概率论与数理统计+武汉大学齐民友版课后答案

第1章习题解案总5页第1页第一章随机事件与概率（一）基本题答案1、（1）3,2,1,01（2）NN/,2,12NULL是正整数（3）（4）1|,223ZYXZYXZYX2、（1）CAB（2）（3）CBACBA（4）CBACBACBA（5）（6）ACBCABCBA（或ABC）3、ZABPABPBAP11ZYABPBPABBPBAP11PABPAPBPABXYYZXZ111PABPABPABPAPBPABXYZ4、PABPAABPAPAB060303PAPAPBPABPABPB5、11BAAPABPABP60307011BAPAP6、1CBAPCBAPCBAP111111171004449936PAPBPCPABPACPBCPABC7、ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP85008104141418、因BABABABABBBAABAA所以0PBABABABAP9、七个字母任意排有7种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问题，而排成SCIENCE有41112121种排法，故所求概率为126017410、12件产品按不放回方式抽两次时有1112种抽取法，且每一种取法的概率相等，这是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有211种，故所求事件概率为61111221111、这可看成是条件概率问题方法一设A表示第一次取到不合格品，B表示第二次取到不合格品，所求概率是，按条件概率的定义有|BAABP|BAPABPBAPBAABPBAABP因91034ABP，910346464BAP，故所求概率为5134646434|BAABP方法二如果是同时从中任取2件产品，此时有一件是不合格时共有种取法，而已知有一件是不合格品时，另一件也是不合格共有种取法，故所求概率为161424CCC24C第1章习题解案总5页第2页5116142424CCCC注此种方法是在缩减的样本空间中考虑条件概率的计算。12、设点的坐标为，则样本空间,YX20|,2XAXYYX18011NKKXPNXPNXPKKKCKXP180180990010，故180118118018081990010NKNKKKKKEKCNXP，这里81010180NP欲使181010990181NKKEK，查泊松分布表，可知N17，因而至少应配备6名工人第2章习题答案总6页第2页9设（1,2,3），则IA需要调整部件II,200,10021APAP3003AP由于A1，A2，A3相互独立，因此，有,50403012011010321321APAPAPAAAPXP1321321321AAAPAAAPAAAPXP0108070902070908030398,2321321321AAAPAAAPAAAPXP0092，3321321APAPAPAAAPXP0102030006因此，X的概率分布为X0123P050403980092000610FX为一阶梯状函数，则X可能取得值为FX的跳跃点1，1，3即有,208010333,4040800111,400111FFXPFFXPFFXPX113P04040211（1）由于，所以有1LIMXFX,12/EXPLIM2AXBAX即1，又由于X为连续型随机变量，FX应为X的连续函数，应有ABAXBAXFXFXXX2/EXPLIMLIM0LIM2000所以1,0ABBA代入之值，得BA,0,0,0,2/EXP12XXXXF（2）对函数FX求导，得X的概率密度0,2/1,0,2/XEXEXFXX13由32KXP得31DXXXXP0370112902190DXXXXP15,2001EX（1）2001001100100EFXP211E；（2）3002001300EXP5123EE16解法1用随机变量法令表示第I次掷骰子出现的点数，I1,2显然XIX1和X2独立同分布，则方程变为它有重根的充要条件是，有实根的充要条件是，故2,16,2,1,6/1IJJXPINULL0212XXXX04221XX04221XX4,42,1041212221XXUXXPXXPQ4,42,11212XXPXXP44211212XPXPXPXP18/16/16/16/16/1由全概率公式可第2章习题答案总6页第3页得PXXPP042214212XX611IPJXPJXXX12124PXP11412XPXP214222XPXP314322XPXP414422XPXP514522是互逆事件，且表示在长为T的时间内无地震发生，故它等价于事件TT0TN（1）由于T是非负随机变量，可见当T0TNTETNPTTPTTPTF1011于是，T服从参数为的指数分布（2）TTTEEETPTPTPTTPTTPQ551051055,1051018设X为考生的外语成绩，由题设知,NX，其中72现在求2由题设,977024,02302417296,023