同济大学高等数学课后答案全集

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题111设A55B103写出ABABAB及AAB的表达式解AB35AB105AB105AAB1052设A、B是任意两个集合证明对偶律ABCACBC证明因为XABCXABXA或XBXAC或XBCXACBC所以ABCACBC3设映射FXYAXBX证明1FABFAFB2FABFAFB证明因为YFABXAB使FXY因为XA或XBYFA或YFBYFAFB所以FABFAFB2因为YFABXAB使FXY因为XA且XBYFA且YFBYFAFB所以FABFAFB4设映射FXY若存在一个映射GYX使XIFGYIGF其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个XX有IXXX对于每一个YY有IYYY证明F是双射且G是F的逆映射GF1证明因为对于任意的YY有XGYX且FXFGYIYYY即Y中任意元素都是X中某元素的像所以F为X到Y的满射又因为对于任意的X1X2必有FX1FX2否则若FX1FX2GFX1GFX2X1X2因此F既是单射又是满射即F是双射对于映射GYX因为对每个YY有GYXX且满足FXFGYIYYY按逆映射的定义G是F的逆映射5设映射FXYAX证明1F1FAA2当F是单射时有F1FAA证明1因为XAFXYFAF1YXF1FA所以F1FAA2由1知F1FAA另一方面对于任意的XF1FA存在YFA使F1YXFXY因为YFA且F是单射所以XA这就证明了F1FAA因此F1FAA6求下列函数的自然定义域123XY解由3X20得32X函数的定义域为,322211XY解由1X20得X1函数的定义域为11113211XXY解由X0且1X20得函数的定义域D10014241XY解由4X20得|X|2函数的定义域为225XYSIN解由X0得函数的定义D06YTANX1解由21XK012得函数的定义域为12KXK0127YARCSINX3解由|X3|1得函数的定义域D248XXY1ARCTAN3解由3X0且X0得函数的定义域D0039YLNX1解由X10得函数的定义域D110XEY1解由X0得函数的定义域D007下列各题中函数FX和GX是否相同为什么1FXLGX2GX2LGX2FXXGX2X3334XXXF31XXXG4FX1GXSEC2XTAN2X解1不同因为定义域不同2不同因为对应法则不同X0时GXX3相同因为定义域、对应法则均相相同4不同因为定义域不同8设3|03|SIN|XXXX求6442并作出函数YX的图形解21|6SIN|622|4SIN|422|4SIN|4029试证下列函数在指定区间内的单调性1XXY112YXLNX0证明1对于任意的X1X21有1X101X20因为当X1X2时011112121221121XXXXXXXXYY所以函数XXY1在区间1内是单调增加的2对于任意的X1X20当X1X2时有0LNLNLN2121221121XXXXXXXXYY所以函数YXLNX在区间0内是单调增加的10设FX为定义在LL内的奇函数若FX在0L内单调增加证明FX在L0内也单调增加证明对于X1X2L0且X1X2有X1X20L且X1X2因为FX在0L内单调增加且为奇函数所以FX2FX1FX2FX1FX2FX1这就证明了对于X1X2L0有FX1FX2所以FX在L0内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间LL上的证明1两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数2两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明1设FXFXGX如果FX和GX都是偶函数则FXFXGXFXGXFX所以FX为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果FX和GX都是奇函数则FXFXGXFXGXFX所以FX为奇函数即两个奇函数的和是奇函数2设FXFXGX如果FX和GX都是偶函数则FXFXGXFXGXFX所以FX为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果FX和GX都是奇函数则FXFXGXFXGXFXGXFX所以FX为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果FX是偶函数而GX是