【创新设计】2014高考数学一轮复习 第四章 平面向量的概念及其线性运算训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第四章平面向量的概念及其线性运算训练理新人教A版第一节平面向量的概念及其线性运算备考方向要明了考什么怎么考1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1主要考查平面向量的有关概念及线性运算、共线向量定理的理解和应用，如2012年浙江T5，辽宁T3等2考查题型为选择题或填空题归纳知识整合1向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或称模零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量探究1两向量共线与平行是两个不同的概念吗两向量共线是指两向量的方向一致吗提示方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线或线段平行有何不同提示平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线或线段平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上2向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算1交换律ABBA2结合律ABCABC减法求A与B的相反向量B的和的运算叫做A与B的差ABAB数乘求实数与向量A的积的运算1|A|A|2当0时，A与A的方向相同；当0时，A与A的方向相反；当0时，A0AAAAAABAB探究30与A0时，A的值是否相等提示相等，且均为04若|AB|AB|，你能给出以A，B为邻边的平行四边形的形状吗提示如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形3共线向量定理向量AA0与B共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得BA探究5当两个非零向量A，B共线时，一定有BA，反之成立吗提示成立自测牛刀小试1下列说法中正确的是A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为零C长度相等的两个向量是相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析选B由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D错误2教材习题改编D是ABC的边AB上的中点，则向量C等于ABB1212ACD1212解析选A如图，由于D是AB的中点，所以CBDB1212B3如图，E1，E2为互相垂直的单位向量，则向量AB可表示为A3E2E1B2E14E2CE13E2D3E1E2解析选C连接A，B的终点，并指向A的终点的向量是AB4教材习题改编点C在线段AB上，且，则ACCB52_，_AB解析如图，ACCB525727答案57275教材习题改编化简的结果为_OPQMS解析PSOQ答案S向量的概念例1给出下列命题若|A|B|，则AB；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要ABDC条件；若AB，BC，则AC；AB的充要条件是|A|B|且AB；若AB，BC，则AC其中正确命题的序号是ABCD自主解答不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量正确，|且，又A，B，C，D是不共线的BDCAC四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，DCA正确AB，A，B的长度相等且方向相同；又BC，B，C的长度相等且方向相同，A，C的长度相等且方向相同，故AC不正确当AB时，也有|A|B|且AB，故|A|B|且AB不是AB的充要条件，而是必要不充分条件不正确未考虑B0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是答案A解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题1设A0为单位向量，若A为平面内的某个向量，则A|A|A0；若A与A0平行，则A|A|A0；若A与A0平行且|A|1，则AA0上述命题中，假命题的个数是A0B1C2D3解析选D向量是既有大小又有方向的量，A与|A|A0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若A与A0平行，则A与A0的方向有两种情况一是同向，二是反向，反向时A|A|A0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3向量的线性运算例2在ABC中，1若D是AB边上一点，且2，则ADBC13ABAB2313CD13232若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么OABCAB2DC3D2自主解答1法一由2得2，即ACD，所以13A23B23法二因为，所CD23BA23C13A23B以232因为D是BC边的中点，所以有2，所以22ODO2200OAA答案1A2A在本例条件下，若|2，则|为何值BCBABC解|，AAABC为正三角形|2ABC3平面向量线性运算的一般规律1用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理2在