历届江苏高中数学竞赛试题及答案

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准说明1评阅试卷时,请依据本评分标准选择题、填空题只设6分和0分两档其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次,3分为一个档次,不要再增加其他中间档次一选择题本题满分36分,每小题6分1函数YFX的图像按向量,24A平移后,得到的图像的解析式为SIN24YX那么YFX的解析式为ASINYXBCOSYXCSIN2YXDCOS4YX答B解SIN44YX,即COSYX故选B2如果二次方程20,XPXQPQN的正根小于3,那么这样的二次方程有A5个B6个C7个D8个答C解由240,0PQQ,知方程的根为一正一负设2FXXPXQ，则23330FPQ,即39PQ由于,PQN，所以1,5PQ或2,2PQ于是共有7组,PQ符合题意故选C3设0AB,那么21ABAB的最小值是A2B3C4D5答C解由0AB,可知22210424AABABBA,所以，222144AABABA故选C4设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A不存在B只有1个C恰有4个D有无数多个答D解设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为M、N,直线M、N确定了一个平面作与平行的平面,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形而这样的平面有无数多个故选D5设数列NA01212,16,1663NNNAAAAA,NN,则2005A被64除的余数为A0B2C16D48答C解数列NA模64周期地为2，16，2，16，又2005被4除余1,故选C6一条走廊宽2M,长8M,用6种颜色的11M2的整块地砖来铺设每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多,要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有A830个B73025个C73020个D73021个答D解铺第一列两块地砖有30种方法；其次铺第二列设第一列的两格铺了A、B两色如图，那么，第二列的上格不能铺A色若铺B色，则有61种铺法；若不铺B色，则有262种方法于是第二列上共有21种铺法同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法因此，共有73021种铺法故选D二填空题本题满分36分,每小题6分7设向量OA绕点O逆时针旋转2得向量OB,且27,9OAOB,则D1C1B1A1DCBAPAB向量OB（115，235）解设,OAMN,则,OBNM,所以22,27,9OAOBMNNM即27,29MNMN解得23,5115MN因此，23111123,5555OAOB故填1123,558设无穷数列NA的各项都是正数,NS是它的前N项之和,对于任意正整数N,NA与2的等差中项等于NS与2的等比中项,则该数列的通项公式为AN4N2NN解由题意知222NNAS，即228NNAS由11AS得11222AA,从而12A又由式得211228NNASN,于是有1NNNASS22122288NNAAN,整理得1140NNNNAAAA因10,NNAA,故1142,2NNAANA所以数列NA是以2为首项、4为公差的等差数列，其通项公式为241NAN，即42NAN故填42NANNN9函数XXXY|2COS|COS|R的最小值是22解令|COS|0,1TX，则2|21|YTT当212T时，221921248YTTT，得222Y；当202T时，221921248YTTT，得2928Y又Y可取到22,故填2210在长方体1111ABCDABCD中,12,1ABAAAD,点E、F、G分别是棱1AA、11CD与BC的中点,那么四面体1BEFG的体积是VB1EFG38解在11DA的延长线上取一点H，使114AH易证，1|HEBG，|HE平面1BFG故1111BEFGEBFGHBFGGBFHVVVV而198BFHS，G到平面1BFH的距离为1故填138BEFGV11由三个数字1、2、3组成的5位数中,1、2、3都至少出现1次,这样的5位数共有150个解在5位数中,若1只出现1次，有1123544470CCCC个；若1只出现2次，有21253360CCC个；若1只出现3次，有315220CC个则这样的五位数共有150个故填150个12已知平面上两个点集22,|1|2,MXYXYXYXYR,|1|1,NXYXAYXYR若MN,则A的取值范围是16，310解由题意知M是以原点为焦点、直线10XY为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N是以,1A为中心的正方形及其内部的点集如图考察MN时,A的取值范围令1Y,代入方程22|1|2XYXY,21463571YX123123O得2420XX，解出得26X所以，当26116A时,MN令2Y，代入方程22|1|2XYXY,得2610XX解出得310X所以，当310A时,MN因此,综合与可知，当16310A，即16,310A时,MN故填16,310三解答题第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分13