奇函数则FXFXGXFXGXFXGXFX所以FX为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数1YX21X22Y3X2X332211XXY4YXX1X15YSINXCOSX162XXAAY解1因为FXX21X2X21X2FX所以FX是偶函数2由FX3X2X33X2X3可见FX既非奇函数又非偶函数3因为11112222XFXXXXXF所以FX是偶函数4因为FXXX1X1XX1X1FX所以FX是奇函数5由FXSINXCOSX1SINXCOSX1可见FX既非奇函数又非偶函数6因为22XFAAAAXFXXXX所以FX是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数对于周期函数指出其周期1YCOSX2解是周期函数周期为L22YCOS4X解是周期函数周期为2L3Y1SINX解是周期函数周期为L24YXCOSX解不是周期函数5YSIN2X解是周期函数周期为L14求下列函数的反函数131XY错误未指定书签。错误未指定书签。解由31XY得XY31所以31XY的反函数为YX312XXY11错误未指定书签。解由XXY11得YYX11所以XXY11的反函数为XXY113DCXBAXYADBC0解由DCXBAXY得ACYBDYX所以DCXBAXY的反函数为ACXBDXY4Y2SIN3X解由Y2SIN3X得2ARCSIN31YX所以Y2SIN3X的反函数为2ARCSIN31XY5Y1LNX2解由Y1LNX2得XEY12所以Y1LNX2的反函数为YEX126122XXY解由122XXY得YYX1LOG2所以122XXY的反函数为XXY1LOG215设函数FX在数集X上有定义试证函数FX在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数FX在X上有界则存在正数M使|FX|M即MFXM这就证明了FX在X上有下界M和上界M再证充分性设函数FX在X上有下界K1和上界K2即K1FXK2取MMAX|K1|K2|则MK1FXK2M即|FX|M这就证明了FX在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值X1和X2的函数值1YU2USINX61X32X解YSIN2X41216SIN221Y43233SIN222Y2YSINUU2X81X42X解YSIN2X224SIN82SIN1Y12SIN42SIN2Y3UYU1X2X11X22解21XY21121Y52122Y4YEUUX2X10X21解2XEY1201EYEEY2125YU2UEXX11X21解YE2XY1E21E2Y2E21E217设FX的定义域D01求下列各函数的定义域1FX2解由0X21得|X|1所以函数FX2的定义域为112FSINX解由0SINX1得2NX2N1N012所以函数FSINX的定义域为2N2N1N0123FXAA0解由0XA1得AX1A所以函数FXA的定义域为A1A4FXAFXAA0解由0XA1且0XA1得当210A时AX1A当21A时无解因此当210A时函数的定义域为A1A当21A时函数无意义18设1|11|01|1XXXXFGXEX错误未指定书签。求FGX和GFX并作出这两个函数的图形解1|11|01|1XXXEEEXGF即010001XXXXGF1|1|E1|101XEXXEEXFGXF即1|1|11|1XEXXEXFG19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角40图137当过水断面ABCD的面积为定值S0时求湿周LLABBCCD与水深H之间的函数关系式并指明其定义域图137解40SINHDCAB又从040COT221SHBCBCH得HHSBC40COT0所以HHSL40SIN40COS20自变量H的取值范围应由不等式组H0040COT0HHS确定定义域为40COT00SH20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元1将每台的实际售价P表示为订购量X的函数2将厂方所获的利润P表示成订购量X的函数3某一商行订购了1000台厂方可获利润多少解1当0X100时P90令001X01009075得X01600因此当X1600时P75当100X1600时P90X10000191001X综合上述结果得到160075160010001091100090XXXXP2160015160010001031