逆向思维再大学数学中的应用

河北工业大学毕业论文作者邢红锁学号070088学院理学院系专业信息与计算科学题目逆向思维方法在大学数学中的应用指导者刘辉昭教授评阅者2011年06月3日河北工业大学2011届毕业论文1毕业论文中文摘要题目逆向思维方法在大学数学中的应用摘要解决数学问题有很多种方法，其中有一种是把常规的思维方向倒过来，从已有思路的反方向进行思考，寻找解决问题的方法，称为逆向思维。论文首先介绍逆向思维在大学数学应用中的重要作用及研究逆向思维的重要意义；其次结合例题介绍了几种常见的逆向思维方法（反证法、分析法、剔除法、反例法、待定法以及定义、定理及公式的逆用）；最后给出了逆向思维在数学分析的几种典型问题中的应用，包括极限问题、连续问题、存在性问题、微分问题及积分问题。关键词逆向思维反证法可逆性数学分析河北工业大学2011届毕业论文1毕业论文外文摘要TITLECONVERSEIDEATIONAPPLIEDINCOLLEGEMATHEMATICSABSTRACTTHEREAREMANYWAYSTOAPPROACHMATHEMATICPROBLEMS,ONEOFWHICHISTHINKINGFROMTHEOPPOSITESIDEOFTHEORIGINALIDEAS,UPSIDEDOWNTHEDIRECTIONOFTHECONVENTIONALTHINKING,ANDTHENFINDASOLUTION,WECALLEDTHISCONVERSEIDEATIONFIRST,THISPAPERINTRODUCEDTHECONVERSEIDEATIONSSIGNIFICANTONTHEAPPLICATIONOFCOLLEGEMATHEMATICS，ANDTHEIMPORTANCEOFRESEARCHINGCONVERSEIDEATIONANDTHENWITHEXAMPLES,ITDESCRIBESSEVERALCOMMONWAYSOFCONVERSEIDEATIONCONVERSEIDEATION,MATHEMATICSANALYSIS,REJECTION,REVERSEEXAMPLE,DECISIONAWAITINGANDTHEREVERSEUSEOFTHEDEFINITION,THETHEOREMANDTHEFORMULAINTHELAST,ITPRESENTEDITSAPPLICATIONINSEVERALTYPICALPROBLEMSOFMATHEMATICALANALYSIS,INCLUDINGTHELIMIT,CONTINUITY,EXISTENCE,DIFFERENTIALANDINTEGRATIONKEYWORDSCONVERSEIDEATION,REDUCTIONTOABSURDITY,REVERSIBILITY,MATHEMATICALANALYSIS河北工业大学2011届毕业论文1目次1引言111逆向思维方法在大学数学中的作用112研究逆向思维的重要意义12逆向思维的典型方法221反证法222分析法523剔除法724反例法725待定法826定义、定理及公式逆用9261定义的逆用9262定理的逆用10263公式的逆用113逆向思维在数学分析中的应用1131用逆向思维解决极限方面问题1232用逆向思维解决连续性方面问题1433用逆向思维解决存在方面问题1734用逆向思维解决微分方面问题1835用逆向思维解决积分方面问题20结论23参考文献24致谢26河北工业大学2011届毕业论文11引言把常规的思维方向倒过来，从已有思路的反方向进行思考，寻找解决问题的方法，称为逆向思维。数学史上非欧几何的创立是逆向思维创立最成功的典范。逆向思维能够克服思维定势的保守性，它能帮助我们克服正向思维中出现的困难，寻找新的思路，新的方法，开拓新的知识领域，在探索中敢于离经叛道，大胆立异，因此逆向思维是一种创造性思维。11逆向思维方法在大学数学中的作用通常,人们思考问题时只注重已有的联系,习惯于常规的顺推思维定势,往往忽视了事物之间常常是互为因果的,具有双向性和可逆性,因而在思考问题时往往使思维受阻。逆向思维是根据一个概念、原理、思想、方法及研究对象的特点,从它的相反或否定的方面去进行思考,即是从已有思路的相反方向去思考问题。如考虑使用定义定理的反面,使用间接方法,考虑逆命题,考虑问题的不可能性,考虑常规方法的逆向使用等等。