2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）

1、2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（一）1如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x27x180的一个根，OBOA请解答下列问题：（1）求点A，B的坐标；（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C若C是EF的中点，OE6，反比例函数y图象的一支经过点C，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点C作CDOE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由2如图，

2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，四边形OACB为平行四边形，OAm，cosAOB，反比例函数y（k0）的图象在第一象限内过点A，且经过BC边的中点F，连接AF，OF（1）当m10，即OA10时，求反比例函数的表达式；（2）设OAF的面积为S，求S关于m的函数表达式；（3）证明：OAFAFC3定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”例如：y+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y的图象，则y+1是y与x的“反比例平移函数”（1）若（x+3）（y+2）8，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否

3、为“反比例平移函数”？（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y的图象经过B、E两点，则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 （3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标4如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）20

4、，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y经过C、D两点（1）a ，b ；（2）求D点的坐标；（3）点P在双曲线y上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MNHT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明5如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y（k0）的图象在第二象限交于A（3，m），B（n，2）两点（1）当m1时，求一次函数的解析式

5、；（2）若点E在x轴上，满足AEB90，且AE2m，求反比例函数的解析式6定义：如图1，点P为AOB平分线上一点，MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若MPN绕点P旋转时始终满足OMONOP2，则称MPN是AOB的“相关角”（1）如图1，已知AOB60，点P为AOB平分线上一点，MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且MPN150求证：MPN是AOB的“相关角”；（2）如图2，已知AOB（090），OP3，若MPN是AOB的“相关角”，连结MN，用含的式子分别表示MPN的度数和MON的面积；（3）如图3，C是函数y（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴

6、于点A，B两点，且满足BC3CA，AOB的“相关角”为APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标7如图，已知RtABO，点B在x轴上，ABO90，AOB30，OB，反比例函数的图象经过OA的中点C，交AB于点D（1）求反比例函数的表达式；（2）求OCD的面积；（3）点P是x轴上的一个动点，请直接写出使OCP为直角三角形的点P坐标8如图1，已知点A（1，0），B（0，2），C、D均为双曲线y上一点，连接AD与y轴交于点E，且E为AD中点，其坐标为（0，2）（1）求k的值；（2）点P在双曲线y上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（3

7、）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MNHT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）9如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m0，x0）图象上的两点，一次函数ykx+3（k0）的图象经过点A，与y轴、x轴分别交于点B和点C，过点D作DEx轴，垂足为E，连接OA、OD，已知OAB与ODE的面积满足SOAB：SODE3：4（1）求SOAB与反比例函数解析式；（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当PDECBO时，求点D的坐标10

8、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），AC的垂直平分线分别交BC，OA于点D，E，过点D的反比例函数的图象交AB于点F（1）求反比例函数的表示式；（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（3）连接OD，在反比例函数图象上存在点G，使ODG90，直接写出点G的坐标参考答案1解：（1）线段OA的长是方程x27x180的一个根，解得：x9或2（舍），而点A在x轴正半轴上，A（9，0），OBOA，B（0，），（2）OE6，E（6，0），设直线AB的表达式为ykx+b，将点A和B的坐标代入，得：，解得：，AB的表达式为：，点C是EF的

9、中点，点C的横坐标为3，代入AB中，y6，则C（3，6），反比例函数经过点C，则k3618；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，M1（9，0），此时P1（9，12）；在四边形DP3BN3中，可知M在直线yx+3上，联立：，解得：，M（1，4），P3（1，0），同理可得：P2（9，12），P4（7，4），P5（15，0）故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，12），P3（1，0），P4（7，4），P5（15，0）2解：（1）过点A作AMx轴于点M，则OMOAc

