现代数字信号处理习题VIP

1设是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱。UNW0S证明将通过冲激响应为的LTI离散时间系统，设其频率响应为HNWH输出随机过程的功率谱为01,WHYN2YSS输出随机过程的平均功率为YN02011R2WYYSDD当频率宽度时，上式可表示为00Y由于频率是任意的，所以有0WWS3、已知状态方程观测方程1,1,NNXFNX2NXCNZ1QEH22QEH滤波初值0|0X00XXP请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。解步骤1状态一步预测，即111|,|NNNCF步骤2由观测信号ZN计算新息过程，即11|MNNXCZZN步骤3一步预测误差自相关矩阵NHHQNFPFP1,步骤4新息过程自相关矩阵MCNQNCNA21步骤5卡尔曼增益MNHPK,或12CNH步骤6状态估计11|NNNCNKX步骤7状态估计自相关矩阵NPIP,或,2NKQCKINPHH步骤8重复步骤17，进行递推滤波计算4、经典谱估计方法直接法又称为周期图法，它把随机序列XN的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算XN的离散傅里叶变换，得到XK,然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列XN的真实功率普估计自相关法1949年，TUKEY根据WIENERKHINTCHINE定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从而得到谱的估计。1958年，BLACKMAN和TUKEY在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫BT法。5、假定输入信号XT是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为，且线性系统0NFPX的冲激响应为ELSTTH,0求输出YTXTHT的功率谱及协方差函数。解由题知，系统的传递函数为0221FJDTEDTETHFHFJTFJ有此得22412FFJFJFHF由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得20241FNFPFFPXY输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有ENDFEFJDFEFCJJXY202026、BT谱估计的理论根据是什么请写出此方法的具体步骤。答（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是给出观察序列1,0NXX，估计出自相关函数MNNM，R10对自相关函数在（M，M）内作FOURIER变换，得到功率谱MJMES式中，一般取1N，为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳辛欣定理的主要内容。答1连续时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系XJXXRFDERSDESJXX212离散时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系MJMXJXEESDESMJXX218、举例说明卡尔曼滤波的应用场景。答假设要研究的对象是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设用一分钟来做时间单位）。假设经验不是100的可信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（WHITEGAUSSIANNOISE），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（GAUSSIANDISTRIBUTION）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算K时刻的是实际温度值。首先要根据K1时刻的温度值，来预测K时刻的温度。因为假定温度是恒定的，所以K时刻的温度预测值是跟K1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的如果K1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，预测的不确定度是4度，二者平方相加再开方，就是5）。然后，从温度计那里得到了K时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算K时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟相信谁多一点，我们可以用他们的COVARIANCE来判断。