096XPXP由的数值表，可见X242，因此12这样XN72,122所求概率为111272841272608460XPXPXP68201841021121119（1）923604313530025035300250PP（2）353530035XXPXXPXPAP（1）由题设条件，知101ABP，于是，由全概0010|2ABP20|3ABP第2章习题答案总6页第4页率公式，有3106420|IIIABPAPBP（2）由条件概率定义（或贝叶斯公式），知0090|222BPABPAPBAP21由题设，Y其中,3PB,4122121210XDXDXXFXPP故64/94/34/121223CYP22P0302040122X0224X0223P02070122X202242COSX112COSX1111P070323因为,2,134,1,2,0,14,12SINNULLNNKNKNKK所以，2SINXY只有3个可能取值1，0，1，而取这些值的概率分别为,15216/11181212121117311173NULLNULLXPXPXPYP15816/111212121219511,314/11141212121642095642NULLNULLNULLXPXPXPYPXPXPXPYP于是，2SINXY的分布列为1583115210124,2,0UX00YFYY时，当,400时，,2EXP21LN2LN0DXXYXPYEPYFYXY于是，Y的概率密度函数为0,LN21EXP210,02YYYYYFY（2）Y2X21的分布函数10,1122YYFYYXPYFYY当时当时，,2221212112212121022222YYYXXYDXEDXEYXYPYXPYF1,0,1,1211,22,1,04121022YYEYYFYYDXEYYFYYYXY的概率密度为故即（3）XY的分布函数YXPYYPYFY,00,0时当时当YYFYYYYYYXXYDXEDXEYXYPYXPYF22212222于是，Y的概率密度函数为0,2,0,0221YEYYFYFYYY（二）补充题答案1（1）由条件可知，当时，10,0YFYY1111LN1,0YYXYYEEFEXFYXPYYPYFY第3章习题答案总8页第1页第三章多维随机向量及其概率分布一基本题答案1、设X和Y的可能取值分别为2,1,03,2,1,0,JIJI则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有JI与且,42JI/,474223CCCCJYIXPJIJI因而或0,JYIXP2JIJI于是,00,01111YYXXPP,00,02112YYXXPP35/1/0,0472212033113CCCCYYXXPP同法可求得联合分布律中其他的PIJ，得下表012300047220223/CCCC47120233/CCCC1047221213/CCCC47121223/CCCC47021233/CCCC247222203/CCCC47122213/CCCC47022223/CCCC0YX01230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350XY即2、X和Y都服从二项分布，参数相应为2,02和（2,05）因此X和Y的概率分布分别为040320640210X25050250210Y由独立性知，X和Y的联合分布为012001600800110320160022016008001XY3、Y的分布函数为显知有四个可能值00,01YYFYEYFY,21XX,112,10,01,1,0,1,1,0,0,0121EYPYYPXXP易知,212,10,1,02,11,0212121EEYPYYPXXPYYPXXP,212,10,12121EEYPYYPXXP22,11,1221EYPYYPXXP于是，可将X1和X2联合概率分布列表如下01011E21EE102EX1PPX2第3章习题答案总8页第2页4、NMMNPNXP0,NMMNMNEMNMPP01,2,1,0110NULLNNEPPNEPPMNMNNENNNMNMNMN即X是服从参数为的泊松分布MNMNMNMNMMMNMNMNPMEPEMNMPPMYP11,2,1,0,1NULLMMEPEEMEPPMPM即Y是服从参数为P的泊松分布5、由定义F（YX,）PXYDXDYYXYYXX,因为（YX,）是分段函数，要正确计算出F（YX,），必须对积分区域进行适当分块等5个部分10,110,11,110,1000YX,1,2YYYXPYXF（4）对于,有10,1XY21,XYXXPYXF（5）对于有,1,1YX1,YXF故X和Y的联合分布函数YXYXFYX或,YXFXYTSDSDTZE0022002002YTXSYTXSEEDTEDSE112YXEE即,0,0,0,11,2其它YXEEYXFYX（2）PX,0,0XFXEDYEXFXXXYX时即0,0,0,XXEXFXX（2）2/111210121,1EEDYEDXDXDYYXFYXPYXXXY8、（1）（I）,时，,计算根据公式DYYXFXFX0X当时1000,0,00,XXFXEDYEXFXXY0,其它XYEXYFYX0,0YYEDXEYFYYY故在Y0时，0,0YYF，故12120,/10NNYXNYYFY其它13、X和Y是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证方法一X的分布函数的分布函数分别为YXFX和YFYEEEFFYPXPYXPYX方法二以的概率密度，可知YXYXXFXFYXFYX和分别表示和,00,0250,502其它YXEYXYXFYXFYX1010105025010,10,EDXDYEYXPAYXYFXFYXFYXYX独立和知由于14、因知X与Y相互独立，即有,JIJIYYPXXPYYXXP3,2,1,2,1JI首先，根据边缘分布的定义知2418161,11YYXXP又根据独立性有,61,2411111IXXPYYPXXPYYXXP解得41IXXP,从而有1218124141,31YYXXP又由,2121YYPXXPYYXXP,可得,41812YYP即有212YYP,从而838121,22YYXXP类似地，由,3131YYPXXPYYXXP有,411213YYP得313YYP,从而,4112131,31YYXXP最后2XXP81834143将上述数值填入表中有1Y2Y3Y1IPXXPYX第3章习题答案总8页第5页1X1/241/81/121/42X1/83/81/43/4JPYXPJ1/61/21/3115、本题的关键是由题设PX1X201，可推出PX1X200；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表1由PX1X201,可见易见,01,11,12121XXPXXP25010,1121XPXXP5011,0221XPXXP25010,1121XPXXP00,021XXP于是，得X1和X2的联合分布10100250025051005005025050251X1X22可见PX10，X200，而PX10PX200于是，X4/11和X2不独立16、10,0,0212YYEYFYY因为X，Y独立，对任何YX,都有,YXFYFXFYX,0,0,0,其他YXEYFXFYXFUYXYX（2）根据Z的定义，有PZ1PYX0,XYXXYDYDXEDYDXYXFYXXX10PZPZ的分布函数为18、X、Y分别仅取0DXDYEEX,0UDXEE1Z所以Z的分布律为Z01PN时，用到了公式并,0RNC12121IKINNKINKNCCC21、X和Y的概率分布密度为,2EXP2122YXXFX,MIN111NULLYXPYXPYXPYXYXYXPNNNULLNULL1,121211111YFYXPIXINI故,位于下方的点满足SXY于是,P27/83/23AA,ABA,AA,ADA,ACOXY22111PPYP1201PPYPXP，由2,111,1ZPXPZXP得2/1P分1,0N显然，,ABCD和圆22DX，2022/22121AAAEDDEDXDY，（1）三个管子均不要替换15023/2/100150DXX27/13/213第3章习题答案总8页第8页7假设总体X的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数XFXFI1NIXIIX,211NNXFXFXFXXFNULLNULL依题意，所求的概率为Z当ZZPZFZ20202XZYXZDYEDX202012XZZZYZXZEEDYEDXE，所以YXZ2的分布函数为0,11,0,0,ZEZZYXFZ10由条件知X和Y的联合密度为其他若,0,31,31,41,YXYXP以表示随机,0,0,0,13,2,1,0,0,0,13TTETFITTETFXTTTI故0,0,0,33TTETFTFTTT第4章习题解答总10页第1页第四章随机变量的数字特征（一）、基本解答11103202301400EX,9003202501300EYEYEX，即甲比乙车床在一天内生产的次品多，故乙机床生产的零件质量较好2若记为完成每次检验所发现的次品数显然，即服从N10，P01的二项分布NU10,10BUNNU10,2,1,0,90101010NULLKCKUPKKKN91090101090101NNNUPUPUP7361026390111NNUPUPX为调整设备的次数，即出现的次数，显然X服从N4，P02639的二项分布，即因此1NU26390,4BX1105561263904NPXE3把X的分布律写成更明显的关系为I12345X3232233434535IP32232332432532这里NULL543213232323232IIP31313131132432NULL1NULL5544332213253324332333223323IIIPXNULL524232222615141312112NULL显然此级数不是绝对收敛的（是条件收敛级数），所以E（X）不存在42