【doc】不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场

不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场应用数学和力学,第17卷第8期1996年8月APPLIEDMATHEMATICSANDMECHANITS应用数学和力学编委会编重庆出版社出版不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场7Z卜7Z王振清史守峡钱伟长推荐,1995华6月2目收到弓Z鞠耍A本文对平面应变情况下不可压缩橡胶类材科裂纹尖端弹性场进行了有限变形分析裂纹尖端场被分为收缩区和扩张区借助于新的应变能函数和变形模式,推出了尖端场各区的渐近方程得到了尖端场的完整描述本文对奇异性作了讨论得到了不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力及应变分布曲线,揭示了裂纹尖端应力应变场的特性关麓词橡胶类材料塑里窭童塑_梅脓一,弓应力应可压缩搀月青早期对裂纹问题的研究,是在线弹性理论范围内进行的,即假定应变为无限小但是,这样得到的结果,应变在裂尖处具有奇异性尽管奇异性包含有大变形区域,但对于一般的工程材料,人们仅仅考虑小变形区域而对于能够承受大变形的橡胶类材料必须用非线性理论来分析奇异场的应力应变特性KNOWLOS和SFERNBERG对平面应变情况下的裂尖场给出了系统的分析但他们的本构方程中有三个弹性常数,使溉近解变得十分复杂同时,由于裂尖场没有分为收缩区和扩张区,因此必须引入高阶渐近GAORA个独立的不变量,然后给出了一个应变能函数UAR“一3“6一J7111从方程11,我们能够知道,应力被分成了静水应力部分和偏应力部分,因此它具有明显的物理意义借助于这个本构理论,采用合理的分区思想,高玉臣等研究了一系列问题,取得了许多成果最近,GAO又提出了一种新的应变能函数UE一3L一312其中,E,“为材料常数,为第一不变量,一L为,一1D一1G13式中的D1为CAUCHY应变张量D的逆变张量,G为单位张量本文将采用这一本构关系解决不可压缩橡胶类材料受拉伸作用时的有限变形问题黑龙江省自然科学基金资助项目1哈尔滨工程大学啥承滨150001王振蒲史守峡二,基本理论考虑一个兰维弹性体,在变形前和变形后一般物质点的位置向量用P和P表示,设物质坐标为XJL,2,3,则两种局部标架为PZZPP巩P21其中AA/定义变形梯度为FP0P22P为PR的逆变基,0为并矢符号,今后将省略不写,求和约定适用于本文GREEN和CAUCHY应变张量及其逆应变张量为DFFPJPJPP,DFFPPJP23DLFF一PPPFP,DLFFPP,PLPZ24式中上标“R表示转置,上标“一1表示逆用G表示二阶单位张量,则可引入如下不变量JDGDG,2DGDLG,3一DGDG25LDLLGDJLGF26体应变为,JI一3JLJ221327由12式,我们能够求得KIRCHHOFF应力和AAUCHY应力为A一朋EG一ID2811TIF口FI一2NEID譬D一120考虑无体力作用下的弹性体的平衡,则平衡方程可写为FTO210式中VPZDF三,扩张区本文考虑平面应变情况下半无限体I型裂纹,如图L所示对于二维问题,选择第三个坐标轴垂直于所考虑的平面取月,0为LAGRANGE坐标,原点位于变形前的裂纹尖端R,0为EULER坐标,原点位于变形后的裂纹尖端显然,R,口是月,0的函数由于裂纹尖端附近变形很大,因此我们假定裂纹尖端场是由三个区域组成的这三个区域是一个扩张区称之为F医,两个收缩区称之为区假定变形前位于裂纹前方很狭窄的区域,变形后变得十分宽广,几乎充满整个圈1受力模型空间,这就是扩区而位于扩张区两恻的区域,变形前极其宽广,几乎充满整个区域,变形不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场23后却变得十分狭窄,这就是收缩区由于上下对称,我们仅仅考虑其上半部分对于扩张区,设变形模式为月P10詈一鲫口,031J式中,卢,A为材料常数,00C,为一非常小的正数由21式可得扩张区的局部基矢量为PRRP1P一PEACPOE,PRPPE,一PE式中ORPRE,Q,PF33将32代入23式,略去高阶量,井注意PPB1,PRP6PEPB0,PP6月F34可得DR一PERERPEE日PPE,EOEEF】1,LDGR一,F35KR1式中P雎P,一1卢L36对于不可压缩材料,体应变L,即日2卢,137同理可求得DLRP0,9ERERPEEEJCPPE,EEE】,JLD_LLGIL月“F,将上述各式代入29式,可得本构方程为T2NET“R2PP一P肛RER0一EE一2PPEREEOT】39因为7FF73LO日月一P月一11P】J将39式代入F2J0式,经过极其复杂的推导可得一斋1一叫州川式申A2PF12N22NIPI“312由该问题的对称性可知,在0上的点只有方向的位移,而无0方向的位移根据31式,我们有边界条件当0王振清史守蛱0,一0,0J/2313由问题本身我们知道,在FO即Z/2时有OO314若P1和是基本方程的一组解,贝JJ由【311,L312式可知P口P1,0一L0F315也是方程的解因此,我们可以把口作为自由参数,在知道典型解P,F后,通过变换315式,可以得到方程的其它解的大小反映了场的强弱我们取1对应的解为典型解,即PL01,来进行数值计算因此可得另一边界条件P01316通过调节O来满足方程311,得到不同材料常数时的P,的变化曲线四,收缩区设0O为一非常小的正常数,对于中的任一角度满足0,设变形摸式为RR0,鲁一R0,一Z41式中材料常数D,VO可求得局部基矢量为PNR10E一月ED,PE尺,E一只妒,E|J_同扩张区的推导一样,我们可以求得CAUCHYD,不变量厶,体应变为,DR呵,1月