高中数学 第二章223 直线与圆、圆与圆的位置关系第2课时目标导学 北师大版必修2

第2课时圆与圆的位置关系学习目标重点难点1能够说出圆与圆的位置关系的种类2依据圆和圆的方程，学会用代数法判断两圆的位置关系；能通过比较两圆心之间的距离和两半径的和或差的大小用几何法判断圆和圆的位置关系3能够根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题重点根据两圆的方程判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题难点相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长的求法疑点遇到两圆相切时是否分内切与外切进行讨论1圆与圆的位置关系有几种圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含2怎样判断圆与圆的位置关系1几何法若两圆的半径分别为R1，R2，两圆的圆心距为D，则两圆的位置关系的判断方法如下位置关系相离外切相交内切内含图示D与R1，R2的关系DR1R2DR1R2|R1R2|DR1R2D|R1R2|0D|R1R2|公切线条数432102代数法设两圆方程分别为C1X2Y2D1XE1YF10DE4F10，2121C2X2Y2D2XE2YF20DE4F20，22联立方程得ERROR则方程组解的个数与两圆的位置关系如下方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切相离或内含预习交流1两圆有且只有一个公共点，两圆位置关系如何若两圆没有公共点呢提示两圆有且只有一个公共点，则两圆的位置关系为相切外切或内切；若两圆没有公共点，则两圆的位置关系为相离或内含预习交流21圆O1X2Y22X0和圆O2X2Y24Y0的位置关系是A相离B相交C外切D内切2圆XA2YB2C2和圆XB2YA2C2相切，则AAB2C2BAB22C2CAB2C2DAB22C2提示1B2B1判断两圆的位置关系已知圆C1X2Y22MX4YM250与圆C2X2Y22X01当M1时，圆C1与圆C2为什么关系2当M4时，圆C1与圆C2为什么关系3是否存在M使得圆C1与圆C2内含思路分析1，2参数M的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距D与R1R2，|R1R2|的大小关系3假设存在M使得圆C1与圆C2内含，则圆心距D|R1R2|解1M1，两圆的方程分别可化为C1X12Y229C2X12Y21两圆的圆心距D2，112222又R1R2314，|R1R2|31|2，|R1R2|DR1R2圆C1与圆C2相交2当M4时，两圆的方程分别可化为C1X42Y229，C2X12Y21两圆的圆心距D，4122229又R1R231，DR1R2圆C1与圆C2相离3假设存在M使得圆C1与圆C2内含，则31，即M1M122220，显然不等式无解故不存在M使得圆C1与圆C2内含实数K为何值时，圆C1X2Y24X6Y120与圆C2X2Y22X14YK0相交、相切、相离解将两圆的一般方程化为标准方程C1X22Y321，C2X12Y7250K所以圆C1的圆心为C12,3，半径R11；圆C2的圆心为C21,7，半径R2K5050K从而|C1C2|5，212372当15，即K34时，两圆外切50K当|1|5，即6，K14时，两圆内切50K50K当14K34时，则46，50K即|R2R1|C1C2|R1R2时，两圆相交当34K50时，则4，50K即|1|C1C2|时，两圆相离50K判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距D，DR1R2时，两圆外切，D|R1R2|时，两圆内切，DR1R2时，两圆相离，0D|R1R2|时，两圆内含，|R1R2|DR1R2时，两圆相交2与两圆相交有关的问题已知圆C1X2Y22X10Y240和圆C2X2Y22X2Y801试判断两圆的位置关系；2求公共弦所在的直线方程；3求公共弦的长度思路分析将两圆方程化为标准方程判断两圆位置关系作差求公共弦所在的直线求公共弦的长度解1将两圆方程化为标准方程，圆C1X12Y5250，圆C2X12Y1210则圆C1的圆心为C11，5，半径R15；2圆C2的圆心为C21，1，半径R210又|C1C2|2，R1R25，R1R25，|R1R2|C1C2|R1R2，两5210210圆相交2将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为X2Y403方法一两方程联立，得方程组ERROR两式相减得X2Y4，把代入得Y22Y0，Y10，Y22ERROR或ERROR交点坐标为4,0和0,2两圆的公共弦长为24020225方法二两方程联立，得方程组ERROR两式相减得X2Y40，即为两圆相交弦所在直线的方程由X2Y22X10Y240，得X12Y5250，其圆心为C11，5，半径R152圆心C1到直线X2Y40的距离D3，|1254|1225设公共弦长为2L，由勾股定理R2D2L2，得5045L2，解得L，公共弦长52L251圆X2Y23XY0和圆3X23Y22XY0相交弦所在的直线方程是_解析联立方程组，由3即得7X4Y0为所求答案7X4Y02若圆X2Y24与圆X2Y22AY60A0的公共弦长为2，则A_3解析圆X2Y24的圆心为0,0，半径为2由两圆方程作差得公共弦所在直线方程为Y1A圆心0,0到公共弦的距离D1，得A11A2232答案1求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法注意1当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线2当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程3与两圆相切有关的问题求与圆X2Y22X0外切且与直线XY0相切于点M3，的圆的方程33思路分析利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出方程组求解，其中圆与圆外切转化为圆心距问题，圆与直线相切转化为点线距问题解圆方程X2Y22X0化为X12Y21，设所求圆的方程为XA2YB2R2由题意得ERROR解之，得ERROR或ERROR所求圆的方程为X42Y24或X2Y42363已知圆C1X2Y24X4Y50和圆C2X2Y28X4Y701证明两圆相切；2求过点2,3且与两圆相切于上述切点的圆的方程解1证明由题目可知圆C1圆心坐标为2,2，半径R1；圆C2圆心坐标为134，2，半径R2，|C1C2|2，R1R22，则|C1C2|R1R2，所以两圆外131313切2由题目可求得两圆相切于点1,0，由题意知，所求圆心应在过C12,2，C24，2的直线2X3Y20上设所求圆的方程为X2Y2DXEYF0，则有ERROR解得ERROR所求圆的方程为3X23Y224X20Y270处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值内切时或两圆半径之和外切时的问题1圆AX2Y22X0和圆BX2Y24Y0的位置关系是A相离B相交C外切D内切解析圆A的圆心为A1,0，半径R11，圆B的圆心为B0,2，半径R22，所以|AB|又因为|R2R1|1R1R23，所以两圆相交55答案B2圆X2Y250与圆X2Y212X6Y400的公共弦长为ABC2D25656解析两圆的方程相减，可得公共弦所在的直线为12X6Y900，即2XY150，设公共弦为AB由ERROR解得A7,1，B5,5，即|AB|27521525答案C3已知两圆X2Y210和X12Y3220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析两圆相交其交点所在直线方程为X12Y3220X2Y2100，即X3Y0答案X3Y04以0,2为圆心，且与圆X2Y21相外切的圆的方程是_解析设所求圆的半径为R，则2R1，R1，故所求圆的方程是X2Y221答案X2Y2215若集合AX，Y|X2Y216，集合BX，Y|X2Y22A1，当AB时，求A的取值范围解由题意知，此题应分三种情况1B，则A12B且B中只有一个元素，则A10，即A1，ERROR不在集合A中，满足题意3集合B中含有无数个