10、osAOBm，同理AMm，故点A（m，m），km2100；（2）过点F作y轴的平行线交x轴于点H，交AC于点G，四边形OACB为平行四边形，则AOBCBH，则AMOGHB，点F是BC的中点，则相似比为：2：1，点A（m，m），则FHAMm，即点F的坐标为：（2m，m），BHOMm，BFCF，ACx轴，CCBH，而HFCBFH，GFCHFB（AAS）则GCBHm，则点C（m，m）；ACmmmOB，SSACBOOByCm2；（3）OABC，AFCFAO，设AOB，cos，点A（m，m）、点F（2m，m）、点C（m，m）；则OAFCmm2，而AF2m2OAFC，故：OAFAFC3解：（1）（x+3）

11、（y+2）8，则y2，该函数图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到y的图象，故：函数是“反比例平移函数”；（2）如图1中，点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，则点D（，0），设HEx，tanBOA，则OH3x，tanCDO，则DH，ODOH+HD，解得：x1，故点E（3，1），将B、E的坐标代入y得：，解得：，故这个“反比例平移函数”的表达式为：y2+，故变换后的反比例函数表达式为y，故答案为：y2+，y；（3）如图2，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形四边形PEQB的面积为16，SPFE4，B（9，3）

12、，F（6，2）y是y的“反比例平移函数”，SPFESPOE4，点E的坐标是：（3，1）过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点SOP1ES四边形ONMCSOCP1SMP1ESONE设P1（m，n），3nmn13（n1）（3m）4，解得：3nm8，而mn3，故m1，n3，故：P1（1，3），点P的坐标为（7，5）当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，），综上，点P的坐标为：（7，5）或（15，）4解：（1）+（a+b+3）20，且0，（a+b+3）20，解得：故答案是：1；2；（2）A（1，0），B（0，2），E为AD中点，xD1，设D（1，t），又四边形ABCD是平行四边形，C

13、（2，t2）t2t4t4D（1，4）；（3）D（1，4）在双曲线y上，kxy144反比例函数的解析式为y，点P在双曲线y上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），当AB为边时：如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则0，解得x1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2所示：若ABQP为平行四边形，则，解得x1，此时P2（1，4），Q2（0，6）；如图3所示：当AB为对角线时：APBQ，且APBQ；，解得x1，P3（1，4），Q3（0，2）；综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，MN是线段HT的垂直平分线，NTNH，四边形AFBH是正

14、方形，ABFABH，在BFN与BHN中，BFNBHN（SAS），NFNHNT，NTFNFTAHN，四边形ATNH中，ATN+NTF180，而NTFNFTAHN，所以，ATN+AHN180，所以，四边形ATNH内角和为360，所以TNH3601809090MNHT，即的定值为5解：（1）当m1时，点A（3，1），点A在反比例函数y的图象上，k313，反比例函数的解析式为y；点B（n，2）在反比例函数y图象上，2n3，n，设直线AB的解析式为yax+b，则，直线AB的解析式为yx+3；（2）如图，过点A作AMx轴于M，过点B作BNx轴于N，过点A作AFBN于F，交BE于G，则四边形AMNF是矩形，

15、FNAM，AFMN，A（3，m），B（n，2），BF2m，AE2m，BFAE，在AEG和BFG中，AEGBFG（AAS），AGBG，EGFG，BEBG+EGAG+FGAF，点A（3，m），B（n，2）在反比例函数y的图象上，k3m2n，mn，BFBNFNBNAM2m2+n，MNn（3）n+3，BEAFn+3，AEM+MAE90，AEM+BEN90，MAENEB，AMEENB90，AMEENB，MEBN，在RtAME中，AMm，AE2m，根据勾股定理得，AM2+ME2AE2，m2+（）2（2m）2，m，k3m，反比例函数的解析式为y6（1）证明：AOB60，P为AOB的平分线上一点，AOPBOP