已知点M是ABC的中线AD上的一点,直线BM交边AC于点N,且AB是NBC的外接圆的切线,设BCBN,试求BMMN用表示证明在BCN中，由MENELAUS定理得1BMNACDMNACDB因为BDDC，所以BMACMNAN6分由ABNACB，知ABNACB，则ABACCBANABBN所以，2ABACCBANABBN，即2BNBCANAC12分因此，2BNBCMNBM又BCBN，故2BMMN15分14求所有使得下列命题成立的正整数2NN对于任意实数12,NXXX,当10NIIX时,总有110NIIIXX其中11NXXABCDNM解当2N时，由120XX，得21221120XXXXX所以2N时命题成立3分当3N时，由1230XXX，得22221231231223312XXXXXXXXXXXX22212302XXX所以3N时命题成立6分当4N时，由12340XXXX，得2122334411324240XXXXXXXXXXXXXX所以4N时命题成立9分当5N时，令121XX，42X，350NXXX,则10NIIX但是,1110NIINXX，故对于5N命题不成立综上可知，使命题成立的自然数是2,3,4N15分15设椭圆的方程为2210XYABAB,线段PQ是过左焦点F且不与X轴垂直的焦点弦若在左准线上存在点R,使PQR为正三角形,求椭圆的离心率E的取值范围,并用E表示直线PQ的斜率解如图,设线段PQ的中点为M过点P、M、Q分别作准线的垂线,垂足分别为P、M、Q,则11|222PFQFPQMMPPQQEEE6分假设存在点R，则3|2RMPQ，且|MMRM，即|3|22PQPQE，PMMFRPQOXYQ所以，33E12分于是，EPQEPQRMMMRMM31|322|COS，故21COT31RMME若|PFQF如图，则131COTTANTAN2ERMMFMMQFXKPQ18分当33E时,过点F作斜率为2131E的焦点弦PQ,它的中垂线交左准线于R,由上述运算知,3|2RMPQ故PQR为正三角形21分若|PFQF，则由对称性得2131PQKE24分又1E,所以，椭圆2210XYABAB的离心率E的取值范围是3,13E，直线PQ的斜率为2131E161若NNN个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求N的最小值,并说明理由；2若NNN个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005,求N的最小值,并说明理由解1因为3333101000,111331,121728,132197,3312200513，故1N因为3333200517281251252712553，所以存在4N，使MIN4N6分若2N，因3310102005,则最大的正方体边长只能为11或12，计算33200511674,200512277，而674与277均不是完全立方数,所以2N不可能是N的最小值9分若3N，设此三个正方体中最大一个的棱长为X,由328320053X,知最大的正方体棱长只能为9、10、11或12由于3932005,5479220053,0829200533,所以9X由于510220053,332005109276,332005108493,07210200533,所以10X由于332005118162,332005117331,06211200533,所以11X由于33200512661,33320051251525,所以12X因此3N不可能是N的最小值综上所述，4N才是N的最小值12分2设N个正方体的棱长分别是12,NXXX，则3332005122002NXXX由20024MOD9，341MOD9，得20052005668313668200244444MOD915分又当XN时，30,1MOD9X，所以31X4MOD9，3312XX4MOD9，333123XXX4MOD921分式模9,由、可知,4N而33332002101011，则2005200433336683333320022002101011200210101166836683668366832002102002102002200224分因此4N为所求的最小值2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案一、选择题1已知,ABN，100A是一个120位数，BA是一个10位数，则B的值是（）A7B8C9D102将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2,8若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法的种数为（）A31B27C54D623若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是（）A48B50C54D664已知,均为锐角，且满足2SINCOS，则与的关系（）ABCD25正四面体的4个面上分别写着1，2，3，4将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是（）A18B964C116D13166甲、乙、丙，3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局那么整个比赛的第10局的输方（）A必是甲B必是乙C必是丙D不能确定二、填空题7已知向量1,2A，2,1B若正数K和T使