逆向思维有利于克服思维定势的保守性,可以帮助我们开阔思路,寻求新的方法,对解决问题往往能起到意想不到的结果。通过这几年对大学数学的学习，认识到研究这个问题的重要性。逆向思维方法在解决数学问题中应用广泛，特别是处理研究生入学等大型考试题目中的综合问题，反向思维能起到非常好的阶梯效果。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。对于逆向思维这方面的内容，我研读了一些关于数学分析中应用反证法及涉及到逆向思维的论文及文献，从中加深理解了一些方法、定理和概念；从而意识到逆向思维在大学数学中占有很重要的地位，本文以数学分析为主要研究对象，对一些典型的问题及方法做细致的分析及总结。让大家明白逆向思维在大学数学中的应用是十分普遍的，认识到培养逆向思维的重要性。12研究逆向思维的重要意义科学研究的方法尽管千差万别，但有一个通法，那就是将未知转化为已知，将复杂河北工业大学2011届毕业论文2的问题转化成简单的问题。数学的研究也基本按照这种方法，这是原则也是方向，违背了这个方向研究工作就会受阻，但在大方向不变的情况下，也常有“回头看”的逆向思维方式。利用正向思维很难或者根本无法解决的问题，逆向思维却可以帮助我们开辟新的解题途径，避开复杂的计算，使问题简化而得以顺利解决，在大学数学的学习中，按正向思维难以下手时，宜逆转思维方向，很多时候可以起到事半功倍的效果。同时我们还要让同学们知道，在平时多加强逆向思维的训练的重要性，逆向思维可以加强学科知识间的内在联系，有利于获得新知识。经常联系这种思维，可以提高学生分析问题和解决问题能力。2逆向思维的典型方法逆向思维不等同于我们平时所说的反证法，反证法是逆向思维的一种方法，但逆向思维同时还包括我们平时不太熟悉的分析法，剔除法，反例法，待定法及公式逆用等方法，本章我们介绍几种典型的逆向思维方法（也称反向思考方法）。21反证法反证法是从结论入手的一种逆向思维解题法，反证法是从否定结论开始推理，直至推得与已知条件或事实矛盾，这种例子很多。数学分析宜用反证法的总的原则是对所要论证的论题，若A则B，没有直接证明的根据，此时运用反证法证明，只需证明其反论题（若A则不B）的谬误即可。我们首先要明白关于反证法的几点讨论为什么用反证法怎么用反证法与什么内容相矛盾下面我们看几个例题例题1设函数X,FCAB,且01FF,证明NN,0,1NX,使得1NNFXFXN。分析对于解题的N找到具体的NX是不容易的；进而要保证每一个自然数N，均需找出与之对应的NX就更困难了。所以我们想到了反证法。其优点是只要树立一个否定的对河北工业大学2011届毕业论文3象，然后把它否定即可。证明由于1N时，10X即可，因此假定2N反证，假设命题不成立，即0NN，0,1X,则01FXFXN则01FXFXN及01FXFXN及2201FXFXN，1把0,1划分0N等份，小区间左端点分别为00,0,1,2,1KKXKNN,把上式代入1得010FFN,0012FFNN001,1NFFN，从而01FF,这与条件01FF相矛盾。故命题成立。例题240TAN,2,NNIXDXN则112121NINN，否则121NIN，而且2121NIN所以211212111NNNIINNNN但是21111NNNIINNN类似可以证明121NIN,使100|FXFX取20202|/2,XXXUX,使200|FXFX取230303|/,XXXUX,使300|FXFX取100|/2,NNNNXXXUX,使00|NFXFX依次下去得到NX且此数列满足河北工业大学2011届毕业论文5100|/2NNNXXXX,易知0LIMNNXX但显然有LIMNNFXFA，与条件矛盾。故FX在0X处连续,且由0X的任意性可知,FXCAB。用几个例题基本把逆向思维的反证法给了一个很好的诠释，从正面很难找到突破口，那么我们就从反面想问题，同时回答了上面三个问题我们解决的问题在一定的范围内成立，把这个范围记为，要解决的问题为12AAA,其对立面CAA，若肯定A有一定困难那可以否定CA也可以达到同样的效果。假定12CCCAAA成立，即0N，使0CNA成立，由此导出矛盾即可。与原题所给条件或解题过程中所做的假设一些简单的事实相矛盾。通过例子很容易得到这些结论。