北航理论力学习答案

13解运动方程TANLY，其中KT。将运动方程对时间求导并将030代入得34COSCOS22LKLKLYV938COSSIN2232LKLKYA16证明质点做曲线运动，所以质点的加速度为NTAAA,设质点的速度为V，由图可知AAVVYNCOS，所以YVVAAN将CVY，2NVA代入上式可得CVA3证毕17证明因为N2AV，VAAVASINN所以VA3V证毕110解设初始时,绳索AB的长度为L,时刻T时的长度为S,则有关系式TVLS0，并且222XLS将上面两式对时间求导得0VS，XXSS22XYOANAVYVTAYZOANAXOVOVFNFGMY由此解得XSVX0（A）A式可写成SVXX0，将该式对时间求导得2002VVSXXXB将A式代入B式可得3220220XLVXXVXAX（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFFAMMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程NFFYMFMGXMSINCOS其中2222SIN,COSLXLLXX0,3220YXLVX将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得232201XLXLVGMF111解设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RVB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即COSABVV（A）因为AXOAVAXOBVBRXRX22COS（B）将上式代入（A）式得到A点速度的大小为22RXXRVA（C）由于XVA，（C）式可写成RXRXX22，将该式两边平方可得222222XRRXX将上式两边对时间求导可得XXRXXRXXX22322222将上式消去X2后，可求得22242RXXRXD由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为22242RXXRAA取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFFAMMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程MGFFYMFXMNSINCOS其中XRXXR22COS,SIN,0,22242YRXXRX将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525,225222242RXXRMMGFRXXRMFN113解动点套筒A；XAVAONFBRGMFYAVEVRV动系OC杆；定系机座；运动分析绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAVVV有EACOSVV，因为AB杆平动，所以VVA，由此可得ECOSVV，OC杆的角速度为OAVE，COSLOA，所以LV2COS当045时，OC杆上C点速度的大小为LAVLAVAVC245COS02115解动点销子M动系1圆盘动系2OA杆定系机座；运动分析绝对运动曲线运动相对运动直线运动牵连运动定轴转动根据速度合成定理有R1E1A1VVV，R2E2A2VVV由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即A1A2VV，由上两式可得R1E1VVR2E2VVAE1VE2VR2VR1VX将（A）式在向在X轴投影,可得0R20E20E130COS30SIN30SINVVV由此解得SMBOMVVV/409330COS30SIN30TAN30TAN020120E1E20R23202E2OMVSMVVVVM/529022R2E2A2117解动点圆盘上的C点；动系O1A杆；定系机座；运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理有REAVVV（A）将（A）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得0E0A30COS30COSVV，0R0A30SIN30SINVVRVVAE，RVVRA，502O1E1RRCV根据加速度合成定理有CAAAAARNETEA（B）将（B）式在垂直于O1A杆的轴上投影得CAAAA0NE0TE0A30SIN30COS30SIN其中2ARA，21NE2RA，R12VACAVEVRVATEANEARACA由上式解得2TE11232RA119解由于ABM弯杆平移，所以有MAMA,AAVV取动点滑块M；动系OC摇杆；定系机座；运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAVVV可求得M/S2222EABVVVVAM，M/S2ERBVV，RAD/S324512211AOVA根据加速度合成定理CAAAAAARNETENATA将上式沿CA方向投影可得CAAAATE0NA0TA45SIN45COS由于221NAM/S316LA，2TEM/S1BA，2RM/S82VAC，根据上式可得2TA231527316S/MA，2TA1RAD/S1610LA120解取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析AVEVRVNARATACANEATEAAVMOABRVEV绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中RROMV260COS0E根据速度合成定理REAVVV可以得到RRVV3260TAN2TAN0EA，RVV460COS0ER加速度如图所示，其中2022E260COSRROMA，2R82RVAC根据加速度合成定理CAAAAREA将上式在X轴上投影，可得CAAACOSCOSEA,由此求得2A14RA121解求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取动点汽车B；动系汽车A（OXY）；定系路面。