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第一章概率论的基本概念注意这是第一稿(存在一些错误)1解该试验的结果有9个(0,A),(0,B),(0,C),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C)。所以,(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果不吸烟的身体健康者,少量吸烟的身体健康者,吸烟较多的身体健康者。即A所包含的样本点为(0,A),(1,A),(2,A)。(3)事件B包含3个结果不吸烟的身体健康者,不吸烟的身体一般者,不吸烟的身体有病者。即B所包含的样本点为(0,A),(0,B),(0,C)。2、解(1)或;CABC(2)A(提示题目等价于,至少有2个发生,与(1)相似);(3);BC(4)或;A(提示,至少有一个发生,或者不同时发生);ABC,3(1)错。依题得0PPB,但空集,故A、B可能相容。(2)错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明由60AP,7知3031BAPBABP,即A和B交非空,故A和B一定相容。4、解(1)因为不相容,所以至少有一发生的概率为,0369PABP2都不发生的概率为,;11(3)不发生同时发生可表示为,又因为不相容,于是ABAB,;06PAB5解由题知30BCAP,05AP因BCPP2得,42AB故A,B,C都不发生的概率为CPCP1ABCPACPBPB05421506、解设“两次均为红球”,“恰有1个红球”,“第二次是红球”ABC若是放回抽样,每次抽到红球的概率是,抽不到红球的概率是,则80210(1);86410P(2);232B()(3)由于每次抽样的样本空间一样,所以801C若是不放回抽样,则(1);281045PA(2);82106CB(3)。18728045AP7解将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点,则样本空间共有30个样本点。(1)把两个“王姓”学生看作一整体,和其余28个学生一起排列共有29个样本点,而两个“王姓”学生也有左右之分,所以,两个“王姓”学生紧挨在一起共有个样本点。即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为153029。(2)两个“王姓”学生正好一头一尾包含28个样本点,故两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为43510。8、解(1)设“1红1黑1白”,则A;2375CP(2)设“全是黑球”,则B;371(3)设第1次为红球,第2次为黑球,第3次为白球”,则C。235P9解设号车配对第IIA,91I,若将先后停入的车位的排列作为一个样本点,那么共有9个样本点。由题知,出现每一个样本点的概率相等,当IA发生时,第I号车配对,其余9个号可以任意排列,故(1)98IAP。(2)1号车配对,9号车不配对指9号车选28号任一个车位,其余7辆车任意排列,共有7个样本点。故721391829821APAPAP,9182A表示在事件已知1号和9号配对情况下,28号均不配对,问题可以转化为28号车随即停入28号车位。记号车配对第IIB,7,I,。则7119182BPBPAP。由上知,76I,425JI,(JI),21074KJIP,(KJI)711BP。则7011IIBP故707091719821121IIIIAPBAP。10、解由已知条件可得出;064PB;7502APAB;9(1);7|PAB)(2)042PABPAB5)于是;|PABPA)(3)。2|9BPAB11解由题知50P,3,40CP,0AB,60CBP则CBACPPBACPBA86012、解设该职工为女职工,该职工在管理岗位,由题意知,A,45P1B05P所要求的概率为(1);|9A(2)。1|2PABPAB13、解5212XPYPXPYPXYP51453503714、解设此人取的是调试好的枪,此人命中,由题意知AB,4P|5B1|20PA所要求的概率分别是(1);37|8(2)。|1|PABA15解设年以内入市时间在11,年年以上不到入市时间在412,年以上入市时间在43A,股民赢B,股民平2B,股民亏3B则01BP,012AP,7013P,01AP,02P,523,3,42,311111B0(2)3131BPA3323131APBAP580716、解设,分别为从第一、二组中取优质品的事件,分别为第一、二次取到ABCD得产品是优质品的事件,有题意知,103P1520(1)所要求的概率是130541722PCAPB(2)由题意可求得DC0363901所要求的概率是。