关于伴随矩阵性质的探讨

哈尔滨商业大学毕业设计（论文）关于伴随矩阵性质的探讨学生姓名杨强指导教师于宪君专业数学与应用数学学院基础科学学院年月日GRADUATIONPROJECTTHESISHARBINUNIVERSITYOFCOMMERCESTUDYONTHEPRODUCTIONOFHIGHMALTOSESYRUPBYENZYMESTUDENTSUPERVISORSPECIALTYSCHOOL201X0XXX毕业设计（论文）任务书姓名学院班级专业毕业设计（论文）题目立题目的和意义技术要求与工作计划时间安排指导教师要求（签字）年月日教研室主任意见（签字）年月日院长意见（签字）年月日毕业设计（论文）审阅评语一、指导教师评语指导教师签字年月日毕业设计（论文）审阅评语二、评阅人评语评阅人签字年月日毕业设计（论文）答辩评语三、答辩委员会评语四、毕业设计（论文）成绩专业答辩组负责人签字年月日五、答辩委员会主任单位（签章）答辩委员会主任职称答辩委员会主任签字年月日摘要伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点。本文首先回顾了伴随矩阵的定义和基本性质，继而介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质,数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质,研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性。还研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质，最后给出M重伴随矩阵的定义及其一般形式，研究重伴随矩阵的相应的性质。【关键词】伴随矩阵性质ABSTRACT摘要IABSTRACTII1绪论12伴随矩阵的运算性质03矩阵与其伴随矩阵的关联性质24两伴随矩阵间的关系性质45伴随矩阵的特征值与特征向量的性质16矩阵A的M重伴随矩阵的性质27例题6参考文献10致谢1绪论11伴随矩阵的基本概念111定义1设矩阵AAIJNN，将矩阵AIJ所在的第I行第J列元素划去后，剩余的N12各元素按原来的排列顺序组成的N1阶矩阵所确定的行列式成为元素AIJ的余子式，记为MIJ，称（1）IJMIJ为元素AIJ的代数余子式。112定义2设AIJ是矩阵中元素AIJ的代数余NNNAA212112子式，矩阵为A的伴随矩阵。NNA32122112伴随矩阵的基本性质121设A为N阶矩阵，则AAAA|A|E证明由行列式按一列（行）展开的公式得出AAAAE,其中。（1）DD00DA该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最一般的用法。122N阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的行列式不等于零，即。A1,0且证明由性质1知AAAAE，故AAAE1A该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用123若A为非奇异矩阵，则。11A证明因为，由性质2两边取逆可得11K故，1A1另一方面，由性质21，AA1111（由。该性质说明了A的逆的伴随矩阵和A的联系，13伴随矩阵秩的性质131设是阶矩阵，则AN1,01,NAR证明（1）当时，由性质2，0,所以。01NANAR（2）当时，有。于是，由知的列向量都00EA是方程组的解。由于，则齐次线性方程组的解向X1X量组的秩为，知的列向量组的秩为1，即列秩为1，故1NA。1AR3当时，的每一个元素都是0，因为没有,2,NJIA不为0的阶子式，故。1N0AR132，特别，当时，。AN22NA证明当可逆，即时，由性质1得0。E所以，。AAANN21当不可逆，即时，,所以。因此00RAN2133设阶矩阵的秩是，那么存在数使得NA2NK2K证明由定理2得，于是必存在的1ARA一个列向量TNAA21使得。因此，NNBBAA212NNNBBABAA2122122112KABABNNII，这里。