得21XATB与1YKABT垂直则K的最小值是8在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点若凸N边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则N9若实数,XY满足0X，且MAX1,12XXYX则二元函数,UY2XY的最小值是10设方程1NX（N为奇数）的N个根为1211,NXXX，则1111NKKX11用X表示实数X的小数部分，若200551318A则AA12已知P、Q、R、S是三棱锥ABCD内的四点，且Q、R、S、P分别是线段PA、QB、RC、SD的中点，若用PABCV表示三棱锥PABC的体积，其余的类推则PABCPBCDPCDAPABDVVVV三、解答题13设12,2NPPPN是1,2,N的任意一个排列求证1223211111112NNNNNPPPPPPPPN14一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为025，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用他事先决定，若这10个病人中至少有4个治好，则认为这种药有效，提高了痊愈率否则认为无效求（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到了035，但通过实验却被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过实验却被判断为有效的概率参考数据P200003000040000500006000070000800009000010000002500006250015600039000100000200001000000000000000035000122500429001500005300018000060000200001000000650004225027460178501160007540049000319002070013507500056250421903164023730178001335010010075100563答案请保留四位有效数字15设双曲线221XYSAB，00,MXYS，且000XY00,NXY，其中22001XYAB过点N的直线L交双曲线S于,AB两点，过点B作斜率为2020BXAY的直线交双曲线S于点C求证,AMC三点共线解B由题设100119LG1209LG10BAA，从而91011912B8B解A1238361到8中任取四个不同的数求和，可以得到4870C种答案（可以相同）其中和为18的共有8种8,7,2,1，8,6,3,1，8,5,4,1，8,5,3,2，7,6,4,1，7,6,3,2，7,5,4,2，6,5,4,34个红球对应序号之和小于4个蓝球序号之和的排列数为708312解C设圆柱底面半径为R，高为H则2222RHRRH，即22RHR，2R从而322222RRVRRR令20TR，则3222816121811272TVTTTTTTT当1T时，V取最小值54解C由题设2SINCOSCOSSINSINSINCOTCOSSINSIN解D4434424213416解A丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局三个人之间总共打了（8413）25局考察甲，总共打了12局，当了13次裁判所以他输了12次所以当N是偶数时，第N局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲解23AB，0AB2210XYKATBT，即12KTT解3N或43N或4显然满足题意当5N，考察其顶点111,AXY，222,AXY，333,AXY，444,AXY，555,AXY，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为,IIIAXY，PDCBAQPRS,JJJAXY，IJ则IJAA的中点必然是一个整点而由凸N边形的性质知道，线段IJAA的中点必然在该多边形的内部或者边上解1由题意12XYX，且0X,UXY2XY312,11211,01XXXX解12N22COSSINKKKXINN，1,2,3,1KN注意到2222COSSINCOS2SIN2KKKKKXIINNNN22COSSINNKNKNKIXNN11111111111KKKNKKKKKKKXXXXXXXXXX而N为奇数，所以1N为偶数，从而111112NKKNX解1记200551318B，则01B，且1AB又2005200520052005200520050053185318RRRRRRRRABCC10022004221212005025318KKKKCZ而AABB，其中ABZ，01BBA1AAAB解8124记,PBCDH为点P到平面BCD的距离其余类推设1PBCDV,2SBCDPBCDHHSDPD2SBCDV,21RBCDSBCDHHRCSC，4RBCDV,21QBCDRBCDHHQBRB，8BCDV设AP延长后交平面BCD于P则81QBCDPBCDQPPPVV71QPPP，又AQQP，151APPP15ABCDV同理1QACDV，1SABCV，1RABDV88PABCSABCVV，22PCDAQCDAVV，244PABDQABDRABDVVV8124PABCPBCDPCDAPABDVVVV证记12232111111NNNNAPPPPPPPP，12231NNBPPPPPP则21ABN（1223PPPP，故等号不成立）而21212212123NNBPPPPPNNN222221111322NNNNABNNNNN解设痊愈率为P，恰好有K个人痊愈的概率为KA，0,1,2,10K则10101KKKKACPP（1）035P，此时012305138AAAA即新药有效，并把痊愈率提高到了035，但通过实验却被否定的概率为05138（2）新药完全无效，025P，此时0123102241AAAA证设11,AXY，22,BXY，33,CXY过点M作斜率为2020BXAY的直线M，则直线M的方程为200020BXYYXXAYQ设直线M交NA与点P、交NC于点Q，,FFFXY为BC中点由,BCS得221XYAB，22331XYAB两式相减后化简后可得00FFYYXXF在直线MN上从而M为PQ中点设直线L的斜率为K，则直线L的方程为00YYKXY故12,XX是方程22002211XKXXYAB的两根整理得22220000002222221210XKYXYKXXXXABABAB将22001XYAB代入上式，得22000022221210XKYKXXXXABAB将其视为关于0XX的一元二次方程由韦达定理，有002210201121XKYXXXXAB联立，消去Y得到0022011PKYXXXBA比较式得01020211PXXXXXX从而211NPNANB下面利用平几知识证明,AMC三点共线首先假设,AMC三点共线，来证明211NPNANBFPDG过A做直线ADBC，交NC与D设G为AD中点由于ADBCPQ，,ADBCPQ的中点,GFM共线（过点N）NAAGAGAMAPNPNANBBFFCMCBPNBNP整理即得211NPNANB反之，用同一法可证明当211NPNANB时,AMC三点共线2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛加试试题参考答案一锐角三角形ABC的内切圆分别切,ABAC边于点,DE，,XY分别为ABC和ACB的平分线与DE的交点，Z为BC边的中点求证当且仅当60A时，XYZ为正三角形证记ABC的内心为I，由1118022ADEAEDABCYIB得,BIYD四点共圆又IDAB，故BYCY则ZYZBZC同理ZXZBZC，故ZXZY又ZYZC，ZYCZCYACY从而ZYAC同理ZXAB当且仅当60A时，XYZ为正三角形二求与数列2361,NNNNANN中每一项都互质的所有正整数解设质数3P，由费马小定理得121MODPP，131MODPP，161MODPP记121PRP，131PSP，161PTP，,RSTZ则222211123611236PPPPRPSPTPA336RSTP2PA为整数，而,61P2|PPA又424823A，故没有质数与数列所有的项都互质综上所述，与NA中所有项都互质的正整数只有1ZXYCBAIDE三设12345678AAAAAAAA为一凸八边形，其中任意三条对角线不共点我们把任意两条对角线的交点（不包含顶点）称为“扣”，把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形称为“子四边形”求满足以下性质的最小正整数N可以找到N个“扣”，并将它们染色，使得对任意,1,2,3,4,5,6,7,8IK，IK，,SIK为定值其中，,SIK表示以IA、KA为其中两个顶点，且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数解由题目条件，容易看出，任意四个顶点组和“子四边形”一一对应，所有“子四边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致，所以我们可以用无序四元集1234,IIII（1,2,3,4,5,6,7,8JI，1,2,3,4J）来标记以1234,IIIIAAAA为顶点的“子四边形”及其对角线交点对应的“扣”则原问题要求的性质转化为找出N个四元集，使得任意二元组,XY（XY，,1,2,3,4,5,6,7,8XY）在其中出现的次数相同每个染色的四元集中有24C个二元组，所以22481,2NCCS，即3141,2NS，故14|N，从而14N下面给出14N的满足要求的染色方法14个染色的“扣”为1,2,3,4，5,6,7,8，1,2,5,6，3,4,7,8，1,2,7,8，3,4,5,6，1,3,5,7，2,4,6,8，1,3,6,8，2,4,5,7，1,4,5,8，2,3,6,7，1,4,6,7，2,3,5,8A1A2A3A4A5A6A7A82006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006428001100本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第卷（选择题共36分）一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知数列AN的通项公式2245NANN，则AN的最大项是（）AA1BA2CA3DA42函数3LOG3XY的图像大致是（）ABCD3已知抛物线Y22PX，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，则这样的点P共有A0个B2个C4个D6个4设F（X）是定义在R上单调递减的奇函数若X1X2O，X2X3O，X3十X1O，则AFX1