2014电大微积分初步考试小抄【最新完整版小抄】

电大微积分初步考试小抄一、填空题函数的定义域是XF51（，5）5051XSINLM，X01X时，已知，则XF2F2LN）（若，则CFDFD3C321微分方程的阶数是三阶YXYXESIN4Y6函数的定义域是（2，1）U（2L1F1，121LN2LX0N2XX，1|且72XSILM0SINLI0XX212SINLM0X8若YXX1X2X3，则0Y6YXX1X2X3X2XX25X6X45X36X2X35X26XX46X311X26X,6184Y3X（把0带入X）,609XDE22或FF）（DXFXF10微分方程的特解为YEX10,YYDXYD1两边积分又Y01X0,Y1ECLN010C，11函数的定义域是24LXXF2,，12LNL0LN4XX12若函数,在处连续，0,3SINKFX则1K在处连续LIM00FXFF0F（无穷小13SINLIM13SINLIXXX量X有界函数）13曲线在点处的切线方程是Y,21，XY21Y21切K|2112XX方程14SINXCSDIN15微分方程的阶数为三阶YYSIN45316函数的定义域是（2,3）2LXFU（3，）3X2|12LN0LN且XX171/2SILM18已知，则2727LN3XF3FLN2XF3LN2719EX2CD20微分方程的阶数为四阶XYXYSI473二、单项选择题设函数，则该函数是（偶函数）2函数所以是偶函数EXFXF的间断点是（）分母2322,1X无意义的点是间断点03下列结论中（在处不连续，则一定在XF处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；0X极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上如果等式，则（CXF11EDXF）21X1,U,11XEXEYFFCFUXX，令2212XFXEFU下列微分方程中，（）是线性微YSIN分方程6设函数，则该函数是（奇函数）2EXY7当（2）时，函数在K0,2XKF处连续0X8下列函数在指定区间上单调减少的是（,）39以下等式正确的是（）3LNDXX10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）YXD11设，则（）12FXF212若函数FX在点X0处可导，则，但是错误的AXFLIM00XF13函数在区间是（先减后增）21Y,14）FDCFF15下列微分方程中为可分离变量方程的是（）YX16下列函数中为奇函数是（）1LN2X17当（）时，函数在K20,EKF处连续0X18函数在区间是（先单调下降再单12Y2,调上升）19在切线斜率为2X的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（YX23）20微分方程的特解为（）0,XYE三、计算题计算极限423LIM2X解41LI1LI22X）设，求YXEYD解X23212X1，U2XU2XEU（2）1EY2E2XY2E2XX213DY2E2XDX计算不定积分XDSIN解令U,U21X21DU2DU2COSCSINUSIN2COSCX计算定积分XDE210UX，VEX,VEXVDXUV10UVU10|101|EXDDXX原式25计算极限952LIM3X34LILIX6设，求YCOSNYD解XXCOSLNL221Y1LNCOSXY1LNU1,UCOSXXUCOSISIN1LY1XCOSIN23DYDX17计算不定积分XD29解9令U12X,U2DUU21CCDDXU2019210998计算定积分XDE0解UX,XV，1010|XDDXX1|EX9计算极限4586LIM24X321LI1LI4XX10设，求YXSNYDY1SIN3XY1SINU,U3X,CO3IU）（）（Y2XLN23COS3XDY2XLN23COS3XDX11计算不定积分DSUX,VCOSX,VSINXDCOSCXXDOSSINSICO12计算定积分DL51E令ULNX,U,EEEEDXXXD11E11LN5LLN|X1DUDX,1XE0LNX1X21LN|0101UDE原式152713计算极限63LIMXX解51LI1LI22X14设，求XYEY解X12,X1U1EEYXUU2121EXEX121X1X2X2Y15计算不定积分D10解U2X1,2DU2DX10CDUUX1221010）（116计算定积分0EX解UX,DX10XVEX10|EX四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖3M水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少解设水箱的底边长为X，高为H,表面积为S，且有HX24所以SXX24XHX216XS2令（X）0，得X2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以X2，H1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）1040160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省设长方形一边长为X，S216另一边长为216/X总材料Y2X3216/X2X648Y2648X1264812X2648Y0得2X2324X18一边长为18，一边长为12时，用料最省欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省设底边长为A底面积为A2A2HV32H3表面积为A24AHA24AA218YA2,Y2A1282A182Y0得2AA364A42底面边长为4，H216设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