运动分析绝对运动圆周运动；相对运动圆周运动；牵连运动定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理XCAAMOABRAEAOXYEVAVRVREAVVV将上式沿绝对速度方向投影可得REAVVV因此AERVVV其中AABBRVRVVV,EA，由此可得M/S9380RBAABVVRRV求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有22RNRRM/S781BRVAA123质量为M销钉M由水平槽带动，使其在半径为R的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速V向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有REAVVV由此可求出COSCOSEAVVV。再根据加速度合成定理有REAAAA由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0EA，并且上式可写成RNATAAAAYXNRAOMROVGMOFMROVGMFRAEVAVRVMRONAMROTA因为222ANACOSRVRVA，所以根据上式可求出32NATACOSSINTANRVAA。根据矢量形式的质点运动微分方程有GFFAAMMONATA将该式分别在水平轴上投影COSCOSSINNATAOFAAM由此求出42COSRMVFO124图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为L，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度A沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有ERFGFAMM将上式在切向量方向投影有COSFSINMGMLMATRE因为,EEMAMAFDDDDDDDDTT，所以上式可写成COSSINDDMAMGML整理上式可得DCOSDSINDAGL将上式积分CAGLSINCOS22其中C为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度LVR，上式可写成AMTEAGMEFFCAGLVSINCOS22R初始时0，系统静止，0EAVV，根据速度合成定理可知0RV，由此确定GC。重物相对速度与摆角的关系式为SIN1COS22RAGLV126水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图78），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为OR，求小球到转轴的距离为ORR时的相对速度。解取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有CMFFFAER将上式在RV上投影有COSDDERTRFTVMMA因为2EMRF，TRRVTVDDDDDDRR，COSDDRVTR，所以上式可写成COSDDCOS2RRMRRVMV整理该式可得2RRDDRRVV将该式积分有CRV222R2121初始时ORR,0RV,由此确定积分常数2221ORC，因此得到相对速度为22RORRV127重为P的小环M套在弯成2CXY形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴X以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。RROOCFEFRROFRVO解取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0RA，因为金属丝为曲线，所以0RV，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中PFF,E分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有0EPFF其中2EYGPF，将上式分别在YX,轴上投影有0COS0SINEFFFP（A）以为XYDDTAN，XCY2,22DDXCXY,因此22TANXC（B）由（A）式可得ETANFP（C）将2EYGPF和式（B）代入式（C），并利用2CXY，可得31223124,GCYGCX再由方程（A）中的第一式可得3424421111GCPCXPTANPSINPF21解当摩擦系数F足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力NFFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量R2VPMXYMXYMFEFPVRVNFFG1MG2MX将其在X轴上投影可得BTMVMPX2R2根据动量定理有GMMFFFFBMTPNXDD212即当摩擦系数GMMBMF212时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数GMMBMF212时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为VVVP1R2MM将上式在X轴投影有VMMBTMVMVVMPX2121R2根据动量定理有GMMFFFFAMMBMTPNXDD21212由此解得平台的加速度为FGMMBMA212（方向向左）22取弹簧未变形时滑块A的位置为X坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为R111VVVVVPMMMM将上式在X轴投影COS1LXMXMPX根据动量定理有系统的运动微分方程为TLMKXXMMSIN21124取提起部分为研究对象，受力如图A所示，提起部分的质量为VTM，提起部分的速度为V，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为RV，方向向下，大小为V（如图A所示）。