自动控制原理修订版习题答案北京工业大学出版社

第2章习题及解答21已知电网络如题图所示，输入为UT，输出为，试列写微分方程。ITUOR2CUIUOR1R2UIR1CLUOAB习题21题解（1）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为211TUTIRTIRIR2CUIUOR1I2I1I21TITITI01211DTTICTIR2TUTIRO化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微分方程为,21TITITITUOTUIDDDD2212121TURTTUCRRTURRTTUCRRIIOO可简写为2212121TURTUCRRTURRTUCRRIIOO（2）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为111TUDTTICTIRIR2I1R1CLUOI2IUI21TITITIDTTICTIRDTTDIL1122222TUTIRO化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微分方程为,21TITITITUOTUI221211TURTURRTUCRRLTULCRIOOO解毕。122电磁铁的磁拉力计算公式为FXISNIX,0224，（单位N）式中，0为空气导磁率，S为磁极面积，N为激磁绕组匝数，I为激磁电流，X为气隙大小，求出FXI,的线性化方程。题解由于磁拉力FXI,为电流I和位移X的双元函数，在工作点邻域，其泰勒级数展开式为,000IXF,000000000IIIXFXXIXFIXFIXFIIXXIIIXXX2020,21,210000IIIXFXXIXFIIXXIIIXXX忽略二次以上各项有,000000000IIIXFXXIXFIXFIXFIIXXIIIXXX令,000IXFIXFF00,IIXXXXIXFK302002XNIS00,IIXXIIIXFK200202XISN0XXX0III则有磁拉力增量式IKXKFIX将增量式写为一般函数表达式有IXISNXXNISIKXKFIX200203020022解毕。23求下列时间函数FT的拉氏变换。FS（A）FTTCOS0515（B）TTFT314COSE20（C）35SINTTF（D）TTTF32E题解2（A）FTTCOS0515由定义或者查表255122515022SSSSSSF（B）TTFT314COSE20由于22314314COSLSST应用拉氏变换的衰减定理有203144020314202022222SSSSSSF（C）FTTSIN53由于TTTTT5COS235SIN215COS3SIN5SIN3COS35SIN所以25528660523552122222SSSSSSF（D）TTTF32E由于322STL应用拉氏变换的衰减定理有332SSF解毕。MATLAB语言求解（A）FTTCOS0515SYMSTF051COS5TFLAPLACEFF1/2/S1/2S/S225（B）TTFT314COSE20SYMSTFEXP02TCOS314TFLAPLACEFFS1/5/S1/52985963（C）FTTSIN53SYMSTFSIN5TPI/3FLAPLACEFF1/2S31/25/2/S225（D）FTTET23SYMSTFT2EXP3TFLAPLACEFF2/S33解毕。424求出题图所示时间信号FT的拉氏变换FS。T00FTTT0/0FTTA半波正弦M0FTTMT占空比T02000K012010203040ZKMATLAB程序取05，则K0，1K0以及2K1K0，解出01112K满足上述条件时系统的时间响应为等幅振荡型。其关系曲线如图所示。代入特征方程解出振荡频率为11012MATLAB仿真程序令08时，有K3，2236NUM33DEN1079954IMPULSENUM,DEN单位脉冲响应曲线ROOTSDEN求特征值ANS0000022361I等幅振荡频率22360000022361I08000仿真曲线如图所示。系统另外有一个单根分量，在T5秒之后，该分量衰减至零，系统为等幅振荡运动。解毕。30312题图所示系统，开环传递函数中的因子S1作严格对消与不严格对消时，判别系统的稳定性。RSCSKSS1SS11习题312题解严格对消时，闭环传递函数为KSSKSGC2闭环特征方程为02KSS当增益K大于零时，系统总是稳定的。不严格对消时，设抵消后的余因子为S1，（1）如果余因子在分子上，则开环传递函数为11SSSKSGO闭环传递函数为KSKSSKSGC112闭环特征方程为012KSKS由于二次三项式的系数有负值，系统是不稳定的。（2）如果余因子在分母上，则开环传递函数为11SSSKSGO闭环传递函数为KSSKSGC3闭环特征方程为03KSS多项式缺项（2次项系数为零），系统是不稳定的。因此，只要是不完全抵消，系统就是不稳定的。所以，控制对象如果在S的右半平面有极点时，简单采用抵消法是不允许的。解毕。