XXF,DXXX20022XXDXXXDX而222210LIM0XXDAXXDXLIMLN212AX，,LNLIM211LN21LIM0LIM210202222BXXXDBXXDXBBBB因此，广义积分2XXDX发散，当然不可能绝对收敛了，所以E（X）不存在5（1）DXXXFEXDXXXDXX2120122132103331XXX3113843132311（2）DXXXFEX11201奇函数XXDX（3）DXXXFEXDXXXDXX300015001500300015000150022221500115003000315000150031323XXX15001第4章习题解答总10页第2页6（1）,2222EXXE22EXDXEX又,2222EXDXXE1EX再,1,1DXEX,4112222XE（2）DXXFEEEXX22DXEDXEEXXX3200313103XE7（1）由条件知，X的可能值为0，1，2，3，以表示事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”；A3,2,1IAII1，A2，A3相互独立，且3,2,1,2/1IAPAPII从而知2101APXP211221AAPXP2123321AAAPXP2133321AAAPXP故96678141813141212111XE8（1）设由X与Y同分布，可知APP1,PBPPAPAXPAYPBP由,971112PPPPPPBPAPBPAPAUBP得32,3121PP于是有两个值A由121PA,得37341,2135321221APAA得由（2）3LN211132111DXXDXXPXXE9发生故障次数服从二项分布，本题关键是列出所获利润与发生故障次数的函数关系以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X服从参数为（5，02）的二项分布5,4,3,2,1,0802055KCKXPKKK32808005XP,410080201415CXP,2050802023225CXP,057021013XPXPXPXP若以Y表示所获利润，则,322015010XXXXXFY故EY1003285041000205200575216（万元）10已知X在0,60上服从均匀分布，其密度为其他060060/1XXFX设Y是游客等候电梯的时间（单位MIN），则,5005001000,1000XYYXXYXXYYZ2第4章习题解答总10页第3页由于X与Y的联合概率密度为,0,2010,2010,100/1,其他YXYX所以DXYXYDYYDXYDYDXDYYXDXDYYEZDD1010205201020101001500100110002167141661500532000050102310205201020102元DYYYDYYY12本题关键是正确列出供大于求和供不应求时利润与进货量的关系，然后利用期望利润不少于9280建立一不等式解出进货量的值A设进货数量为，则利润为A22222222221RXXRRDYXRXRRXP22222RYYRRYP02222DXXRXRRRXE02222DYYRYRRRYE2220,2RYXDXDYRXYXYEYXCOV于是，X和Y的相关系数0（2）由于,21不独立和可见YXYPXPYXP/24记PAP1，PBP2，PABP12由数学期望的定义，可见12,12211PYEPAPAPXE现在求EXY由于XY只有两个可能值1和1易知,1212112PPPBAPABPXYP,21111221PPPXYPXYP1224112112PPPXYPXYPXYE从而44,2112PPPYEXEXYEYXCOV,0,2112相互独立和不相关当且仅当事件和即当且仅当因此BAYXPPPYXCOV25本题应特别注意并非独立的由于均只取0和1值，因此随机变量、和须逐个计算它们的概率譬如事件表示抽取的是一等品21XX与3,2,1IXI0,0,21取值应为XX1,00,11,10,021XX1,121XX表示既是一等品又是二等品，因此是不可能事件等等（1）设事件“抽到I等品”IA3,2,1I由题意知A1，A2，A3两两互不相容,且10,80321APAPAP易知，101,0,100,0221321APXXPAPXXP,01,1,800,121121PXXPAPXXP（2）10,8021XEXE0909010,160208021XDXD001180011010100021XXE,08010800,212121XEXEXXEXXCOV32090160080,2121XDXDXXCOV26（1）由数学期望的运算性质，知312131YEXEZE由，有,COV2YXYDXDYXD21,31COV22131YXYDXDZDXYYDXDYDXD61241913436141（2）因为,21,31,YXCOVXXCOVZXCOV2131YDXDXDXY04321213312,所以0,ZDXDZXCOVXZ6第4章习题解答总10页第7页（3）由于（X，Z）不一定