22分析法解题的目的是根据条件导出结论，我们最多的时候用的是正向思维，即从条件开始考虑；但当条件与结论的关系比较隐晦时，直接从条件到结论，常常因为方向不明而无从下手，这时候若从结论入手，问题往往会迎刃而解，分析法就是从结论入手进行推证，推得符合条件或者容易证明的命题，推证的每一步均可逆，是原命题得证的一种逆向思维解题法，如著名的拉格朗日（LAGRANGE）中值定理的论证，其辅助函数的构造，就是用此法推得。例题4证明LAGRANGE中值定理，若函数满足（1）在闭区间,AB上连续，（2）在开区间,AB上可导，使得FAFBFBA。分析当FBFA时，LAGRANGE中值定理就是罗尔定理。这说明罗尔定理是LAGRANGE中值定理的特例，自然会想到是否可以引用罗尔定理去证，应构造一个符合罗尔定理条件的辅助函数。我们将要证的结论写成河北工业大学2011届毕业论文6,FAFBFABBA0,即0,XFBFAFXXABBA不妨把方括号内的式子看作一个函数，令FBFAFXFXXBA，于是要证明的结论可归结为在,AB内至少存在一点，使得F0，由此即可得到定理的证明。例题5数列NX满足1211112,NNXXXXX求极限LIMNNX。分析该数列不单调，直接求极限有一定的难度，猜想若极限值已经知道，记0X，则0X应满足那些条件和规律通过这些规律进一步了解NX的形态，易知0012XX。解运用数学归纳法可证明0NX,取012X，则0X满足0X201X，则0110102101011111|22|22NNNNNNXXXXXXXXX即01010|,2NNXXXX,使得T0解利用级数收敛的必要条件考虑正项级数112NNNNNUA则有111222LIMLIM/NNNNNNNUNNUAA2122LIM01NNNNNA时，有1111NNNNAANA时此式均成立，即211212NNAAANNN相矛盾，故原命题成立。此题如果用一般的方法很难找到突破口，这时候我们应当想到反证法，反证法是逆向思维的典型方法，在思维在正方向不能解决问题时，会给你一个惊喜。我们在看一看关于函数极限的例子。例题2证明222LIM22XXXX解对于任意给定的0,考察222|2|2XXX时222224|42XXXX把右边的式子适当的放大，得到当X|4时22|42|41|2|2XXXXX，且将,AB二等分，分点为2AB，02ABF，则取11,AB为两区间之一，使得110FAFB2LIM0NNNAB30NNFAFB由闭区间套定理,NNCAB，NNACB，LIMLIMNNNNCAB，由0FC，可以得出0FC或0FC，因为FX在C点连续，由局部保号性，可知使得,XUC，有0FX另一方面，由闭区间套定理推论，当N充分大时，有河北工业大学2011届毕业论文15,NNABUC这与1矛盾，可知假设不成立，得证。康托定理的证明运用了反证法，下面是康托定理及运用反证法的证明过程。定理2闭区间,AB的连续函数FX必定一致连续。证明采用反证法，假设函数FX在,AB上非一致连续，也就是说，存在这样的00，对于任何数0，在区间,AB内至少存在两点11X及21X，虽然1211|XX且FX为单调递增函数，所以介于0FX与00FX之间的值无法取到，这与FX可取到FA，FB之间的一切值相矛盾，所以0FX在,AB上连续。通过以上定理和问题的证明可以知道，运用逆向思维是非常方便和实用的一种数学河北工业大学2011届毕业论文17方法。函数的连续性问题在数学分析中是非常重要的，如果你在遇到这样的问题时候，如果正常的方法解决不了时候，我们可以尝试一下用逆向思维。33用逆向思维解决存在方面问题存在性问题是我们经常性的问题，不管是在生活中，还是在学习过程中，经常碰到这样的问题，在数学分析的学习过程中，我们也经常碰到存在性的问题，下面我们通过几个例题说明逆向思维方法在解决存在性问题的方便之处。下面我们看几个例题。例题4设FX，GX均在,AB上连续，在,AB内可导，且对于,XAB，FXGXFXGX,又知FX在,AB有两个零点1X，2X，证明0,XAB，使得00GX。证明假设不存在这样的0X，即12,XXXAB,有0GX,故可构造辅助函数12,FXFXXXXGX。因为120FXFX，所以，由洛尔中值定理得12,CXX,使得0FC,即20FCGCFCGCGC（）（）（）（）（），这与条件FXGXFXGX矛盾，所以0,XAB，使得00GX。例题5假设FX，GX为有界闭区间,AB上连续的函数，且有数列,NXAB，使1,1,2,NNGXFXN，证明至少存在一点0,XAB使得00FXGX。分析本题可以直接证明，也可以用反证法证明，下面我们用反证法证明。