313已知某控制系统如题图所示，内环为正反馈，反馈系数为KS，KS0，是不稳定的，在反馈的基础上增加前向通路比例微分控制时，系统可以稳定，试确定（1）系统稳定时，PD控制器参数KTCC,的取值条件；（2）当正反馈系数KS08时，要求系统阶跃响应的超调量MP163和过渡时间TS08秒，试确定PD控制器参数KTC,C的取值。31CSRSKSKCTCS121S习题313题解（1）闭环传递函数为12SCCCCCCKKSTKSSTKSG闭环特征方程为02SCCCKKSTKS如果系统稳定，应有SCCCKKTK0（2）KS08时，闭环传递函数为8012CCCCCCKSTKSSTKSG由MP163和TS08秒，计算出1050N由于0100102222SSSSNN比较系数解出1008010CCCKTK09908100CCTK系统的闭环传递函数为100108100102SSSSGCMATLAB仿真程序NUM101008DEN110100STEPNUM,DEN仿真结果如图所示。由于闭环零点的影响，实际的阶跃响应的超调量稍大。作为比较，作没有闭环零点的阶跃响应曲线如图。解毕。32314温度计的特性可以用一惯性环节1TS1来描述。将某种温度计置于一恒温水槽内，约在一分钟时，温度计的指示值达实际值的98。如果将水槽以10C/MIN的速度升温，试计算该温度计的稳态指示误差。题解由于在一分钟时，温度计的指示值达实际值的98，所以604TTSS则有154/60TS温度计特性为11511115STSSGT水槽以10C/MIN的速度升温时，相当于加斜坡信号输入，即TSCTCTR/6010MIN/10误差为1SGSRSCSRSE11515160102SSS所以稳态误差为CSSSSSESESSSS521151516010LIMLIM200解毕。315设单位反馈系统的开环传递函数如下，分别计算系统的静态位置误差系数KP，静态位置误差系数K，静态位置误差系数，并分别计算当输入为VKARTT21、RTT2、RT时的稳态误差。T22（A）GSSS505161（B）GSKSSS05141（C）GSKSSSS24540（D）GSKSSSSS214121022题解（A）GSSS50516150LIM0SGKSP0LIM0SSGKSV0LIM20SGSKSA3312TTR时，512211PSSKERT2T时，VSSKE1RTT22时，ASSKE1（B）GSKSSS05141LIM0SGKSPKSSGKSVLIM00LIM20SGSKSA12TTR时，011PSSKERT2T时，KKEVSS221RTT22时，ASSKE1（C）GSKSSSS24540LIM0SGKSP200LIM0KSSGKSV0LIM20SGSKSA12TTR时，011PSSKERT2T时，KKEVSS40021RTT22时，ASSKE1（D）GSKSSSSS214121022LIM0SGKSPLIM0SSGKSV10LIM20KSGSKSA3412TTR时，011PSSKERT2T时，01VSSKERTT22时，KKEASS4041解毕。316带有扰动信号输入的控制系统其结构图如题图所示，输入信号为RTRT，扰动作用为NTNT1，RN,为常数，NSCSRSKSTS221KTS111习题316（1）试计算系统的稳态误差。（2）系统的环节增益K、K均为可调参数，但是其约束为12KKKM12，为了减小系统的稳态误差，应如何调整增益K、的值。1K2题解（1）应用叠加原理求解输入信号为RTRT时，令扰动作用为零。系统为I型系统，稳态误差为21KKRESSR扰动作用为NTNT1时，令输入信号为零，其误差为1LIMKNCENTSSN所以稳态误差为212121KKNKRKNKKREEESSRSSRSS（2）由于约束为KKKM12，令最大为21KKMKKK21，令分子02NKR则有NRK2，MKKK211可使系统的稳态误差最小。解毕。35317已知二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。0246105005115093108二阶系统为01220122ASASABSBSBSG已知系统参数1,2,0211AAB及阻尼参数3160，试确定其它未知各参数的值，并写出确定参数后的传递函数。SG解1由于稳态值为05，由LIMTCCTLIM0SCSS501LIM00012201220ABSASASABSBSBSS所以有0050AB2由于初值为1，由LIM00TCCTLIMSCSS11LIM202101220122112BSASASABSBSBSBAAS所以有12B3由于及阻尼参数21A3160，因此有无阻尼振荡频率16310N因此有1020NA4得到510505000AB系统为102522SSSSG解毕。318已知二阶系统的单位阶跃响应曲线如题图所示,试根据响应曲线写出传递函数。SG360510531TCT习题31837第4章习题及解答41设系统的开环零、极点分布如下图所示，试绘制相应的根轨迹草图。习题41题解应用MATLAB语言求解该题。