服从二维正态分布，故由0XZ不能确定X与Z是否相互独立（二补充题答案1、平均利润就是销售利润T的数学期望ET,而T是离散型随机变量,取值概率与X的概率分布有关,因此用标准正态分布函数X表示概率PX12是解决问题的关键,写出ET后,使0DTDE的点即为所求的值由条件知,平均利润为12510121020XYXYYXYXDXDYEXYDXDYEYXYXE12222XYYXYXDXEXYDYDYEYXDX222XYXDYEYXDX22222XXYXYXDYYEDXEDYEDXXE2222DXEX4、解法1三角形区域为G1,10,10,YXYXYX；随机变量X和Y的联合密度7第4章习题解答总10页第8页为,0,2,GYXGYXYXF以表示X的概率密度，则当1XF0X或时，；当0UUF设当且,21U10X10XU时，2,XUXF，否则由随机变量之和的概率密度公式，有0,XUXF222,11UDXDXXUXFUFU因此3/42221DUUUDUUUFEUYXE6/1122212222DUUUDUUFUEUYXE18/19/166/1122YXEYXEYXDDU（5、U、V为离散型随机变量，其联合分布（U、V）只有四个可能（0,0），（0,1）（1,0）,（1,1），分别求出取这些值的概率即可求相关系数，应分别计算COVU,V及DU,DV,然后再用公式,DYDUVUCOV由题设易知4/1YXP，2/12YXP，故有2/12YXP,02,1,0,4/12,0,01YXYXPVUPYXPYXYXPVUP2/14/14/111,4/122,0,1VUPYXYPYXYXPVUP（2）以上可见UV以及U和V分布为211210UV,431410U,211210V于是，有2/14/1,2/116/3,4/3UVEDVEVDUEU,8/1,EVEUUVEVUCOV故31,DVDUVUCOV6、（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此,1YX和,2YX的两个边缘密度为标准正态密度函数，故22221122221212121,21,XXXEEEDYYXDYYXDYYXFXF同理22221YEYF由于可见EXEY0，DYDY1，故,1,0,1,0NYNXDXDYYXXYF,2121DXDYYXXYDXDYYXXY03131218第4章习题解答总10页第9页2由题设，知283,32169321692222YXYXYXYXEEYXF,而2222122222121YXYXEEEYFXF,显见,21YFXFYXF,所以X与Y不独立7、0,2,21EXYEXEYDXYDXDYCOVXY,0,21210,1XYNXYN,22211202222DXXEDXEXEYXEXX即有,21,MAX12212YXYXYXYXE而故112002121,MAXYXEEYEXYXE,MINYXE112002121YXEEYEX8、不妨设,0,2,1,021EXNDZDYEZEYMNIEXI则NULL,11NMMNXXXXEZEYZYCOVNULLNULL1,1,12NMKNMMJJINIJIKXXXENULLNULL21EXMN,NMNDZDYZYCOVYZ9、1,2111XXRRDXXFXDXXFXPRRRRXEDXXFX1111、X的概率密度为,2EXP2122N这样，当N2为偶数时，有递推式，122NNXENXE9第4章习题解答总10页第10页,3422NULLNNXENXE14224XEXE考虑到XN，故E（X）0，并且于是，由以上各式可得,0222XDXE31414424EXE,3564626NULLXEXXE一般地,有11NNXENN35若记31NN,则有两种情况综合，有351N1NXENN,1,0为偶数当为奇数当NNNXENN12、00XNXNNDEXDXEXXE010DXENXXEXNNX10020011NXNXNXNXNNENDXEXNNEXNDEXNNULL13、111111SSKKSSKKYKKYKKSYPEXSYPXEYXEEXE11KKKKSKKYPEXSYPEX10第5章习题解答总3页第1页第五章极限定理（大数定律和中心极限定理）1、由于两两不相关，则“21,XX,21111INIJINJIININIIXDXXCOVXDXD，22121221111111NXDXDNXNDXENXNPININIINIIININII0222NNCNNC由此立得011LIM11NIINIINXENXNP2、0，由于11NXPN，从而，当1N时01|NXPXPNN于是当1N时0|0|NNNXPXPXXP即0|LIMXXPNN从而知依概率收敛X。NXNX的分布函数为0,10,0LIMXXFXNN即当时，0X000LIMFFNN即的分布函数不收敛于X的分布函数。