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解2如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB设13A，B，用A，B表示向量，OABOD解22CBBAOB22ABOAD23O2ABB232AB53共线向量定理的应用例3设两个非零向量A与B不共线，1若AB，2A8B，3AB，求证A、B、D三点共线ABCD2试确定实数K，使KAB和AKB共线自主解答1AB，2A8B，B3AB，CD2A8B3AB，B2A8B3A3B5AB5A、共线，又它们有公共点B，ABDA、B、D三点共线2KAB与AKB共线，存在实数，使KABAKB，即KABAKBKAK1BA、B是不共线的两个非零向量，KK10，K210，K11共线向量定理及其应用1可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值2若A，B不共线，则AB0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线AB3已知A，B不共线，A，B，C，D，E，设TR，如OODE果3AC,2BD，ETAB，是否存在实数T使C，D，E三点在一条直线上若存在，求出实数T的值，若不存在，请说明理由解由题设知，DC2B3A，ECT3ATB，C，D，E三点在一CD条直线上的充要条件是存在实数K，使得K，即T3ATB3KA2KB，整理得T33KA2KTB因为A，B不共线，所以有ERROR解之得T65故存在实数T使C，D，E三点在一条直线上651个规律向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即特别地，一个封闭图形首尾连接12A34A1NNA而成的向量和为零向量2个结论向量的中线公式及三角形的重心1向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP12AB2三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，G是ABC的重心，G13C特别地，0P为ABC的重心PA3个等价转化与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线01TTO为平面OPAB内异于A，P，B的任一点，TRXYO为平面内异于A，P，B的任一AB点，XR，YR，XY14个注意点向量线性运算应注意的问题1用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；2作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；3在向量共线的重要条件中要注意“A0”，否则可能不存在，也可能有无数个；4要注意向量共线与三点共线的区别与联系创新交汇以平面向量为背景的新定义问题1从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点2解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在典例2011山东高考设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若R，R，且2，则称A3，A4调和分13A12141211割A1，A2已知点CC,0，DD,0C，DR调和分割点A0,0，B1,0，则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析根据已知得C,00,01,00,0，即C,01,0，从而得C；D,00,01,00,0，即D,01,0，得D根据2，得2线段AB的方程是Y0，X0,1若C是线段AB的中点，则C111C1D，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说121C1D1D法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则01，D1，则1，D0，则A与B的夹角为锐角或0；2若AB0，|B|0,00，即1,21，20122053当A与AB共线时，存在实数M，使ABMA，即1，2M1,2，ERROR解得0即当0时，A与AB共线，综上可知，且05311已知ABC为锐角三角形，向量M3COS2A，SINA，N1，SINA，且MN1求A的大小；2当PM，QNP0，Q0，且满足PQ6时，求ABC面积的最大值BC解1MN，3COS2ASIN2A03COS2A1COS2A0，COS2A14又ABC为锐角三角形，COSA，12A32由1可得M，34，32N1，32|P，|QAB214C72SABC|SINAPQ122132又PQ6，且P0，Q0，PQPQ23PQPQ9ABC面积的最大值为921321893212已知向量A1,2，BCOS，SIN设MATBT为实数1若，求当|M|取最小值时实数T的值；42若AB，问是否存在实数T，使得向量AB和向量M的夹角为，若存在，请4求出T；若不存在，请说明理由解1因为，4所以B，AB，22，22322则|M|ATB25T22TAB，T232T5T322212所以当T时，|M|取到最小值，最小值为322222存在满足题意的实数T，由条件得COS，4ABATB|AB|ATB|又因为|AB|，AB26|ATB|，ATB25T2ABATB5T，则有，且T0，则A与B的夹角为锐角；若A，B的夹角为，则|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的数量其中正确的是_解析由于A20，B20，所以，若A2B20，则AB0，故正确；若AB0，则AB，又A，B，C是三个非零向量，所以ACBC