考前归纳总结导数中的单调性问题

导数中的单调性问题1、常见基本问题求已知函数的单调区间，要注意函数的定义域；（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围。例1、已知函数2LNFXAX（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围GF1,2A解（1）函数的定义域为FX0,当时,，的单调递增区间为；0AFX0,当时2AFX当变化时，的变化情况如下,FX0A,AFX极小值由上表可知函数的单调递减区间是；FX0,A单调递增区间是,A（2）由得，2LNGXAX2GX由已知为上的单调减函数，则在上恒成立，X1,01,即在上恒成立，2AX,2即在上恒成立1A,令，在上，2HX,2210HXXX在为减函数HX1,2MIN72HX2A例2已知函数FXA1LNXAX21,讨论函数FX的单调性；解FX的定义域为0，,211AX当A0时，故FX在0，上单调递增0FX当A1时，故FX在0，上单调递减当1A0时，令，解得X，0FA12A则当时，；当时，1,2X,0FX故FX在上单调递增，在上单调递减0,A1,2A2、针对性练习1已知函数，设讨论函数01XNFFX,RXFFX的单调性；解22110,20AXFXANXFX当时，恒有，F（X）在上是增函数；0F,0当时，令，得，解得；A0F21A12XA令，得，解得；FX2X0综上，当时，F（X）在上是增函数；0A,当时，F（X）在上单调递增，在上单调递减0A21,21A2已知函数，在处取得极值为BAF2X（1）求函数的解析式；X（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；XF,21M解（1）已知函数，BAF222BXAF又函数在处取得极值2，XF110F即4210BABA42XF（2）由，22114XXF0F得，即02所以的单调增区间为（1，1）42XF因函数在（M，2M1）上单调递增，则有，12解得即时，函数在（M，2M1）上为增函数0M0，XF导数中的图像关系问题一、常见基本题型（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1已知是函数的一个极值点3X216LN10FXX1求函数的单调区间；2若直线与函数的图像有三个交点，求的取值范围YBYFB解1FX16LN1XX210X，X1，2431XF当X1,13，时，；0FX当X1,3时，FX的单调增区间是1,1，3，8；F的单调减区间是1,3，（2）由1知在1,1单调增加，在1,3单调减小，FX在3，上单调增加，且当X1，或X3时，FX0，FX的极大值为F116LN29，极小值为F332LN221F16162101616LN29F1，FE2132X21F3，在FX的三个单调区间1,1，1,3，3，直线YB与YFX的图像各有一个交点，即F3BF1B的取值范围为32LN221,16LN29例2已知函数1LN2RAAXF（1）当时，求函数的最值；AXF（2）说明是否存在实数使的图象与无公共点XFY2LN85Y解（1）函数的定义域是（1，）LN2RAAXF当A1时，1232XXF所以在为减函数，在为增函数，XF3,1,所以函数的最小值为XF2LN43F（2）时，由（1）知在（1，）的最小值为，AXF2LN1422AAF令在1，）上单调递减，2LN422AAFG所以，则L31MAXG,0812LN5MAXG因此存在实数使的最小值大于，1AXF2LN85故存在实数使Y的图象与Y无公共点FL2已知图像的位置关系求参数的取值范围例3已知二次函数，其导函数20HXABCYHX的图象如图所示，若函数,LNF2LNYX的图象总在函数的图象的上方，求C的取值范围1,4XYFX解由题意可知，2XLNXX23XCLNX在X1,4上恒成立，即当X1,4时，CX25X2LNX恒成立设GXX25X2LNX，X1,4，则CGXMAX易知2X52X2X25X2X12令得，X或X20G12当X1,2时，函数单调递减；G当X2,4时，函数单调递增而G1X512LN14，G442542LN444LN2，显然G144LN2C的取值范围为44LN2，二、针对性练习1已知函数21LNFXX，求证在区间1,上，函数FX的图象在函数3G的图象的下方证明令231LNFXFGXX则221X当1X时0F，函数FX在区间1,上为减函数2103X即在,上，FXG在区间1,上，函数F的图象在函数3X的图象的下方。2已知函数LNRAXF（1）求F的极值；（2）若函数XF的图象与函数XG1的图象在区间,02E上有公共点，求实数A的取值范围。