力学授课课件pdf第6章振动

1、力学第六章振动n 振动对于平衡系统的某种周期性的偏离n 狭义定义某种具有时间周期性的运动称为振动n 机械振动物体（系统）在平衡位置附近作往复运动 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.u 周期和非周期振动u 简谐运动最简单、最基本的振动.复杂振动简谐运动合成分解u 谐振子作简谐运动的物体.6.1 简谐振动1. 简谐振动的几个例子例6.1 弹簧振子的运动受力f= -kxd 2 x即有mdt 2=f= -kx12势能U ( x) =kxx +kmx2= 0x + wx令w =k则= 0m例6.1 弹簧振子的运动（续）解得x=Acos(wt

2、+j0 )v =x = -w A sin(wt + j 0 )0a = x = -w 2 A cos(wt +j)A、j是待定常数，由初始条件而定初始条件x |t =0 =x0,v |t =0 = v0x02+ 0v 2w2可得A =j0 = tg 0 -1 -v x0w 例6.1 弹簧振子的运动（续）n 是圆频率（或角频率）n 0称为固有圆频率（本征圆频率），它仅与弹簧本身性 km0质有关。w = w=n A为振幅，0为初相位，由初始条件决定。n 弹簧振子的振动图示k:Xx一A A。 弹簧拫子F= -kxA。n 弹簧振子的振动图示x = Acos(wt + j )积分常数，根据初始条件确定F

3、 = -kx = mxk令 w 2=mv = dx= -Aw sin(wt + j )d 2 x dt2= -w2 xdtd 2 xa =dt2= -Aw2 cos(wt + j )例6.2单摆对O点，仅有重力矩M = -mgl sinq = ml2q整理得到q +glsinq= 0 单摆运动并非严格意义的简谐运动例6.2单摆（续）将sin展开sinq = q - 1 q 3 +1 q 5 -1 q 7 + 3!5!7!若很小，可取一级近似sin则方程变为q +g q= 0l可解得q = cos(w t + j 0 )例6.2单摆（续）gln 其中，w = w0它与单摆系统本身的属性有关，与运

4、动状态无关。n A为振幅，0 为初相位，由初始条件决定。例6.3复摆对O点，仅有重力矩M = -mgrc sinq -mgrcqM =I0q I0q= -mgrcq即I0q + mrc gq =0q +gq = 0I0mrc例6.3复摆（续）Imk 2k 2令r0= 0mrc=mrcrc则有q+g q= 0r0gr0又令w0 =0方程为q+ wq= 0可解得q =Acos(w0t + j0 )r0称为等值摆长2. 简谐振动表达式n 当物体的和外力（力矩）正比于变量x的负值，Fx，则有简谐振动方程的形式x + w2 x= 0n 简谐振动的运动数学表达式为x(t) = Acos(wt + j0 )

5、n 简谐振动表达式p 简谐振动的几个特征参量振幅AA = xmax A表示振动的强弱，由初始条件确定；周期 T和圆（角）频率 圆频率，单位是弧度/秒 固有圆频率0（也称本征圆频率），仅与力学系统属性有关，与运动状态无关n 简谐振动表达式周期 T 和频率 圆频率。单位是弧度/秒 固有圆频率0。仅与力学系统属性有关，与运动状态无关 频率 / 2，单位：次/ 秒（Hz） 周期T1/ = 2/ ,单位秒相位 t + 0 0为初相位，又初始条件确定。n 简谐振动表达式p 振幅A = xmaxp 周期、频率x = Acos(wt + j )= Acosw(t + T) + j 注意：弹簧振子周期 周期T=

6、2mkwT= 2 频率n= 1=w周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关T2 圆频率w = 2n= 2 T相位 t + 0 相位j = wt + j0I. wt + j0 ( x, v)存在一一对应的关系;II. 相位在02内变化，质点无相同的运动状态；相差 2N（N为整数） 质点运动状态全同（周期性）;III. 初相位 j0 (t= 0)描述质点初始时刻的运动状态；IV. 0取值范围：-或02x - t 图n 简谐振动的位移，速度和加速度的相位关系x = Acos(wt + j )A x2pT =w图像中 j =0o- A vtTv - t 图v = - Aw sin(wt + j )=