20220220221012（A）（B）24（C）（D）36505642024505642024（E）（F）505505505642024（G）（H）42设系统的开环传递函数为（1）150201SSSKSGG（2）102222SSSKSGG（3）1365121SSSSKSGG试绘制控制系统的根轨迹草图。题解（1）150201SSSKSGG1、起点SSTART02,05,1，终点S,。2、实轴根轨迹0205，1。3、分离点S108（舍去），S20334、渐近线夹角180,60031218012180KMNK37交点5700315020MNZP5、虚轴交点将JS代入特征方程2101221012010GK807123SSS26189440GKJ得到作根轨迹图如图所示。MATLAB作图程序N1DCONV102,CONV105,11RLOCUSN,D（2）102222SSSKSGG1、起点SSTART13I,13I，终点S2,2、实轴根轨迹2,。3、分离点由21022SSSKG，0GKDSD，505642024解出SI151623，SI211623（舍去）4、出射角由幅角条件121801022ARG2KSSSKG有1218031ARG31ARG2ARG31KJSJSSJS即902ARG1218031SKJS6161根轨迹为圆轨迹如图所示。MATLAB程序N12D1210RLOCUSN,D（3）1365121SSSSKSGG1、起点SSTART1,5,32I,32I终点S,。2、实轴根轨迹1,5。3、渐近线夹角135,450412180K，交点304651384、分离点64202505由于136512SSSSKG由0GKDSD，解出S3（3重根）5、虚轴交点S3I6、出射角90MATLAB程序N1D111D215D31613DCONVD1,CONVD2,D3RLOCUSN,D解毕。43设控制系统的结构图如题图（A）、（B）所示。图（A）中KS为速度反馈系数，试绘制以KS为参变量的根轨迹图。图（B）中为微分时间常数，试绘制以为参变量的根轨迹图。RSCS210SSKSSRSCS210SS1S（A）（B）习题4350564202424题解（A）单位反馈系统的开环传递函数为SKS10SSSGO2102由1102102SKSSSGSO参量的等效开环传递函数为SK10SS2102SSKSGDO令，作根轨迹如图所示。SGKK10（B）单位反馈系统的开环传递函数为2110SSSSGO由12110SSSSGO作参量的等效开环传递函数为102102SSSSGDO令10GK，作根轨迹如图所示。解毕。3944设系统的开环传递函数为841102SSSSKSGG试分别绘制负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图。题解（1）负反馈1、起点SSTART22I,22I,1，终点S10,。2、实轴根轨迹110。3、分离点S1142715，不在根轨迹上，不是分离点（正反馈根轨迹的会合点）S21614311481IS31614311481I均不是重根点所以，负反馈根轨迹无分离点。4、渐近线夹角902180交点5221022221JJ5、虚轴交点将JS代入特征方程，得到010812523GGKSKSS4107334GKJ6、出射角由幅角条件有1218084ARG1ARG10ARG222KSSSSJS5312901ARG10ARG1218022JSSSSKI作根轨迹如图所示。（2）正反馈由于正反馈根轨迹与负反馈根轨迹在S平面上是互补的，许多计算可以由互补特性计算得出。1、起点与负反馈相同。SSTART22I,22I,1，终点S10,。2、实轴根轨迹实轴段互补，10，1,。3、分离点S1142715，在根轨迹上，是会合点。4、渐近线不用计算。5、虚轴交点将JS代入特征方程，得到010812523GGKSKSS800GK6、出射角由互补特性得到47167180IISS40根据互补特性将正反馈根轨迹作出。由MATLAB作图工具作根轨迹图如图所示2002020100102020020201001020（A）负反馈（B）正反馈MATLAB语言程序（A）负反馈（B）正反馈NUM110NUM110DEN15128DEN15128RLOCUSNUM,DENRLOCUSNUM,DEN解毕。10010105051045设非最小相位系统的开环传递函数为5SS20101SKSGO试绘制该系统的根轨迹。题解该系统是非最小相位的，因此需要绘制正反馈的根轨迹。将开环传递函数写为52520250SSSKSSSKSGZOKKZ521、起点0,5，终点2，2、实轴根轨迹实轴段与负反馈根轨迹互补，5,0，2,。3、分离点S1574不在根轨迹上舍去，S2174是分离点。4、渐近线实轴，不用计算。5、虚轴交点将JS代入特征方程，解出0252GGKSKSW550K101/2101/20根轨迹是个圆，根据上述计算作根轨迹如图所示。MATLAB程序NUM051DEN0210RLOCUSNUM,DEN根轨迹图如图所示。41解毕。