285|476PCD17解(1)第三天与今天持平包括三种情况第2天平,第3天平;第2天涨,第3天跌;第2天跌,第3天涨。则12131P(2)第4天股价比今天涨了2个单位包括三种情况第2天平,第3、4天涨;第2、4天涨,第3天平;第2、3天涨,第4天平。则12。191对。证明假设A,B不相容,则0ABP。而0P,B,即0BPA,故P,即A,B不相互独立。与已知矛盾,所以A,B相容。(2)可能对。证明由60,7P知3031BABAPP,42760BA,与可能相等,所以A,B独立可能成立。(3)可能对。(4)对。证明若A,B不相容,则0ABP。而0P,B,即0BPA,故P,即A,B不相互独立。18、证明必要条件由于,相互独立,根据定理152知,与也相互独立,于是AB,|PAB|PAB即|充分条件由于及,结合已知条件,成立|PAB|1PABPAB1化简后,得PAB由此可得到,与相互独立。20、解设分别为第个部件工作正常的事件,为系统工作正常的事件,则IIBIIPAP(1)所要求的概率为12324134234112312344342341234PBAAPPAPPPP(2)设为4个部件均工作正常的事件,所要求的概率为C。1|PB(3)。2321解记次出现正面第II,2,1I(1)11IIIIIPCPCPAB243214324(2)PPAP114(3)B2344122、解设照明灯管使用寿命大于1000小时,照明灯管使用寿命大于2000小时,B照明灯管使用寿命大于4000小时,由题意可知C,095PA0305PC(1)所要求的概率为;1|9(2)设分别为有个灯管损坏的事件(),表示至少有3个损坏的概率,IAI0,123I则10100359PAB911378CP82201046所要求的概率为012198PA23解设系统能正常工作,系统稳定B,系统外加电压正常C,则9CP,B,0CP,80AP,90BP(1)ACPCB10129090209801(2)记个元件正常工作第IIA,则19IAP5151PP519840第二章随机变量及其概率分布注意这是第一稿(存在一些错误)1解X取值可能为2,3,4,5,6,则X的概率分布律为;37125P;3784;3795PX1;378142。376PX152、解(1)由题意知,此二年得分数可取值有0、1、2、4,有X,028P,106X,32,4028P从而此人得分数的概率分布律为X01240801600320008(2)此人得分数大于2的概率可表示为;08P3已知此人得分不低于2,即,此人得分4的概率可表示为X。404|238PX3解(1)没有中大奖的概率是;71NP(2)每一期没有中大奖的概率是,107PN期没有中大奖的概率是。2NN4、解(1)用表示男婴的个数,则可取值有0、1、2、3,至少有1名男婴的概率XX可表示为;10584PP(2)恰有1名男婴的概率可表示为;23053674XC(3)用表示第1,第2名是男婴,第3名是女婴的概率,则;2(4)用表示第1,第2名是男婴的概率,则。20565解X取值可能为0,1,2,3;Y取值可能为0,1,2,3,123PXPP,21312PP,1231321X。3PPY取每一值的概率分布为,10Y,2PP,13Y。23P6、解由题意可判断各次抽样结果是相互独立的,停止时已检查了件产品,说明第X次抽样才有可能抽到不合格品。的取值有1、2、3、4、5,有XX,1,34KPKP;45(2)。1212XPXPP7解(1),34532455510101091。2345552(2)诊断正确的概率为。7397P(3)此人被诊断为有病的概率为。0107、解(1)用表示诊断此人有病的专家的人数,的取值有1、2、3、4、5。在此人XX有病的条件下,诊断此人有病的概率为3324455550101091PPCCC在此人无病的条件下,诊断此人无病的概率为051423255201094XX(2)用表示诊断正确的概率,诊断正确可分为两种情况有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病,于是;073097(3)用表示诊断为有病的概率,诊断为有病可分为两种情况有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病,于是;18、解用表示恰有3名专家意见一致,表示诊断正确的事件,则AB070201PBXPX33015或或所求的概率可表示为|0842APB9解(1)由题意知,候车人数的概率为,XKKEPX则,0PXE从而单位时间内至少有一人候车的概率为,所以1PE451E解得45则。