线性方程组理论的若干应用论文正文

I摘要线性方程组是线性代数研究的一个重要对象之一,利用矩阵、行列式及向量空间等工具,建立了完整的线性方程组理论反过来,线性方程组理论在讨论其它问题时也有独特作用本文主要探讨了线性方程组理论在高等代数及解析几何中的一些应用,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透和内在联系关键词线性方程组,矩阵的秩,线性相关,欧式空间,直线IIABSTRACTLINEAREQUATIONSAREANIMPORTANTOBJECTOFLINEARALGEBRARESEARCHUSINGTHETOOLSOFMATRIX,DETERMINANTANDVECTORSPACE,ACOMPLETESYSTEMOFLINEAREQUATIONSISESTABLISHEDINTURN,LINEAREQUATIONSTHEORYALSOHASAUNIQUEROLEINDISCUSSINGOTHERISSUESINTHISPAPER,WEDISCUSSSOMEAPPLICATIONSOFLINEAREQUATIONSTHEORYINHIGHERALGEBRAANDANALYTICGEOMETRY,WHICHSHOWTHECONNECTIONANDMUTUALPENETRATIONOFMATHEMATICALTHEORYKEYWORDSLINEAREQUATIONS,MATRIXRANK,LINEARCORRELATION,EUROPEANSPACE,STRAIGHTLINEIII目录1引言12线性方程组及其基本理论221线性方程组的相关定义及几种表达形式222线性方程组的基本结论323解线性方程组的矩阵方法33线性方程组理论在高等代数中的应用531在多项式理论中的应用532在矩阵中的应用533在线性空间中的应用634在欧式空间上的应用74在解析几何中的应用941在平面解析几何中的应用942在空间解析几何中的应用105小结13参考文献1411引言在目前的大学阶段课程构造体系中,高等代数是非常重要的一门数学课程之一,其作为基础性且工具性课程,在我国的多个研究领域中,如自然科学研究领域和基础教育领域,都有着非常广泛的应用线性方程组也是高等代数研究中的重要研究对象,其利用矩阵、行列式及向量空间等工具,建立了完整的线性方程组理论反过来,线性方程组这个理论,在一些数学学科及实际生活中也有着广泛的应用许多学者就其进行过讨论徐德余等就当前线性方程组的发展前景以及线性方程组的一般理论做了相关的介绍3刘丁酉等通过给出线性方程组理论在证明线性相关、线性无关的几个示例来充分展示了该理论在解题过程中的应用4杨成等从线性方程组的一般形式的运用、几何应用、以及方程组有无解的判定等几个方面来讲述如何巧妙地运用该理论去解决学习、生活,工作中遇到的实际问题5本文在简单介绍线性方程组及其基本理论的基础上,主要探讨了线性方程组在高等代数及解析几何方面的应用在高等代数中,首先介绍了线性方程组及其基本理论,包括线性方程组的相关定义及几种表达形式、基本结论和解线性方程组的矩阵方法然后,探讨了线性方程组理论在多项式、矩阵、及线性空间、欧式空间这几个方面的应用最后,在解析几何方面,通过几个命题和一个例题的证明过程,讨论了如何将空间难理解的问题转化为容易求解的线性方程组问题由此可见,我们可以恰当地运用线性方程组理论知识去解决较繁琐复杂数学问题,不但有助于问题得以迅速地转化和解决,还能使复杂的问题显得既简明又优美,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透和内在联系22线性方程组及其基本理论21线性方程组的相关定义及几种表达形式定义11一般形如11112211211222221122NNNNMMMNNMAXAXAXBAXAXAXBAXAXAXB（1）每个方程对于未知量的次数都是一次的方程组称为线性方程组线性方程组有4种表述I标准型如上述方程组（1）II矩阵型令IJMNAA,12,TNXXXX,12,TMBBBB,则方程组（1）可表述为AXB（2）III列向量型令11121212221212,NNNMMMNAAAAAAAAA则方程组（1）又可表述为1122NNXXXBIV行向量型方程组（1）还可表述为1122TTTTNNXXXB定义21在方程组（1）中,若0B,即0AX,称为齐次线性方程组,若0B,称为非齐次线性方程组定义31称0AX为AXB的导出组定义41在方程组（1）中,称,AAB为（1）的增广矩阵定义51在方程组（1）中,若0AXB,则称0X为它的一个解322线性方程组的基本结论定理12线