因为KG252/5242，所以KG078，我们可以估算出K时刻的实际温度值是2307825232456度。可以看出，因为温度计的COVARIANCE比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到K时刻的最优温度值，下一步就是要进入K1时刻，进行新的最优估算。在进入K1时刻之前，我们还要算出K时刻那个最优值（2456度）的偏差。算法如下1KG5205235。这里的5就是上面的K时刻预测的那个23度温度值的偏差，得出的235就是进入K1时刻以后K时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。9、离散时间信号SN是一个一阶的AR过程，其相关函数|,01KSRA，两观测数据为XV，其中SN和V不相关，且VN是一个均值是0，方差为2V的白噪声，设计维纳滤波器HZ。解由题意，可写出维纳霍夫方程0101XXSXRRW由于SN和V不相关，故|2KXSVVRKAEEESSNXSNKVNSNKR因此有|KSXSK，代入得22011VVWAA解方程得2201VVWA所以，维纳滤波器的传递函数10HZWZ，其中0W和1由上式给出。11、如图A所示系统，其中，系统中理想带通滤波器的频率响应如图B所ETTSIN2求，其相频特性，请分别画出和的频谱图，并注明坐标值。0YTR答案12、AR谱估计的基本原理是什么与经典谱估计方法相比，其有什么特点答（1）AR谱估计的基本原理是阶的AR模型表示为PPINUIXNX1其自相关函数满足以下YW方程取，可得到如下矩阵方程PM,210在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关函数，再利用以上NXMRX矩阵方程，直接求出参数及，于是可求出的功率谱的估计值。P,212N13、已知信号模型为S（N）SN1WN,测量模型为XNSNVN,这里WN和VN都是均值为零的白噪声，其方差分别为05和1，VN与SN和WN都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理XN，以得到对SN的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。解根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值A1，C1，Q05，R1。将它们代入RICATTI方程QPA2RP/RC2P得05PP/1P解此方程得P1或P05，取正解P1。再计算维纳增益G和参数FGCP/RC2P1/1105FRA/RC2P1/1105故得因果IIR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下HCZG/1FZ105/105Z1（N）05N105XN14、简述AR模型功率谱估计步骤。步骤1根据N点的观测数据UN（N）估计自相关函数，得MRU，M0,1,2,P,即10MMRNU步骤2用P1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如LEVINSONDURBIN算法），求解YULEWALKER方程式，得到P阶AR模型参数的估计值21,PA和P2步骤3将上述参数代入AR（P）的功率表达式中，得到功率谱估计WSAR，即01102PXXXXXPPKJWKAREAWS122|一填空1在随机信号处理中，当满足（样本数量足够大或者样本数量趋于无穷大）的条件时，时间平均和统计平均趋于一致。2在信号检测常用的四种准则中，（BAYES最小风险准则）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（先验概率）和（代价函数）这两个应用条件。3CRAMERRAO不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计的最小方差是（221LNDBXEF）。该不等式可借用FISHER信息量加以描述，请给出FISHER信息量的数学表达式（22LNLNXXJEFEF）。4一般采用（协方差函数或者自相关函数）和（偏相关函数）这两个统计量对AR/MA/ARMA三种模型进行识别如果（偏相关函数）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。5在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（低）（高还是低）频段频率。二推演题1某独立观测序列12,NX其均值为M，方差为2。现有两种估计算法算法A均值估计为11NM，算法B均值估计为21NNX请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）答算法A均值估计为11NNX，则11NNEM，2121NDMX，均值估计1M是无偏估计22212EXN算法B均值估计为21NNMX，则21NNEMM，2221NDEM均值估计2是有偏估计12所以，算法A比算法B更有效。