NFGMG1MFXVRVKXFLMXMMTPXSINDD211VRVGMTFYAB根据变质量质点动力学方程有VVTTTMMTTMRRDDDDVGFVGFV将上式在Y轴上投影有DD2RVVGTTFVVGVTTFTVM由于0DDTV，所以由上式可求得2VVGTTF。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即GVTLFN25将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有TMMTMNDDDDRVFGFV船的质量为QTMM0，水的阻力为VFF将其代入上式可得R0DDVFGVVQMFTQTMN将上式在X轴投影DDVR0VQFVTQTM。应用分离变量法可求得CQTMQFFVQVLNLN0R由初始条件确定积分常数0LNLNMQFQVCR，并代入上式可得QFMQTMFQVV100R28图A所示水平方板可绕铅垂轴Z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为M的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方板的速度大小为U（常量）。圆盘中心到转轴的距离为L。质点在方板上的位置由确定。GMNFVX初始时，0，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。图A图B解取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴Z的力矩为零，因此系统对Z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为1L，其角速度为，于是有JL1设质点M对转轴的动量矩为2L，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为RE,VV。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度REAVVV。它对转轴的动量矩为R2E2A22VVVMLMLMLL其中SINCOS222E2RRLMMRMLVR2RR2SINCOSCOSVMRVRLMMLV系统对Z轴的动量矩为21LLL。初始时，UVR,0,0，此时系统对Z轴的动量矩为URLML0当系统运动到图812位置时，系统对Z轴的动量矩为MURLMLRRLJUMRURLMRRLMJLCOSCOS2SINCOSCOSSINCOS22222ZULROGOLRVEVRM由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有0LL，因此可得MURLMLRRLJURLMCOSCOS222由上式可计算出方板的角速度为COS2COS122LRRLMJUML211取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为22RRAJLLOO根据动量矩定理有GRXAGRXARRAJTLLLLOO2DD2整理上式可得由运动学关系可知XR，因此有XR。上式可表示成XGRXRRAJLLO2222令22222RRAJGRLOL，上述微分方程可表示成02XX，该方程的通解为TTECECX21根据初始条件0,00XXXT可以确定积分常数2021XCC，于是方程的解为TXXCH0系统的动量在X轴上的投影为XRRRRPLLLX22DSIN02系统的动量在Y轴上的投影为XXRXRXARXAPLLLLY22根据动量定理YOFOXFPGRXRRAJLLO222GRAPFPFPLYYXX200由上式解得TRXFLOXCH220，TCH222202XGRAPFLLOY214取整体为研究对象，系统的动能为222121CCAVMMVT其中CAVV,分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若RV是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知COTVVAC，因此系统的动能可表示为22222COT21COT2121ACACAVMMVMMVT，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有WTD，系统的动力学方程可表示成TMGVVVMMVMMAAACACDDCOTCOT21D222由上式解得2COTDDCAAMMMGTVA，OTACAA217质量为0M的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为30MMM光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处030时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。GMCVAVRVRABRABRVEVGMG0MNF图A图B解取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为RV，物块的速度为EV，则系统的动能为COSSIN212121212R2RE2E02A2E0VVVMVMMVVMT设0为势能零点，则系统的势能为SINMGRV根据机械能守恒定理和初始条件有0VT，即SINCOSSIN21232R2RE2EMGRVVVMMV1系统水平方向的动量为SINREE0VVMVMPX2根据系统水平动量守恒和初始条件由2式有0SIN3REEVVMMV由此求出SIN41REVV，将这个结果代入上面的机械能守恒式1中,且030最后求得1521,154ERGRVGRV下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为RA，物块的加速度为EA，对于小球有动力学方程GFAAAAMMMTRNREA（A）ARBGMFTRAEARABFEAG0MNF图C图D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有NFGFA0E0MM（B）将方程（A）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得SINCOSENRMGFAAM其中相对加速度为已知量，RVA2RNR。