江苏省南通市如东县2017届九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

第 1 页（共 36 页） 2016年江苏省南通市如东县九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题： 1若二次函数 y=x2+配方后为 y=（ x 2） 2+k，则 b、 ） A 0， 5 B 0， 1 C 4， 5 D 4， 1 2如图，将半径为 2弧恰好经过圆心 O，则折痕 ） A 2 D 3一次函数 y=ax+b（ a 0）与二次函数 y=bx+c（ a 0）在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 4下列命题中，真命题是（ ） A若 =2 ，则 平分弦的直径 垂直于弦，且平分弦所对的两条弧 C直径所对的圆周角是直角 D同一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半 5抛物线 y= x 2经过平移得到 y= 移方法是（ ） A向右平移 1个单位，再向下平移 1个单位 B向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位 C向左平移 1个单位，再向下平移 1个单位 D向左平移 1个单位，再向上平移 1个单位 6如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16该半圆的半径为（ ） A 9 第 2 页（共 36 页） 7如图， O 的直径， ，点 C 在 O 上， 0 ， D 为弧 中点， P 是直径 一动点，则 ） A 2 B C 1 D 2 8二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象如图，给出下列四个结论： 40； 4a+c 2b； 3b+2c 0； m（ am+b） +b a（ m 1）， 其中正确结论的个数是（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 9若 方程（ x a）（ x b） =1（ a b）的两个根，则实数 a， b 的大小关系为（ ） A a b B a b C a b a b 0已知抛物线 y=a（ x+1）（ x ）与 ， B，与 ，则能使 a 的值有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 二、填空题： 11方程 x（ x 1） =2（ 1 x）的解是 12如图， A、 B、 上的三点， 0 ，则 13如图，一宽为 2刻度尺在圆 上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处 第 3 页（共 36 页） 的读数恰好为 “2” 和 “8” （单位： 则该圆的半径为 14设方程 x2+x 2=0的两个根为 ， ，那么（ 1）（ 1）的值等于 15若 A（ ， B（ ， C（ ， 二次函数 y=x 5的图象上的三点，则 y1， 16已知二次函数 y= 2x+3的图象与 、 图所示），与 ，点 17如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为 50时汽油桶内液面宽度 0在从进油孔处倒油，当液面 8面上升了 18如图，直线 ，且与 、 0 ，点 圆心 直线 ，如果 O，则 三、解答题：（共 96分） 19 解方程： （ 1） 2x 2=0； （ 2）（ y+2） 2=（ 3y 1） 2 第 4 页（共 36 页） 20（ 8分）如图，在半径为 5的扇形 0 ，点 不与点 A、B 重合） 足分别为 D、 E （ 1）当 时，求线段 长； （ 2）在 果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由 21（ 8 分）已知关于 2k+1） x+4k 3=0， （ 1）求证：无论 方程总有两个不相等的实数根？ （ 2）当 a= ，且两条直角边的长 b和 个方程的两个根时，求 22（ 8 分）如图所示，已知 点 E连接 （ 1）求证： （ 2）若 4 23（ 8分）已知抛物线 y1=bx+c（ a 0）的顶点坐标是（ 1， 4），它与直线 y2=x+1的一个交点的横坐标为 2 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在给出的坐标系中画出抛物线 y1=bx+c（ a 0）及直线 y2=x+1 的图象，并根据图象，直接写出 第 5 页（共 36 页） 24如图，已知 ， A， P， B， 0 （ 1）当点 什么位置时，四边形 求出最大面积； （ 2）试探究线段 证明你的结论 25一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 1所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m （ 1）将 抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 2所示），其表达式是 y=根据所给的数据求出 a， （ 2）求支柱 （ 3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由 26如图，已知 O，且 C，直径 点 E， （ 1）求证： E； （ 2）试判断四边形 状，并说明理由； （ 3）若 ， 0，求 第 6 页（共 36 页） 27（ 12 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10元，出厂价为每件 12元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数： y= 10x+500 （ 1）李明在开始创业的第一个月将销售 单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （ 2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （ 3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 28如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 （ 1， 0）， C（ 3， 0）， D（ 3， 4），以 y=bx+，动点 出发，以每秒 个单位的 速度沿线段 点D 运动，运动时间为 点 E ，交 （ 1）直接写出点 求出抛物线的解析式； （ 2）当 面积最大？