIMXX解析当时，这是型极限将分母通分，划1X31,X去分母中的零因子解31LIMXX2331LI1X321LIX211LIXX21LIMX注要根据函数极限的特征，运用合适的变形技巧15用两边夹定理求函数的极限例13证明EXX1LI证明先证情况对，有，从而X1，1X由幂函数（底数大于）严格增加，有1XX1X又因为，ENNXNX1LIM1LI1LIM，ENXNNX1LI1LI1LI1于是，有EXX1LIM再证情况当时，设，X0YY有，EYYYYXYYX11LI1LI1LI1LIM于是EXXLIM二元函数是一元函数的延伸，因此它保留着一元函数的许多性质，求一元函数极限的许多方法也适用于二元函数极限，下面来看二元函数极限的求法第2节二元函数极限的计算方法函数的极限是高等数学中非常重要的内容，一元函数与二元函数既有联系又有区别，当然二元函数极限的求解比一元函数的极限要复杂的多，本节将重点研究在一元函数的基础上推广到二元函数极限的求解方法21利用定义求二元函数极限例1用定义验证3LIM221,YXYX解132XY1YX，221YYXY限定，则0,X从而，531311YXYXY42故1515322YXYXYX设为任意正数，取，则当时，就有10,MIN1,2,1,YXYX025722YX和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制在二元函数的定义中，要求任意方式趋于时，函数都无,YXP,0YXP,FXY限接近于因此，很容易得到若在的定义域内存在两条不同的连续曲线AF,，且当时，但函数式沿着这两XHYG,0X00YXHGYXF,条曲线逼近时的极限却不同，或者一个存在，另一个不存在，则二元函数0,在此点不存在极限YXF,例2求20,LIMYXYX解设，其中，NHGNM0LILI0NXX,220,1LIYYX,220,LINYX因为，故，所以该函数极限不存在NM221N22用换元法求二元函数的极限和一元函数的代换法相似，但又有所不同，二元函数的换元法通常和几何联系在一起，常用的是极坐标变换即令，则COSRXSINRY0LIM,XYF，即把二重极限归结为的一元函数，此类方法一般用于解0LIMCOS,INRFR0决表达式中含有的项2XY例3求极限230LIMYXY解令，COSRSINR由与的有界性得SIN2330230COSSINLMLIRYXRY0IL330R23利用二元函数连续性求函数极限若一个函数在某点连续，则可以直接将此点的坐标代入，即00,LIMYXFFYX例4求极限21,LIYX解因函数在点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即,21,LIMYXYX324利用两边夹准则求二元函数的极限二元函数两边夹准则和一元函数的夹逼准则相似，但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩例5求极限2SINLMYXY解，221SIN0YX又，01LIM2YXY故02SINLMYXY25运用洛必达法则求二元函数的极限例6求SINLM20,XYX解由第一章定理7洛必达法则可知SIL20,XYYX2COSCO21LI2220,YXYXYX0SLIM320,YXYYX26利用一些变形技巧求二元函数极限对于求解某些某些二元函数的极限问题，类似于一元函数，可对其进行适当的变形，如分子或分母有理化等，利用我们已知结论，如重要极限等，对其求解例7YXYXSINLM0,解01SINLIL0,0,XYYXYX例820,31LIYX解原式222,0,22113LIMXYXYXY2,0,222216LI33131XYXYXYX12本文主要介绍了一元函数及二元函数极限的求解方法，对于三元及三元以上的函数极限也有类似的求解方法，如利用三元函数的定义，定理求其极限，或者先对其进行合理变形，利用我们已知的结论如重要极限等求其极限，这里不再叙述结论至此，本论文研究了一元函数和二元函数极限的计算方法，针对一元函数给出了使用洛必达法则、两边夹定理、代换法等求极限的方法，针对二元函数给出了利用二元函数极限的定义，使用夹逼准则，变量替换化为已知极限以及化为一元函数等求极限的方法来求二元函数的极限函数极限的求法虽有一定的规律可循，但决不能死搬套用，本文通过具体的例子来求解函数极限，并对各种方法分析比较，初步得出了求函数极限的若干方法，只有领悟题目的含义和掌握各种方法的精髓，才能更好的掌握函数极限的求法参考文献1华东师范大学数学系编，数学分析（上册）M，北京高等教育出版社，20011892夏滨，利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨J，现代企业教育，2008041551563曹建元，等价无穷小在极限运算中的应用J，上海电机技术高等专科学校学报，20030273754宗慧敏，求函数极限的方法与技巧J，民营科技，2008688895金桂荣，沈沉，关于二元函数定义的探讨J，高等数学研究，2008，11289致谢内部资料仅供参考内部资料仅供参考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