将方程（B）在水平方向和铅垂方向投影，可得SIN0COS0E0FGMFFAMN令030，联立求解三个投影方程可求出MGFMGFGAN62673,7594,153472E218取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有COS1212MGRRM（A）将上式对时间T求导并简化可得SINRGB每个小球的加速度为JIAAACOSSINSINCOS22NTRRRRMM取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理IIFACIM将上式在Y轴上投影可得GMMGFRRMMN0202COSSIN20TMAG0MGMNMANFGM将A,B两式代入上式化简后得COSCOSMGGMFN232200NF时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成02COS2COS302MM上述方程的解为2313131COS0MM圆环脱离地面时的值为MM2313131ARCCOS01而MM2313131ARCCOS02也是方程的解，但是1时圆环已脱离地面，因此2不是圆环脱离地面时的值。219取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为RV，牵连速度为EV，由系统对Z轴的动量矩守恒，有0COSRE20RMVRMVRMLZ其中RVE，则上式可表示成RMVRMMCOSR20由此解得RVRMMMVCOSCOSR0R其中MMM0，RH2TAN根据动能定理积分式，有2112WTTMGNHWMVRMTT212A220212121,0其中2R2RE2ASINCOSVVVV，将其代入动能定理的积分式，可得MGHNVVRMRM2SINCOS2R2R220将RVCOSR代入上式，可求得2RCOS12GHNV则2COS12COSGHNRZEVRV由2R2RE2ASINCOSVVVV可求得212RACOS21VV220取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为3RLO外力对O轴的矩为SINDCOSDCOS220202GRGRRGRGRSGRGRMRROSIN223GRGRRMLOO因为DDDDDDDDDDVRVVTVTVR，所以上式可表示成SINDDSINGGVRVGGRDSINDRGVV积分上式可得CRGVCOS212122由初始条件确定积分常数GRC，最后得212/COS22GRV33取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理REAVVV可得LVVE0A30COS，LVVVBCB332A研究AD杆，应用速度投影定理有030COSDAVV，LVD334再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理RDBCDVVV将上式在X轴上投影有RDBCDVVV，LVVVBCDD332R34AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度AVEVRVAVDVRDVSDGGRSAOVA/0CM4510AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有RAD/S23ACVAABBCVABB，设OB杆的角速度为，则有RAD/S415OBVB设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度CPVABP齿轮I的角速度为RAD/S61RVPI36AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有BAABVVV将上式在AB连线上投影，可得0,01BOBV因此，041ABVAAB因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式NTBABAABAAAA将上式在AB连线上投影，可得N060COSBAABAAA，RAB2052201231BOABBO（瞬时针）AVBVPVCABIBVBAVAVAABATBAANBAA37齿轮II作平面运动，取A为基点有NTBABAABAAAANT1BABAAAAA将上式在X投影有N1COSBAAAA由此求得212N2COS2RAARABAII再将基点法公式在Y轴上投影有2T2SINRAAIIBA，由此求得22SINRAII再研究齿轮II上的圆心，取A为基点NTNT2222AOAOAOOAAAAA将上式在Y轴上投影有2SIN2TT22ARAAIIAOO，由此解得2SIN2121T221RRARRAOOO再将基点法公式在X轴上投影有N1N22AOOAAA由此解得2COS1N2AAAO，又因为221N212OOORRA由此可得2COS21121RRAAOO39卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为V，卷筒的角速度为RRVDCVT2AOAN2AOAXYN2OAT2OA角加速度为RRARRV卷筒O点的速度为RRVRRVOO点作直线运动，其加速度为RRARRRRVVAOO研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。