46延迟系统的开环传递函数为（1）11SKESG（2）2,502PPSSKESGS试绘制该系统的根轨迹。题解（1）11SKESG此题可以直接由闭环特征方程解出。闭环特征方程为01SKE由1SKE1001042024K1,INFK0,1幅角条件为12K特征根的虚部为恒值。幅值条件为1SKE特征根的实部为K的函数，根轨迹为直线如图所示。（2）2,502PPSSKESGS将参数代入，开环传递函数为2502SSKESGS1、起点，终点有限起点S0,2，无限起点（无穷多个）有限终点无，无限终点（无穷多个）2、实轴根轨迹0,23、实轴分离点由0250SESSDSDDSDK解出S10764S252361（舍去）4、渐近线由于延迟环节的多值性，当为定值时K0时，有12502250KSSKEJSS，所以渐近线为4122K，,4,237K，有1250250KSSKEJSS所以渐近线为,6,2,122K5、虚轴交点特征方程为02502SKESS将JS代入方程，求得W0,K0,W172,K454,W1287,K16774,作根轨迹草图如图所示。解毕。J4J2J6J2J4J620JMATLAB作图MATLAB中延迟环节可以由PADE近似展开为N阶模型，取阶数2，作图如下N1,D1PADE05,2N1002020242509699D1002020242509699N21D2120NCONVN1,N2N002020242509699DCONVD1,D2D002020282914549193990RLOCUSN,D3810505101050510主周期根轨迹的形状与准确根轨迹基本相似，近似程度较好。505505解毕。47设非最小相位系统的开环传递函数为16412SS1SSSKSGG试绘制该系统的根轨迹，并确定使闭环系统稳定的KG范围。题解根据作图步骤，作出根轨迹如图所示。39由劳斯判据计算临界增益，特征方程为016123234KSKSSS劳斯表S4112KS33K16S212K16/3KS112K16/3K163K/12K16/3S0K解出K259K8320K1233153K2356847所以系统稳定的增益取值为23315316/3时，根轨迹无分离点（2）时，根轨迹有一个3重分离点。3/16A（3）时，根轨迹有一个分离点与一个会合点。3/1642时，及TT12题解由MATLAB语言工具求解。（A）GSTS1，T10及T01时；MATLAB程序NUM1NUM1DEN100T10DEN010T01BODENUM,DENBODENUM,DEN1011001014020010110010191908910110010102040101100101919089（B）GSTSTS1211，TT12时，及TT1210310210110010110001001031021011001014002000设T105，T25，T350，K10N10DCONV051,CONV51,50,1BODENUM,DEN解毕。55作出下面传递函数极坐标图的草图。（A）GSKTSTS1211（B）GSKSTS1（C）GSKTSSTS1211，TT122时，及TT122时；设K10，T101，T22及设K10，T101，T22402002001000100200W010110W010110N10011N1021D2100D01100NYQUISTN,D,WNYQUISTN,D,W100200100200解毕。5156已知最小相位系统的对数幅频特性如题图所示，试写出传递函数。0DB/DECDB0L22020DB/DECDB0L220200ABDB0L103162040DB0L103162040CD习题56题解（A）传递函数为15010SSG（B）传递函数为105050SSSG（C）设传递函数为1TSSKSG由于10631LOG40LOG2010K，解出100K。时间常数为10110T，均代入设定式得到110100SSSG（D）设传递函数为21STSKSG由于DBK0LOG20102，解出100K。时间常数为031601631T，均代入设定式得到2103160100SSSG解毕。57设开环系统的极坐标图如题图所示，其中，P为S的右半平面上开环根的个52数，为开环积分环节的个数，试用奈氏稳定性判据判别系统的稳定性。1IMREGJP001P021P021P03（A）（B）（C）（D）1P111P011P101P10（E）（F）（G）（H）习题57题解（A）P0,0，稳定条件角度增量为0。图中曲线角度增量为3/2，所以系统是不稳定的。（B）P0,2，稳定条件角度增量为0。由于2，在无穷大半圆处作角度为2/2的增补线后，曲线的角度增量为0，所以系统是稳定的。（C）P0,2，稳定条件角度增量为0。由于2，在无穷大半圆处作角度为2/2的增补线后，曲线的角度增量为3/2，所以系统是不稳定的。（D）P0,3，稳定条件角度增量为0。由于3，曲线起于第二象限。在无穷大半圆处作角度为2/32/3的增补线后，曲线的角度增量为0，所以系统是稳定的。（E）P1,1，稳定条件角度增量为P。由于1，在无穷大半圆处作角度为2/的增补线后，图中曲线的角度增量为，所以系统是不稳定的。