，所以|AC|BC|，正确；A，B共线AB|A|B|，所以错；对于，应有|A|B|AB，所以错；对于，应该是AAA|A|2A，所以错；A2B22|A|B|2AB，故正确；当A与B的夹角为0时，也有AB0，因此错；|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故错综上可知正确答案2平面上有四个互异点A、B、C、D，已知2BCDABC0，则ABC的形状是A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D无法确定解析选B由20，A得0，DCC所以0A所以|2|20，故|，B故ABC是等腰三角形3已知A，B，C的坐标分别为A3,0，B0,3，CCOS，SIN，2，321若|，求角的值；2若1，求的值2SIN2SIN21TAN解1COS3，SIN，ACOS，SIN3，BC2COS32SIN2106COS，2COS2SIN32106SIN由|，可得22，AACB即106COS106SIN，得SINCOS又，2，32542由1，ACB得COS3COSSINSIN31，SINCOS23又2SINCOS，2SIN2SIN21TAN2SIN22SINCOS1SINCOS由式两边分别平方，得12SINCOS，492SINCOS592SIN2SIN21TAN594已知平面上一定点C2,0和直线LX8，P为该平面上一动点，作PQL，垂足为Q，且012121求动点P的轨迹方程；2若EF为圆NX2Y121的任一条直径，求的最值PEF解1设PX，Y，则Q8，Y由0，得|2|20，即X22Y2X820，化简得1212C14P141X216Y212所以点P在椭圆上，其方程为1X216Y2122的最大值为19；EF的最小值为1243第四节数系的扩充与复数的引入备考方向要明了考什么怎么考1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义，如2012年北京T3，江西T5等2以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算，特别是除法运算，如2012年新课标全国T3，山东T1，浙江T2等归纳知识整合1复数的有关概念内容意义备注复数的概念设A，B都是实数，形如ABI的数叫复数，其中实部为A，虚部为B，I叫做虚数单位若B0，则ABI是实数，若B0，则ABI是虚数，若A0且B0，则ABI是纯虚数复数相等ABICDIAC且BDA，B，C，DR共轭复数ABI与CDI共轭AC且BDA，B，C，DR复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，X轴叫实轴，Y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的长度叫做复数ZABI的OZ模|Z|ABI|A2B2探究1复数ABIA，BR为纯虚数的充要条件是A0吗提示不是，A0是ABIA，BR为纯虚数的必要条件，只有当A0，且B0时，ABI才为纯虚数2复数的几何意义复数ZABI与复平面内的点ZA，B与平面向量A，BR是一一对应的关OZ系3复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设Z1ABI，Z2CDIA，B，C，DR，则加法Z1Z2ABICDIACBDI；减法Z1Z2ABICDIACBDI；乘法Z1Z2ABICDIACBDADBCI；除法ICDI0Z1Z2ABICDIABICDICDICDIACBDC2D2BCADC2D22复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1、Z2、Z3C，有Z1Z2Z2Z1，Z1Z2Z3Z1Z2Z33复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意Z1，Z2，Z3C，有Z1Z2Z2Z1，Z1Z2Z3Z1Z2Z3，Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3探究2Z1、Z2是复数，Z1Z20，那么Z1Z2，这个命题是真命题吗提示假命题例如Z11I，Z22I，Z1Z230，但Z1Z2无意义，因为虚数无大小概念3若Z1，Z2R，ZZ0，则Z1Z20，此命题对Z1，Z2C还成立吗212提示不一定成立比如Z11，Z2I满足ZZ0但Z10，Z20212自测牛刀小试1教材习题改编复数Z2II在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析选AZ2II2II212I故复数Z2II在复平面内对应的点为1,2，位于第一象限2教材习题改编复数的共轭复数是2I12IAIBICIDI3535解析选BI，2I12I2I12I12I12I5I5其共轭复数为I32012安徽高考复数Z满足ZII2I，则ZA1IB1IC13ID12I解析选B设ZABI，则ZIIB1AI2I，由复数相等的概念可知，B12，A1，所以A1，B14已知BIA，BR其中I为虚数单位，则AB_A2II解析根据已知可得BI2AIBIERRORA2II即ERROR从而AB1答案15设A是实数，且是实数，则A_A1I1I2解析为实数，A1I1I2AAI21I2A11AI2故1A0，即A1答案1复数的有关概念例11设I是虚数单位，复数为纯虚数，则实数A为1AI2IA2B2CD121222012江西高考若复数Z1II为虚数单位，是Z的共扼复数，则Z22ZZ的虚部为A0B1C1D2自主解答1若1AI2I1AI2I2I2I2A2A1I52A5I为纯虚数，则ERROR故A22A152Z221I21I20，Z22的虚部为0ZZ答案1A2A若本例1中为实数，则A为何值1AI2I解若I为实数，则0，