解设矩形一边长为X，另一边为60X以AD为轴转一周得圆柱，底面半径X，高60XV32260XXV223103602得4矩形一边长为40，另一边长为20时，VMAX作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数LN1XF的定义域是答案,3,22函数F5的定义域是答案,3函数24LN1XXF的定义域是答案2,1,4函数7XF，则F答案625函数0E2XF，则答案26函数1，则XF答案2X7函数32XY的间断点是答案8X1SINLM答案19若2I40K，则答案210若3SNL0X，则K答案15；二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数EY，则该函数是（）答案BA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数2设函数XSIN2，则该函数是（）答案AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数3函数F的图形是关于（）对称答案DAXYB轴CY轴D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C）ASINBXLC1LN2XD25函数5L41Y的定义域为（）答案DAXBXC5X且0D且6函数1LNXF的定义域是（）答案DA,1B,1,0C20D2,7设2F，则F（）答案CAXBXCXD18下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案DA2F，GB2F，XGCLN，XLND3LNX39当0时，下列变量中为无穷小量的是（）答案CAXBXSIC1LD210当K（）时，函数0,2XKF，在0X处连续答案BA0B1CD111当K（）时，函数0,2XKEXFX在处连续答案DA0B1C2D312函数3XF的间断点是（）答案AA,XBC2D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限423LIM2X解412LIM1LILI22XXXX2计算极限651X解2716LILILIM121XXXX339X解原式233LILIM11XX4计算极限4586LIM24X解321LIM42LI586LIM424XXXXX5计算极限62解234LI23LI86LI22XXXXX6计算极限X1LIM0解11LI0XXX2LI0XX7计算极限X4SIN1LM0解001LILI8SXXX8计算极限24SINLM0X解00I42LLI16XX一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线1XF在,点的斜率是答案2曲线XFE在,0点的切线方程是答案1Y3曲线21XY在点,处的切线方程是答案34X答案X2LN或1LN25若YXX1X2X3，则Y0答案66已知F3，则F答案LN1277已知XL，则答案2X8若XFE，则0F答案9函数的单调增加区间是答案,110函数12AXF在区间,内单调增加，则A应满足答案0二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数Y在区间,是（）答案DA单调增加B单调减少C先增后减D先减后增2满足方程0XF的点一定是函数XFY的（）答案CA极值点B最值点C驻点D间断点3若FXCOSE，则F（）答案CA2B1C1D24设，则（）答案BABCD5设XFY是可微函数，则COSDXF（）答案DA2COSBFIN2COSCXD2INDXFD2SINCO6曲线1E2XY在处切线的斜率是（）答案CA4BC4ED27若FCS，则XF（）答案CAXINOSBXCCXCOSSINDI28若3IAF，其中是常数，则F（）答案CA2COSXBX6SICXSIND9下列结论中（A）不正确答案CAF在0处连续，则一定在0处可微BF在X处不连续，则一定在X处不可导C可导函数的极值点一定发生在其驻点上D若X在A，B内恒有F，则在A，B内函数是单调下降的10若函数FX在点X0处可导，则是错误的答案BA函数FX在点X0处有定义BAFXLIM0，但0C函数FX在点X0处连续D函数FX在点X0处可微11下列函数在指定区间,上单调增加的是（）答案BASINXBEXCX2D3X12下列结论正确的有（）答案AAX0是FX的极值点，且FX0存在，则必有FX00BX0是FX的极值点，则X0必是FX的驻点C若X00，则X0必是FX的极值点D使不存在的点X0，一定是FX的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）1设XY12E，求Y解121221XEXEXXXXXEE12或122XYE2设X3COS4SIN，求Y解INS3设YX1E，求解212E1XXXX4设YCOSLN，求Y解XCOSIN3或3ITA2COS2X5设Y是由方程4Y确定的隐函数，求D解对方程两边同时对X求微分，得022XDYYDX6设是由方程12X确定的隐函数，求Y解原方程可化为XY，1,X,DYX7设Y是由方程4E2YX确定的隐函数，求YD解方程两边同时对X求微分，得20XYED2YEXDXY8设1COSY，求解方程两边同时对求微分，得IN0XDESINYXDXY一、填空题（每小题2分，共20分）1若F的一个原函数为2LNX，则F。答案（C为任意常数）或LXC2若F的一个原函数为X2E，则F。