（F）P0,1，稳定条件角度增量为0。由于1，在无穷大半圆处作角度为2/的增补线后，图中曲线的角度增量为0，所以系统是稳定的。（G）P1,0，稳定条件角度增量为P。图中曲线的角度增量为，所以系统是稳定的。（H）P1,0，稳定条件角度增量为P。图中曲线的角度增量为0，所以系统是不稳定的。解毕。58已知最小相位系统的开环对数幅频特性如题图所示，试计算开环增益K与开53环截止频率C的值，并写出开环传递函数。38DB212C101000DB210DB24DB12C（A）（B）习题58题解（A）初始斜率为1，有一个积分环节。按照各转折频率从小到大的顺序与转折的方向，设定系统的传递函数为1010105011SSSSKSG由于DBK38LOG202，解出系统的开环增益为160K由于DBC38210LOG4010LOG20，解出系统的开环截止频率为731C1/S系统的开环传递函数为1010150110160SSSSSG（B）初始斜率为2，有两个积分环节，一个转折频率。设定系统的传递函数为2150SSKSG由于DBK4LOG2022，解出系统的开环增益为346K由于DBC42LOG20，解出系统的开环截止频率为173C1/S系统的开环传递函数为2150346SSSG解毕。5459最小相位系统的开环频率特性如题图所示，（A）试写出开环传递函数；412330100DB习题59（B）用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。题解（A）设两个积分环节，一个一阶微分环节，三个一阶惯性环节重叠，传递函数为311SS230131SKSG由于310LOG20LOG2032K，解出开环增益为30K则传递函数为32130113130SSSSG（B）用奈氏判据判别闭环系统的稳定性计算系统的相位裕度，由于开环截止频率为C10，所以有1010301ARCTAN331ARCTAN180CCCCC162则系统的相位裕度为18180CC相位裕度大于零。另外，180，则系统的幅值裕度为，所以系统是稳定的。GL解毕。510已知单位反馈系统的开环传递函数为GSKSSS1011试计算（A）使得开环系统的幅值裕度LG为20DB的增益K值，（B）使得开环系统的相位裕度C为60的增益K值。题解（A）计算相位角为180时对应的频率，由幅角式18010ARCTANARCTAN90对应频率为23180令增益K1，计算C32时的增益为DBAL2023LOG2023551011001011022000200GM2083DB,W3162PM474DEGW07844101100101102090180270360则幅值裕度为DBLLG2023即增益K1时，幅值裕度就满足要求。MATLAB仿真程序N1DCONV11,0110MARGINN,DGM,PMMARGINN,DLG20LOG10GMLG208279DB（B）计算相位角为120时的频率，由幅角式12010ARCTANARCTAN901021011001011020901802703601021011001011021000100GM01843DB,W2983PM03322DEGW3015对应频率为50120当K1，05时的增益为DBLK6501所以使得开环系统的相位裕度C为60的增益K值为50206LOG1DBDBK解毕。511已知单位反馈系统的开环传递函数为GSKSSSS10110112作该系统的波德图草图，并由奈氏判据确定使系统临界稳定的增益K值。题解使用MATLAB语言求解。令增益K1。MATLAB程序NUM101DEN0111100MARGINNUM,DEN从图上读到幅值裕度为LG01843DB，系统不稳定，所以临界稳定的增益为97902018430LOG1DBDBKL解毕。56512已知某控制系统如题图所示，试计算系统的开环截止频率C和相位裕度C。RSCS21S17150S721C0DB习题512题解方法1在折线波得图上计算。作折线波得图如图所示。由7LOG2050LOG2072C得到147C5745180CC由计算结果可知，有折线误差。方法2直接由公式作解析计算。频率特性711502JJJGO由定义1711502COJJJG01011001011021000100GMINFDB,WNANPM5223DEGW9036得到039C76127C2352C方法3使用MATLAB语言求解。令增益K1。MATLAB程序NUM50/750DEN100MARGINNUM,DEN从图上读到截止频率为C9063相位裕度为C5223解毕。57513已知非最小相位系统的开环传递函数为GSHSKSSS11，试由频域稳定性判据判别闭环系统的稳定性。012505题解令K1作奈氏图。NUM11DEN110NYQUISTNUM,DEN由奈氏图可知，曲线的幅角从270单调减至450。系统为I型系统1，在无穷大半圆处作角度为2/的增补线后，曲线的角度增量为，不为零，所以系统是不稳定的。解毕。514已知最小相位系统的开环传递函数为21STSSG，分别由折线波德图和准确波德图,确定相位裕度C为45时参数T的值。