NX3、设表示使用终端的个数，则，于是所求概率是AN050,120BNA9500501200501201209500501200501209500501200501201010AANPNP047095301675117547561204、设表示装运的第箱的重量，IXINI,2,1“，其中是所求箱，数独立同分布，且承运总重量是NNXX,1“501XE215XD第5章习题解答总3页第2页NIINXXXXT121“由条件知，99705000TP，由中心极限定理有500050001NIIXPTP15050005050005025255NIIXNNNPNNN即应有99705505000N查表有25505000NN，即，故最多可以装98箱。019998121150015121150001211500151151500115001IIIIXPXP1515312125125521134210909901802（2）此时其中是所求的个数，独立皆服从上的均匀分布，由条件知，应有NI,2,1“NNXX,1“50,5090010199406060120994060601201200001000AAANPNPNP077719940601（2）所求概率分别为99406060809940606080400001000120000AAANPNPNP995205929940602099406060609940606060600001000120000AAANPNPNP50099406060409940606040800001000120000AAANPNPNP00480592第6章习题解答总3页第1页第六章数理统计的基本概念1设样本均值为X,则由题意,有6,412NNX,或1,0/641NNX,于是由132/64345/643/643414541950PNSNPSP975012242P上式中的不等式是查表得到的,所以所求的概率至少为09759本题要用到这样一个结论,即分布,关于第一个参数具有可加性,即若,1U,2V,且U与V相互独立,则,21VU,其中,的概率密度为其它00,1/1XEXXFX可利用卷积公式证明回到本题,当11，,分布就是参数为的指数分布,所以样本的独立性及分布的可加性,有1,21NXXXN“即的概率密度为NIIX1其它00,11XEXNXGXNN因此NIIXNX11的概率密度为0,00,11YYEYNNNYNGYHNYNN101根据正态分布的性质,与21XX21XX服从二维正态分布,所以要证明它们相互独立,只需它们不相关,由于022212121XEXEXXXXE02121XXEXXE所以0,2121XXXXCOV即与相互独立21XX21XX2由于0,所以2,0221NXX1,0221NXX1212221XX2,0221NXX1,0221NXX1212221XX由上面证明的独立性，再由F分布的定义知1,12/2/21221221221FXXXXXXXXF所以25083544221221L并且有第7章习题答案总11页第2页NIIXNL1LN1LNLN令0LN1LN1NIIXNDLD，解得的极大似然估计值为NIIXN1LN1从而的极大似然估计量为NIIXN1LN12设是相应于的样本，则似然函数为NXXX,21“NXXX,21“NIIINXNNIXPPPPPL11111NIIPNXPNL11LNLNLN令01LN1PXNPNDPLDNII，解得P的极大似然估计值为XP1从而的极大似然估计量为XP13设是相应于的样本，则似然函数为NXXX,21“NXXX,21“其它,0,2,1,2,121NIXEXFLIXNNIINII“当IX,2,1“I时,0L,并且NIIXNL122LNLN因为,02LNNDLD所以L单调递增因为必须满足IX,2,1“I,因此,MIN11NXXX“时,L取最大值,所以的极大似然估计值为,极大似然估计量为1X,MIN11NXXX“4设是相应于的样本，则似然函数为NXXX,21“NXXX,21“其它,0,2,1,10,12121NIXXXXXFLINNNII“当NIXI,2,1,10“时,0L,并且NIIXNL1LN1LN2LN令02LN2LN1NIIXNDLD，解得的极大似然估计值为22LNNIXN1I第7章习题答案总11页第3页的极大似然估计量为212LNNIIXN5设是相应于的样本，则似然函数为NXXX,21“NXXX,21“其它,0,2,1,1EXP1,1112212121NIXXXFLINIINNII“所以当NIXI“,2,1,1时,0,21L,并且211221LNLNNXNLNII由于0LN21NL,所以,21L是1的单调递增函数,因为必须满足NIXI“,2,1,1,所以对于任意给定的2,INF,21211LXL令0,LN22112221NIINXXNXL解得12XX,所以21,的极大似然估计值分别为11X12XX21,的极大似然估计量分别为11X12XX6设是相应于的样本，则似然函数为NXXX,21“NXXX,21“|111121,NIXNNIIEXFL取对数NIIXNL1|1LN2LN，令NIIXNDLD120|12LN解得的极大似然估计值为NIIXN1|1所以的极大似然估计量为NIIXN1|13设是相应于的样本，似然函数为NXXX,21“NXXX,21“NIIXMNXNIIXMPPXXPPLNIINII11111取对