N0TBBOOBAAAA将其分别在X,Y轴上投影NTBOBYBOOBXAAAAA4222224VRRARRRAAABYBXB同理，取O为基点，求C点的加速度。N0TCCOOCAAAA将其分别在X,Y轴上投影NT0COCYCOOCXAAAAA22RRRVAACYC310图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有M/S2OAVVABAB杆的角速度0AB圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为M/S4RVBB圆盘上C点的速度为M/S22PCVBCAB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点根据基点法公式有TNTBAABBBAAAAAOANCOAOTCOACBTBOANBOABTBAATBAAANBAAVBVBPCVBV将上式在X轴上投影可得0TBA因此22NM/S8RVAABBB由于任意瞬时，圆盘的角速度均为RVBB将其对时间求导有RARVBBBT，由于0TBA，所以圆盘的角加速度0BB。圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有NNTCBBCBCBBCAAAAAA22N2NM/S28CBBCAAA313滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，AB杆的角速度为RAD/S1APVAAB杆上C点的速度为M/S20PCVABC取AB杆为动系，套筒C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有REAVVV其中CVVE，根据几何关系可求得M/S153RAVVAB杆作平面运动，其A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知NTNTBABABABAABAAAAAA由该式可求得20NM/S8030SINBABAABCBANBCAEVRVAVPBATBAANBAACAARAEAKA由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为2M/S4050BCAA再取AB杆为动系，套筒C为动点，根据复合运动加速度合成定理有KREAAAAA其中AK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即2EM/S40A将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有K0E0A30COS30COSAAA科氏加速度RK2VAAB，由上式可求得2AM/S32A314取圆盘中心1O为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有REAVVV速度图如图A所示。由于动系平移，所以UVE，根据速度合成定理可求出UVVUVVVO2SIN,3TANEREA1由于圆盘O1在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为RURV2R由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取1O为基点根据基点法公式有11BOOBVVVURVVBOBX0030SIN30SIN1UVVVBOOBY3230COS011O1OAUB1OV1BOV图BRVAVOABUEV1O图AUVVVBYBXB1322为求B点的加速度，先求1O点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心1O为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有TRNREAAAAA（A）其加速度图如图C所示，RURRVA2NRNR，将公式（A）在X和Y轴上投影可得SINCOSCOSSIN0NRTRANRTRAAAYAAX由此求出RUAARUAO2A2TR2,31，圆盘的角加速度为22TR3RURA下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，1O为基点，应用基点法公式有NT111BOBOOBAAAA（B）将（B）式分别在YX,轴上投影0T0N0T0N30COS30SIN30SIN30COS11111BOBOOBYBOBOBXAAAAAAA其中RURABO22N41，RURABO2T31由此可得RUAB237315（B）取BC杆为动系（瞬时平移），套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有T1BOAAAO1OBXYN1BOA图DTRANRAOYX图C1OAAVEVRVREAVVV由上式可解得RVV3330TAN0AE因为BC杆瞬时平移，所以有RVVCD33E315（D）取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为BC根据速度合成定理有REAVVV根据几何关系可求出RCPRPO316,382将速度合成定理公式在X,Y轴上投影BCYYYYBCXXXAOVVVVPOVVVV2EREA2RREA由此解得RVRBC2332,41DC杆的速度RCPVBCC34316BBC杆作平面运动,根据基点法有NTNTNTCBCBBBCBCBBCAAAAAAAA由于BC杆瞬时平移,0BC,上式可表示成TNTCBBBCAAAA将上式在铅垂轴上投影有0TN30SIN0CBBAA由此解得TCBACANBATBABCAVEVCVPRVYXBCTCBACANBATBABC261BC再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。