16、AOB30，MOP+OMP+MPO180，OMP+MPO150，MPN150，MPO+OPN150，OMPOPN，MOPPON，OP2OMON，MPN是AOB的“相关角”；（2）解：MPN是AOB的“相关角”，OMONOP2，P为AOB的平分线上一点，MOPNOP，MOPPON，OMPOPN，MPNOPN+OPMOMP+OPM180，即MPN180；过点M作MHOB于H，如图2，则SMONONMHONOMsinOP2sin，OP3，SMONsin；（3）设点C（a，b），则ab4，过点C作CHOA于H；分两种情况：当点B在y轴正半轴上时；、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：BC3CA不可能，

17、、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：BC3CA，CHOB，ACHABO，OB4b，OAa，OAOBa4bab，APB是AOB的“相关角”，OP2OAOB，OP，AOB90，OP平分AOB，点P的坐标为：（，）；当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：BC3CA，AB2CA，CHOB，ACHABO，OB2b，OAa，OAOBa2bab，APB是AOB的“相关角”，OP2OAOB，OP，AOB90，OP平分AOB，点P的坐标为：（，）；综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）7解：（1）如图，过点C作CEOB于E则OEC90，ABO90，AOB30，OB2，ABOB2，点C是OC的中点，OCAC，

18、ABO90，OEC90CEAB，OEBEOB，CEAB1，C（，1），反比例函数（x0）的图象经过OA的中点C，1，k，反比例函数的关系式为y；（2）如图，连接OD，OB2，D的横坐标为2，代入y得，y，D（2，），BD，AB2，AD，SACDADBE，SOBDOBBD2，SOCDSABCSACDSOBD22，即OCD的面积是；（3）由（1）知，C（，1），则OC2当OCP90时，OC2，AOB30，则OP，此时点P的坐标是（，0）当OPC90时，点P与点E重合，此时点P的坐标是（，0）综上所述，符合条件的点P的坐标是（，0）或（，0）8解：（1）E为AD中点，其坐标为（0，2），A（1，0）

19、，设D（m，n），m+（1）0，n+222，m1，n2D（2，2），D为双曲线y上一点，k224；（2）由（1）知k4，反比例函数的解析式为y，点P在双曲线y上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），当AB为边时：如图1所示：若ABPQ为平行四边形，A（1，0），B（0，2），则0，解得x1，此时P1（1，4），Q1（0，6）如图2所示，若ABQP为平行四边形，A（1，0），B（0，2），则，解得x1，此时P2（1，4），Q2（0，6）；如图3所示，当AB为对角线时：APBQ，且APBQ；A（1，0），B（0，2），解得x1，P3（1，4），Q3（0，2）；故P1（1，4），Q1（0，6）

20、；P2（1，4），Q2（0，6）；P3（1，4），Q3（0，2）；（3）如图4，连接NH、NT、NF，MN是线段HT的垂直平分线，NTNH，四边形AFBH是正方形，ABFABH，在BFN与BHN中，BFNBHN，NFNHNT，NTFNFTAHN，四边形ATNH中，ATN+NTF180，而NTFNFTAHN，所以，ATN+AHN180，所以，四边形ATNH内角和为360，所以TNH3601809090MNHT，9解：（1）由一次函数ykx+3知，B（0，3）又点A的坐标是（2，n），SOAB323SOAB：SODE3：4SODE4点D是反比例函数y（m0，x0）图象上的点，mSODE4，则m8反

21、比例函数解析式为y；（2）由（1）知，反比例函数解析式是y2n8，即n4故A（2，4），将其代入ykx+3得到：2k+34解得k直线AC的解析式是：yx+3令y0，则x+30，x6，C（6，0）OC6由（1）知，OB3设D（a，b），则DEb，PEa6PDECBO，COBPED90，CBOPDE，即，又ab8 联立，得（舍去）或故D（8，1）10解：（1）连接AD，DE垂直平分AC，ADCD，B（4，2），AB2，BC4设ADCDx，则BD4x，四边形OABC矩形，BCOA，B90在RtABD中，AD2BD2+AB2即 x2（4x）2+22解得点将点的坐标代入中，解得：所求反比例函数表达式为；（2）DFA