NIIA12伴随矩阵的运算性质21乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质211AB证明由性质122注可知，,1A知11ABBA证毕212设为阶方阵，为任意非零常数,则。A1NK1AKN证明设，IJA，NNKKA111111AKAKNNNN证毕。213阶矩阵，则2,21MA，证明过程同上过程12121,AMM214证明令，则AM21MMA21。MAA121证毕。22转置矩阵的伴随矩阵的运算性质221。A证明设阶矩阵则NNNAA212112NNAA32121N21NNNAA212112NNNAAA212121NNNAA212112其是中元素的代数余子式，由结果分析知,JIAAIJA。证毕3矩阵与其伴随矩阵的关联性质31矩阵与其伴随矩阵的关联性质311可逆的充分必要条件是可逆AA证明必要性由性质1知，。若可逆，则。所以EA0。E由可逆矩阵的定义可知可逆。A充分性欲证命题成立，只需证其逆否命题成立。即需证若不可逆则A也不可逆。即证若则。用反证法。A0假设，则可逆。由得，0A0EAA11由伴随矩阵的定义可知与矛盾。故假设不成立，原命题成立。综上所述，可逆可逆。A312设可逆，若是对称矩阵，则为对称矩阵。A证明TTTAA111111所以，为对称矩阵。A313若对称，则也对称。A证明设,因为是对称的，所以。因此且。IJATAJIIJAJIIJA从而，,即是对称的。TA314若为阶反对称矩阵，则当为偶数时，仍为反对称矩阵；当ANNA为奇数时，为对称矩阵。N证明由212知，又,1ANT由221得，。所以，当为奇数时，ATN,此时是对称方阵当为偶数时，此时是反对称ATNAT方阵315上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵证明设,当时，NNNNIJAAA212112JI0IJA直接计算得，,。即0IJJI,NNAA02211则亦为上三角矩阵。A同理可证，若为下三角矩阵，则也为下三角矩阵推论22对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵316若为正交矩阵，则也为正交矩阵。AA证明为正交矩阵,而。ETEAATT所以，也为正交矩阵。317若是正定的，则也是正定的。AA证明因为是正定的，所以存在可逆矩阵P使,则有EAT。EPT而,因此，也是正定的。EPAPATTTA318若是对合矩阵，即,则也是对合矩阵。2证明由知，所以可逆。于是。EA21A11A又由知，,从而。EA21E2122因此，是对合矩阵。319设是幂等矩阵，即,若或，则亦为幂等A2NR1A矩阵。证明当时，。命题显然成立。当时，可1NARNRA逆，且,即为幂等矩阵,于是由知为幂等1A1211A矩阵。4两伴随矩阵间的关系性质41两伴随矩阵间的关系性质411若矩阵与合同，且与可逆，则与也合同。ABABAB证明因为与合同，所以存在可逆矩阵P使。又与BAT可逆，则有B,即。其中。1111BPAPATTT11BCAT1C又,则,即,其中B2CQ是可逆矩阵。故与也合同CQ412若矩阵与相似，则与也相似ABAB证明因为与相似，所以存在可逆矩阵使得,PBPA1于是，,因此，与也相似。PP1111推论可对角化矩阵的伴随矩阵仍为可对角化矩阵。413若方阵A等价于B，则A等价于B证明因为A等价于B，则存在可逆矩阵P，Q，使得PAQB上式两边取伴随矩阵，得（PAQ）B即有QAPB因为P，Q可逆，所以P，Q也可逆，有矩阵的等价定义可知，A等价于B。414若矩阵A与B可交换，则A与B也可交换证明因为A，B可交换，所以有ABBA又ABBAABBA所以A与B也可交换。5伴随矩阵的特征值与特征向量的性质51设为阶可逆矩阵的一个特征值，则为的特征值。NAA证明因为，又为的特征值，故存在非零向量，1A1A使得，AA1即，从而，故为的特征值。1A52设阶可逆矩阵的特征根为个非零实数，则的特征根NANN,21A。A1121,证明在两边左乘，利用得到IAI,21E，所以故为的特征值。IIIAIIIAA1NIA53设为N阶矩阵（可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征值与1的关系为。