A,KR“B月143式中百/ERER月DE口E日RCERE口E口ER4411一凸,B1一古IC1F,DJ对于不可压缩材料,一1,即2D,B一EVEC1DIF46同理我们可求得DIR,一1一月AIL月1471式中一JDE,E月CERE口E神RAR一EDE口48代入本构方程29T2NEA“一R月一呵一月一149同样由41式可求得月一VQR1月一0A1一D月一D口FJ不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场从上式可见,当月O时,/R与月D具有相同的奇异性,记作1一只以R比较平衡方程21O中的两个式子,可知TP口R对于受拉情况下的裂纹问题,D和D一中IEEEE项必须是相互协调的在41这样变形模式情况下,DL不起作用,即我们只能取一L0T2NEAR“AER一只CEREOE8E,月SDEEBRO时,R,因此平衡方程21O的第一式简化为725F41L1412再由4I2式可知,R0将T4I4式代4I5式,经过非常繁杂的推导后,可得最后方程为十ID12D1一N1一D由于裂纹表面为自由表面0,不受外力作用,故应有应力边界条件T88一只O由23,29可得P0O,0从F42式可知,下式可渐近地满足418式0在00处,由收缩区在0时的方程与扩张区在FOO时的方程相一致,界条件为F00五,数值分析与计算4134I44I9即可得男一边420对于收缩区R最后控制方程为4L6式,边界条件为419,420式,我们可以进行数值计算计算结果表明,对不同的N值,有唯一确定的鄙,且6L/2N在计算中我们发现,无论D取什幺值,都不影响一0,只是的艟不同而巴,囡此计算中为了方便,我们取01图2给出了2时,的关系曲线由变形模式,我们知道当FOO时,/2因此,收缩区在变形后几乎变成一条直线,而扩张区在变形后则几乎充满整个空间所以,我们只需计算扩张区的应力,应变,实际上就是整个尖端场的应力,应变,只是应力,应变当日/2时不适用将扩张区的应力411写成坐标R的函数一,R一TF朗2E关系曲螋“卧“726王振清史守姨可求得28/1卢F52即T0PF“1F53同理我们可得1D“54式中2卢/1F1F55这样,对于从0O,我们就可以计算出与对应的应力T“,应变D1图3给出了N2时的应力71,应变D1与变化的关系曲线A田5TD“目的关系曲战六,结论1本文采用的新的一类橡胶材料的本构模型,尽管本构关系中只包含两项,但却能充分反映材料的特性,因而得到台理的解答而且,在研究奇异性场方面具有很大的优越性2对于不可压缩类橡胶材料,裂纹尖端场是由两个收缩区和一个扩张区组成变形前几乎充满整个空间的收缩区,变形后却变得极为狭窄,几乎变成为一条线而变形前很狭窄的扩张区,变形后却变得十分宽大,几乎占满整个裂尖场周围3裂纹尖端各区具有相同的奇异性R,其中2FLN/1卢在裂致表面时,61/2N,6仅仅是材料常数“的函数参考文献1JKKNOWLESANDESTERNBERGANASYMPTOTICFINITEDEFORMATIONANALYSISOFTHEELASTICFIELDNE8RTHETIPOFACRACK,ELASTICITY521972,671082JKKNOWLESANDESTERNBERGFINITEDEFORMATIONANALYSISOFTHEELASTOSTATICFIELDNEARTHETIPOFACVACK,ELAQTICITG43,19742O12333456F78】不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场727YCGAOELASTOSTATICFIELDNEARTHECRACKTIPINARUBBERLLKEMEDIA了1HO一LLCALANDAPPLIEDFRACTUREMECHANITS,141990J219201SHIZHLFEIANDGAOYUEHEN,STRESSSTRAINFIELDNEARTHENOTEHTI口OFARUBBPRSHEET,ACTAMECHANLCASINLCA,1121995169177TSGAO,ARUBBERWEDGEUEDERTHETENSIONOFALINELOADATITSTIP,C月AEADSC1PARIS,SERLEI51819946TSGAOANDYCGAO,ARUBBERWEDGEUNDERTHECOMPRESSIONOFA1INELOAD,INTERNA1,SOLIDSANDSFRACTURES11994,23982406YCGAOANDBLUARLLBBERCONEUNDERTHETENSIONOFACODCENTR8TEDF0RCPINT,SOLIDSSLRUCTURES,2111995,1485一L493王振渚受拉情况下一类橡胶材料缺口顶端犬变形分折,工学博士学位论文哈尔滨工程大学1994STRESSSTRAINFIELDNEARTHECRACKTIPOFANINCOMPRESSRUBBERLIKEMATERIALWANGZHENQINGSHISHOUXIAHARBINENGINEERLNOUNIVERSITY,HARBIN150001,PR,CHINAABSTRACTTHISPAPERCONRAINSTINASYMPTOTICFINIREDEFORMATIONANALYSISABOUTTHEEL8STOSTATIEFIELDNEARTHECRAEKTIPINANINCOMPRESSRUBBERLLKEMATERIA1THECRACKTIPFIELDISDLVIDEDINTOTWONARROWINGSECTORSANDONEEXPANDINGSECTORBTHENEWSTRAINENERGYFUNCTIONANDDEFORMATIONPATTERN,WEDERIREANDSOLVETHEASYMPLOTCQUATIONSFOREACHSECTOROFTHETIP