100030602XXXXXXXXPP3P3110000011000221000元习题121观察一般项XN如下的数列XN的变化趋势写出它们的极限1NNX21解当N时NNX210021LIMNN2NXNN11解当N时NXNN110011LIMNNN3212NXN解当N时212NXN2212LIM2NN411NNXN解当N时12111NNNXN0111LIMNNN5XNN1N解当N时XNN1N没有极限2设数列XN的一般项NNXN2COS问NNXLIM求出N使当NN时XN与其极限之差的绝对值小于正数当0001时求出数N解0LIMNNXNNNXN1|2COS|0|0要使|XN0|只要N1也就是1N取1N则NN有|XN0|当0001时1N10003根据数列极限的定义证明101LIM2NN分析要使221|01|NN只须12N即1N证明因为01N当NN时有|01|2N所以01LIM2NN2231213LIMNNN分析要使NNNN411221|231213|只须N41即41N证明因为041N当NN时有|231213|NN所以231213LIMNNN31LIM22NANN分析要使NANANNANNANNAN22222222|1|只须2AN证明因为02AN当NN时有|1|22NAN所以1LIM22NANN4199990LIM个NN分析要使|09991|1101N只须1101N即1LG1N证明因为01LG1N当NN时有|09991|所以199990LIM个NN4AUNNLIM证明|LIMAUNN并举例说明如果数列|XN|有极限但数列XN未必有极限证明因为AUNNLIM所以0NN当NN时有|AUN从而|UN|A|UNA|这就证明了|LIMAUNN数列|XN|有极限但数列XN未必有极限例如1|1|LIMNN但NN1LIM不存在5设数列XN有界又0LIMNNY证明0LIMNNNYX证明因为数列XN有界所以存在M使NZ有|XN|M又0LIMNNY所以0NN当NN时有MYN|从而当NN时有MMYMYXYXNNNNN|0|所以0LIMNNNYX6对于数列XN若X2K1AKX2KAK证明XNAN证明因为X2K1AKX2KAK所以0K1当2K12K11时有|X2K1A|K2当2K2K2时有|X2KA|取NMAX2K112K2只要NN就有|XNA|因此XNAN习题131根据函数极限的定义证明1813LIM3XX分析因为|3X18|3X9|3|X3|所以要使|3X18|只须31|3|X证明因为031当0|X3|时有|3X18|所以813LIM3XX21225LIM2XX分析因为|5X212|5X10|5|X2|所以要使|5X212|只须51|2|X证明因为051当0|X2|时有|5X212|所以1225LIM2XX3424LIM22XXX分析因为|2|2|24442422XXXXXXX所以要使4242XX只须|2|X证明因为0当0|X2|时有4242XX所以424LIM22XXX421241LIM321XXX分析因为|21|2|221|212413XXXX所以要使212413XX只须21|21|X证明因为021当|21|0X时有212413XX所以21241LIM321XXX2根据函数极限的定义证明12121LIM33XXX分析因为333333|21212121XXXXXX所以要使212133XX只须3|21X即321|X证明因为0321X当|X|X时有212133XX所以2121LIM33XXX20SINLIMXXX分析因为XXXXX1|SIN|0SIN所以要使0SINXX只须X1即21X证明因为021X当XX时有0SINXX所以0SINLIMXXX3当X2时YX24问等于多少使当|X2|0X10使当XX1时有|FXA|X20使当XX2时有|FXA|取XMAXX1X2则当|X|X时有|FXA|即AXFXLIM8根据极限的定义证明函数FX当XX0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设FXAXX0则00使当0010使当X010使当X00因为FX在X0连续所以0LIM00XFXFXX由极限的局部保号性定理存在X0的某一去心邻域0XU使当X0XU时FX0从而当XUX0时FX0这就是说则存在X0的某一邻域UX0当XUX0时FX05试分别举出具有以下性质的函数FX的例子1X01221NN1是FX的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数XXXFCSCCSC在点X01221NN1处是间断的且这些点是函数的无穷间断点2