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等推论11一个含有N个未知量N个方程的齐次线性方程组,其有非零解的充分必要条件为方程组的系数行列式是零推论21若在一个齐次线性方程组中,其方程的个数M小于未知量的个数N,那么这个方程组必有非零解定理22若线性方程组（1）有解,且其系矩阵A的秩为R,则有（L当NR时,方程组（1）有唯一解；（2当RN时,方程组（1）有无穷多解定理32齐次线性方程组其有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵A的秩必须小于它的未知量的个数N定理42设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为RN,那么它肯定存在有NR个解向量组成的基础解系,并且齐次线性方程组的随意NR个线性无关的解向量都是它的一个基础解系定理52（CRAMER法则）A是NN阶矩阵,若0A,则方程组（2）有唯一解,且有1212,NNXXX其中A,I为A中第I列将它换为B,其它各列与A一样的N阶行列式1,2,IN23解线性方程组的矩阵方法解线性方程组（2）的一般步骤为（1）列出增广矩阵,AAB；（2）将A通过行初等变换之后,化为阶梯形矩阵；（3）判断线性方程组（2）有无解；4（4）在线性方程组（2）有解的情况下,得出其通解例12判断方程组31241234123421,21,255,XXXXXXXXXXXX的可解性并求其解解因121111211112100121110002200011121550000000000A所以24RARA,此方程组有无穷多个解,其通解为112213242,1XKKXKXKX其中12,KK为任意常数53线性方程组理论在高等代数中的应用31在多项式理论中的应用多项式是代数学中的一个基本概念,在数学自身和现实应用中都能常常遇到它关于不等式的证明问题,其难度也有深有浅,处理起来也是灵活多变,而应用线性方程组理论,能使一些经常遇到的并且相对复杂的问题简单化,现举例如下例23若43235255512341|XXXXXFXXFXXFXFX,其中,1234,FXFXFXFX都是其多项式,求证0IF其中1,2,3,4I证设51X的5个根分别为2341,其中22COSSIN55I,51,它们之间互不相同,记2341234,则由假设可得32111213432212223432313233432414243411110111101111011110FFFFFFFFFFFFFFFF（3）由范德蒙行列式可得（3）的系数行列式不等于零,再由推论1可得0IF,其中1,2,3,4I32在矩阵中的应用我们先列出高等代数教材都会给出的一个定理定理62设齐次线性方程组111122121122221122000NNNNMMMNNAXAXAXAXAXAXAXAXAX（4）的系数矩阵为6111212122212NNMMMNAAAAAAAAAAA的秩RAR又设基础解系生成的解空间12,SVL则DIMVNRA其中DIMV表示的是方程组（2）中解空间的维数下面将给出利用齐次线性方程组理论证明矩阵秩的有关结论的例子例34证明MIN,RABRARB证设AMN,NSB考虑其次线性方程组0ABX（5）与0BX（6）显然（6）的解为（5）的解,由定理6,得RBRABSS,即RABBR同理RABAR,即结论成立,得证33在线性空间中的应用设12,NSP,若方程组11220SSXXX在P中有非零解,则称12,S线性相关否则称它们线性无关令12,SA,其中A是NS阶矩阵,I为N维列向量,且12,TSXXXX,那么上面方程组可改写为0AX因此12,S线性相关0AX有非零解RAS12,S线性无关0AX只有零解RAS例45设N阶矩阵A的N个列向量为12,IIINI,其中1,2IN,试问,当秩NA时,向量组12231,N的线性相关性解设122311,NNNB,则有12,NBD,其中7100001110000011000001000000110000011D且111ND即有02NDN当为偶数时,当为奇数时,又由0BX有0ADX,而RAN,故有0DX所以当N为偶数时,因0D,故0DX有非零解,即0ADXBX有非零解即是说,向量组122311,NNN线性相关当N为奇数时,因20D,故0DX有且只有非零解,即0BX有且只有非零解即是说,向量组122311,NNN线性无关34在欧式空间上的应用例56在4R中按通常内积定义求一向量与三个向量1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交解一个向量1234,0XXXXX同三个向量正交的充分必要条件是1234,XXXX是方程组1234123