2对于平稳POISSON随机过程XT，已知在任一区间中发生N个事件的概率为,0,1NNPXSNE。求的最大似然估计，并讨论该估计量的无偏性。（10分）答1函数ELIIINLNLLNIII01NNLDINI1（2）NEII1，所以该估计量是无偏估计。3设脉冲信号ST如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（8分）解先求ST的频谱01TJTJTJTASSEDEDEJ再取观测时刻T0T，则可得匹配滤波器的传输函数为001JTJTJKAHKEE因为抽样时间，为使延时最小，即T0T1JTKAHEJ此HW为匹配滤波器的传输函数，其中K为常数。匹配滤波器的冲击响应为,0HTKSTTAEL匹配滤波器的输出信号为02,0,0,TTTSSHTDAKOTTATOTKTT三问答题（共50分）1现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。答若独立同分布的随机变量序列,21,NX为一个随机过程，其均值为NXEM，方差为,2D，则由大数定律可知11LINPK大数定律表明，随时间N的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。答设TTX,为实值平稳过程，若它的均值为零，在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称XT为白噪声过程。（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。答白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。其应用举例可从广义匹配滤波器或者ARMA模型出发来举。（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么在信号处理分析中有什么特点答Q值（品质因数）定义0带宽/中心频率在小波变换中，小波基函数T的Q值0/；T/A的Q值保持不变00/A不论A为何值A0，T/A始终和T具有相同的品质因数Q。由于恒Q性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。答只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、GABOR变换、小波变换等。2与传统的数字信号处理相比，现代信号处理另一个最大的区别在于更多的关注信号之间的关系，如相关函数、功率谱密度函数、信噪比等，请回答下述问题（1）信噪比是衡量信号与噪声之间的能量差异的相对值，在通信系统、信号处理中被广泛使用，请给出至少两个实例，并加以分析讨论。SNR信噪比或PSNR峰值信噪比均可，但需要说明信号与噪声能量的定义，并举出相应的实例。（2）WIENER滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的数学模型对其加以描述。滤波器的理想输出为STA估计误差为ETSTAYT估计误差的平方为222ETSSTYT而YTHUXD代入上式，两边取数学期望，得到均方误差2,20XSXSEEVRUVHURDU其中，RSST的自相关函数，RXXTSTNT的自相关函数RS,XST和XT之间的互相关函数若信号ST和噪声NT不相关，且噪声均值为零，即ENT0，则有,XSNR维纳滤波就是希望求出最优HU，使得2EET最小。（3）自适应滤波器是利用误差信号调整滤波器的传输函数，从而达到系统最优。请从现代信号处理的角度出发阐述自适应滤波器系统最优的含义，并举例说明。答从信号处理角度，自适应滤波器系统最优的含义是误差信号最小，系统的输出信号与指导信号之间的“距离”最小。举例可举信道均衡/估计，系统辨识等。（4）功率谱密度是对时域自相关函数进行傅立叶变换得到的结果。请阐述在工程中对功率谱密度进行测量有何应用答（A），有些信号处理系统，需要预先知道信号的功率谱密度（或者自相关函数）。如维纳滤波器、MMSE算法。（B），若知道功率谱密度，可估计出线性系统的参数。用白噪声激励，通过功率谱估计FR。22YPH（C），利用功率谱密度，可从宽带信号中检测出窄带信号。（宽带噪声下的窄带通信系统）1、证明若相关矩阵的特征值1，2，3各不相同，则特征向量Q1,Q2Q3相互正交。证明设QI和QJ分别为相关矩阵R的特征值I和J对应的特征向量（IJ），则有RQIIQI两边左乘QJH，有QJHRQIIQJHQI又因为RQJIQJ，利用R的HERMITE对称性，其共轭转置为QJHRJQJH两边右乘QI，得QJHRQIIQJHQI所以有（IJ）QJHQI0由于IJ，故有QJHQI0IJ即当IJ时，特征向量Q和Q相互正交。