FX在R上处处不连续但|FX|在R上处处连续解函数QQXXXF11在R上处处不连续但|FX|1在R上处处连续3FX在R上处处有定义但仅在一点连续解函数QQXXXXXF在R上处处有定义它只在X0处连续习题191求函数633223XXXXXXF的连续区间并求极限LIM0XFXLIM3XFX及LIM2XFX解23113633223XXXXXXXXXXXF函数在内除点X2和X3外是连续的所以函数FX的连续区间为3、32、2在函数的连续点X0处210LIM0FXFX在函数的间断点X2和X3处23113LIMLIM22XXXXXXFXX58211LIMLIM33XXXXFXX2设函数FX与GX在点X0连续证明函数XMAXFXGXXMINFXGX在点X0也连续证明已知LIM00XFXFXXLIM00XGXGXX可以验证|21XGXFXGXFX|21XGXFXGXFX因此|2100000XGXFXGXFX|2100000XGXFXGXFX因为|21LIMLIM00XGXFXGXFXXXXX|LIMLIM|LIMLIM210000XGXFXGXFXXXXXXXX|210000XGXFXGXFX0所以X在点X0也连续同理可证明X在点X0也连续3求下列极限152LIM20XXX2342SINLIMXX32COS2LNLIM6XX4XXX11LIM05145LIM1XXXX6AXAXAXSINSINLIM7LIM22XXXXX解1因为函数522XXXF是初等函数FX在点X0有定义所以55020052LIM220FXXX2因为函数FXSIN2X3是初等函数FX在点4X有定义所以142SIN42SINLIM334FXX3因为函数FXLN2COS2X是初等函数FX在点6X有定义所以062COS2LN62COS2LNLIM6FXX411LIM111111LIM11LIM000XXXXXXXXXXXX211101111LIM0XX54514545LIM145LIM11XXXXXXXXXXXX45144LIM1XXXXX214154454LIM1XXX6AXAXAXAXAXAXAX2SIN2COS2LIMSINSINLIMAAAAXAXAXAXAXCOS12COS22SINLIM2COSLIM7LIMLIM22222222XXXXXXXXXXXXXXXXXX111112LIM2LIM22XXXXXXXXX4求下列极限1XXE1LIM2XXXSINLNLIM03211LIMXXX4XXX2COT20TAN31LIM52163LIMXXXX6XXXXXX20SIN1SIN1TAN1LIM解11LIM01LIM1EEEXXXX201LNSINLIMLNSINLNLIM00XXXXXX3EEXXXXXX2121211LIM11LIM433TAN3120COT2022TAN31LIMTAN31LIMEXXXXXX52163362163163XXXXXXX因为EXXX36631LIM232163LIMXXX所以232163LIMEXXXX6SIN1TAN11SIN11SIN1SIN1TAN1LIMSIN1SIN1TAN1LIM22020XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX220220SIN2SIN2TANLIMSIN1TAN1SIN1SIN1SINTANLIM2122LIM320XXXX5设函数00XXAXEXFX应当如何选择数A使得FX成为在内的连续函数解要使函数FX在内连续只须FX在X0处连续即只须AFXFXFXX0LIMLIM00因为1LIMLIM00XXXEXFAXAXFXXLIMLIM00所以只须取A1习题1101证明方程X53X1至少有一个根介于1和2之间证明设FXX53X1则FX是闭区间12上的连续函数因为F13F225F1F20所以由零点定理在12内至少有一点12使F0即X是方程X53X1的介于1和2之间的根因此方程X53X1至少有一个根介于1和2之间2证明方程XASINXB其中A0B0至少有一个正根并且它不超过AB证明设FXASINXBX则FX是0AB上的连续函数F0BFABASINABBABASINAB10若FAB0则说明XAB就是方程XASINXB的一个不超过AB的根若FAB0则F0FAB0由零点定理至少存在一点0AB使F0这说明X也是方程XASINXB的一个不超过AB的根总之方程XASINXB至少有一个正根并且它不超过AB3设函数FX对于闭区间AB上的任意两点X、Y恒有|FXFY|L|XY|其中L为正常数且FAFB0证明至少有一点AB使得F0证明设X0