最大值为多少？ （ 3）点 出发，以每秒 1个单位的速度沿线段 运动，当 线段 存在点 H，使以 C， Q， N， 第 7 页（共 36 页） 2016年江苏省南通市如东县九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 ： 1若二次函数 y=x2+配方后为 y=（ x 2） 2+k，则 b、 ） A 0， 5 B 0， 1 C 4， 5 D 4， 1 【考点】二次函数的三种形式 【分析】可将 y=（ x 2） 2+k 的右边运用完全平方公式展开，再与 y=x2+ 比较，即可得出 b、 【解答】解： y=（ x 2） 2+k=4x+4+k=4x+（ 4+k）， 又 y=x2+， 4x+（ 4+k） =x2+， b= 4， k=1 故选 D 【点评】本题实际上考查了两个多项式相等的条 件：它们同类项的系数对应相等 2如图，将半径为 2弧恰好经过圆心 O，则折痕 ） A 2 D 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得 根据垂径定理得 长 【解答】解： 作 ，连接 根据题意得： 再根据勾股定理得： 根据垂径定理得： 故选： C 第 8 页（共 36 页） 【点评】注意由题目中的折叠即可发现 考查了勾股定理以及垂径定理 3一 次函数 y=ax+b（ a 0）与二次函数 y=bx+c（ a 0）在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由一次函数 y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=bx+c 的图象相比较看是否一致 a 0， b 0， 0， 【解答】解： A、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项错误； B、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项错误； C、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项正确； D、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选 项错误 故选 C 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法 4下列命题中，真命题是（ ） A若 =2 ，则 平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧 C直径所对的圆周角是直角 D同一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半 【考点】命题与定理 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 第 9 页（共 36 页） 【解答】解： A、若 =2 ，则 2本选项错误， B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，故本选项错误， C、直径所对的圆周角是直角，是真命题， D、同圆或等圆中，同一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半，故本选项错误， 故选： C 【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 5抛物线 y= x 2经过平移得到 y= 移方法是（ ） A向右平移 1个单位，再向下平移 1个单位 B向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位 C向左平移 1个单位，再向下平移 1个单位 D向左平移 1个单位，再向上平移 1个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】由抛物线 y= x 2=（ x 1） 2 1 得到顶点坐标为（ 1， 1），而平移后抛物线 y= 0， 0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法 【解答】解： y= x 2=（ x 1） 2 1得到顶点坐标为（ 1， 1）， 平移后抛物线 y= 0， 0）， 平移方法为：向左平移 1 个单位，再向上平移 1个单位 故选 D 【点评】本题考查了抛物线的平移规律关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律 6如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16该半圆的半径为（ ） A 9 考点】正多边形和圆 【专题】压轴题 【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角 用勾股定理即可求解 第 10 页（共 36 页） 【解答】解：如图，圆心为 A，设大正方形的边长为 2x，圆的半径为 R， 正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， C=x， x； 小正方形的面积为 16 小正方形的边长 F=4， 由勾股定理得， 即 x+4） 2+42， 解得， x=4或 2（舍去）， R= 故选 C 【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解 7如图， O 的直径， ，点 C 在 O 上， 0 ， D 为弧 中点， P 是直径 一动点，则 ） A 2 B C 1 D 2 【考点】轴对称 股定理；垂径定理 【分析】作出 D 关于 对称点 D ，则 D 的最小值就是 的长度，在 中根据边角关系即可求解 【解答】解：作出 B 的对称点 D ，连接 ， 又 点 C 在 0 ， C 的中点，即 = ， 5 45 90 