数,得NINIIINIIXMPXMNPXPL111LN1LNLNLN令01LN11PXMNPXDPPLDNIINII得P的极大似然估计值为XMXMNPNII111第7章习题答案总11页第4页所以P的极大似然估计量为XMXMNPNII11141已知,的极大似然估计值为X,又,所以根据极大似然估计的性质,的极大似然估计值为EXP00XPXE2观察到的五年内每一扳道员引起的严重事故的平均次数为12311221372544932124214401221X所以一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率P的极大似然估计值为325301231EP51DZEEEEXEZZZ22221DZZZ22221EXP214222222DZZ21EXP2121EXP22221EXP22可以将视为取自总体NXXXLN,LN,LN21“XZLN的样本,则由于,因而可得参数的极大似然估计值分别为,2NZ2,LN11NIIXNNIIXN12LN1故由极大似然估计的性质,可得的极大似然估计值为XE21EXP2XE3经计算得,09093LN11NIIXN51150LN112NIIXN,所以,一个句子字数均值的极大似然估计值为21EXP2XE2840736由正态分布的性质以及样本的独立性可知2,021NXXII因此21212IIIIXXDXXE欲使211211121212CNXXECXXCENIIINIII必须121NC，因此，当121NC时，统计量为的无偏估计2111INIIXXC27由于和均为参数12的无偏估计，所以2121BABEAEBAE欲使是21BA的无偏估计，必须1BA，即AB1从而由和的独立性以及题设条件,有1232112122222221221DAADAADADABAD上式右边当31A时达到最小综上所述,当32,31BA时,是21BA的无偏估计,并且在所有这样的无偏估计中方差最小第7章习题答案总11页第5页8（1）由于总体X服从参数为的泊松分布，所以其数学期望和方差均为，由于样本均值和样本方差是总体均值和方差的无偏估计，所以有2SEXE从而1122SEXESXE所以21SX为的无偏估计量（2）已知,的极大似然估计量为XM,所以由极大似然估计的性质,的极大似然估计量为222XM3由于2222NXEXDXEEM因此22XM不是的无偏估计,令2NXX22则有22221NNXENXEE所以NXX22是的一个无偏估计量2注的无偏估计量不唯一,如统计量2NXXII22,2,1NI“都是无偏估计量29由题意知,X的概率密度和分布函数分别为N所以比有效21第7章习题答案总11页第6页101已知时220250的置信度为1的置信区间为2ZNX将0810X,0250,96102502ZZ代入得的置信度为1的置信区间为00775,0084511已知时2的置信度为1的置信区间为2ZNX欲使其区间长度不大于给定的,必须LLZN22，即222/4LZN12利用上题的结果,由于,05096102502/ZZ,要使他对平均反应时间的估计误差不超过0,01秒,必须，所以020L222/4LZN4913的置信度为21的置信区间为11,112222212NSNNSN在本题中，,05016N，经计算得，查表得，最后得的置信度为95的置信区间为,0024402S,26261529750,4882715202502005840,00133014此题为方差未知但相等时的两个总体均值差的区间估计问题，已知此时21的置信度为1的置信区间为21121221NNTNNSYXW已知,1000X,980Y,51N,72N,010查表得16933100050T，463306432628422WS最后得两个总体均值差的置信度为099的置信区间为3653,765315设X，Y分别为一、二号方案的单位面积产量，并设，和为相应于总体的样本，令,211NX,222NYNX,XX,21“NYYY,21“YX,YXZ，则,令,222121NZIIIYXZ,于是,21的置信度为1的置信区间为12NTNSYX其中NIIINIIYXYXNZZNS121221111已知,8N755YXZ,125S,0503646270250T,计算得21的置信度为95的置信区间为147,100316方差比22BA的置信度为1的置信区间为1,1/,1,1/21212221222NNFSSNNFSSBABA第7章习题答案总11页第7页已知,541902AS606502BS1021NN,050,0349,90250F,代入算得方差比248109,99750F22BA的置信度为095的置信区间02217,3601二补充题11设是相应于的一组样本值,则似然函数为NXX,1“NXX,1“NIXNXNIXXINIIIIAFFAL111取对数得NIXNIIIAFNXL11LNLNLNLN01LN1FFNXDLDNII令01LN1FFNXDLDNII可得的极大似然估计值是方程FFX的一个根,从而的极大似然估计量是方程FFX（1）的一个根由11FAXIX1FAXIX故11