2、简述最小二乘估计和维纳滤波的区别，以及何时二者具有一致性，加以证明。解答维纳滤波是建立在最小均方误差的准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需要满足的维纳霍夫方程。此准则需要输入信号的统计特性来寻找最优滤波。最小二乘估计是根据有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定思想，而维纳滤波使用统计思想。对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。证明过程维纳霍夫方程为0RWP其中，R和P分别是输入向量的自相关矩阵和互相关向量。分别为HEUNEUND在最小二乘估计中的确定性正则方程为HAB上式两边同时除以时间区间长度NM1，则11HAWBNMN在有限个观测样本时的时间平均估计值可表示为11NHHNMRUNPABDN因为U（N）是各态历经的平稳过程，且，当观测数样本数趋于无穷大时有1LIMNMR1LINMP也即，当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳霍夫方程。也就是说，最小二乘方法逼近维纳滤波。此时，二者具有一致性。3、已知输入信号向量UN的相关矩阵及数学期望响应信号DN的互相关向量分别为T45P,21R且已知期望相应DN的平均功率为ED2N30。（1）计算维纳滤波器的权向量。（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。解（1）根据维纳霍夫方程R0P得0R1P1（2）误差性能面的表达式为J（）2DPHHPHR最小均方误差值为将0代入上面的误差性能面表达式得JMIN2DPHHPHR2DPH0301416。4、请用C/C语言编写一个基2的FFT算法，要求能够输入N点的COMPLEX指针，和输出N点的COMPLEX指针。函数接口设定为FFTCOMPLEXINPUT,COMPLEXOUTPUT,UNSIGNGEDINTN答案INCLUDEINCLUDEINCLUDEUSINGNAMESPACESTD/求N的位数INTBITVERUNSIGNEDINTNINTM0WHILEN1NN/2MRETURNM/完成位的反转数/实现反转,将N的位数全部翻转过来UNSIGNEDINTREVERTBIT2UNSIGNEDINTN,INTBITUNSIGNEDINTTEMP0INTI0FORI0I1RETURNTEMP/DESCRIPTION一个自己写的FFTAUTHOR钟浩然信息学院山东大学ALLRIGHTSRESERVEDALGORITHM算法采用了基2的蝶形算法INPUTCOMPLEXX数据输入,N数据长度2,4,8,16,2的幂次长度为最佳OUTPUTCOMPLEXY计算结果输出/VOIDFFTCOMPLEXX,COMPLEXY,UNSIGNEDINTNINTNNINTLBITVERNINTM,K,JCOMPLEXPARAMETER,TEMPA,TEMPBDOUBLEPIATAN14/第一步做位数翻转和数据对调并且做一次基2蝶形FFTFORM0M1FORK0KQ。因此修正YULEWALKER方程可写作式1并且对C（K）的定义式CK）（）（Q0IKIHB两边做Z变换，并利用H（L）0,L0，T/A始终和T具有相同的品质因数Q。由于恒Q性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。答只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、GABOR变换、小波变换等。14、AR谱估计的基本原理是什么与经典谱估计方法相比，其有什么特点答（1）AR谱估计的基本原理是阶的AR模型表示为PPINUIXNX1其自相关函数满足以下YW方程取，可得到如下矩阵方程PM,210在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关函数，再利用以NXMRX上矩阵方程，直接求出参数及，于是可求出的功率谱的估计值。P,212NX（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点1）AR谱比经典谱平滑。由于AR谱估计是一个有理分式，因此其估计出的谱要比经典的平滑。2）AR谱的分辨率。经典的分辨率为，对应于采样频率，N为数据长度，AR2/K谱的分辨率比经典谱要高。3）AR谱匹配性质。随着阶数的增加，AR谱与真实谱就越接近。4）AR谱的方差。理论分析很困难，相对的讲，其方差反比于N和信噪比。5）AR模的稳定性可以证明，如果自相关矩阵是正定的，则有YULEWALKER方程求出的AR模型是稳定的。6）AR谱估计的不足01102PXXXXPR与信号的信噪比关系较大，信噪比低，则方差大，分辨率低。如果信号X（N）是含噪声的正弦信号，其谱峰易受X（N）初相位的影响，并且可能出现“谱线分裂”的现象。