基于matlab的齿轮传动的优化设计

基于MATLAB的齿轮传动的优化设计蒋振江（重庆理工大学汽车学院，重庆400050）摘要齿轮优化设计在现代机械设计中占有非常重要的地位，本文研究了基于MATLAB平台建立齿轮最终传动的优化设计模型。实例证明，该方法在保证齿轮可靠度前提下可有效减小齿轮体积，并能更好适应产品要求。此方法简单、实用，易于设计人员掌握，并可应用于其它机械的优化设计。关键词渐开线圆柱齿轮；最终传动；优化设计；MATLAB图书分类号TH132413文件标识码B0引言最终传动是拖拉机主传动系的重要机构，用于进一步增加传动系的传动比，起到增扭减速的作用。履带拖拉机和某些轮式拖拉机的最终传动还可用于提高后桥的离地间隙。最终传动一般采用外啮合圆柱齿轮传动或行星齿轮传动。外啮合圆柱齿轮最终传动有单级和双级传动。利用传统设计或常规优化设计方法对拖拉机最终传动进行设计已有不少论述，但这些设计方法将应力和强度等视为确定性变量，并且安全系数主要是根据设计人员的经验而定，缺乏定量的数学基础，具有明显的不确定性，故往往很难反映最终传动的真实工况。本文仅就单级外啮合直齿圆柱齿轮的最终传动进行优化设计。1数学模型的建立11目标函数和设计变量拖拉机单级外啮合直齿圆柱齿轮最终传动在满足设计要求和性能的条件下，从结构紧凑、减轻重量、节省材料和降低成本考虑，应以机构的最小体积为设计目标。在工作条件和材料选定的情况下，可用最终传动主、从动齿轮体积之和来衡量。若该体积最小，则整个装置的体积也最小。由于最终传动的传动比较大（一般I46），为使结构紧凑，通常选用齿数较少的主动齿轮。为确保主动齿轮的强度和避免根切，皆采用变位齿轮，常用角度变位和高度变位。若采用角度变位，主、从动齿轮的体积1222111COS/4VRBMZB作者简介蒋振江（1985出生），男，汉族，山东德州人，在读硕士生，研究方向汽车电子222COS/4VRBMZB式中；啮合角0ARCOS实际中心距Y标准中心距12MZ式中Y为中心距变动系数；为从动齿B轮宽，令。为主动齿轮齿宽，考2B1虑到制造、装配误差和全齿宽啮合，通常取。其中，在拖拉机设计121ZI中，最终传动比I预先由传动比分配确定，因此，主、从动齿轮体积之和为221X4VMBZI（）若齿轮副采用高度变位，即则0MIN32GZX综上所述，令设计变量12341X,TTBZ则目标函数为222134COS0/VIXX（）12约束条件以下公式见参考文献3、4。（1）齿数条件为满足传动比大、结构紧凑的要求，主动齿轮的齿数通常取。125Z3MAX0GIN2Z（2）模数条件轮式拖拉机最终传动齿轮的模数，根据统计资料取，且满足38GB135678的要求。14250SNGMD或IN1X（3）齿宽条件由于最终传动齿轮受力大，且径向尺寸受轮辋或离地间隙限制，为保证有足够的强度，外啮合圆柱齿轮的最终传动常采用较大的齿宽，但过宽易造成偏载，一般取（为齿轮模数）。B71M2150XG21670XG（4）啮合角条件为保证齿顶不变尖，啮合角一般取2022。在编程中，以中心距变动系数Y替代，此时Y值为005。1205COS/1Z34MAX7096CS0GXIYMIN34851/O1YI（5）中心距限制条件为保证轴承及最终传动装置相连接零件有足够的安装位置，满足总体设计对地隙的要求，齿轮中心距的上、下限应予以限制，即。MINAXA1205COS0/AMZ134MAX94680GIXMIN1341095/COSAI6）变位条件为提高小齿轮强度、承载能力和防止根切，使节点处于两对齿啮合区内，主动齿轮径向变位系数应大于从动齿轮的变位1F系数，即。2F2总变位系数TANSZFIV渐开线函数017453IV齿顶高降低系数SFY21110TATA8AFZZH式中为齿顶高系数，标准齿1AH。21SFF若采用高度变位，。因此，0S21F变位条件为SG（7）齿顶不变尖条件采用较大的正变位系数易引起齿顶变尖，为避免齿顶变尖（）及齿轮厚过薄10AS的现象，一般建议，254。25G主动齿轮齿顶厚1114TANAAFSDIVZ齿顶压力角，基圆11RCOS/ABAD直径，齿顶圆直径1BDMZ12AF（8）重叠系数条件许用值随齿轮机构的使用AA要求和制造精度而定，汽车拖拉机工业推荐的重叠系数许用值为1112。122TNTTNTAAAZZ，22RCOSBAAD2COSM221AF所以31243756/TANT1TAN0AGXIIX（9）主动齿轮的轴径条件主动齿轮的轴径根据强度条件来确定3172JSMDM式中为最终传动主动齿轮的计算J扭矩，NM；为许用扭转应力，MPA。最终传动的主动齿轮结构有连轴齿轮和非连轴齿轮2种。若是非连轴齿轮，则值SD按标准花键外径圆整；若属连轴齿轮，则值按轴承内径系列圆整。SD（10）齿轮轮幅最小限制条件为满足加工、热处理工艺要求和保证轮幅有足够的强度，齿根圆和孔键槽之间的最小距离应不小于25M（模数），即应满足下列条件，50NSDM为主动齿轮齿根112NX圆直径；若属连轴齿轮，考虑切齿加工、轴承装配及其它安装条件，应满足下列条件。0NSD所以。1425SNGMD或（11）强度条件齿面接触强度条件节点处齿面接触应力128SINJJJPZB式中为计算圆周力,KN,JP1/JJPMR为主动齿轮节圆半径，为许用接触1RJ应力，采用渗碳合金钢为材料、热处理后齿面硬度HRC5864,心部硬度HRC3548,一般不超过1214GPA。