4KEPXK所以单位时间内至少有两人候车的概率为。45101PXPE(2)若,则,3232KEPXK则这车站就他一人候车的概率为。32110、解有题意知,其中T0(1)1000至1200期间,即,恰好收到6条短信的概率为;6632415TEPXE(2)在1000至1200期间至少收到5条短信的概率为404605151KTKPXEE于是,所求的概率为。6326|515PXE11、解由题意知,被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为的泊松分布,即,。1303NP3KEPX0,12则至少有2人被检出重大疾病的概率为。31081XPE12、解(1)由于,因此的概率分布函数为0122PXX,0121231XFXPXXX(2)254PX13、解(1)由解得。2201FXDCXD36C(2)易知时,;时,;0XFF当时,3200341616XXXFYDYD所以,X的分布函数为3,2216XFX(3)。1PF(4)事件恰好发生2次的概率为X。323225511101426PPX14、解(1)该学生在720过分钟到站,由题意知,只有当该学生,U在720730期间或者740745期间到达时,等车小时10分钟,长度一共15分钟,所以;15302PPX该学生等车时间小于10分钟(2)由题意知,当该学生在720725和735745到达时,等车时间大于5分钟又小于15分钟,长度为15分钟,所以;1352X该学生等车时间大于5分钟又小于分钟(3)已知其候车时间大于5分钟的条件下,其能乘上730的班车的概率为5|5PXPX该学生乘上730的班车且该学生乘上730的班车其中,于是512该学生乘上的班车且1452P。1|45PX该学生乘上730的班车15、解由题知,X服从区间上的均匀分布,则X的概率密度函数为1,31,40XXFX其他。在该区间取每个数大于0的概率为,则34,。314KNKNPY,12,N16、解(1)52552120938XXPPP(2)5235148148096XXPP(3)411216806XXPXP17、解他能实现自己的计划的概率为。331114085PXPX18、解(1),有题意知,该青年男子身高大于170CM的概率为270,5XN170015P(2)该青年男子身高大于165CM且小于175CM的概率为617565711280XXPXPP(3)该青年男子身高小于172CM的概率为。7172040465XXPP19、解系统电压小于200伏的概率为,120085P在区间的概率为20,4,2240200855PX大于240伏的概率为。3411P(1)该电子元件不能正常工作的概率为。1230064PP(2)。3062(3)该系统运行正常的概率为。23239720、解(1)有题意知1PZAZAPZA于是,2从而得到侧分位点;1/2Z(2),2PZBZBPZBP或于是,2结合概率密度函数是连续的,可得到侧分点为;/2Z(3)1PZCC于是,从而得到侧分位点为。1CZ21、解由题意得,1152XPX,21125XPX,22X则,121255515034162XXXX解得,。12722、解(1)由密度函数的性质得2XFXDAED所以;A(2)205112XPXAED令,上式可写为2XT。21110762392XPXED23解(1)易知X的概率密度函数为8,0XEF。(2)A等待时间超过10分钟的概率是。12510PXFXDE(3)等待时间大于8分钟且小于16分钟的概率是。16128PXFXDE24、解用,分别表示甲、乙两厂生产的同类型产品的寿命,用表示从这批混合产YZ品中随机取一件产品的寿命,则该产品寿命大于6年的概率为1136620402749XXPZPPYEDED取到甲厂的产品取到乙厂的产品(2)该产品寿命大于8年的概率为11368848006XXPZXPPYEDED取到甲厂的产品取到乙厂的产品所求的概率为。88|072PZPZ25、解(1)由题知,,0,XEFX。(2)125105PXF(3)每天等待时间不超过五分钟的概率为,15PXFE则每一周至少有6天等待时间不超过五分钟的概率为。67617515PXPXE26、解(1)这3只元件中恰好有2只寿命大于150小时的概率为,22233050CPXCPX其中15010769XED于是;21(2)这个人会再买,说明这3只元件中至少有2只寿命大于150小时,这时所求的概率为。22333150150271CPXCPX27、解依题知,Y的分布律为,27049P,1283724231134245070707216YXPX28、解(1)由密度函数的性质可得2219FXDCXDC于是9C(2)设,的分布函数分别为,的概率密度为,有XYXFXYYFX133YXFXPPX那么,;24,6170,YXFFX其他(3)设的分布函数为。