证明假设不存在这样的点，根据连续函数的零点定理，0FXGX及0FXGX。FXGX作为,AB上的连续函数，存在最小值，当0时，证完。故设0，所以0,FXGXXAB,。由条件得河北工业大学2011届毕业论文181121,NNNNFXGXFXGXFXGX把上述式子相加并整理得112NNKKKFXGXFXGX所以112|1NNKKKFXGXFXGXN因此当N，有1NFX，这与,FXCAB相矛盾，故0，即存在FXGX成立的点，证完。例题6设函数FX在,上连续，且FFXX，证明这,至少有一个点0X满足00FXX。证明假设结论不成立，则FXX及FXX1式1表明函数值恒大于相应自变量，故当FX作为自变量时也应有FFXFX，结合条件FFXX，得XFX，这与1相矛盾，故命题成立。存在性问题是数学分析的典型题型，如果在遇到此类的问题，如果正面无法回答时候，我们应当想到运用逆向思维解决，并且在平时应多运用此类方法。34用逆向思维解决微分方面问题在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。解决微分问题有很多方法，下面介绍一下怎么用逆向思维在解决微分问题。下面用逆向思维证明一个微分方面的定理。河北工业大学2011届毕业论文19定理3已知XFXGX在,AB上有二阶导数且“0X,则有0XAXB（）及0PAX（）以及0PBX，0PX，这样就得到一个矛盾的结果0PX，则0PX，故当AXB。例题7证明方程330XXC在0,1内不含两个不同的根。证明用反证法在0,1内含有两个不同的根12,0,1XX，且12XX，不妨设12XX，则21BBAAFXDXDXBAFX。证明设D为矩形,AXBAXB，把FX视为D上的函数，于是，11BBBBAAAADDFXFYFXDXDXFXDXDYDXDYDXDYFXFYFYFX从而12BBAADDFXFYFXDXDXDXDYDXDYFXFYFX河北工业大学2011届毕业论文22222222DDFXFYFXFYDXDYDXDYDBAFXFYFXFY所以21BBAAFXDXDXBAFX。（D为D的面积）积分问题在大学数学的学习中是非常重要的，而解决积分问题时，可以试试逆向思维，对常规方法是逆向应用是比较好的尝试，有时候给我们带来意想不到的方便。河北工业大学2011届毕业论文23结论通过以上详细的介绍和引用典型的例题和定理的证明，并结合我大学数学学习的一点体会，可以得到一下的结论。1逆向思维是有别于一般的思维方式，简言之，就是反过来想，它与正向思维相反。在解决问题是，“顺推”有时困难，我们可以考虑“逆推”，有时候会起到意想不到的效果。2我们讲的逆向思维方法跟我们平时常常用的反证法有区别的，反证法是逆向思维的一种方法，逆向思维不仅包括反证法，还有分析法、剔除法、剔除法、待定法以及公式和定理的逆用等方法。逆向思维在我们平时解题时应用相当广泛。3逆向思维在大学数学中的应用是是十分广泛的，我们平时解题时，如果用正常的思维不能够解决时，我们可以想到逆向思维方法。但是，我们必须对原有知识有了相当熟悉的时候，这时候，不仅能够加深理解知识，还能够丰富自己的思路。4我们应当在今后的学习中培养这种思维，我们知道培养我们是逻辑推理能力是非常重要的，而逆向思维的培养是十分重要的，我们所说的逆向思维能力就是由果索因、知本求源，从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。经常训练可以提高我们的解题能力。河北工业大学2011届毕业论文24参考文献1李克，关于定积分中间值问题的讨论，大庆师范学院学报，2006年第26卷5期10122李静，张东升，关于数学中逻辑证明的探讨，阜阳师范学院学报自然科学版2002年第2期61713张明慧张婷婷，浅谈“逆向思维”解题法在数学分析中的应用，科教文汇下旬刊2009年第06期115118页4张敏，数学分析中导数知识的数学思维方法，宁德师专学报（自然科学版）2010年3期285287页5殷堰工，数学分析中的反证法，南都学坛自然科学版，1990年3期，67706傅湧，数学分析中的逆向思维方法，宜春学院学报，2003年2期1151197韦兰英，谈逆向思维在数学分析解题教学中的应用，南宁高等专科学院学报，2002年01期6264页8黄强联，谈数学分析教学中逆向思维能力的培养，贵州教育学院学报（自然科学版），2006年2期，13页9李福兴，探讨逆向思维及其在数学分析中的应