2019届高考数学复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件文.pptx

1、第四节基本不等式及其应用,总纲目录,教材研读,1.基本不等式,考点突破,2.几个重要的不等式,3.利用基本不等式求最值,考点二常数代换或消元法求最值,考点一利用配凑法求最值,考点三基本不等式的实际应用,1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立. (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3)(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4)+2(a,b同号),当且仅

2、当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是.(简记:和定积最大),基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a,b,x,yR+,若ax+by=1,则有 +=(ax+by)=a+b+a+b+2=(+)2. (2)已知a,b,x,yR+,若+=1,则有 x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=(+)2.,1.下列不等式中正确的是() A.若aR,则a2+96a B.若a,bR,则2 C.若a,b0,则2lglg a+l

3、g b D.若xR,则x2+1,C,答案Ca0,b0,. 2lg2lg=lg(ab)=lg a+lg b.,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为() A.80B.77C.81D.82,C,答案Cx0,y0,x+y=18, 18=x+y2,即9,xy81. 故xy的最大值为81.,3.已知x,y0且x+4y=1,则+的最小值为() A.8B.9C.10D.11,B,答案Bx+4y=1(x,y0), +=+=5+5+2=5+4=9当且仅当x=2y =时,取等号.,4.若x1,则x+的最小值为.,5,答案5,解析x+=x-1+14+1=5. 当且仅当x-1=, 即x=3时等号成立.,5

4、.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.,答案2,解析x2+2y22=2xy=2,当且仅当x=y时取“=”,x2+ 2y2的最小值为2.,典例1(1)已知x,求f(x)=4x-2+的最大值. (2)求函数y=的最大值.,考点一利用配凑法求最值,考点突破,解析(1)因为x0, 则f(x)=4x-2+=-+3-2+3=-2+3=1.,规律总结 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正、二定、三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积

5、、和为常数的形式,然后利用基本不等式求解.,1-1若x1,不等式x+-1a恒成立,则实数a的取值范围是.,答案,解析因为函数f(x)=x+-1在1,+)上单调递增,所以函数g(x)=x+1+ -2在0,+)上单调递增,所以函数g(x)在1,+)的最小值为g(1)=, 因此x1不等式x+-1a恒成立,所以ag(x)最小值=,故实数a的取 值范围是.,1-2函数y=(x1)的最小值是.,答案2+2,解析x1,x-10. y= =x-1+2 2+2=2+2. 当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.,典例2(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是. (2)已知x0,y0,x+3

6、y+xy=9,则x+3y的最小值为.,考点二常数代换或消元法求最值,答案(1)5(2)6,解析(1)由x+3y=5xy,得+=5(x0,y0), 则3x+4y=(3x+4y) = =(13+12)=5. 当且仅当=,即x=2y时,等号成立, 此时由 解得,(2)由已知得x=.因为x0,y0,所以0y3, 所以x+3y=+3y=+3(y+1)-62-6=6, 当且仅当=3(y+1),即y=1,x=3时,(x+3y)min=6.,2.条件最值的求法 条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方

7、法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. 提醒尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.,同类练(1)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,那么x+2y的最小值为() A.8B.4C.2D.0 (2)已知x0,y0且x+y=1,则+的最小值为.,答案(1)A(2)18,解析(1)由x0,y0,x+2y=xy,得+=1, 则x+2y=(x+2y)=+2+2+4+2=8,当且仅当=,即x =2y时等号成立,故x+2y的最小值为8. (2)因为x0,y0,且x+y=1, 所以+=(x+y) =10+

8、10+2=18, 当且仅当=,即x=2y时等号成立, 所以当x=,y=时,+有最小值18.,变式练已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+ 的最小值是() A.9B.8C.4D.2,A,深化练已知不等式(x+y)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数 a的最小值为() A.2B.4C.6D.8,B,答案B因为a0,所以(x+y)=1+a+1+a+2=(1+)2, 由题设可知(1+)29,所以1+3,即a4.a的最小值为4.,典例3某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-

9、(k为 常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?,考点三基本不等式的实际应用,解析(1)由题意知,当m=0时,x=1, 1=3-kk=2,x=3-, 每件产品的销售价格为1.5(元), y=1.5x-8-16x-m =-+29(m0). (2)m0时,+(m+1)2

10、=8,当且仅当=m+1, 即m=3时,取等号, y-8+29=21. 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.,易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.,3-1(2018广东惠州质检)某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=(k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的 年利润为f(n)万元. (1)求k的值及f(n)的表达式; (2)若今年是