J213458120SINMGIX齿根弯曲强度条件轮齿齿根弯曲应力（MPA）3JWSWPYBM式中Y为齿形系数，为应力校正系数，SA两系数根据齿数、变位系数从机械设计手册中查取；为许用弯曲应力，渗碳合W金钢材料，考虑到双齿啮合，取350370MPA。W32136105SAMGYX2MATLAB优化工具箱MATLAB是美国MATHWORKS公司于1967年推出的用于科学计算的可视化软件包。其方便、友好的用户环境、强大的扩展能力便许多领域的科学计算和工程应用节省时间、降低成本和提高效率。集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体，被广泛应用于机械设计、自动控制和数理统计等工程领域。工程人员通过使用MATLAB提供的工具箱，可以高效的求解复杂的工程问题。MATLAB优化工具箱提供了对各种问题的一个完整的解决方案，广泛应用于线性规划、二次规划、非线性优化、最小二乘问题、非线性方程求解、多目标决策、最小最大问题以及半无限问题。其函数表达简洁，优化算法选择任意，参数设置自由，相比于其它很多成熟的优化程序具有明显的优越性。大多数机械优化设计问题属于非线性多变量约束最小化问题，约束条件有等式和不等式约束，目标函数和约束函数中有一个或多个为非线性函数。MATLAB通过调用FUNCTION函数来实现这一问题的优化。优化问题可作下列描述FUNCTION函数相应的调用格式为X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,GRAD,HESSIANFMINCONFUN,X0,A,B,AEQ,BEQ,IB,UB,MYCON其中X为最优设计点，F为目标函数在最优点X的值，EXITFLAG是返回算法的终止标志，EXITFLAG0，目标函数不收敛；EXITFLAG0，目标函数收敛。OUTPUT负责返回优化结果信息，主要有迭代次数、最后一次迭代计算次数、步长、算法、一阶导数等LAMBDA返回LAGRANGE乘子值，GRAD返回目标函数在最优点X的梯度值，HESSIAN返回目标函数在最优点X的HESSIAN矩阵。3MATLAB优化程序设计1建立目标函数的M文件，设其文件名为FUNM；FUNCTIONFFUNXFPI/4X12X2X32114624620939692/COSX4PI/18022建立约束条件的M文件，设其文件名MYCONMFUNCTIONC,CEQMYCONXI462M900C1X2/X111C27X2/X1C3051IX3COS20PI/180/COSX4PI/180102C40051IX3COS20PI/180/COSX4PI/1801C504698451IX1X3/COSX4PI/180200C619504698451IX1X3/COSX4PI/180F5X31I/2TAN20PI/180INVX4PI/180INV20PI/180F1SQRT0221X3X31TANX4PI/1802277X3TANX4PI/180871X3/21F5C7F52F1D1X1X3COS20PI/180D2X1X32X11F1F5J1ACOSD1/D2S1D2PI4F1TAN20PI/180/2X3INV20PI/180INVJ1PI/180C8025S1D3X1IX3COS20PI/180D4X1IX32X11F2F5J2ACOSD3/D4K1X3TANJ1PI/180TANX4PI/180IX3TANJ2PI/180TANX4PI/180/2PIC97225657/X3TANJ1PI/180ITANJ2PI/1801ITANX4PI/180D5172M/1001/3D6X1X32X1125X1C102X1D5D6C1188SQRT2M1I/IX12X2X32SINX4PI/18012C122M/X12X2X321515103350CEQ3建立调用MATLAB优化工具箱求解FUN文件，代码如下A1000100000100010AEQB651513BEQIB50130UB61001525X05501320X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,GRAD,HESSIANFMINCONFUN,X0,A,B,AEQ,BEQ,IB,UB,MYCON又因为MATLAB的优化工具箱在迭代求解时，设计变量均是连续的，其最优解往往不能直接使用，如模数、齿数等，所以必须对其最优解进行圆整才能满足实际需要。4应用举例某拖拉机外置式外啮合直齿圆柱齿轮最终传动优化设计（主动齿轮为连轴齿轮）。已知参数主动齿轮计算扭矩；最终传动传动比I462；90MMN主动齿轮齿数范围1315；中心距变动1Z系数范围Y002；齿轮模数范围M56MM；中心距范围A195200MM；许用扭转应力；主动齿轮的结构PA型式为连轴齿轮。优化及圆整结果为模数为55MM，主动齿轮齿数13，被动齿轮齿数60，传动比46154，被动齿轮齿宽50，啮合角20，实际中心距20075MM，总变位系数为0，中心距变动系数为0，主动齿轮径向变位系数为0057，被动齿轮径向变位系数为0057，主动齿轮轴径45MM等。5总结（1）本文中的目标函数和设计变量可为同类优化设计提供参考。（2）MATLAB优化工具箱进行优化设计可提高设计效率。参考文献1宋兆基，徐流美MATLAB65在科学计算中的应用M北京