谱的质量受P的影响大，P取值小，则过于平滑，精度不够，P太大，则可能会产生虚假的谱峰。15、令未知的随机变量服从均匀分布，其概率分布为1,0FXX其他在无其他信息的情况下，用以常数做随即变量X的线性均方估计，求该均方估计。解有题可知，随机变量X线性均方估计等于其均值，故XEFD1D1/2所以X的线性均方估计为1/2。16、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳辛欣定理的主要内容。答1连续时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系XJXXRFDERSSJ212离散时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系MJMXJXERESDESMRMJXX2117、一随机信号的功率谱密度为（）5COS106若将这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果、最小相位系统（）的输出的功率谱，求该线性系统（）答首先，已知的功率谱可以改写为（）052JJEJ，则（）1052Z式右的多项式可以分解为以下四种形式1052ZH1052Z13052ZH14052Z在这四种线性系统中，只有线性系统的零、极点全部在单位圆内，是一个因果、最小相位系统。所以线性因果、最小相位系统（）为052Z18、什么叫线性时不变系统什么叫因果系统答案1具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。2对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。19、令T和T是满足下列差分方程的随机过程1，2,0TTUXTY1，2,0TU式中，且T和T互不相关，求T的功率谱。解计算的功率谱EZWJWX21取TY的延迟形式TUTXTYT于是有YT1TUTU由于TW和U不相关，所以和也互不相关，展开上式得TUTTYYYT112即21XYYRR上式两边同乘DEJW后，再积分，则有22XYJWJYE从而有22COS1XY222SJWE20、一零均值MA2过程满足下面的方程22013B012B021B试求MA参数,和。解由于对于零均值MAQ过程而言22010QBR0121QBBRQB故由题意知，MA2过程的自相关函数为03,2,1,0,2RK因此不难求得MA2过程的功率谱2123KKPZZZZ其因式分解为12PZ将这一结果与BZ比较可知12BZZ即012,B21、简述最小二乘法估计和维纳滤波的区别，并说明何时二者具有一致性。维纳滤波是建立在最小均方误差准则之上的，滤波器权向量所满足的条件为维纳霍夫方程。最小二乘是在最小二乘意义下的，应满足确定性正则方程。1二者的代价函数不同在维纳滤波中，代价函数是均方误差信号2JWEEN误差信号EN是一个随机过程，而代价函数则是误差信号的平均功率。在最小二乘估计中，代价函数定义为误差信号有限个样本的模的平方和，即2NNMJW将代价函数除以时间区间长度NM1，并不会影响滤波器权向量的求解。于是得到新的代价函数21NNMJE（误差信号样本数据的平均功率）如果EN是各态历经的的平稳随机过程，二者的代价函数相同。2维纳霍夫方程与确定性正则方程维纳霍夫方程0RWP最小二乘估计中的确定性正则方程为HAB两边除以时间区间长度NM1，则有11HAWBNMN，在有限个观测样本时的时间评均估计值可表示为11NHHNMRU和NPABDN如果随机过程UN是各态历经的平稳随机过程，那么，当观测样本数趋于无穷大时，有11LIM,LINMNMRP也即当观测根本趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳霍夫方程，或者最小二乘方法逼近维纳滤波。因此，可以认为，最小二乘方法是维纳滤波在有限个观测值时的时间平均近似；或者，当观测样本数趋于无穷大时，最小二乘方法将逼近维纳滤波。22、简要说明功率谱密度的4个性质并选择证明其中的两个。答案功率谱密度4个性质如下1、功率谱密度SW是以2为周期的周期函数，SWSW2K，K是任意整数。2、离散时间随机过程的功率谱密度是实函数。证明1110M,02REJMWJJMWMJWJWJMMSWRERERSWRRR将第二项中的换成，并利用得所以是的实函数。3、对于实随机过程，RM是实对称序列，功率谱密度函数满足对称性，即SWSW。4、离散时间随机过程的功率谱密度是非负的，即SW0。证明001|2Y2WY0Y0UNHNLTIHWYS|S11RDSDR0WYWSS，将通过冲激响应的离散时间系统，设输出随机过程的功率谱为则平均功率为当频率宽度时，由于频率是任意的，所以。