解（1）2LN1,0XFF的定义域为令AEX得当,0,1FFEXA时是增函数当X时是减函数111,AAEFFEXF极大值处取得极大值在3、（I）当21EA时，时，由（1）知,01AF在上是增函数，在,21EA上是减函数1AMAXFE又当,0,2EXFEXAA当时当时时，01F所以1XGF与图象的图象在,2E上有公共点，等价于1A解得1,AA所以又（II）当21E即时，,02EXF在上是增函数，2,0AXF上的最大值为在所以原问题等价于2,12EAE解得又A，无解3设，若函数在1,3上恰有22LN,FXXHXKXFHX两个不同零点，求实数A的取值范围解、函数KXFXHX在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程X2LNXA，在1,3上恰有两个相异实根令GXX2LN，则GX12X当X1,2时，GX0；当X2,3时，GX0GX在1,2上是单调递减函数，在2,3上是单调递增函数故GXMING222LN2又G11，G332LN3，G1G3，只需G2AG3故A的取值范围是2LN2,32LN3导数中的恒成立问题一、常见基本题型（1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；（2）让你去证明某个不等式恒成立。解此类问题的指导思想是构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函数的最值问题。例1已知函数,2LNFXAX当时，不等式恒成立，求实数的取值范围T13TFTA解不等式可化为，2FTFT224LNL1TTT即LN1LN1TATTAT记，要使上式成立，2LN1GXAX只须是增函数即可即在1,上恒成立，20AGX即在上恒成立，故，1,2A所以实数的取值范围是（，2A例2已知，函数0XAAXF13LN12（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；10Y（2）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数,X62BXF的取值组成的集合B解（1），由已知，213AFXX13F即，解得或,2202A又因为，所以A3（2）当时，由（2）知该函数在上单调递3A215LNXXF50,2增，因此在区间上的最小值只能在处取到,F1又，521F若要保证对任意，恒成立，应该有，,X260FXB256B即，解得，260B1因此实数的取值组成的集合是|5例3函数R,21LN2BXXF，设XFXG2，若B，求证对任意,1，且2，都有211证明因为XXFL2，所以1221XBXBF，因为2B，所以0F（当且仅当0,时等号成立），所以F在区间,上是增函数，从而对任意1,21X，当21X时，21XFF，即2GG,所以G。二、针对性练习1已知函数23XMINXF在31处取得极值，若对任意31,6X,不等式0|/FIA恒成立,求实数A的取值范围解函数的定义域为|又MXF2，由题设XF在31处取得极值，031F，即或3,01。XF2。不等式03|FINA恒成立，即2|X恒成立。又,316X56,0IN，当且仅当31X时02XIN，故IA时，不等式0|FINXA恒成立。2、设函数LN1FXP（）求函数的极值点；（）当P0时，若对任意的X0，恒有0XF，求P的取值范围；解（1）,1LN的定义域为PXF，F当,0,0在时，XFP上无极值点当P0时，令XFPXF随、，,010的变化情况如下表X0，1,PF0X极大值从上表可以看出当P0时，FX有唯一的极大值点PX1（）当P0时在1XP处取得极大值1LNFP，此极大值也是最大值，要使0F恒成立，只需L0F，1P。3已知函数03LNARAXXF且（）求函数的单调区间；（）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问在什么XFY2,F45M范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在,1T23XFMXG3,T极值解（）由知XAF当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；0AF1,0,1当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；0（）由,，21F2A23FXLNX2FX故，332MMGXF,函数在区间上总存在极值，2342GXMXXG3,T有两个不等实根且至少有一个在区间内0又函数是开口向上的二次函数，且，X0203GT由，在上单调递减，4320TMTGTH432T,1所以；，9INM由，解得；0234273G37综上得所以当在内取值时，对于任意的，函数9M9,72,1T在区间上总存在极值。23XFXG3T导数中的探索性问题一、常见基本题型1探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，例1、已知函数32FXAX,1若1是F的极值点，求F在1,A上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数B，使得函数GXB的图像与函数FX的图象恰有3个交点若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由。