解令T1做折线波德图。112112C1AB由于1351ARCTAN1801所以。因此折线波德图时，T1如图A所示。45180,1CCC当T1时，准确波德图如图B所示，所以有45,1CC2120LOGDB31LOG202解出1891241C，因此8401CT如图B所示。58515最小相位系统的开环对数幅频特性如下各题图所示，1试分别写出题中系统I与系统II的稳态性能，并确定两系统稳态性能的优劣；2试分别写出题中系统I与系统II的动态性能，并确定两系统动态性能的优劣。120DB系统II系统I36126DB12120DB系统II系统I3612BA120DB系统II系统I4621821020DB系统II系统I512系统II系统I20CD解（1）稳态性能A系统I12VK，系统II3VK，跟踪速度信号时，系统I的稳态误差小于系统II。B系统I3VK，系统II6VK，跟踪速度信号时，系统I的稳态误差大于系统IIC系统I4AK，系统II4AK，跟踪加速度信号时，两系统稳态误差相等。D系统I2PK，系统II10VK，系统I有差跟踪位置信号，不能跟踪速度信号；系统II有差跟踪速度信号，无差跟踪位置信号。（2）动态性能A系统I，系统II，系统I的快速性优于系63,3CC235,58CC统II；系统II的平稳性优于系统I。B系统I，系统II，系统II的快速性优于系统63,3CC63,6CCI；两系统平稳性相同。C系统I，系统II，两系统快速性相同。619,4CC512,4CC系统II的平稳性稍优于系统I。D系统I，系统II，两系统快速性几乎相671,10CC63,10CC同；两系统平稳性相差不大。516已知系统的开环传递函数为GSHSSS212，试由奈氏判据证明该系统是闭环稳定的。（提示当频率0时，在1和1处有间断点。在间断点处，其幅值11AA）5910110010150050101100101360540题解（1）由MATLAB工具作波得图。MATLAB程序BODENUM,DENNUM12DEN101波得图分析由于二阶分母多项式的阻尼参数为零，在1处，幅频特性趋于无穷大，相频特性有相角为的跳变。因为稳定裕度是对最小相位系统定义的，因此从特殊系统的波得图上来判别稳定性不太容易。（2）由MATLAB工具作奈氏图。10010642024MATLAB程序W0110N12D101NYQUISTN,D,W奈氏图分析从图上可以得到0020A2/0A且当增加，在1时有幅值1A，但是相位角有跳变。即11稳定性判别由于P0,0，稳定条件为角度增量为0。在图中无穷大间断点处作增补线，增补角度为，使得跳变点连续，则有角度增量为0，满足稳定条件，所以系统是稳定的。解毕。517已知带有比例积分调节器的控制系统其结构图如题图所示，图中，参数ISATKT,为定值，且TA。试证明该系统的相位裕度C有极大值CMAX，并计算当相位裕度C为最大值CMAX时，系统的开环截止频率C和增益K的值。C11SKCSTKAS1RSCSSTI1习题515题解（1）证明该系统的相位裕度C有极大值CMAX按照题目给定条件，系统开环传递函数写为60112STSSTKKSGAISCO因此0ISCTKK，21S，均为常数。在11STSA中，转折频率分别为1和ATTA1。由于TA，所以有AT解毕。62已知系统的开环传递函数为GSHSSS41试采用根轨迹法设计微分校正装置G，使得系统的超调量SCMP4秒如欲减小过渡时间，闭环极点的位置需要在S平面上左移，也就是根轨迹需要左移。根轨迹的左移可以通过根轨迹的微分校正实现。（3）根轨迹微分校正计算满足给定性能的闭环极点为7321112JJSNNI此时250N计算补偿角。在新的闭环极点上，幅角为21014ARGARG73211JSOSSSG50，远远不能满足要求，需要作积分校正来改善稳态性能。（3）设计积分校正装置积分校正装置为IICPSZSSG令80IIVIPZK，取00250,20IIPZ，校正装置的传递函数为0025020SSSGC校正系统的开环传递函数为633120025020SSSSSSGSGOC静态速度误差系数为506754630025031220VK满足给定的稳态性能要求。作校正系统的根轨迹图K1Z02P03600025NUM,DENZP2TFZ,P,KRLOCUSNUM,DEN与原系统根轨迹比较，积分校正基本不改变原根轨迹总体走向，只是原点附近的根64轨迹作了改变，以补偿开环增益的不足。原点邻域的局部根轨迹如图所示。解毕。1001010505100402002040200204校正系统的根轨迹原点邻域的局部根轨迹64已知系统的开环传递函数分别为（1）2O10SSG（2）SSG10O分别采用根轨迹同伦法设计串联校正装置G，使得系统的闭环极点为。SCJ22,1S题解题（1）1作原系统根轨迹如图所示。开环极点为，则02,1S2SSI21SSDIJ22,1S21SSNJ010011050051图623原系统根轨迹图2给定闭环主导极点为因此有542SSSJ3以GOJSDSNKSG作负反馈根轨迹如图6所示。