答案XE21或43若CFD，则F答案XE或X4若F2SIN，则XF答案CO2或C5若XFLD，则F答案X16若CXF2OS，则XF答案CN47XDE2DE2答案DXE28SI答案CSIN9若CFF，则XF3答案CXF32110若FD，则XFD12答案CX122二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案AADXFFXBFCDXFFDF3若CXF2ED，则XF（）答案AA1E2XBCX2ED4若0XF，则FD（）答案AACXBCX2C23D315以下计算正确的是（）答案AA3LNDXXB1D22XCDLNX6XFD（）答案AACBCFCF12DX17XAD2（）答案CABXADLN2CDC8如果等式XFX11E，则F（）答案BA1B2CD2X三、计算题（每小题7分，共35分）1XXDSIN3解CXXOS32LNSI3或3SINLCXDX210解11222XC3XDSIN2解CX1OSSI1I24XDIN111CO2S2IN4DXC5EX解XXXDEECE四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解设矩形ABCD的一边X厘米，则60BCX厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令X得20X当0,X时，V；当,时，V2是函数的极大值点，也是最大值点此时64答当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大320160202立方厘米V2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省2解设成矩形有土地的宽为X米，则长为X米，于是围墙的长度为432,0L令2430LX得1取正易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时168X答这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省五、证明题（本题5分）1函数XEF在（0,是单调增加的10,0,0XXFEXFE证当时当时从而函数在区间是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1_DCOSINX答案32245X答案或23已知曲线FY在任意点处切线的斜率为X，且曲线过5,4，则该曲线的方程是。答案X或3216X4若D13答案2或45由定积分的几何意义知，XAD02。答案24A6E1DLNDXX答案0702答案218微分方程0,Y的特解为答案1或XYE9微分方程3的通解为答案X3或XC10微分方程XYSIN47的阶数为答案2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2X的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）答案AAYX23BYX24C2XYD2若10DK2，则K（）答案AA1B1C0D213下列定积分中积分值为0的是（）答案AAXXD2E1BXXDE1CCOS3DSIN24设XF是连续的奇函数，则定积分AXF（）答案D5DSIN2（）答案DA0BC2D26下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DEXB0DEXC1D17下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DINXSB02DEXC1D1X8下列微分方程中，（）是线性微分方程答案DAYYXLN2BXYE2CEDXLSI9微分方程0Y的通解为（）答案CACXBXCYD10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）答案BAYXD；BYXD；CSIN；DX三、计算题（每小题7分，共56分）1XXDE22LN0解2LN03X2LN0L1E1XXX9313332LNE或LLN20011XXXDEE25E1解217LNL5LN10EXXX3EXD10解利用分部积分法VXUVU1110001XXEEDEE42SIN002COS2CS4IN2XXD5IN222000COSSCOSSIN1XDXXDX6求微分方程1Y满足初始条件47Y的特解21,PXQX112LNLN3421PDPXDXXXXYEECEEDCXC通解即通解31YX7求微分方程X2SIN的通解。1,IPQX11LNLN2SI1SICO2PXDPXDXXXXYEQECEEDCXX通解即通解为SY四、证明题（本题4分）证明等式AAXFFXF0DD。0000AAAAAFFXDXDFF证左边右边作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数LN1XF的定义域是答案,3,22函数F5的定义域是答案,3函数24LN1XXF的定义域是答案2,1,4函数7XF，则F答案625函数0E2XF，则答案26函数1，则XF答案2X7函数32XY的间断点是答案8X1SINLM答案19若2I40K，则答案210若3SNL0X，则K答案15；二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数EY，则该函数是（）答案BA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数2设函数XSIN2，则该函数是（）答案AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数3函数F的图形是关于（）对称答案DAXYB轴CY轴D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C）ASINBXLC1LN2XD25函数5L41Y的定义域为（）答案DAXBXC5X且0D且6函数1LNXF的定义域是（）答案DA,1B,1,0C20D2,7设2F，则F（）答案CAXBXCXD18下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