微积分3期中考试答案.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分期中考试2006年11月11日姓名学号班级一、填空题（每小题分，共6分）1设0,00,sin)(2222222yxyxyxbyxaxxf在原点)0,0(可微，则a1，b0222003ecos2lim2yxxyyx13设)(tf可导，xyyxfz)(2，则yzyxzx2xy4xyyxz32，则)1,1(dzdx)-dy45（5设yxuarctan，则yxu222222)(yxyx6设)(32xyyxz，其中)(t有连续的二阶偏导数若2)3(，1)3(则)3,1(2yxz17)1ln(),(yxyxf在点)0,0(带有佩亚诺余项的二阶泰勒公式为)(22222yxoxyyxyx8设)(tf连续，),(yxzz由方程1d)(0xyzttf确定xz2)(xyzxyzf9曲面223:yxzS平行于平面04zyx的切平面为：)31()61()21(zyx10设sin0,0|),(xyxyxD，则Dyxxdd11交换积分顺序：22221d),(dxxxyyxfx211210d),(dyyxyxfy12设10,10|),(yxyxD，则Dyxyxdd,max.3213曲线2cos22r)44(围成的面积等于114设L是平面上不包含原点的圆周，)4,3(0P是L上距离原点最近的一点，则L在该点的切线方程为.5243yx15D是曲线22222tbyax围成的区域)0(dd)(2tyxytFtD则)(tF33tab二、解答题（共40分）16假设函数)(tf有二阶连续导数，)(22yxfyz求yxz2)10.(.)()(8)()(4)(28.()()(22)()(2)()()(2)4.(.)3.(.)()(2.322222222222222222232222222222222222222分分）分分解yxfyxfxyyxfyxfxyyxfxyyxfyxfxyyxfyyxfxyyxfyxfyxfxyyxyzyxzyxfyxfxyxz17计算Dyxyxadd4222.其中)0(0,)(|),(222ayayaxyxD解.区域D在极坐标下可表示为.cos20,20ar（3分）于是重积分可以化为累次积分：Dyxyxadd4222cos20220d4d2arrra(6分)10.(.91634dsin138)8.(.)4(31(d33033cos202202232分分aaaraa18计算积分Dyxyxdd)(其中22|),(22yxyxyxD解.令1,1vyux则分）（3.1),(),(vuyx变成：下，而在新坐标Dvu),(分）（5.2|),(22vuvu所以分）8(.dd)(4dd)(dd2dd)2(dd)(vuvuvuvuvuvuvuyxyxD的奇函数，所以是轴对称关于由vvvuhu),(,.0ddvuv同理.0ddvuu最终有分）10(.4dd)(Dyxyx19设)0(|),(222aayxyxD),(yxf在D上连续，在D的内部处处有连续偏导数，并且满足方程)0(),(kyxkfyfxf若在D的边界上0),(yxf，求证在D的内部0),(yxf反证：假设),(yxf在D内部不恒等于零。则存在点Dyx),(11，使得0),(11yxf不妨设0),(11yxf(2分)这时),(yxf在D内部某点),(00yx达到D上的正的最大值由于该点在D内部，所以),(00yx为极值点于是在点),(00yx有0,0