则 是等腰直角三角形 第 11 页（共 36 页） D= ， 故选 B 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键 8二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象如图，给出下列四个结论： 40； 4a+c 2b； 3b+2c 0； m（ am+b） +b a（ m 1）， 其中正确结论的个数是（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】数形结合 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断 【解答】解： 抛物线和 x 轴有两个交点， 40， 40， 正确； 对称轴是直线 x= 1，和 0， 0）和点（ 1， 0）之间， 抛物线 和 3， 0）和（ 2， 0）之间， 把（ 2， 0）代入抛物线得： y=4a 2b+c 0， 4a+c 2b， 错误； 把 x=1代入抛物线得： y=a+b+c 0， 2a+2b+2c 0， 第 12 页（共 36 页） = 1， b=2a， 3b+2c 0， 正确； 抛物线的对称轴是直线 x= 1， y=a b+ 即把 x=m（ m 1）代入得： y=bm+c a b+c， bm+b a， 即 m（ am+b） +b a， 正 确； 即正确的有 3个， 故选： B 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程 bx+c=0 的解的方法，同时注意特殊点的运用 9若 方程（ x a）（ x b） =1（ a b）的两个根，则实数 a， b 的大小关系为（ ） A a b B a b C a b a b 考点】抛物线与 【专题】压轴题 【分析】因为 以满足方程（ x a）（ x b） =1，再由已知条件 a 得到 a， 【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（ x a）（ x b） =0图象，任意画一个（开口向上的，与 再向下平移一个单位，就是（ x a）（ x b） =1，这时与 x1，在同一坐标系下，很容易发现： 答案是： a b 故选： C 第 13 页（共 36 页） 【点评】本题考查了一元二次方程根的 情况，结合图象得出答案是解决问题的关键 10已知抛物线 y=a（ x+1）（ x ）与 ， B，与 ，则能使 a 的值有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 【考点】抛物线与 腰三角形的判定 【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与 和 ，然后求出 长度，再分 a 0时，点 B在 x 轴正半轴时，分 C、 B、 a 0时，点B 在 负半轴时，点 的左边，只有 【解答】解：解法 1： y=a（ x+1）（ x ） =（ x+1）（ 3）， 所以，抛物线经过点 A（ 1， 0）， C（ 0， 3）， = = ， 点 ， 0）， k 0时，点 B在 若 C，则 ，解得 a=3， 若 B，则 +1= ，解得 a= ， 若 C，则 +1= ，解得 a= ； k 0时，点 B在 的左侧， 只有 B，则 1 = ，解得 a= ， 所以，能使 个 解法 2：易得抛物线一定过两个定点：（ 1， 0），（ 0， 3），连接这两个定点，得到一条线段，以这条线段为底边可以在横轴上找一点构成等腰三角形，以这条线段为腰，分别以两个定点为顶点 第 14 页（共 36 页） 可以 在横轴上找到三个点构成等腰三角形，所以共有四个点可以与定点构成等腰三角形，从而可以确定四个形状不同的抛物线，所以 故选 C 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，此题有一定的难度 二、填空题： 11方程 x（ x 1） =2（ 1 x）的解是 x=1或 x= 2 【考点】解一元二次方程 【分析】因式分解法求解可得 【解答】解： x（ x 1） = 2（ x 1）， x（ x 1） +2（ x 1） =0， （ x 1）（ x+2） =0， x 1=0或 x+2=0， 解得： x=1或 x= 2， 故答案为： x=1或 x= 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 12如图， A、 B、 上的三点， 0 ，则 50 第 15 页（共 36 页） 【考点】圆周角定理 【专题】计算题 【分析】 所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理可求 O，由 C，可求 【解答】解： 对的圆周角和圆心角， O=2 0 ， 又 C， （ 180 O） =50 故答案为： 50 【点评】本题考查了圆周角定理关键是由圆周角定理求对应的圆心角，利用 C 得等腰 三角形，由等腰三角形的性质解题 13如图，一宽为 2刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为 “2” 和 “8” （单位： 则该圆的半径为 【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理得 长，再根据勾股定理列方程求解即可 【解答】解：作 B 于 E，交 ， 设 OB=r， 根据垂径定理， 6=3 根据题意列方程得：（ r 2） 2+9=得 r= ， 该圆的半径为 第 16 页（共 36 页） 【点评】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出 是解答此题的关键 14设方程 x2+x 2=0的两个根为 ， ，那么（ 1） （ 1）的值等于 0 【考点】根与系数的关系 【分析】根据方程的系数利用根与系数的关系找出 += 1、 = 2，将（ 1）（ 1）展开后代入数据即可得出结论 【解答】解： 方程 x2+x 2=0的两个根为 ， ， += 1， = 2， （ 1）（ 1） = （ + ） +1= 2（ 1） +1=0 故答案为： 0 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出 += 1、 = 