当,显然。当,有ZZFX0ZFX,ZXFXPXPX于是有24,0191,ZXFXFXX从而,的概率密度为,Z24,0191,ZFXX其他的分布函数为。3021/7,012,ZXXF29、解(1)依题知,NTT当时,0T0TFT当时,01TTNFYDE所以,T的概率分布函数为,0,TTT。(2)0000,PTTPTT0TTP0TE。T30、解由题意知,即的概率密度为0,1XUX1,0XXF其他设,的分布函数分别为,其中。有YXFXYYNX,01,XFXPX当,显然有。当0Y0YFY0NNNNYXFPXPXYPYF那么。1,0NYYF其他31解由题意知,X的概率分布函数为0,23321,XFXX则COSPYYXYARCSFY0,1,4ARO,032CS1,1YY32、解由题意知,即的概率密度为2,XNX2/1,XXFXE设,的分布函数分别为,其中。YXFXYY2X当,显然有。当,有0Y0YY2YXXFPPYFY那么22/0,011,22YYYXXFFYFEE。33解(1)由题意知,解得。20113AXBD136AB(2)的反函数为,则YX2XY2,0,XYFF其他。21,2,30YY其他。34、解设,的分布函数分别为,。由,容易得XYZXFXYYZFZXYE出当,有。当,有0Y0YFY,LNXYPEPY从而求得的概率密度;2LN,011L,YYXFYFYE又,于是LNZXLNZZZZZXFZPZZPEEFE从而21,ZEZZZXXFZFEFE第三章多维随机变量及其概率分布注意这是第一稿(存在一些错误)1、解互换球后,红球的总数是不变的,即有,的可能取值有2,3,4,6XY的取值为2,3,4。则的联合分布律为Y,XY,2,323,40PXPPXY64513,52Y由于,计算的边际分布律为6XX62,45P1332Y4,X2解051AB1,0,14PYPXYAPXB因事件与事件相互独立,则0,即,101PYPXY4AAB2由,解得。124013、解利用分布律的性质,由题意,得0ABC0,20,10|25PYXPYXAPYXB15BC计算可得02AC3B于是的边际分布律为X16P20024C的边际分布律为Y,13APY05PBC4解(1)由已知,则,01,20PXYPXY,0,23PXY,,1,1,001PXY。1,204PXYPXY(2),40,1,2KPXYPKK5、解(1)每次抛硬币是正面的概率为05,且每次抛硬币是相互独立的。由题意知,的可能取值有3,2,1,0,的取值为3,1。则的联合分布律为XY,XY,2,301PYPXPXP,313,8231,8C,213,PXYC30,2PXY的边际分布律为,30282138C,2318PXC3128PX的边际分布律为Y0,3,4YY1121PXPX(2)在的条件下的条件分布律为,0|1Y,11|2YYP,2,2|PXPX3|0X6解(),10,105PYPP,,23XX,31,71,18PYPP,2XX。1,3(),410,1,90PYYPY,38222XX。13,3,(),06014PYPY。,351XXP7、解(1)已知,。由题意知,每次因超速引起的事MEP0,23故是相互独立的,当时,0,123M,。|9NMNPYNXC0,12于是的联合分布律为,,,|019MNMNEMYNPYNXC(;)0,120,123(2)的边际分布律为,0100,19MNNMNMEEPYNXYNC,12即。(该题与41页例314相似)解()可取值为,Y0A2,0,6PX,,0APXY,1,31Y,0PX,,2A,2,1YP,0PX。22,A(),1YP,PX。20A9、解1由边际分布函数的定义,知0,LIM,31,XYXFXLI,04,1YXY(2)从和的分布函数,可以判断出和都服从两点分布,则XXY的边际分布律为010307P的边际分布律为Y010406(3)易判断出,所以的联合分布律为0,1PXY,XY0,1Y0,2,3PXPXY。11,14Y解1,0,0035PPYPXBAP,,135XYX11,2YXY,。,1,05PYPY(2)当或时,0XY,FXY当,时,1,3PX当,时,XY,00,17XYYPY当,时,0,6F当,时,。1XY,1FXY所以,的联合分布函数为,XY0,0,351,7,6,XYXYXY或11、解由的联合分布律可知,在的条件下,的条件分布律为,1XY0,250|1136PYPYX,1|因此在的条件下,的条件分布函数为1XY|0,561,YXYF12解设,,XYK,XYD则,时,即。102108K所以的联合分布函数为,XY,08101,XYXYFXY或13,解由的性质,得FXY,101,6YCDCXD所以6C(2)设,则1,|,1DXY1120,05XDPXYFXYDCYD(3)设,则2,|,5X2120705,8XDFXYDCYD14解(1)由得。