FX2FX30BFX1FX2FX3FX35过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有A0条B1条C4条D无数多条O11XYO11XYO11XYO11XY6在ABC中，角A、B、C所对的边分别是A、B、C，10103COS,21TANBA若ABC最长的边为1，则最短边的长为（）A255B355C455D55二填空题本大题共6小题，每小题9分，共54分7集合AXX3N，NN，03时，P271P2172P1P172质数P必为3K1型的奇数P1、P1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数所以，P1P1是24的倍数，从而P271是24的倍数设P27124M，M4若M有不同于2、3的质因数，则，P271的正因数个数311111L0；若M中含有质因数3，则，P271的正因数个数312110；若M中仅含有质因数2，则P271的正因数个数511110；所以，P3不满足条件综上所述，所求得的质数P是2或32006年江苏省高中数学联赛复赛加试试题1已知四边形ABCD是圆内接四边形，直线AC,BD相交于P点，并且ABADCBCD设E为AC的中点求证EBEDPBPD1由托勒密定理，得ABCDADBCACBD因为ABCDADBC，AEEC，所以有2ABCD2AEBD2ECBD，即有ABCDAEBDECBD在CED与BAD中，因为ABDECD，ABCDECBD，故CEDBAD，从而有CEDBAD同理可得ABEDBC，AEBDCB于是得到AEBDCB180BAD180CEDAED，此即EP平分BED因此由角平分线定理，得BPPDBEEDABADCBCD2设为A,B,C正数，记D为2AB,2BC,2CA中的最小数（1）求证存在0，使得222ABC；（）（2）求出使不等式（）成立的最小正数并给予证明21由D的定义知，D2AB，D2BC，D2CA将这三个不等式相加，得3D22222222222222ABBCCAABCABBCCAABC，即D22223ABC，故可取232不妨设ABC若BAC2，则A2BC0,且D2BC因此5D222ABC5222ABC2（BC）52BC22BC2（2BC）263BCC0，即15若BAC2,则A2B，且D2（AB）因此，2225DABC22225ABABC2224104AABBC2222ABABC0，故此时也有15为了证明15,我们取BAC2，则D22AC，此时有2222222ACABCAC223ACAC53DAC由此可见,对于任意正数15，有2221355DABCAC222ABCEPACBD2221355ABCAC222215ABCAAC，故只要15A，上式右边就大于222ABC，因此必有15综上所述，可知满足（）的最小正数为153已知N个四元集合12,NAAA，每两个有且只有一个公共元，并且有CARD12NAAAN，试求N的最大值这里CARDA为集合A中元素的个数解考虑任一元A12NAAA,如果每个IA均含有A,则由条件知,各IA中的其他元素都不相同,故CARD12NAAA3N1N,与已知条件相违因此必有一个IA不含A,不妨设A1A若含A的集合不少于5个，那么，由已知条件得知，1A与这5个集合各有一个公共元（此元当然不等于A）,而且这5个元互不相同（若有相同的，则这个公共元是两个含A的集合的公共元，于是这两个集合就有两个公共元，又与已知条件相违），从而CARD1A5，矛盾，所以含A的集合不多于4个另一方面，因为CARD1ACARD2ACARD3ACARDNA4N,所以每个元恰好属于4个集不妨设含有元B的集合为1A，2A，3A，4A，则由上述的结论可知，CARD（1A2A4ANA）34113如果N13,那么存在元C1A2A3A4A设含C的集合为5A,则5A不是1A，2A，3A，4A，因而不含B而5A与1A，2A，3A，4A各有一个公共元（当然不是B）,这4个公共元互不相同（理由同上），又都不是C,从而CARD5A5，因此N13N13是可能的，例如，不难验证，如下13个集0，1，2，3，0，4，5，6，0，7，8，9，0，10，11，12，10，1，4，7，10，2，5，8，10，3，6，9，11，1，5，9，11，2，6，7，11，3，4，8，12，1，6，8，12，2，4，9，12，3，5，7符合要求故N的最大值为132007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1已知函数2SINYX，则（B）（A）有最小正周期为2（B）有最小正周期为（C）有最小正周期为2（D）无最小正周期解2COS121SIN2XXY，则最小正周期T故选（B）2关于X的不等式02022AAXX任意两个解的差不超过9，则A的最大值与最小值的和是（C）（A）2（B）1（C）0（D）1解方程02022AAXX的两根是14XA，25XA，则由关于X的不等式22200XAXA任意两个解的差不超过9，得9|9|21AXX，即11A故选（C）3已知向量A、B，设ABA2B，5BCA6B，7CDA2B，则一定共线的三点是（A）（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D解2BDBCCDA4B2AB，所以A、B、D三点共线故选（A）4设、为平面，M、N为直线，则M的一个充分条件是（D）（A），N，MN（B）M，（C），M（D）N，N，M解（A）选项缺少条件M；（B）选项当/，时，/M