2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合 根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键 15若 A（ ， B（ ， C（ ， 二次函数 y=x 5的图象上的三点，则 y1， 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据点 A、 B、 比较大小即可 得出结论 【解答】解：当 x= 时， ） 2+4 （ ） 5= ； 当 x= 时， ） 2+4 （ ） 5= ； 当 x= 时， ） 2+4 5= ， 第 17 页（共 36 页） 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点 A、 B、 C 的横坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出 16已知二次函数 y= 2x+3的图象与 、 图所示），与 ，点 （ 1， 2） 【考点】抛物线与 对称 【分析】首先求得 A、 B 以及 C 的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得 解析式， 【解答】解：连接 在 y= 2x+3中，令 y=0，则 2x+3=0， 解得： x= 3或 1 则 3， 0）， 1， 0）， 则对称轴是 x= 1 令 x=0，解得 y=3，则 0， 3） 设经过 的直线的解析式是 y=kx+b 根据题意得： ， 解得： ， 则 y=x+3， 令 x= 1，则 y=2 则 1， 2 ） 故答案是（ 1， 2） 第 18 页（共 36 页） 【点评】本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定 17如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为 50时汽油桶内液面宽度 0在从进油孔处倒油，当液面 8面上升了 8或 22 【考点】垂径定理的应用 【专题】分类讨论 【分析】实质是求两条平行弦之间的距离根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解 【解答】解：连接 M则在直角 ， 0 5据勾股定理得到： 5弦 5 同理，当油面宽 8，弦心距是 7 当油面没超过圆心 上升了 8 当油面超过圆心 上升了 22 因而油上升了 8或 22 【点评】此题考查了勾股定理及垂径定理的应用此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解本题容易忽视的是分情况讨论 18如图，直线 ，且与 、 0 ，点 l 上的一个动点（与圆心 直线 ，如果 O，则 第 19 页（共 36 页） 40 或 100 或 20 【 考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆的认识 【专题】动点型 【分析】点 而点 O 有三种位置关系，在线段 这三种情况进行讨论即可 【解答】解： 根据题意，画出图（ 1）， 在 Q， 在 O， 又 0 ， 0 ， 在 80 ， 即（ 0 ） +（ 0 ） + 80 ， 整理得， 3 20 ， 0 当 A 的延长线上（如图 2） Q， 180 ， Q， 180 ， 在 30 + 80 ， 把 代入 得： 60 + （ 60 + =180 ， 第 20 页（共 36 页） 0 ，则 0 00 ； 当 A 的反向延长线上（如图 3）， Q， 180 ， Q， P=（ 180 ， 0 ， 50 ， P= 2 P= ， 联立得 P=10 ， 80 150 10=20 故答案为： 40 或 100 或 20 【点评】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，先假设存在并进行分类讨论是 第 21 页（共 36 页） 进行解题的关键 三、解答题：（共 96分） 19 解方程： （ 1） 2x 2=0； （ 2）（ y+2） 2=（ 3y 1） 2 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】（ 1）利用配方法解方程； （ 2）先移项得到（ y+2） 2（ 3y 1） 2=0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：（ 1） 2x+1=3， （ x 1） 2=3， x 1= ， 所以 + ， ； （ 2）（ y+2） 2（ 3y 1） 2=0， （ y+2+3y 1）（ y+2 3y+1） =0， y+2+3y 1=0或 y+2 3y+1=0， 所以 ， 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题 了（数学转化思想） 20如图，在半径为 5的扇形 0 ，点 B 上的一个动点（不与点 A、 D 足分别为 D、 E （ 1）当 时，求线段 长； （ 2）在 果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由 第 22 页（共 36 页） 【考点】垂径定理；三角形中位线定理 【分析】（ 1）如图（ 1），根据垂径定理可得 然后只需运用勾股定理即可求出线段 （ 2）连接 图（ 2），用勾股定理可求出 据垂径定理可得 分别是线段 据三角形中位线定理就可得到 【解答】解：（ 1）如图（ 1）， 6=3， 0 ， ， ， =4， 即线段 （ 2）存在， 理由：连接 图（ 2）， 第 23 页（共 36 页） 0 ， B=5， =5 ， 分别是线段 ， 【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（ 2）小题的关键 21已知关于 2k+1） x+4k 3=0， （ 1）求证：无论 方程总有两个不相等的实数根？ （ 2）当 a= ，且两条直角边的长 b和 这个方程的两个根时，求 【考点】根的判别式 【分析】（ 1）根据根的判别式的符号来证明； （ 2）根据韦达定理得到 b+c=2k+1， k 3又在直角 据勾股定理，得（ b+c） 2 2 ） 2，由此可以求得 【解答】（ 1）证明： =（ 2k+1） 2 4 1 （ 4k 3） =412k+13=（ 2k 3） 2+4， 无论 k 取什么实数值，总有 =（ 2k 3） 2+4 0，即 0， 无论 k 取什么实数值，该方程总有两 个不相等的实数根； （ 2）解： 两条直角边的长 b和 2k+1） x+4k 3=0的两个根，得 b+c=2k+1， k 3， 第 24 页（共 36 页） 又 在直角 据勾股定理，得 b2+c2= （ b+c） 2 2 ） 2，即（ 2k+1） 2 2（ 4k 3） =31， 整理后，得 k 6=0，解这个方程，得 k= 2或 k=3， 当 k= 2 时， b+c= 4+1= 3 0，不符合题意，舍去，当 k=3时， b+c=2 3+1=7，符合题意，故 k=3 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 22如图所示，已知 点 E连接 （ 1）求证： （ 2）若 4 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【专题】几何综合题 【分析】（ 1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为 可求证 （ 2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径 【解答】（ 1）证明：连接 0 ， 余 C， 5分） 第 25 页（共 36 页） （ 2）解：设 B R 8） 24=12 6分） 在 勾股定理可得 R 8） 2+122（ 8分） 解得 R=13， 2R=2 13=26 答： O 的直径为 26 10分） 【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力 23已知抛物线 y1=bx+c（ a 0）的顶点坐标是（ 1， 4），它与直线 y2=x+1的一个交点的横坐标为 2 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在给出的坐标系中画出抛物线 y1=bx+c（ a 0）及直线 y2=x+1 的图象，并根据图象，直接写出 【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式 【分析】（ 1）由题意抛物线是顶点为（ 1， 4），可以假设抛物线为 y=a（ x 1） 2+4，求出交点坐标代入即可解决问题 （ 2）画出图象求出交点坐标，根据图象二次函数图象在一次函数图象上方，即可写出自变量的取 第 26 页（共 36 页） 值范围 【解答】解：（ 1）由题意抛物线是顶点为（ 1， 4），可以假设抛物线为 y=a（ x 1） 2+4， 抛物线经过点（ 2， 3）， 3=a+4， a= 1， 抛物线的解析式为 y=（ x 1） 2+4，即 y= x+3， （ 2）图象如图所示， 由 解得 或 ， A（ 1， 0）， B（ 2， 3）， 由图象可知， 1 x 2 【点评】本题考查二次函数、一次函数的图象问 题、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型 24如图，已知 ， A， P， B， 0 （ 1）当点 什么位置时，四边形 求出最大面积； （ 2）试探究线段 证明你的结论 【考点】圆周角定理；全等三角形的判 定与性质；等边三角形的判定与性质 第 27 页（共 36 页） 【分析】（ 1）过点 E 足为 E，过点 F 足为 F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点 中点时， F= （ 2）在 D= 后证明 明 D，即可证得 【解答】解：（ 1）当点 中点时，四边形 理由如下，如图 2，过点 E 足为 E 过点 F 足为 F S S S 四边形 （ F）， 当点 F= 此时四边形 又 O 的半径为 1， 其内接正三角形的边长 ， S 四边形 2 = ； （ 2）在 D=图 1， 又 0 ， P= 0 ，即 20 又 20 ， 在 ， D， 又 P， P+ 第 28 页（共 36 页） 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明 25一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 1所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m （ 1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 2所 示），其表达式是 y=根据所给的数据求出 a， （ 2）求支柱 （ 3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题 【分析】（ 1）根据题目可知 A B， 出抛物线的解析式代入可求解 （ 2）设 5， 求出支柱 长度 （ 3）设 ， 则可求解 【解答】解：（ 1）根据题目条件， A、 B、 10， 0）、（ 10， 0）、（ 0， 6） 第 29 页（共 36 页） 将 B、 y=c，得 解得 所以抛物线的表达式是 ； （ 2）可设 N（ 5， 于是 从而支柱 长度是 10 （ 3）设 7， 0）， （ 7=2 2+2 3） 过 H 垂直 ，则 72+6=3+ 3 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 26（ 10 分）（ 2015 永州）如图，已知 接于 O，且 C，直径 点 E， F 是 （ 1）求证： E； （ 2）试判断四边形 说明理由； （ 3）若 ， 0，求 【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定 【分析】（ 1）证明 到 据等腰三角形的性质即可证明； 第 30 页（共 36 页） （ 2）菱形，证明 到 C，可知四边形 证 D，可证明结论； （ 3）设 DE=x，则根据 E 方程求出 用勾股定理求出 【解答】（ 1）证明： 直径， 0 ， 在 t ， C， E； （ 2）四边形 证明： 直径， C， E， 在 ， D， 四边形 D， 四边形 （ 3）解： E， E 设 DE=x， ， 0， 第 31 页（共 36 页） 42=x（ 10 x）， 解得： x=2或 x=8（舍去） 在 = =2 【点