即A1AI2I1AI2I2I2I2A52A152A1512解决复数概念问题的方法及注意事项1复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程不等式组即可2解题时一定要先看复数是否为ABIA，BR的形式，以确定实部和虚部11已知0A2，复数Z的实部为A，虚部为1，则|Z|的取值范围是A1,5B1,3C1,D1,532设复数ZABIA，BR的共轭复数为ABI，则Z为ZZA实数B纯虚数C0D零或纯虚数解析1选C由题意，ZAI，故|Z|，A210A2，1A215，从而1，A215即1|Z|52选DZABIABI2BI，Z当B0时，Z为0；当B0时，Z为纯虚数ZZ复数的几何意义例212012北京高考在复平面内，复数对应的点的坐标为10I3IA1,3B3,1C1,3D3，122012东营模拟若I为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是Z1IAEBFCGDH自主解答1由13I得，该复数对应10I3I10I3I3I3I1013I10的点为1,32依题意得Z3I，2I，该复数对应Z1I3I1I3I1I1I1I42I2的点的坐标是2，1答案1A2D复数所对应点的坐标的特点1实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上；2若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；3若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；4若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；5若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限；6此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式如若复数Z的对应点在直线X1上，则Z1BIBR；若复数Z的对应点在直线YX上，则ZAAIAR，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用2复数Z134I，Z20，Z3C2C6I在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，求实数C的取值范围解在复平面内三点坐标分别为A3,4，B0,0，CC,2C6，由BAC是钝角得4911其中当C9时，6,82，此时A，B，C三点共线，故C9所以C的取值范围是ERROR复数的运算例312012山东高考若复数Z满足Z2I117II为虚数单位，则Z为A35IB35IC35ID35I22012江苏高考设A，BR，ABII为虚数单位，则AB的值为117I12I_自主解答1由题意知Z35I117I2I117I2I2I2I1525I5253IABI，AB8117I12I117I12I12I12I2515I5答案1A28在本例1中，试求1Z的值Z解Z35I，35IZ1Z45I35I1220I15I25375IZ复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位I的看作一类，不含I的看作另一类，分别合并即可，但要注意把I的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉I的特点及熟练应用运算技巧3已知Z13XYY4XIX，YR，Z24Y2X5X3YIX，YR设ZZ1Z2，且Z132I，求Z1，Z2解ZZ1Z23XYY4XI4Y2X5X3YI5X3YX4YI，又Z132I，故ERROR解得ERROR于是，Z1321142I59I，Z24225231I87I1个分类复数的分类对复数ZABIA，BR，当B0时，Z为实数；当B0时，Z为虚数；当A0，B0时，Z为纯虚数2个技巧复数的运算技巧1设ZABIA，BR，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法2在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3个结论复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度11I22I；I；I；1I1I1I1I2BAIIABI；3I4N1，I4N1I，I4N21，I4N3I，I4NI4N1I4N2I4N30，NN创新交汇复数命题新动向1复数多以客观题的形式考查复数的概念及运算，也经常将复数的基本概念与基本运算相结合，复数幂的运算与复数除法相结合，复数的基本运算与复数的几何意义相结合，复数与方程相结合，复数与集合相结合等形成交汇命题2解决此类问题的关键是把握复数的有关概念，根据复数的运算法则准确进行化简运算典例2011陕西高考设集合MY|Y|COS2XSIN2X|，XR，N，则MN为XX1I2，I为虚数单位，XRA0,1B0,1C0,1D0,1解析对于集合M，函数Y|COS2X|，其值域为0,1，所以M0,1根据复数模的计算方法得不等式，即X21，所以N1,1，则MN0,1正确X212选项为C答案C名师点评1本题具有以下创新点不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向2解决本题的关键有以下几点1弄清集合的元素集合M为函数的值域，集合N为不等式的解集，把M、N具体化2正确识别为复数的模，而非实数的绝对值|X1I|变式训练12012上海高考若1I是关于X的实系数方程X2BXC0的一个复数根，2则AB2，C3BB2，C3CB2，C1DB2，C1解析选B由于1I是关于X的实系数方程X