案DA2F，GB2F，XGCLN，XLND3LNX39当0时，下列变量中为无穷小量的是（）答案CAXBXSIC1LD210当K（）时，函数0,2XKF，在0X处连续答案BA0B1CD111当K（）时，函数0,2XKEXFX在处连续答案DA0B1C2D312函数3XF的间断点是（）答案AA,XBC2D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限423LIM2X解412LIM1LILI22XXXX2计算极限651X解2716LILILIM121XXXX339X解原式233LILIM11XX4计算极限4586LIM24X解321LIM42LI586LIM424XXXXX5计算极限62解234LI23LI86LI22XXXXX6计算极限X1LIM0解11LI0XXX2LI0XX7计算极限X4SIN1LM0解001LILI8SXXX8计算极限24SINLM0X解00I42LLI16XX一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线1XF在,点的斜率是答案2曲线XFE在,0点的切线方程是答案1Y3曲线21XY在点,处的切线方程是答案34X答案X2LN或1LN25若YXX1X2X3，则Y0答案66已知F3，则F答案LN1277已知XL，则答案2X8若XFE，则0F答案9函数的单调增加区间是答案,110函数12AXF在区间,内单调增加，则A应满足答案0二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数Y在区间,是（）答案DA单调增加B单调减少C先增后减D先减后增2满足方程0XF的点一定是函数XFY的（）答案CA极值点B最值点C驻点D间断点3若FXCOSE，则F（）答案CA2B1C1D24设，则（）答案BABCD5设XFY是可微函数，则COSDXF（）答案DA2COSBFIN2COSCXD2INDXFD2SINCO6曲线1E2XY在处切线的斜率是（）答案CA4BC4ED27若FCS，则XF（）答案CAXINOSBXCCXCOSSINDI28若3IAF，其中是常数，则F（）答案CA2COSXBX6SICXSIND9下列结论中（A）不正确答案CAF在0处连续，则一定在0处可微BF在X处不连续，则一定在X处不可导C可导函数的极值点一定发生在其驻点上D若X在A，B内恒有F，则在A，B内函数是单调下降的10若函数FX在点X0处可导，则是错误的答案BA函数FX在点X0处有定义BAFXLIM0，但0C函数FX在点X0处连续D函数FX在点X0处可微11下列函数在指定区间,上单调增加的是（）答案BASINXBEXCX2D3X12下列结论正确的有（）答案AAX0是FX的极值点，且FX0存在，则必有FX00BX0是FX的极值点，则X0必是FX的驻点C若X00，则X0必是FX的极值点D使不存在的点X0，一定是FX的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）1设XY12E，求Y解121221XEXEXXXXXEE12或122XYE2设X3COS4SIN，求Y解INS3设YX1E，求解212E1XXXX4设YCOSLN，求Y解XCOSIN3或3ITA2COS2X5设Y是由方程4Y确定的隐函数，求D解对方程两边同时对X求微分，得022XDYYDX6设是由方程12X确定的隐函数，求Y解原方程可化为XY，1,X,DYX7设Y是由方程4E2YX确定的隐函数，求YD解方程两边同时对X求微分，得20XYED2YEXDXY8设1COSY，求解方程两边同时对求微分，得IN0XDESINYXDXY一、填空题（每小题2分，共20分）1若F的一个原函数为2LNX，则F。答案（C为任意常数）或LXC2若F的一个原函数为X2E，则F。答案XE21或43若CFD，则F答案XE或X4若F2SIN，则XF答案CO2或C5若XFLD，则F答案X16若CXF2OS，则XF答案CN47XDE2DE2答案DXE28SI答案CSIN9若CFF，则XF3答案CXF32110若FD，则XFD12答案CX122二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案AADXFFXBFCDXFFDF3若CXF2ED，则XF（）答案AA1E2XBCX2ED4若0XF，则FD（）答案AACXBCX2C23D315以下计算正确的是（）答案AA3LNDXXB1D22XCDLNX6XFD（）答案AACBCFCF12DX17XAD2（）答案CABXADLN2CDC8如果等式XFX11E，则F（）答案BA1B2CD2X三、计算题（每小题7分，共35分）1XXDSIN3解CXXOS32LNSI3或3SINLCXDX210解11222XC3XDSIN2解CX1OSSI1I24XDIN111CO2S2IN4DXC5EX解XXXDEECE四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解设矩形ABCD的一边X厘米，则60BCX厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令X得20X当0,X时，V；当,时，V2是函数的极大值点，也是最大值点此时64答当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大320160202立方厘米V2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省2解设成矩形有土地的宽为X米，则长为X米，于是围墙的长度为432,0L令2430LX得1取正易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时168X答这块土