KREAAAAAAAA其中KA为科氏加速度,因为0AB,所以0KA动点的牵连加速度为TENEECCCAAAA由于动系瞬时平移,所以0NECA,ACABCCTE牵连加速度为TEECCAAA,则A式可以表示成RTEAAAAAACCA将上式在Y轴上投影TE0030COS30COSCCAAAA由此求得RAC29321316D取BC杆为动系，套筒A为动点，动点A的牵连加速度为NTEACACCAAAA动点的绝对加速度为KACACCAAAAAARNTA其中KA为动点A的科氏加速度。将上式在Y轴上投影有KACCAAAAT00A30COS30COS上式可写成R002230COS30COSVACARBCBCCA其中RVRBC2332,41（见315D）BC为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点，套筒2O为动系，由加速度合成定理有AATECARACAYAKARAYXBCTACANACACAKCREACAAAAA其中NTE22COCOAAA，上式可表示为KCOCOCRNT22AAAAA将上式在Y轴投影有KCOCAAA30COST02该式可表示成02030SIN230COSCBCBCCVCOA（B）联立求解A,B可得2283,934BCCRA317AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，可以证明任意瞬时，速度瞬心P均在以O为圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为RVAPVAAAB2杆上B点的速度为AABBVPBV22AB杆的角加速度为0APVAABAB取A为基点，根据基点法有NTNBAABABAABAAAAAA将上式分别在X,Y轴上投影有RVSINAAARVCOSAAABAABYABABX434544520N20NKACARAYXBCT2COAN2COABVPORORAANBAAXYRVAAAABYBXB410222318取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系REACCCVVV根据几何关系可求得RVVCC3RE再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系READDDVVV由于BD杆相对动系平移，因此RRDCVV将上式分别在X,Y轴上投影可得RVVRVVVDYDDDXD2330COS2330SIN0RA0REA求加速度研究C点有KREACCCCCAAAAA将上式在Y轴投影有0K0R0E30SIN30COS30SIN0CCCAAA由此求得RAC2R3再研究D点KREADDDDDAAAAA由于BD杆相对动系平移，因此RRDCAA将上式分别在X,Y轴上投影有RAAAARAAADDDDDDD20K0REAY20K0RAX23330SIN30COS2930COS30SIN321由于圆盘纯滚动，所以有RAC根据质心运动定理有ACVECVRCVEDVRDVXYXYRCAACACKAECARDADKAEDACAMGFFFFMANSCSIN0COS根据相对质心的动量矩定理有02FRRFMS求解上式可得COS220RMRRFRAC，SINFMGFN2202COSRRRFFS若圆盘无滑动，摩擦力应满足NSFFF，由此可得当SINFMG时，322研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有ANCFMGMA根据相对质心的动量矩定理有COS21212LFMLANAB刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。有运动关系式COS2LAABC求解以上三式可求得MGFAN52325设板和圆盘中心O的加速度分别为MIN2202SINCOSFRFMGRRFFGMANFCAAAABPOAA,1，圆盘的角加速度为，圆盘上与板的接触点为A，则A点的加速度为NTAOAOOAAAAA将上式在水平方向投影有1TARAAAAOAOOAX（A）取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有22FAMOB应用相对质心动量矩定理有RFRM22221C再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有211FFFAMSD作用在板上的滑动摩擦力为GMMFFFFNS21E由ABCDE联立可解得21211333MMGMMFFA329解由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和222221221212121AAAABCCJVMJVMT其中,SIN,SINSIN,2,RLRVLLVLVAAABACAB2NFG2M2FOATAOA1ANAOAARNFG1MFSFG2M2FAAVCVABP因此系统的动能可以表示成222222122222221212SIN4361SIN221SIN211221221LMLMRLRMLMLMLMT系统从045位置运动到任意角位置，AB杆的重力所作的功为SIN45SIN20121LGMW根据动能定理的积分形式2112WTT初始时系统静止，所以01T，因此有SIN45SIN2SIN4361012222221LGMLMLM将上式对时间求导可得COS2COSSIN23SIN2331132222221LGMLMLMLM将上式中消去可得COS2SINCOS23SIN2331122222221LGMLMLMLM根据初始条件045,0，可求得初始瞬时AB杆的角加速度LMMGM9423211因为0，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在AC点，由此可求出AB杆上A点的加速度94345COS45SIN21100MMGMLLAABA333设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示根据冲量矩定理有G1MACAAAVABCVCIVMVMCA21A其中CV为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有ABACLVV2B再根据对固定点的冲量矩定理IAAML系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为ABCALMLVML2221212将其代入冲量矩定理有LILMLVMABC2221212C由（A,B,C）三式求解可得292MIVA滑块的真实方向与图示相反334研究整体，系统对A轴的动量矩为BCAACAALLL其中AC杆对A轴的动量矩为ACACAMLL231设1C为BC杆的质心，BC杆对A轴的动量矩为BCCBCAMLLMVL2121231BCACCCCCLLVVV211根据冲量矩定理ILLA2可得LIMLMLBCAC26561122（A）CYICXIBC1CVCVC再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为BCACBCCCMLMLMLLMVL222312112121根据冲量矩定理ILLC有LIMLMLBCAC223121（B）联立求解（A）,B可得2RAD/S5276MLIAC335碰撞前，弹簧有静变形KMGST第一阶段3M与1M通过完全塑性碰撞后一起向下运动，不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有GHMVMM2331碰撞结束时两物体向下运动的速度为22GHV第二阶段3M与1M一起向下运动后再回到碰撞结束时的初始位置，根据机械能守恒可知此时的速度向上，大小仍然为22GHV第三阶段3M与1M一起上升到最高位置，此时弹簧被拉长。根据动能定理2112WTT有223123122210KKGMMVMMSTST上式可表示成22222222232222KMGKGMKKGMKMGMGMGH3MSTV3MSTV若使2M脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有KMG，将KMG代入上式求得KMGH8。若KMG，则KMGH8注上述结果是在假设3M与1M始终粘连在一起的条件下得到的，若3M与1M之间没有粘着力，答案应为KMGH9，如何求解，请思考。336取AB杆为研究对象，初始时，杆上的A点与水平杆上的O点重合，当0T时系统静止，0TAB杆上A点的速度为V，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得021212LMLMVLCO其中LVLVVAC由此解得LV43当0T时，滑块A以加速度A向右运动，取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有SINLMGCOSMALLM2231将上式积分并简化可得CGALCOSSIN322其中C是积分常数由初始条件,0确定出GLVC832。上式可表示成83COSSIN3222FGLVGAL若AB杆可转动整圈，则应有0，因此0F。若F的最小值大于零，则AB杆AYFAXFBAGMAAM就可以完成整圈转动。下面求F的极值。GLVGAF83COSSIN2将上式求导令其为零有0SINCOSGAF求得极值点为GATAN当2222COS,SINGAGGAA，函数F取最大值当2222COS,SINGAGGAA，函数F取最小值，若使最小值大于零，则有083833222222222222GLVGAGLVGAGGAAL由此求得83222GAGLV46图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，设其角加速度为AB，则质心加速度为2LCPAABABC2LMMAFABCCIABCIMLM2121根据动静法有0PM022CICIMLFCOSLMG2RAD/S5283COS23LGAB0YF0COSCIAFMGFN7357COS4312MGFA0XF0SINBCIFFN4176COSSIN43MGFB47（1）取AB杆和滑块C为研究对象AB杆平移，质心加速度如图所示CIMAF根据动静法有BFAFPCIFCIMCAABGMCABFAAIFAFGMX0XF030SIN0IFMGGGAC5030SIN0（2）滑块C无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，其加速度垂直于AD，如图所示。两者加速度的关系为030SINACAACABAABABICCCIMMMAMFAMF,根据动静法有0XF030SIN30SIN00CIABIFFMG由此求得GAGACA6250,251（3）先研究滑块C根据约束可知030SINACYAACYCCIYCXCCIXAMFAMF,根据动静法有0XF0CIXFFCXCAMF0YF0GMFFCCIYN030SINACCNAMGMF因为NFFF，所以有关系式30SIN0ACCCXCAMGMFAM即30SIN0ACXAGFA再研究整体，应用动静法有0XF00030COS30SIN30SINCIXCIYABIFFFMG上式可表示成0002030COS30SIN30SIN30SINACACAABAGFMAMAMMG由上式解得2M/S64667760GAAAABFAAAFGMXCACIFABIFAAXCXACYAGCMXCIYFCIXFNFFYAFABIFCIXFAABFCIYF20M/S24330SINACXAGFA，20M/S32330SINACYAA，2M/S644CA48（1）研究AB杆，将惯性力向杆的质心简化，RMFI222NRMFI22T22121RMMI根据动静法有0AM022NRFMRFBII，N286143612MRFB0XF045COS45COS0T0NIIAXFFFN1226212MRFAX0YF045SIN45SIN0T0NBIIAYFFFF，N3316AYF（2）若0BF，必有23，因此当2RAD/S6，RAD/S249设OA杆和AB杆的角加速度分别为ABOA,。将各杆的惯性力向各自质心简化。,