23、一随机信号的功率谱密度为14COS25WW把此功率谱看作是被均值为零,方差为1的高斯白噪声所激励的线性因果,最小相位系统HZ的输出的功率谱,求该线性系统HZ解由题意,把已知的功率谱分解为020255JWJWJJEES令JWZE,则有10JWZEZ将关于的多项式分解为以下四种形式1025HZ1205Z13025ZH14025Z在这四种线性系统中,只有线性系统的零、极点全在单位元内,是一个因果、最小相位系统24、简述经典功率谱估计方法并简单比较其性能。答经典功率谱估计式给予传统傅里叶变换思想的估计方法，其中的典型代表有自相关谱估计法（BT法）和周期图法。周期图法对随机过程UN的N个观测值NUN直接进行傅里叶变换10NJNUE根据傅里叶变换的帕斯瓦尔关系，上式的模的平方是确定信号NUN的能量谱，对能量谱除以持续时间N，其结果应是NUN的功率谱估计，将其作为随机信号的功率谱的估计，表示为21PERSUBT法用时间平均估计UN的自相关函数RM10,1NNRMN根据维纳辛钦定理，对由上式估计得到的自相关函数R求傅里叶变换，可得功率谱的估计为1NJMJMBTMSRERE考虑到自相关函数在时为零，且在接近1N时性能较差，上式经常表示为,01MJMBTMSREN以此结果作为对理论功率谱的估计，因为这种估计方法估计出的的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以此方法又称为间接法。当1N时，周期图法和BT法是相同的，而当1MN时，BT法是对周期图法的平滑。25、经典功率谱估计的方法（BT法）和（周期图法）。26、设UN是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱S（0证明将UN通过冲击响应为HN的LTI离散时间系统，设其频率响应H（）为1,|0|输出随机过程YN）的功率谱为SY|H|2）（S输出随机过程YN的平均功率为0YR10DY21DS0）（当频率宽度0时，上式可表示为0SY由于频率0是任意的，所以有S（）027、试求功率谱密度为N0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其他HJWTEKH0解由上式得,20。输出功率谱密度为HINP20可见，输出噪声的功率谱密度在内是均匀的，在此范围外则为零，如图所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为图带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的自相关函数0R在处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率HFNK2028、的均值和方差。分别是和量，其概率密度函数为是一正态或高斯随机变题目XEXFXX221DWEPRJR2100FNKJFH20HQWFKSI02FOPOOROFHFHN02K0212FH12FHK0N0FH2。，方差是的均值为因此，随机变量（将上式代入下式得由方差的定义易知的导数，得求上式两边关于故，即数的面积都等于由于任一个概率密度函的均值，正态随机变量确实是即对称的函数，表明，是一关于首先，概率密度函数222222232E1,11,EXXDXEXDFXDEFXDXEDXFXXFX29、设UN0,UN1,UNN1为广义平稳随机过程UN的N个观测值，且设UNN其他时刻的值为零，则UNN可表示为其他,01NU对UN的自相关函数RM有两种估计算法算法A1M1MR0NNNN，算法BR10UN，请对这两种估计算法的估计性能进行讨论。答算法A当时延M0时，R均值估计可以表示为RNRMNUENMNNN110R的方差为222VAMRERRE最后可得R的方差为LLNLRMNL21对于固定时延M，是有偏估计，但当N时，R是对R的渐近无偏估计；对于固定的N，当越接近于N时，估计的偏差越大。由于自相关函数M是有限的，显然当N时，R的方差将趋近于零。所以，对于固定的延时，R是的渐近一致估计。算法B其均值为MRE若信号NU是零均值的实高斯随机信号，则R的方差为MLRLNLMRMNL21VA由此，可以看出，算法B给出的自相关函数的估计为无偏估计，当接近于N时，由算法B给出的估计方差很大，但当N时，R是RM的渐近一致估计。30、白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。答设T,XT为实值平稳过程，若它的均值为零，在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称XT为白噪声过程。31、若已知DFTXNXK，求解32、已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，,01,NNXAUHBUAB试用卷积法求网络输出Y解用卷积法求N，,MNYHXBUA0N，1100NNNNMMBYABA0Y最后得到1NU33、一个差分滤波器的输出为YNXNXN1,N1,2令XN的功率谱为1/1F2，试求差分滤波器输出YN的功率谱密度。