7、Aw cos(wt + j + p )2a = - Aw2 cos(wt + j )= Aw2 cos(wt + j+ )Awo- AwaAw 2o- Aw 2Tta - t图Ttn A 和0 的确定x =Acos(wt + j0 )v = -Awsin(wt + j0 )A =x+2v200w2初始条件t= 0, x =x0 , v = v0x= Acosjtanj0=-v0wx000v0= -wAsinj0对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.3. 简谐振动的描述方法(1) xt曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用图6.1的曲线图表示， 图上已将振幅、

8、周期和初相标出。图6.1简谐振动的x-t曲线表示法3.简谐振动的描述方法(2) 振幅矢量法图6.2振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）表示。 自原点画一条长等于振幅的矢量A，t=0 时，矢量A与x轴的夹角等于振动的初位相，令A 以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转， 则矢量在x轴上的投影就是振动的位移（如图6.2）。3. 简谐振动的描述方法(3) 复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示x =Aei(wt+j0 )或x = Aeiwt 其中：A =Aeij0是复数，称复振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意义的是表达式的实部。4. 弹簧谐振子的能量n 动能

9、E= 1 mx2 = 1 mw2 A2 sin2 (wt + j )k220n 势能E= 1 kx 2 = 1 kA2cos2 (wt + j)p22w 2 =km Ep= 1 mw 2 A220cos2 (wt + j0 )n 机械能E= E+ E= 1 mw 2 A2= 1 kA2简谐振动的机械能是守恒的kP224. 谐振子的能量（续）n 机械能为常量，但Ek、EP随时间作周期变化；n Ek、EP在运动过程中相互转化 在平衡位置 在最大位移处，x = 0,x = 0,Ep = 0,Ek = 0,E = EkE = EP4. 谐振子的能量（续）EEPEk0/23/22t04.谐振子的能量（续

10、）n 振幅决定机械能2E = kA2，2E A2Ek2Emw2A2 = 2E=2E或A =kmw2n 在一个周期内的平均值TE=1Edt =EkT0k 2TE=1Edt =EPT0p 24. 谐振子的能量（续）n 振幅的有效值AeffA定义eff=1A =2Ek或E= kA2eff则E=E=E=kA2kP22eff6.2 振动的合成与分解n 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）4. 方向垂直、频率不

11、同的两个简谐振动的合成，利萨如图形5. 振动的分解、谐波分析（Fourier分析）6.2 振动的合成与分解1. 同方向，同频率的两个振动的合成设两振动x1=x2=A1cos(wt A2 cos(wt+ j1 )+ j2 )合振动x = x1 + x2 =A1 cos(wt +j1 ) + A2cos(wt + j2 )= (A1cosj1 + A2 cosj2 )coswt -(A1sinj1 + A2 sinj2 )sin wt1. 同方向，同频率的两个振动的合成（续）令A1 cosj1 +A1 sinj1 +A2 cosj2A2 sinj2= Acosj= Asinj 合振动 合振幅tgj

12、 =A1sinj1 + A2 sinj2A1cosj1 + A2 cosj2 初相位x= Acos(wt + j )A =A2 + A2 + 2A A co（sj- j)111212 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动A2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221讨论A =1）相位差 Dj = j2-j1= 2k(k = 0，1， 2,L)xx ooTAA1t2 w Ax = ( A1 + A2 ) cos(wt +j)A = A1 + A2j = j2= j1+ 2kA2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221讨论A =2） 相位差Dj = j2 -j1 = (

13、2k +1)(k = 0，1, L)x =(A2 - A1) cos(wt +)x1 = A1coswtx2= A2cos(wt + )xxA =A1- A2Aj = j2j1 oo2TtAA2A2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221讨论A =1） 相位差 j2 -j1= 2k(k = 0，1，L)相互加强A = A1 + A22） 相位差 j2-j1= (2k +1)(k = 0，1，L)相互削弱A =A1 - A23） 一般情况A1+ A2 A A1- A2u 多个同方向同频率简谐运动的合成x1 =x2=A1 cos(wtA2 cos(wt+j1)AvA3j3vv jA2v