为AB内任意一点因为0|LIM|LIM00000XXLXFXFXXXX所以0|LIM00XFXFXX即LIM00XFXFXX因此FX在AB内连续同理可证FX在点A处左连续在点B处右连续所以FX在AB上连续因为FX在AB上连续且FAFB0由零点定理至少有一点AB使得F04若FX在AB上连续AX1X2XNB则在X1XN上至少有一点使NXFXFXFFN21证明显然FX在X1XN上也连续设M和M分别是FX在X1XN上的最大值和最小值因为XIX1XN1IN所以有MFXIM从而有MNXFXFXFMNN21MNXFXFXFMN21由介值定理推论在X1XN上至少有一点使NXFXFXFFN215证明若FX在内连续且LIMXFX存在则FX必在内有界证明令AXFXLIM则对于给定的0存在X0只要|X|X就有|FXA|即AFXA又由于FX在闭区间XX上连续根据有界性定理存在M0使|FX|MXXX取NMAXM|A|A|则|FX|NX即FX在内有界6在什么条件下AB内的连续函数FX为一致连续总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内1数列XN有界是数列XN收敛的_条件数列XN收敛是数列XN有界的_的条件2FX在X0的某一去心邻域内有界是LIM0XFXX存在的_条件LIM0XFXX存在是FX在X0的某一去心邻域内有界的_条件3FX在X0的某一去心邻域内无界是LIM0XFXX的_条件LIM0XFXX是FX在X0的某一去心邻域内无界的_条件4FX当XX0时的右极限FX0及左极限FX0都存在且相等是LIM0XFXX存在的_条件解1必要充分2必要充分3必要充分4充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设FX2X3X2则当X0时有AFX与X是等价无穷小BFX与X同阶但非等价无穷小CFX是比X高阶的无穷小DFX是比X低阶的无穷小解因为XXXXXFXXXXXXXX13LIM12LIM232LIMLIM00003LN2LN1LNLIM3LN1LNLIM2LN00UUTTUT令2X1T3X1U所以FX与X同阶但非等价无穷小故应选B3设FX的定义域是01求下列函数的定义域1FEX2FLNX3FARCTANX4FCOSX解1由0EX1得X0即函数FEX的定义域为02由0LNX1得1XE即函数FLNX的定义域为1E3由0ARCTANX1得0XTAN1即函数FARCTANX的定义域为0TAN14由0COSX1得2222NXNN012即函数FCOSX的定义域为2,22NNN0124设000XXXXF0002XXXXG求FFXGGXFGXGFX解因为FX0所以FFXFX000XXX因为GX0所以GGX0因为GX0所以FGX0因为FX0所以GFXF2X0002XXX5利用YSINX的图形作出下列函数的图形1Y|SINX|2YSIN|X|32SIN2XY6把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为R高为H依题意有R22R22RR24422222222RRRRRH圆锥的体积为2442312222RRV22234224AR027根据函数极限的定义证明536LIM23XXXX证明对于任意给定的0要使|536|2XXX只需|X3|取当0|X3|时就有|X3|即|536|2XXX所以536LIM23XXXX8求下列极限122111LIMXXXX21LIM2XXXX311232LIMXXXX430SINTANLIMXXXX5XXXXXCBA103LIMA0B0C06XXXTAN2SINLIM解1因为011LIM221XXXX所以22111LIMXXXX2111LIM1LIM2222XXXXXXXXXXXX211111LIM1LIM22XXXXXX321212111221LIM1221LIM1232LIMXXXXXXXXXX2121212211221LIMXXXXEXXXXX212121221LIM1221LIM4XXXXXXXXXXXXXCOSCOS1SINLIM1COS1SINLIMSINTANLIM3030302122LIMCOS2SIN2SINLIM320320XXXXXXXXX提示用等价无穷小换5XCBACBAXXXXXXXXXXXXXXXCBACBA3333010331LIM3LIM因为ECBAXXXCBAXXXX330331LIM111LIM3133LIM00XCXBXAXCBAXXXXXXXX1LN1LIMLN1LN1LIMLN1LN1LIMLN31000VCUBTAVUT3LNLNLNLN31ABCCBA所以3LN1033LIMABCECBAABCXXXXX提示求极限过程中作了变换AX1TBX1UCX1V6XXXXXXXXTAN1SIN1SIN12TAN21SIN1LIMSINLIM因为EXXX1SIN121SIN1LIMXXXXXXXCOS1SINSINLIMTAN1SINLIM2201SINCOSSINLIM1SINCOS1SINSINLIM222XXXXXXXXX所以1SINLIM0TAN2EXXX9设001SIN2XXAXXXXF要使FX在内连续应怎样选择数A解要使函数连续必须使函数在X0处连续因为F0AAXAXFXXLIMLIM20001SINLIMLIM00XXXFXX所以当A0时FX在X0处连续因此选取A0时FX在内连续10设011LN011XXXEXFX求FX的间断点并说明间断点所属类形解因为函数FX在X1处无定义所以X1是函数的一个间断点因为0LIMLIM1111XXXEXF提示11LIM1XX1111LIMLIMXXXEXF提示11LIM1XX所以X1是函数的第二类间断点又因为01LNLIMLIM00XXFXXEEXFXXX1LIMLIM1100所以X0也是函数的间断点且为第一类间断点11证明112111LIM222NNNNN证明因为11211122222NNNNNNNNN且1111LIMLIM2NNNNNN1111LIM1LIM22NNNNN所以112111LIM222NNNNN12证明方程SINXX10在开区间2,2内至少有一个根证明设FXSINXX1则函数FX在2,2上连续因为21212F221212F022FF所以由零点定理在区间2,2内至少存在一点使F0这说明方程SINXX10在开区间2,2内至少有一个根13如果存在直线LYKXB使得当X或XX时曲线YFX上的动点MXY到直线L的距离DML0则称L为曲线YFX的渐近线当直线L的斜率K0时称L为斜渐近线1证明直线LYKXB为曲线YFX的渐近线的充分必要条件是XXFKXXXLIM,LIM,KXXFBXXX2求曲线XEXY112的斜渐近线证明1仅就X的情况进行证明按渐近线的定义YKXB是曲线YFX的渐近线的充要条件是0LIMBKXXFX必要性设YKXB是曲线YFX的渐近线则0LIMBKXXFX于是有0LIMXBKXXFXX0LIMKXXFXXXFKXLIM同时有0LIMBKXXFXLIMKXXFBX充分性如果XXFKXLIMLIMKXXFBX则0LIMLIMLIMBBBKXXFBKXXFBKXXFXXX因此YKXB是曲线YFX的渐近线2因为212LIMLIM1XXXEXXXYK111LNLIM211LIM2212LIM2LIM011TTEXXEXXYBTXXXXX所以曲线XEXY112的斜渐近线为Y2X1习题211设物体绕定轴旋转在时间间隔0T内转过的角度为从而转角是T的函数T如果旋转是匀速的那么称T为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的应怎样确定该物体在时刻T0的角速度解在时间间隔T0T0T内的平均角速度为TTTTT00故T0时刻的角速度为LIMLIMLIM000000TTTTTTTTT2当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度T与时间T的函数关系为TTT应怎样确定该物体在时刻T的冷却速度解物体在时间间隔T0T0T内温度的改变量为TTTTTT平均冷却速度为TTTTTTTT故物体在时刻T的冷却速度为LIMLIM00TTTTTTTTTTTT3设某工厂生产X单位产品所花费的成本是FX元此函数FX称为成本函数成本函数FX的导数FX在经济学中称为边际成本试说明边际成本FX的实际意义解FXXFX表示当产量由X改变到XX时成本的改变量XXFXXF表示当产量由X改变到XX时单位产量的成本XXFXXFXFXLIM0表示当产量为X时单位产量的成本4设FX10X2试按定义求F1解XXXFXFFXX2200110110LIM11LIM1202LIM102LIM10020XXXXXX5证明COSXSINX解XXXXXXCOSCOSLIMCOS0XXXXX2SIN2SIN2LIM0XXXXXXSIN22SIN2SINLIM06下列各题中均假定FX0存在按照导数定义观察下列极限指出A表示什么1AXXFXXFXLIM000解XXFXXFAXLIM000LIM0000XFXXFXXFX2AXXFXLIM0其中F00且F0存在解000LIMLIM00FXFXFXXFAXX3