413XC(2)由(1)知,1,2,0XFY其他。则43142,2,3,0,XXXXDYFXFD其他。其他。214,3,12,3,3,0,0YYYYXDYFYFXYD其他。其他。15、解(1)由题意,知当,0,X0,XXXFXFYDEY当,0所以;,XXFE当,0,Y,XYYYFYFXDE当,0所以;,YYFE(2)当时,有0X|1,0,YXXYXFYFY取其他值(3)当已知时,由的公式可以判断出,的条件分布为上的均XX|YXFYXY0,X匀分布。16解(1)由得,,YXXFXYFY2,0,YXYXEYFXYFXF其他。(2)当时,001,0,1,0,VYYXYYXYXYXXFXVEDEFDFVXD。(3)。111PP17、解(1)由题意可得当时,Y2145,48YYFYFXDXY当,0所以;451,8,YYF(2)当时2Y244|5,1,180,XYYXYXFXFYY取其他值(3)当时,12Y|32,1154XYXF取其他值所以。11|22|08XYXPFXD18解(1)因,1,0,XXFX其他。1,1,0YXXYFYX其他。所以,01,1XYFXYFXFX其他。(2)0,LN,01,YYDYYFYFXDX其他。其他。1,1,LN0,XYYYFXYFXY其他19、解设事故车与处理车的距离的分布函数为,和都服从(0,M)的均匀ZZFTXY分布,且相互独立,由题意知当时,0TM222ZTTFTPTXYT有2,01,ZTFTTM所以的概率密度函数为ZFT2,0,ZTFTT取其他值20解由题意得,即,XYUD2,0XYDFXY其他。(1)21241,01,YYYDFYFXYD其他。其他。(2)1/21/200413/2YPYFYDYD(3)同理得,2,XXFX其他。所以,故和不独立。,XYFYFFYXY21、解(1)设,的边际概率密度分别为,由已知条件得,XFXYFY21,XXFXFYDE214,YYFYF(计算的详细过程见例335)(2)有条件概率密度的定义可得213|,YXYXXFXYFYE在的条件下,的条件概率密度为0Y213|YYXFYE(3)21113|0005YYXPFDYED22解(1),XFXF12,2YDYXFXF,2E,21YYFY(2)当时,与,与均独立,则0I,1XY22122,XYXYXYFXYFFXFYE所以,即与独立。,XYFFF23、解设表示正常工作的时间。由题意知(),即TIXE1,23I。0,1IIXXFXE设是设备正常工作时间的概率分布函数,是概率密度函数。则TTTFT当时0121323123,3TTTFPXXTPXTPXTTEE当时,。00T于是23,31,0TTFTEE同时可求得。20,6,TTTFT24解(1),。1NKKNPZCP0,1N所以,,ZB(2)0,11,0,KLKMLNKLLKLNLKMNWXYPCPP所以,。,WB25、解设,分别是,的概率密度。利用公式(355),由XFXYFYZFTXYZ题意得,。1,21122AZXYYTAYFFTDFXTDXFTXDYXPTAT26解,ZFTFXTD0123,1,2,3,3,0TTDXTDXT其他。2,1,3,3,30TTTT其他。27、解设为一月中第天的产煤量(),是一月中总的产煤量。由于IXI1,230IZ,且相互独立,因此有,即215,0IN2015,0IIZXN。4,3Z于是,465611034PZ28解ZFZXYZ0,10,50,PXYZPXYZPXYZ5325FF所以,。ZFZFZFZFZ29、解(1)由于(),且相互独立,因此有(见IX1,20I10IIX例351),由题意知,得101010102IIIIIIIIPPPXE(2)所求的概率为101010210MAXAX2,2IIIIXPXPE(3)由题意可求12101001IN,IXPE及10101010101010MAX2,INMINAX2,MINIAX2,I|IIIIIIIIIIIPXXXP10NIIE于是所求的概率为1010101010101010MAX2,INMAX2|IMINAX2,MININIIIIIIIIPXPXPXXE30解,10,14PZXY,2,2,01P,30,31,2,103PZXYPXYPXY,4103。52,,01,PMXYPXY,,2,205PXY。34,02PN1,1,21,32,104XYPXYPXYPXY。30431、解设的概率密度函数为。TTFT(1)串联当时0T1212,XYTTTPPXTYEDEDE计算可得12TTF当时,显然有。0T0TFT因此的概率密度函数为为121,0,TTEFTT(2)并联当时T12121200,TTXYTTTPXYTEDEEE计算可得1212TTTTFT当时,显然有。