解（1）因为13X是FX的极值点,所以,10,4,3FA0FX由得,在区间1,4上,F在1,3单调减在3,4单调增,且16,412,FF所以,MAX16FF2设3FXGXB,由题意可得FX有三个零点,又由于0是的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可因此,方程2430XB有两个不等实根且无零根,所以,所以,存在实数B使得函数GXB的图像与函数FX的图象恰有3个交点,7且3（2）探索函数的零点个数问题例2已知函数，是否存在正实数，使得函数21,LNFXAXGA在区间内有两个不同的零点若存在，请求出GXF1,E的取值范围；若不存在，请说明理由A解，LN21XA因在区间内有两个不同的零点,所以，E0X即方程在区间内有两个不同的实根210AXXLN1,E设，2HALX012XAX2121AX令，因为为正数，解得或（舍）0X当时,是减函数；1XE0HX当时,，是增函数为满足题意，只需在内有两个不相等的零点,故X1E,解得MIN10HEX12EA3探索函数图象的位置关系问题例3若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满KBFXGX足和，则称直线为和的“隔离直线”FXKBGXKBLYKXBFGX已知，（其中为自然对数的底数）2HLNEE1求的极值；FXHX2函数和是否存在隔离直线若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，HX请说明理由解1，FXHX2LN0EX2E当时，X0FX当时，此时函数递减；0EX当时，此时函数递增；XX当时，取极小值，其极小值为XEFX02由（1）可知函数和的图象在处有公共点，HEX则，2EEGX当时，0X当时，此时函数递增；0XEGX当时，此时函数递减；GX当时，取极大值，其极大值为XE0从而，即恒成立2LN0X2XEX函数和存在唯一的隔离直线HXY二、针对性练习1设函数2LN1FXX1求函数的单调区间；2当时,是否存在整数，使不等式恒1XEM22FXME成立若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。解1由得函数的定义域为，0XFX1,。22XF由得；由得，0FX0F01函数的递增区间是；递减区间是。,2由1知,在上递减,在上递增。FX10E1,0EMINFF又，且,21FE213E221E时,。1XE2MAX3FE不等式恒成立,22MF，2MAXINEFFX即2223300M13100M是整数，。存在整数，使不等式恒成立。M22FXE2已知定义在R上的二次函数满足，且的CBAXR20XRX最小值为0，函数，又函数。NH1XHF（I）求的单调区间；XF（II）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（XF），1,YX当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B23XF2,YX连线平行于X轴，并说明理由。（参考数据E271828）解（I）,2,0RXRXXR即可得又在X0时取得最小值0，,CAB,0212XAXFNRHC令,0F解得当X变化时，的变化情况如下表XFF的单调递增区间是，的单调递减区间是（，）。FX20,AXFA2（II）证明若二次函数图象过（4，2）点，则，所以XR81812XNXF令由（I）知在（0，2）内单调递增，3FGXF故,2GF即取则,3EX032941EX所以存在,2G使即存在2,FXFX使所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于X轴XF2,Y导数中的易错题分析一切线问题中忽视切点的位置致错X（0，）A2A2（，）A2F0X增函数极大值减函数例1已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方XXF320,32MFX程。分析本题常会这样解由导数的X意义知，所以曲线的切线方KF程为。这是错误的，原因是点根本不在曲线上。32Y0,32解设切点坐标为，则切线的斜率，30,2NX2063FX故切线方程为，又因为点N在切线上，6YX所以，30X20解得，所以切线方程为Y21X32。注意导数的X意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上。二忽视单调性的条件致错例4已知函数（为常数），在内为增函数，求实数的取1AXF1,A值范围。分析课本上给出的有关单调性的结论是若在上有0，则有FX,ABFX在上为单调递增函数；若在上有0，则FX,ABFX,AB有在上为单调递减函数。注意这一条件只是单调的充分条件并不是充要条件，这一充分条件也可扩大为在上有0（或F,FF0）且在任一子区间