AHHXFHXFHLIM000解HHXFHXFAHLIM000HXFHXFXFHXFHLIM00000HXFHXFHXFHXFHHLIMLIM000000FX0FX02FX07求下列函数的导数1YX4232XY3YX164XY1521XY653XXY75322XXXY解1YX44X414X323113232323232XXXXY3YX1616X16116X064231212121211XXXXY532221XXXY6511151651653516516XXXXXY7651616153226161XXXXXXY8已知物体的运动规律为ST3M求这物体在T2秒S时的速度解VS3T2V|T212米/秒9如果FX为偶函数且F0存在证明F00证明当FX为偶函数时FXFX所以000LIM00LIM00LIM0000FXFXFXFXFXFXFFXXX从而有2F00即F0010求曲线YSINX在具有下列横坐标的各点处切线的斜率32XX解因为YCOSX所以斜率分别为2132COS1K1COS2K11求曲线YCOSX上点21,3处的切线方程和法线方程式解YSINX233SIN3XY故在点21,3处切线方程为32321XY法线方程为33221XY12求曲线YEX在点01处的切线方程解YEXY|X01故在01处的切线方程为Y11X0即YX113在抛物线YX2上取横坐标为X11及X23的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线解Y2X割线斜率为42191313YYK令2X4得X2因此抛物线YX2上点24处的切线平行于这条割线14讨论下列函数在X0处的连续性与可导性1Y|SINX|20001SIN2XXXXY解1因为Y000SINLIM|SIN|LIMLIM000XXYXXX0SINLIM|SIN|LIMLIM000XXYXXX所以函数在X0处连续又因为1SINLIM0|0SIN|SIN|LIM00LIM0000XXXXXYXYYXXX1SINLIM0|0SIN|SIN|LIM00LIM0000XXXXXYXYYXXX而Y0Y0所以函数在X0处不可导解因为01SINLIMLIM200XXXYXX又Y00所以函数在X0处连续又因为01SINLIM01SINLIM00LIM0200XXXXXXYXYXXX所以函数在点X0处可导且Y0015设函数112XBAXXXXF为了使函数FX在X1处连续且可导AB应取什么值解因为1LIMLIM211XXFXXBABAXXFXXLIMLIM11F1AB所以要使函数在X1处连续必须AB1又因为当AB1时211LIM121XXFXAXXAXBAXAXBAXFXXX11LIM111LIM11LIM1111所以要使函数在X1处可导必须A2此时B116已知002XXXXXF求F0及F0又F0是否存在解因为F010LIM0LIM00XXXFXFXXF000LIM0LIM200XXXFXFXX而F0F0所以F0不存在17已知FX00SINXXXX求FX解当X0时FXXFX1因为F010SINLIM0LIM00XXXFXFXXF010LIM0LIM00XXXFXFXX所以F01从而FX010COSXXX18证明双曲线XYA2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2A2解由XYA2得XAY222XAYK设X0Y0为曲线上任一点则过该点的切线方程为02020XXXAYY令Y0并注意X0Y0A2解得0022002XXAXYX为切线在X轴上的距令X0并注意X0Y0A2解得00022YYXAY为切线在Y轴上的距此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为200002|2|2|2|21AYXYXS习题221推导余切函数及余割函数的导数公式COTXCSC2XCSCXCSCXCOTX解XXXXXXXX2SINCOSCOSSINSINSINCOSCOTXXXXX22222CSCSIN1SINCOSSINXXXXXXCOTCSCSINCOSSIN1CSC22求下列函数的导数11227445XXXY2Y5X32X3EX3Y2TANXSECX14YSINXCOSX5YX2LNX6Y3EXCOSX7XXYLN83LN2XEYX9YX2LNXCOSX10TTSCOS1SIN1解1122741227414545XXXXXXY2562562282022820XXXXXX2Y5X32X3EX15X22XLN23EX3Y2TANXSECX12SEC2