TTFT因此的概率密度函数为为12121,00,TTTTEEFT(3)备份由题意知,于是XY当时,显然有。T0TFT当时012121021,TYTXTXYTTTFTFXDEDE从而所求的概率密度函数为当时21122,00,TTTEFTT当时2112,0TTFTE32解令,则2UXVYZFZPXYZ2,XYZFDXY0/,VFUV20/0,1,44ZVZDZ20,416,ZZZ所以,,0,28ZF其他。33、解(1)由题意得,对独立观察次,次观察值之和的概率分布律为XNW,KNKNPWCP0,123,(2)的可能取值为0,1,的可能取值为0,1,因此的联合分布律为XZ,XZ2,0,1ZPXYPYPP21,01,X10ZPXYPXYP34解令,则UXVYZXFTPTY,01XTYFDXY20,1,0,TTVUFDVTT1,2,0,TTT21,0,ZTFTT第四章随机变量的数字特征注意这是第一稿(存在一些错误)1、解每次抽到正品的概率为,放回抽取,抽取次,抽到正品的平均次数为NMNNNM2、方案一平均年薪为3万方案二记年薪为X,则,120P4208PX104286E故应采用方案二3、解由于20201LN|XXFDDX所以的数学期望不存在。X4、,128P134PX38PX157PX,567124。536762142EX5、解每次向右移动的概率为,到时刻为止质点向右移动的平均次数,即的期望PNN为NEP时刻质点的位置的期望为NS121NESPNP6、不会7、解方法1由于,所以为非负随机变量。于是有01PTT0003124TTETFTDTDED方法二由于,所以,可以求出T的概率函数,12,0TTFTE于是034ETTFDTF8、,220,XXXXFYEDY0(1)01XXF(2)312E(3)。201,4XXYXYFDYED9解设棍子上的点是在0,1之间的,Q点的位置距离端点0的长度为Q。设棍子是在T点处跌断,T服从0,1的均匀分布。于是包含Q点的棍子长度为T,则,,10MIN,QTTTQ1T于是包Q点的那一段棍子的平均长度为11200QEDXTTDQ10、,8,9XU8,9Y83XYFXY小时即先到的人等待的平均时间为20分钟。11、解I每个人化验一次,需要化验500次(II)分成K组,对每一组进行化验一共化验次,每组化验为阳性的概率为50K,若该组检验为阳性的话,需对每个人进行化验需要K次,于是该方法需要化验的107次数为。5017KK将(II)的次数减去(I)的次数,得501175007KKK于是当时,第二种方法检验的次数少一些;当时,第一种方法检验的107KK次数少一些;当时,二种方法检验的次数一样多。0K12、,TEFT。88081TTEETD13、解由题意知,21,0XYFXYR在圆内,其他值2,0XRXFX,其他值2,0YRYF,其他值(1)计算可得REYD(2)A的位置是(X,Y),距中心位置(0,0)的距离是,于是所求的平均2XY距离为222213XYRREXYDXYR14、(1)时,A21450NCP1425NCP14253NCE时,A21520AP1522ACP2215ACP1252215AACE由得,。2430(2),451099CP541099CP6310599CP,721059981059901599。455463728190101010510505159999996CCCE15、解22|,0YXXRXYRXFXYFY,其他值|31,220YXXRRFYRFY,其他值于是231|REYYD16、记为进入购物中心的人数,为购买冷饮的人数,则X1MKKXYMKPPCPKKMKE1MKKMKP0E10KPMPMEKPE故购买冷饮的顾客人数服从参数为的泊松分布,易知期望为。P17、解由题意知,其中。于是1PXK0,12K,0,PYKI|,01,1IYKIIK从而00,KIIPXI于是1075KIEYI又11KIPZK从而10132KIEI18、2221255115444633AAACCD19、解10,AKKXKEXXED21122001AAXXDED20、,EXFD221XE2221XDXEXED21、解1设P表示从产品取到非正品的概率,于是有,198071907406用X表示产品中非正品数,X服从二项分布B100,006,有106KEP(参考77页的例425)54DP(3)用Y表示在该条件下正品数,Y服从二项分布B100,098,于是1098E0196DX22、12PPY(1)1,0YXYPXY011PXPP34(2)011001YEYPXY1PX22YYYDXEE01221001PXPXYY223、解证明22222222,DXYEXYEXYDD由于相互独立24、2,0,XXEF4,0,YYEF21,0XXF41,0YYFY(1)MIN,Z61,0,11ZZXYEZPZZZ故服从参数为的指数分布,故,。