A1证明设是的特征值，是的属于特征值的特征向量AA则有A两边同时左乘有由性质知上式变为EA得A由的特征值的性质可知即为的特征值。A证毕。6矩阵A的M重伴随矩阵的性质61M重伴随矩阵的定义611设为阶方阵，称阶方阵为的重伴随矩阵，ANNMA重记为,MM重1,23特别地，0A1A62M重伴随矩阵的性质621当时，秩N2M102当秩A当秩当秩当2时，秩MNNA当秩当秩时1N2由引理1知，秩A101NNA当秩当秩当秩所以秩NNN当秩,秩当秩秩秩0MNANA当秩当秩2M212,0,121KKNAKKMA且可逆证明（1）因为当，时Z2A2N14A2226NNN从而得到关于的指数的一个数列，且KA1AN2213221KKAN由数列的性质得到通项公式，则KA21KN212KNKAA同理可证，当，M1A231N从而得到关于的指数的一个数列，且KA1A221N21KKAN由数列性质得到通项公式，则KA21KN2121KNKAA（2）用数学归纳法证明结论当，时，2MKZ取，有，则，等式成立122A212NNA设时，等式成立，即M2KN当时，321K21KKKM2211NNAA21KN等式成立21KN综上所述，当，有2MKZMA21KN同理可证，当，有1A命题得证。623若是正定阵，则也是正定阵，反之为正定阵，且为偶AMAMN数，可逆时，为正定阵。证明若正定，则，有1011A因为，11A又由，正定，得正定同理可证，正定，以此类推，正定M反之，若正定，有正定2M1MA因为，当为偶数时，有为奇数，则10NAN1MN0A由12知，当时，正定，所以为正定2K21KMNAA阵同理可证，当时，也是正定阵21MK命题得证。623若是正交阵，则是正交阵。反之也成立。AMA证明由已知得，且或111A当时，由15知2211120,1KKNMMNMKAAA由1。4知，221110,122KKNMNKMA由上述可得时，有，即为正1A1AM交阵若，当，22MK，M1N1MA21KNA由，知1A21KN21KNA1M同理可证，当时，有M1A所以，有，即为正交阵11MM综上所述，若是正交阵，则是正交阵反之，若，且或，21MA11则由12知或由15知，当时，2KMMA1NA1M21KNA得，由知，即211KNA21KNZ21KNA1A同理可证，当时，M综上所述，当时，有Z1M1命题得证。7例题例1设。11,3021AAA的伴随矩阵，则求是解由性质1，因为本题所,1111E有（，6A以。2103630261A（例2若。1,01求。，解1011AAA1021A得，由性质例3已知3阶矩阵A的逆矩阵为试求伴随矩阵的逆矩,31阵。解，,由性质得，,所312A10251A1A以。051例4若。,5231AA则求解。166,4023A得，由性质例5已知A。,21A求（解，,由性质知01,A201A（40213A。例6若已知A。2,10）求（A解由性质可直接得。4042例7设A为三阶矩阵，A的特征值为1，5，7。试求行列式。EA2解因为由性质13知，的特征值分别为35,7,5。于是,3571A的特征值为35233,725,523。故。E249532E例8求矩阵A的伴随矩阵。A。20134解矩阵A的特征多项式为,因所F25423AE,00A以A可逆，由性质知。5412313086例9设求504A1EA解2013013E又2012013EA203EAEEA102031例10设三阶实数矩阵非退化的特征值为。A1,4,132求213的值。解由题目条件先知为的特征值,则为特征值,为的特A11AFAF征值性质可知，的特征值为。AA设为的特征向量，则知，得XX，X221）（A33则A3221又有。413,21然后将代入，得到式子2A12将分别代入得的特征向量分别是321，213A48503，设为特征向量，则，XAXX22X2所以222，可知，可知的特征值分别为4A228A2A，故，82714922）（参考文献1徐德余等。高等代数习题精编M。成都电子科技大学出版社，1992。1142冯红。高等代数全程学习指导M。大连大连理工大学出版社，2004。1963阎满富、陈景林等。高等代数习题汇编与解答M。天津天津人民出版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