，则根轨迹的终点为希望极点的位置。654202101242021012AB图624负反馈与正反馈根轨迹图（4）再作正反馈根轨迹图如图624B，令1GK计算或作图得到不动点。由于5422SSSNSSD所以由，得到0SNSDSN251FSSN，2511KS为一个有限不动点。（5）再以不动点为根轨迹的零点，由FOKSDSNKSGG作负反馈根轨迹图如图所示，则希望极点位于根轨迹上。由图上可以看出另一个不动点位于无穷远处。42021012210S25140SRSCSAB（6）计算根轨迹过希望极点的根轨迹增益。由于1251J22GSSSK求得42GJSK由于原系统开环增益为10，所以串联校正装置为6625140CSSG该校正装置为PD校正装置。加有校正装置的系统结构图如图所示。校正后系统阶跃响应的仿真曲线如图6所示。0123002040608112题（2）系统开环传递函数为SSG10O要求闭环极点两个为，而原系统为1阶系统，故可以任意设定一个S左半平面的开环极点为（该增加的开环极点在校正后由校正装置提供），则等效开环传递函数成为J22,1S12,1S110OSSSG1作等效开环系统根轨迹如图所示。4202101242021012AB开环极点为，则1,021SSSSSSSSSDII23112给定希望极点为J2,J2，因此6754J2J2231SSSSSSSNJJ3以GOJSDSNKSG，作负反馈根轨迹如图所示，则根轨迹的终点为希望极点。4202101242021012A负反馈根轨迹图B正反馈根轨迹图图628根轨迹图4作GOJSDSNKSG的正反馈根轨迹图如图B，则不动点在根轨迹上。5计算不动点，令计算或作图得到不动点。由于1GK5422SSSNSSSD所以由，得到0SNSDSN6671FSSN6671S为有限不动点，另一个不动点在无穷远处。6以不动点为系统零点，构造开环系统FGOKSASNKSG，作负反馈根轨迹图如图所示，则希望极点位于根轨迹上。（7）计算根轨迹过希望极点的根轨迹增益。由于116671J2GSSSSK求得3J2GSK考虑到原系统开环增益为，以及提供系统10GOK1S的开环极点，得到串联校正装置为681667130CSSSG该装置为一滞后校正装置。校正后系统的结构图与时间响应如图所示。S101667130SSCSRS图629校正系统的结构图420210120123005115A校正系统的根轨迹图B校正后的时间响应6965已知系统的开环传递函数为GSHSKSSS21当调整根轨迹增益K时，可以获得其阶跃响应在欠阻尼条件下各种满意的动态性能。试确定满足下述要求的增益K值（A）系统具有最大的超调量MPMAX时；（B）系统具有最大的阻尼振荡频率DMAX时；（C）系统响应时间最快的T时；SMIN（D）系统的斜坡响应具有最小的稳态误差E时；SSMIN42022024ABCTS,MINMP,MAXWD,MAX题解应用MATLAB工具作系统的根轨迹图。MATLAB程序P01Z2K1NUM,DENZP2TFZ,P,KRLOCUSNUM,DEN根轨迹如图所示。（A）系统具有最大的超调量MPMAX系统的闭环极点在阻尼角为MAX时具有最大的超调量MPMAX，即图中原点的射线与根轨迹相切的切点A处，计算此时的增益R,KGRLOCUSNUM,DENBATANIMAGR,2REALR,21180/PIKG,BANSKGB066124375630888744900211752448129115K02K05K088K20MP比较得到88870MAXPMGKK取不同值时，超调量变化的时间仿真曲线如图所示。（B）系统具有最大的阻尼振荡频率DMAX系统的闭环极点在其虚部IMSI为IMSIMAX时具有最大的阻尼振荡频率DMAX，即图中的水平线与根轨迹相切的切点B处。计算此处的增益KG,IMAGR,2ANSKGIMAGR,224355138582815514112703198414107得到81552MAXDGK（C）系统响应时间最快的T时；SMIN系统的闭环极点具有最大负实部时的共轭复数极点其响应最快，即图中的C点。计算此处的增益KG,R,2ANS582133410601004I582693413500464I5832534924得到82695MINSTGK（D）系统的斜坡响应具有最小的稳态误差ESSMIN0246005115TIK583K20K10TS比较系统的欠阻尼响应中其最大的根轨迹增益值满足上述要求，即图中的C点处的根轨迹增益值82695MAXMINDEN021072BODENUM,DENGM,PM,WG,WPMARGINNUM,DEN10110010110220010001011001011021000100GM,PM,WG,WPANSINF127578NAN220829从图上可以读到，开环截止频率为30220，可以采用超前校正实现。