；（C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），M时，M；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题故选（D）5若M、22101010NXXAAA，其中1234567IA，012I，并且636MN，则实数对,MN表示平面上不同点的个数为（C）（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个解由6514233及题设知，个位数字的选择有5种因为3217610，故（1）由321知，首位数字的可能选择有2510种；（2）由37610及54123知，首位数字的可能选择有248种于是，符合题设的不同点的个数为510890种故选（C）6已知122007122007FXXXXXXX（XR），且2321,FAAFA则A的值有（D）（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个解由题设知FX为偶函数，则考虑在11X时，恒有2123200720082007FX所以当21321AA，且111A时，恒有2321FAAFA由于不等式21321AA的解集为353522A，不等式111A的解集为20A因此当2253A时，恒有2321FAAFA故选（D）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7设NS为等差数列NA的前N项和，若105S，510S，则公差为1D解设等差数列NA的首项为1A，公差为D由题设得，545101010511DADA即，1922211DADA解之得1D8设LOGAFXXB0A且1A的图象经过点21，它的反函数的图象经过点28，则BA等于4解由题设知LOG21LOG82AABB，化简得228BABA，解之得1131AB，；2224AB，（舍去）O故AB等于49已知函数YFX的图象如图，则满足22221LG620021XXFFXXXX的X的取值范围为21X，解因为22LG620LG311LG111XXX，所以2LG6200XX于是，由图象可知，2111XX，即201XX，解得21X故X的取值范围为21X，10圆锥曲线0|3|102622YXYXYX的离心率是2解原式变形为|3|1322YXYX，即2231XY2|3|2YX所以动点,YX到定点31，的距离与它到直线03YX的距离之比为2故此动点轨迹为双曲线，离心率为211在ABC中，已知3TANB，322SINC，63AC，则ABC的面积为8362ABCS解在ABC中，由3TANB得60B由正弦定理得SIN8SINACCABB因为60322ARCSIN，所以角C可取锐角或钝角，从而31COSC23SINSINSINCOSCOSSIN36ABCBCBC故SIN83622ABCACABSA12设命题P2AA，命题Q对任何XR，都有2410XAX命题P与Q中有1XY（第9题）且仅有一个成立，则实数A的取值范围是021A或121A解由AA2得10A由0142AXX对于任何XR成立，得04162A，即2121A因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数A的取值范围是021A或121A三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13设不等式组00XYXY，表示的平面区域为D区域D内的动点P到直线0XY和直线0XY的距离之积为2记点P的轨迹为曲线C过点220F，的直线L与曲线C交于A、B两点若以线段AB为直径的圆与Y轴相切，求直线L的斜率解由题意可知，平面区域D如图阴影所示设动点为,PXY，则222XYXY，即224XY由PD知0XY，XY0，即X2Y20所以Y2X24Y0，即曲线C的方程为Y24X241Y05分设11,AXY，22,BXY，则以线段AB为直径的圆的圆心为121222XXYYQ，因为以线段AB为直径的圆L与Y轴相切，所以半径12122XXRAB，即12ABXX10分因为直线AB过点F22，0，当ABX轴时，不合题意所以设直线AB的方程为YKX22代入双曲线方程Y24X241Y0得，K2X222X24，即K21X242K2X8K240因为直线与双曲线交于A，B两点，所以K1XYOBCAE所以X1X242K2K21，X1X28K24K21所以|AB|X1X22Y1Y221K2X1X224X1X21K242K2K21248K24K21|X1X2|42K2K21|，化简得K42K210，解得K221（K221不合题意，舍去）由42K224K218K243K210，又由于Y0，所以1K33所以K2115分14如图，斜三棱柱111ABCABC中，面11AACC是菱形，160ACC，侧面11ABBA11AACC，11ABABAC求证（1）1AA1BC；（2）求点1A到平面ABC的距离证（1）设1AA中点为D，连C、D因为ABBA1，所以1AABD因为面CCAAAABB1111，所以BD面CCAA11又1ACC为正三角形，111ACAC，所以11AADC从而11AABC6分（2）由（1），有1BDCD，11BCCC，1CC面1CDB设1A到面ABC的距离为H，则1113ABCBCACBCDCHSVV因为11113CCDBCDBVCCS，所以1CDBABCSHS又1CDBD，且（第14题）B1BA1C1AC432211BDBDDCSDBC设ABC的高为AE，则2512312221212BDCCBCBC，8325411AE，41583252ABCS于是有515153H，即1A到平面ABC的距离为51515分15已知数列NA中，11A，33NNAA，22NNAA求2007A解由题设，22NNAA，则2007200520031222210032007AAAA5分由22NNAA，得22NNAA，则32232311NNNNAAAAN10分于是200720062005200219991123123212AAAA，所以A20072007易知数列11A，22A，NAN符合本题要求15分注意猜得答案NAN或20072007A，给2分16已知平面上10个圆，任意两个都相交是否存在直线L，与每个圆都有公共点证明你的结论解存在直线L，与每个圆都有公共点证明如下如图，先作直线0L，设第I个圆在直线0L上的正投影是线段IIAB，其中IA、IB分别是线段的左右A1AK10A2B1B2BM端点10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设KA是最右边的左端点，则所有右端点都在KA的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾10分再设MB是最左边的右端点，同理所有左端点都在MB的左边KA与MB不重合，线段KMAB是任意一条投影线段的一部分，过线段KMAB上某一点作直线0L的垂线L，则L与10个圆都相交15分2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1如果实数M，N，X，Y满足ANM22，BYX22，其中A，B为常数，那么MXNY的最大值为答BA2BABABC222BAD222BA解由柯西不等式ABYXNMNYMX22222；或三角换元即可得到ABNYMX，当2ANM，2BYX时，ABNYMX选B2设XFY为指数函数XAY在P1,1，Q1,2，M2,3，41,21N四点中，函数XFY与其反函数1XFY的图像的公共点只可能是点答DAPBQCMDN解取161A，把坐标代入检验，4116121，而2116141，公共点只可能是点N选D3在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么ZYX的值为答AA1B2C3D412051XYZ解第一、二行后两个数分别为25，3与125，15；第三、四、五列中的50X，165Y，163Z，则1ZYX选A4如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么答BA111CBA与222CBA都是锐角三角形B111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D111CBA与222CBA都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；111CBA的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222CBA是锐角三角形，则不妨设COS1ASIN2ACOS12A，COS1BSIN2BCOS22A，COS1CSIN2CCOS12C则212AA，212BB，212CC，即23222111CBACBA，矛盾选B5设A，B是夹角为30的异面直线，则满足条件“A，B，且”的平面，答DA不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对解任作A的平面，可以作无数个在B上任取一点M，过M作的垂线B与垂线确定的平面垂直于选D二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6设集合222XXBXXXA和，其中符号X表示不大于X的最大整数，则3,1BA解2X，X的值可取1,0,1,2当X2，则02X无解；当X1，则12X，X1；当X0，则22X无解；当X1，则32X，3X所以31或X7同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691P结果要求写成既约分数）解考虑对立事件，216916513P8已知点O在ABC内部，022OCOBOAOCBABC与的面积之比为51解由图，ABC与OCB的底边相同，高是51故面积比是519与圆0422XYX外切，且与Y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为082XXY或00XY解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以2,0为焦点、2X为准线的抛物线BOCA上的点；若切点是原点，则圆心在X轴负半轴上所以轨迹方程为082XXY，或00XY10在ABC中，若TANATANBTANATANCTANCTANB，则222CBA3解切割化弦，已知等式即CBCBCACABABACOSCOSSINSINCOSCOSSINSINCOSCOSSINSIN，亦即CBACBACOSSINSINSINSIN，即CCBA2SINCOSSINSIN1，即1COS2CCAB所以，122222CCBA，故3222CBA三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11已知函数CBXXXF22在1