解由题意知，系统的传递函数HZ1Z1,故2|2YX2HFZ11PFP|JFJFEJFE所以系统输出YT的功率谱密度为22YX2|F|1|JFFFE34、设系统输入随机过程XT,0,输入YT，0,，它们之间有下列关系TTYUDTDU，其中T为常数，试求当输入功率谱密度为XSFQ的白噪声时，求输出T的平均功率。解（1）求传递函数H当输入函数为冲击函数时，即T，输出函数为冲击响应TTTYUDTDUTT对上式做傅里叶变换得EXPHFSAFJFTSAF（2）求输出功率谱输出功率谱密度222YXSFHFSFQTSAF输出功率谱22222000SIN2YYTFQPFDFQFDDT35、一零均值MA2满足如下正则方程22013B012B021B试求MA参数01和。解由2200,10QQMKMKBBQRMM其中21。得出MA2的自相关函数为R03，R1R12，R2R21，RK0，|K|2。由此不难求出MA2过程的功率谱22123KKPZRZZZ其因式分解为122将这一结果和PZBZ比较，立即知12BZZ即0B1，11，2B1。所以MA2过程的MA参数为01，1B1，21。36、维纳滤波的设计思想是什么它与最小二乘估计有什么区别，并间述两者何时具有一致性。答维纳滤波的思想是，假定横向滤波器的输入和期望响应均为广义平稳随机过程，且已知其二阶统计特性，根据最小均方误差准则，求得最优滤波器的参数。维纳滤波器是建立在最小均方误差准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需满足的维纳霍夫方程。这个准则需要输入信号的统计特性来寻求最优滤波。但在实际工程中，通常只能获得有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计就是讨论怎样根据有限个的观测数据来寻找滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定性思想，而维纳滤波使用统计思想。对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。37、已知R01,R105,R205,R3025,试用SCHUR递归的简化算法求1，2。解首先构造矩阵0G（2501）第二行右移一位的0（5）得105。根据0G构造矩阵1（15）（5002）（3750275）第二行右移一位的1G（27）得21/3。38、设对信号XN进行预测建模时是用一种特殊的预测模型1PKXANK，为确定系数PAK，试推导出使均方预测误差2PEEN最小的正则方程，其中1PLENXXNLN，并给出最小均方预测误差的表达式。解取0PAK，即0PEEEEXKAKA代入1PLENXXNLN，得到10PLEALK则1,1,PLXNLNEXNKNP所以正则方程为1,1,PXXLARKLRNKP即11012220PXXXXPXXXXARNRRRRPRPRR最小均方误差表达式是MIN1110PPLPLPLPNEENANLNXEXLEENXENAXLEXLNN110LPXXLRARN39、已知输入信号向量U的相关矩阵及与期望响应信号DN的互相关向量分别为21R，54TP且已知期望响应DN的平均功率为230E。（1）计算维纳滤波器的权向量。（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。解1021243W2DHHJPWR2MIN2305416D40、离散时间的二阶AR过程由差分方程12XNAXNW描述，式中WN是一零均值、方差为2W的白噪声。证明的功率谱为21122COSCOS4XPFAAFAF解由AR过程的功率谱公式知2241WXJFJFPFAE（式1）式中2241JFJFAE2421JFJFJFJFAE24221211JFJFJFJFJFJFEAEE212COSCOS4AFF（式2）将（式2）代入（式1）中可得22112COSCOS4WXPFAAFAF证毕。41、举例说明卡尔曼滤波在信号处理中的应用答1卡尔曼滤波在维纳滤波中的应用。2卡尔曼滤波在雷达目标跟踪中的应用。3卡尔曼滤波在交互多模型算法中的应用。4卡尔曼滤波在数据融合中的应用。42、某独立观测序列12,NX其均值为M，方差为2。现有两种估计算法算法A均值估计为11NM，算法B均值估计为21NNX请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）答算法A均值估计为11NNX，则11NNEM，2121NDMXN，均值估计1M是无偏估计22212EXN算法B均值估计为21NNMX，则21NNE，2221NDEM均值估计2M是有偏估计12DM所以，算法A比算法B更有效。43、求信号0COSFN的希尔伯特变换FN，并验证解析信号ZJ是单边频谱。解011COSNKKFNK解析信号频谱ZFJFJHSGNSGN2F其中0显然，解析信号是单边频谱44、考虑有如下差分方程描述的二阶AR（2）过程U（N）U（N）U（N1）05U（N2）V（N）其中，VN是零均值、方差为05的白噪声。（1）写出该随机过程的YULEWALKER方程。