2BXC0的一个根，则1I222B1IC0，整理得BC12BI0，则ERROR222解得ERROR2已知定义在复数集C上的函数满足FXERROR则FF1I等于_解析由已知得F1I|I|1，|1I1I|2I2|故F11132，即FF1I2答案2一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12012陕西高考设A，BR，I是虚数单位，则“AB0”是“复数A为纯虚BI数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析选B复数AABI为纯虚数，则A0，B0；而AB0表示A0或者BIB0，故“AB0”是“复数A为纯虚数”的必要不充分条件BI22012新课标全国卷下面是关于复数Z的四个命题21IP1|Z|2,P2Z22I，P3Z的共轭复数为1I,P4Z的虚部为1其中的真命题为AP1，P3BP1，P2CP2，P4DP3，P4解析选C复数Z1I，|Z|，Z21I21I21I222I，Z的共轭复数为1I，Z的虚部为1，综上可知P2，P4是真命题3已知FXX2，I是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在F1I3IA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析选AF1I1I22I，则I，故对应点F1I3I2I3I26I101535在第一象限42013临汾模拟复数ZII1I为虚数单位的共轭复数是A1IB1IC1ID1I解析选AZII11I，Z的共轭复数是1I5若XIIY2I，X，YR，则复数XYIA2IB2IC12ID12I解析选B由XIIY2I得XI1Y2IX，YR，X2，Y1，故XYI2I6若复数ZA21A1IAR是纯虚数，则的虚部为1ZAABI2525CDI2525解析选A由题意得ERROR所以A1，所以I，根据虚部的概念，可得的虚部为1ZA112I12I12I12I15251ZA25二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分72012湖北高考若ABIA，B为实数，I为虚数单位，则3BI1IAB_解析由ABI，得A，B3BI1I3BI1I1I1I3B3BI23B2，解得B3，A0，所以AB33B2答案38I为虚数单位，_1I1I31I51I7解析IIII01I1I31I51I7答案09已知复数X26X5X2I在复平面内对应的点在第三象限，则实数X的取值范围是_解析X为实数，X26X5和X2都是实数由题意，得ERROR解得ERROR即1X2故X的取值范围是1,2答案1,2三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10计算1；1I2II32；12I231I2I3；1I1I21I1I2413I3I2解113I1I2II33II2I12I231I2I34I33I2II2II2I51525311I1I21I1I21I2I1I2I1I21I2413I3I23II3I2I3II3I4I143411实数M分别取什么数值时，复数ZM25M6M22M15I1与复数212I相等；2与复数1216I互为共轭复数；3对应的点在X轴上方解1根据复数相等的充要条件得ERROR解之得M12根据共轭复数的定义得ERROR解之得M13根据复数Z对应点在X轴上方可得M22M150，解之得M3或M512复数Z110A2I，Z22A5I，若1Z2是实数，求实数A3A521AZ的值解1Z2A210I2A5IZ3A521AA2102A5I3A521AA22A15IA13A5A11Z2是实数，ZA22A150解得A5或A3分母A50，A5，故A31若复数ZX21X1I为纯虚数，则实数X的值为A1B0C1D1或1解析选A由复数的概念，若复数ZX21X1I为纯虚数，则X210，且X10，解得X12复数ZAI，AR，且Z2I，则A的值为321232A1B2CD1214解析选CZ22A2AI，32AI343又Z2I，1232ERROR得A123把复数Z的共轭复数记作，I为虚数单位若Z1I，则1Z等于ZZA3IB3IC13ID3解析选A1Z11I1I3IZ4设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B、D两点对应的复数分别是32I和24I，则点C对应的复数是_解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为X，Y，则52，1X5，Y2，故点C对应复数为52I答案52I平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍1“四心”的概念与性质1重心三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或其中P为平面内任意一点GABCP13ABC反之，若0，则点G是ABC的重心在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为GX，Y，AX1，Y1，BX2，Y2，CX3，Y3，则有X，YX1X2X33Y1Y2Y332垂心三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则或22HABCHABC2222反之，若，则H是BAABC的垂心3内心三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|0反之，若BCIAIBAIC|0，则点I是ABC的内心4外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点O是ABC的外心，则OA0或|OBAO