故。Z616EZ3D1DZCVE(2)MAX,XY241,0,0,ZZZYEFZPZFZ,0712ZED,204931ZDZD故。37CVE(3,ZXY,4516DZXY53CVE25、解(1)由相关系数的定义,得,其中,XOXD,COVXEXE通过计算得,即,从而说明是不相关的。,0CV0,(2)很显然,不是相互独立的。X与26、1,1,2XFXFYDX,0E2213DED同理,,YFYFXYY,1311COV,49XEXYXYDXY,故和正相关。,13YD又,故和不独立。,XYFXYFYY(2)1222221COV,049XYEXEYDXYXYXDY故,即和不相关。0又22,XYFXYPXY,XYYYXFTVDX所以,故和相互独立。2,114XYFMNYY2XY27、解(1)由题意得136612EA,SINISINICOSCOS612EA结合已知条件,可求出,4由于A和B是独立同分布的,于是(A,B)的联合分布律为ABPAI361/161/81/161/41/81/41/81/241/161/81/161/46(2)2SINISINCOSIN31CO0968ECBAEBA(3),其中,ACVD,OV,OVABCOVABCOVAD2D所以,说明A和C是负相关的。,12ACOVD28(1)不会写(2)111COV,COV,COV,NNIJIJIIJXXXXDN(3)011,NKKKIJIJST01,NKIJIJ000111COV,COV,COV,NKNKKIJIJIJIJINJIJXXX,001KIIND,1KIISX,01NKJJDT。0COV,KSN29解(1)证明由于X和Y相互独立,于是由题意得EYE222411DDEYDXP从而有0,1N(2)222,21XCOVOVXCVYEXYDEYEP当时,和是不相关的;当,即时,说明和是正相关的1P0XC当,即时,说明和是负相关的20XC显然,和是不独立的30(1),20,005PXYPXP,1,1,1,15PXYPXP,30521530Y215PY,故和不独立。,0X(2)COVXYE,0,1,0PYPYPXY1125X故和正相关。XY31、解(1)泊松分布的表示式为,于是通过计算有,01,KEP1PXK故,1,KK当当当因此若为正整数,则众数为和1;当不为正整数时,则众数为的整数部分。32(1)由知,和不相关,等价于和相互独立。0XYXY,,XN1,4,EABEABA,222DY2224DYXB和分别为和的标准化变量。24AB24ABCOV,C,XY2COV,COV,C,ABXYABXY5D22COV,4AB(2时,1,1XYDY,EA222COV,4BAXYAB则24DACV(3)因,YBEX222COV,4ADYBAYAB2,4NAA故定义知的中位数为,众数为。(4)2COV,COV,2BYABXYAB故或时,和不相关。BA又正态分布的独立性与相关性相同,故或时,和独立且不相关,否则不独立且相关。2B33、解(1)由题意可知,说明1,0DXE10,XN,说明126,说明334,3,4(2)对于二维正态而言,两变量不相关等价于两变量独立。由于,所以与相关且不独立12,0COVX1X2由于,所以与相关且不独立33由于,所以与不相关且独立2,V32从而(由88页性质4)可以判断出,与不相互独立1X3(3)计算有,1120EY21EYX112121212,3COVYVXCOVXOVXCOV23313,0X1111,7VOVVVV于是,其中,12,YN007第5章大数定律及中心极限定理注意这是第一稿(存在一些错误)1、解(1)由于,且,利用马尔科夫不等式,得01PX36EX5072EPX(2),利用切比雪夫不等式,所求的概率为2D36233401410756PX2、解,5,IXB50501216928IIIIDXP3、解服从参数为05的几何分布,1,34NP可求出23,2NEPD于是令,利用切比雪夫不等式,得ABA有21175E从而可以求出2,3,32ABE4、解,。1,NNXNNXFXPXXXFA0,则,。1NNXPPA0,A,10NNAXXED。212201NNANDAA,221NPXN所以。LIM0NNA5、解服从大数定律。由题意得2/3/2/3,KIIIIIEPXEXD由1/2/3221110NNNNIIIIID根据马尔科夫大数定律,可判断该序列服从大数定律的。6、解(1),则连续。2HXHX,则,有1EX0,则,。221LIMNINIP221NPIIXN(2)连续,则,有2HX21EH0,则,。21LI

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