（2）计算超前校正装置计算超前装置的超前角M303327200CCM计算低频衰减率330SIN1SIN1MM10210010210410001001021001021042001000180计算校正装置中点增益41LOG202177ZLDB确定新的开环截止频率C774CLOG2000CSGL29CDB确定校正装置的转折频率21,2350171621CC校正装置为0201060121111121JJJJKJGCC（3）检验计算结果校正系统的开环传递函数为12010002010601SSSSSGSGSGOC73校正结果MATLAB程序NUM6100DEN00042210BODENUM,DENGM,PM,WG,WPANSINF396692NAN29336330329C20639C100OVKK满足设计要求。解毕。68已知系统的开环传递函数为GSHSKSS0021试采用频率法设计滞后校正装置G，使得系统实现如下的性能指标SC（A）静态速度误差系数；KV50（B）开环截止频率C10；（C）相位裕度C60。题解（1）检验原系统的性能令K50，满足稳态要求。作原系统的波得图。10210010210410001001021001021042001000MATLAB程序NUM50DEN00210BODENUM,DENGM,PM,WG,WPMARGINNUM,DENGM,PM,WG,WPANSINF518273NAN393076开环截止频率为103390C相位裕度为6083510C确定新的开环截止频率为20C计算高频衰减率由于820LDB，在20C处校正装置要将原幅频特性衰减为0DB8LOG2020LDB所以有5274确定校正装置的转折频率21,8012101212C校正装置为2511501111112JJJJJGC（3）检验计算结果校正系统的开环传递函数为102050501201SSSSSGSGSGOC1021001021040901802703601021001021041000100GMINFDB,WNANPM6035DEGW1919NUM1050DEN00105210MARGINNUM,DEN作图结果开环截止频率为101519C相位裕度为603560C50OVKK速度误差系数为满足设计要求。解毕。69已知单位反馈系统的结构图如题图所示，其中K为前向增益，STST2111为超前校正装置，试用频率法确定使得系统具有最大相位裕度的增益K值。21TTCSRSK12S1112TSTS习题68题解75由于，其波得图如图所示。21TT0DB1221TK11T2C当开环截止频率为两转折频率的几何中点时，系统有最大的相位裕度MAXC。所以开环截止频率为21111TTT2111TTC又，斜率为40DB/DEC的特性其延长线与0DB线的交点其值为K，所以有111LOG401LOG20TKTC解出2111TTTK解毕。610设单位反馈控制系统的开环传递函数为GSKS1试采用二阶参考模型法设计校正装置G，使得校正后实现下述性能指标SC（A）静态速度误差系数；KV10（B）阶跃响应的过渡时间TSCC时域仿真结果如图所示。超调量MP约为30，过渡时间约为04秒，且大大减小了振荡。780120051152005005115（A）校正前阶跃响应仿真（B）校正后阶跃响应仿真解毕。613设受控对象的开环模型为GSKSSS1011试采用四阶参考模型法设计校正装置G，使得校正后实现下述性能指标SC（A）静态速度误差系数；KV80（B）开环截止频率C2；题解（1）满足稳态精度，令K80，作原系统的波得图LO如图所示。原系统开环截止频率为980C，相位裕度为。系统不稳定。350C（2）计算四阶参考模型参数由于仅给定了开环截止频率C2的性能指标，所以计算如下令开环截止频率4C，满足开环截止频率要求。令中频段宽度，保证稳定性要求。确定各转折频率6H6112CH103CH（为原系统转折）过612作斜率40DB的斜线与原系统波得图低频段相交，求得第1衔接点为08020121过103作斜率40DB的斜线与原系统波得图高频段相交，求得第4衔接点为20234作参考特性L参如图所示，校正装置的特性为L校，L校L参LO如图所示。790DB111223100811641020LOL校L参289校正装置的传递函数为10501512162501SSSSSGC（3）校验校正设计结果开环截止频率为24C相位裕度为236C解毕。614设受控对象的开环模型为1010110126SSSSG试采用四阶参考模型法设计校正装置G，使得校正后实现下述性能指标SC（A）输入速度信号为1RAD/S时，稳态误差误差系数RAD126/1C相位裕度为236C解毕。81615随动系统的开环对数幅频特性如题图所示。将系统I的频带加宽一倍成为系统II，（A）写出串联校正装置的传递函数G；SC（B）比较两系统的动态性能和稳态性能有何不同。0DB112321205101530316III习题614题解A系统I传递函数为1067011012136ISSSSSSGO系统II传递函数为1033010501150612IISSSSSSGO则校正装置的传递函数为1033010501106701101501222SSSSSSSSGC校正装置的波德图0DB112321205101520316III300123005115系统II系统IB比较两系统的性能动态性能