412340,0,230XXXXXXXXXXXX的非零解,由此可知此方程组的系数矩阵的秩为3令14X,得一解向量4,0,1,3就是所求的向量例67设12,M是N维欧式空间V中的一组向量,而8111212122212,MMMMMM证明当且仅当0时,12,M线性无关证显然数12,MXXX满足12120MMXXX的充分必要条件是数12,MXXX满足111122121122221122,0,0,0MMMMMMMMMXXXXXXXXX又由于当且仅当0时此方程组有且只有一个零解,即当且仅当此方程组的解为零时,12,M线性无关故当且仅当0时,12,M线性无关94在解析几何中的应用解析几何有机地结合了数与形,它能将几何体用代数形式巧妙地表达出来,接着经过探究代数方程的相关性质,从而揭示一个几何图形的内在本质本文在运用线性方程组理论解答解析几何问题的时候,不但使线性代数与解析几何两者之间的内在联系得到了沟通,还透视代数与几何之间的彼此渗透,也可使许多繁琐复杂的几何问题得到更为简明的刻画41在平面解析几何中的应用命题18设平面上四个点,1,2,3,4IIIPXYI112233441111XYXYAXYXY,2211112222222233332244441111XYXYXYXYBXYXYXYXY则这四个点共圆的充分必要条件为矩阵A与矩阵B的秩相等,即RARB证明设平面上圆的一般方程为220XYAXBY,其中,ABC是不全为0的常数考虑,ABC的方程组2211112222222233332244440,0,0,0XYAXBYCXYAXBYCXYAXBYCXYAXBYC（7）则由线性方程组的理论可知8四点,1,2,3,4IIIPXYI共圆关于,ABC的线性方程组（7）有解,ABCRARB证明完毕命题28设平面上有N条直线0,1,2,IIIAXBYCIN1122NNABABAB,111222NNNABCABCABC10则这N条直线会相交于一点的充分必要条件为2RARB证明考虑方程组1112220,0,0NNNAXBYCAXBYCAXBYC（8）则由线性方程组理论可知8,这N条直线相交于一点（有且只有一个公用点）方程组（8）有唯一的解,2XYRARB证明完毕命题39设三角形三条边所在的直线方程分别为1230,1,2,3,IIIIJNMAXAYAIAA的代数余子式为IJA,则三角形的面积21323332ASAAA（9）其中“”的选取使S为正值证明将随意的两条直线方程联立起来,即可得到三个方程组,因为三条边是两两相交的,因此这些方程组的系数行列式分别为132333AAA、均不为零且顶点分别为9311121123132333122232123132333,AAAXXXAAAAAAYYYAAA2123112131123122232132333132333132333132333111112222111XXXAAAAASYYYAAAAAAAAAAAAAAA证明结束42在空间解析几何中的应用命题410设有空间四个点,1,2,3,4IIIIPXYZI111112223334441111XYZXYZAXYZXYZ矩阵A的秩RAR则I4R时,四点异面；II3R时,四点共面；III2R时,四点共线；IV1R时,四点重合证明因111112,3,4210IRRIXYZAAA,故121RARARAI4R时,23RA,向量组12PP、13PP,14PP不具有线性相关性,张成整个三维空间9,即四点异面；II3R时,22RA,不妨假设2A的前两行为线性无关,即向量12PP,13PP线性无关,则该组向量可以将向量14PP线性表示出来,故四点共面,但不共线；III2R时,21RA,与前面类似分析可得12PP、13PP,14PP共线；IV1R时,20RA,即12PP、13PP,140PP四点重合,证明完毕命题510设有N个平面0,1,2,IIIIAXBYCZDIN111222NNNABCABCAABC,11112222NNNNABCDABCDBABCD则I这N个平面有且只有一个公共点3RARB；II这N个平面相交于一条直线2RARB证明I考虑方程组111122220,0,0NNNNAXBYCZDAXBYCZDAXBYCZD（10）则由方程组理论可知,这N个平面只有一个公共点方程组10有且只有唯一解3RARB12II充分性若2RARB,则由线性方程组理论能够得出,方程组（10）有无穷多个解其基础解系含有321个解向量110,全部解为1K因而,这N个平面相交于一条直线,这时这条直线的方向向量为1必要性若这N个平面相交于一条直线,则方程组（10）有无穷多个解,从而3RARB,又因为这N个平面是不重合的,1RB,故有2RARB,证明结束例710讨论三平面131XYZ；220XYZ；322