（2）求U（N）的方差。（3）U（N）的功率谱解（1）改写方程格式为U（N）U（N1）05U（N2）V（N）YULEWALKER方程为01125UURR（2）22VUR（）（）（）（）12（3）21UARPJKKSAE2105JJE248J45、设随机序列，其中是两两互不相关的随机变量且,210,NXNX，序列被称作白噪声。验证白噪声序列是平稳序列。0NED解显然均值函数为常数，当时，因为不相关，所以0MN0,MNXEMNXEMNRX当02D所以，只是时间差的函数，序列是平稳的,X46、若序列XN为实因果序列，H01，其傅氏变换的虚部为H1EJSIN，求序列HN及其傅氏变换HEJ。解因为H1EJSINJ21EJEJNH0NEJH0N02/N21N1N1,HN10N其他0所以HNNN1HEJ1EJ47、在测试正弦信号SI4N的过程中叠加有白噪声VN,即测试结果为SIN4V设计一个长为N4的有限冲激相应滤波器，对XN进行滤波后得到，它与SN的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激相应。解已知SIN4，VN是方差为2V的白噪声，XNSNVN设HNH0,H1,H2,H3,XNXN,XN1,XN2,XN32TTTTVREXSENSN,1,2,3TPSNNS12SI,IIN,SI,INSI444VNH取N3,则21,0VN48、已知输入信号向量的相关矩阵UN及期望响应信号DN的互相关向量分别为54P且已知期望响应的平均功率为230E21RN1计算维纳滤波器的权向量2计算误差性能面的表达式和最小均方误差解维纳滤波器的权向量满足维纳霍夫方程因此12TOWRP误差性能面的表达式为2HHDJPWPRW22MINHODOODOJPR因此2IN5301304164DOW49、简述AR模型功率谱估计的方法答（1）根据N点的观测数据估计自相关函数，得，即NUN,01,2URMP10NUIRMN（2）用个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法1PAU（如LEVINSONDURBIN算法），求解YULEWALKER方程210100UUUPUUURRARRPR得到P阶AR模型的参数估计值和。12,PAA2（3）将上述参数带入AR（P）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式，即ARSW21|PARJWKKSAE50、简述LMS算法答（1）初始化，权向量估计误差0NA00EDD输入向量110TUUMU（2）对权向量的更新0,1NANNEW期望信号的估计11HD估计误差11ENDN（3）令，转到（2）51、设是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱密度UN0SW证明将通过冲击响应为的LTI的离散时间系统，设其频率响应为为HNH01,|HW输出随机过程的功率谱为YN2|YS输出随机过程的平均功率为0011WYRSDSD当频率时，上式可表示为0WY由于频率是任意的，所以有SW52、自适应滤波器的性能（1）失调量（2）计算复杂性（3）对时变统计量的跟踪能力（4）结构上高模块性、并行性等（是否适合硬件实现）（5）收敛速度（6）数值特性数值稳定性（对字长效应不敏感），数值精确性（7）鲁棒性对噪声干扰不敏感，小能量干扰只能造成小估计误差53、LMS自适应横向滤波器的基本原理（1）自适应数字滤波器的单位脉冲响应HN受误差信号EN控制（2）根据EN的值而自动调节，使之适合下一时刻N1的输入XN1，以使输出YN1更接近于期望的响应DN1，直至均方误差E2|NE达到最小值（3）YN最佳地逼近DN，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。54、设M10（一般M10可以满足大多数工程设计的要求）并设N10，问应该取多少次迭代数解01MSE140得MSE25按经验实际迭代次数应取100（10滤波器长度N）或取4MSE。55、（1）什么是平稳随机信号答概率分布不随时间推移而变化的信号，即平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。（2）判断随机信号是广义平稳的条件答1、XT的均值是与时间无关的常数M（X（T）C（C为常数）；2、X（T）的自相关函数与起始时间无关；3、信号的瞬时功率有限；56、已知信号的功率谱为，测量该信号时混入了加0361081108性噪声，测量数据为，式中，是均值等于零、方差等于1的白噪声，且与不相关。试设计一因果IIR维纳滤波器，由它对进行处理，以得到对的线性最佳估计。解（1）求测量数据序列的功率谱并进行谱分解（）（）（）2036108110812081081081108令2081082（11）（1）2（12）（112112）得联立方程2（12）21204解之得F2或05，取F05，则得28516故分解为2（