14、2oj1 A1x+ j2 )xn= An cos(wt + jn )x = Acos(wt +j)x = x1 + x2+L+ xn多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动01x= Acoswtx= Acos(w+ Dj)20tx3= A0 cos(wt+ 2Dj)0Nvovvvvv AxA1A2A3A4A5A = Ai= NA0vivA DjA4vDjD3jA5vDjv OD A2ADj vj6Ax1A =0x= Acoswt + (N -1)Dj讨论1）Dj= 2k(k = 0,1,2,L)2）NDj = 2k (kkN , k= 1,2,L)N个矢量依次相接构成一个闭合的多边形.2. 同

15、方向，不同频率的两个振动的合成设两振动x1 =A1cos(w1t +j1 )x2 = A2 cos(w2 t +j2 )为简单计算，又不失一般性，令A1 = A2 = A1j 1 = j 2 = j = 0合振动x = x+ x= 2Acos w1-w2 t cosw1 + w2 t1222n 讨论若21，x = 2 Acos2 w2 t =2A + Acosw2t 若2 1， 21 x = 2 AcosDw2t coswt = A coswtA = 2 A cos Dw t2 这是随时间缓慢变化的周期变量n 讨论差拍p 差拍：由于频率相近的简谐振动合成而产生的振幅作缓慢周期性变化的现象称为，

16、简称拍。p 拍的周期T拍，频率v拍由2Acos(21)t/2 变化的周期满足21 T拍 / 2即得T拍 = 2/ 21 v拍 21 / 2= v2v1 u 两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.x = x1 + x2x1 = A1cosw1t =A1cos 2n1tx2= A2 cosw2t = A2 cos 2 n 2t讨论A1 =A2,n2 -n1 n1 +n 2 的情况合振动n 2+n12(2A cos 2 n 2-n1 t)12x = x1 + x2= A1 cos 2 n1t + A2 cos 2

17、n2tx =cos 2t振幅部分合振动频率n 2 +n12(2A cos 2 n 2 -n1 t)12x =cos 2t振幅部分合振动频率振动频率n = (n+n2 )21n2 -n1Amax= 2A1振幅A =n2A1 cos 2t2-nAmin= 0221 T =T = 12n 2-n1n =n2 -n1 拍频（振幅变化的频率）3. 相互垂直同频率简谐振动的合成设两振动x = A1cos(wt + j1)y = A2 cos(wt + j2 )解得运动轨迹（椭圆方程）xy2x2y22cos(j- j=j- jA 2 +A 2 -A A21)sin(21 )1212 椭圆的形状由(j2-j1

18、) 决定u 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成x = A1 cos(wt + j1)y = A2cos(wt+ j2 ) 质点运动轨迹（椭圆方程）x2+y2-2xycos(j-j=2 j-jA2A2A A21)sin(21 )Ay2xA1o1212讨论1）j2 -j1= 0 或2y = A2xA1x2+y2-2xycos(j-j=2 j-jA2A2A A21)sin(21 )yAx1A2yA1xA2o1212AA2） j2-j1=y = -2x3）j2-j11= 2+x2y2= 1AAo2221x = A1y = A2coswtcos(wt + )2用旋转矢量描绘振动合成图两相互简垂谐直运同动

19、频的率不成合同图相位差4. 相互垂直，不同频率简谐振动合成n 若频率成简单的整数比，合成运动将沿一条稳定的闭合曲线进行，曲线的形状由分振幅、初相、初相差 和 频 率 比 决 定 。 这 种 曲 线 称 为 利 莎 如（Lissajous）图形。u 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成李萨如图11x = A1 cos(w t + j )y = A2 cos(w2t + j2 )1j= 0j2=0, 3,8482ww1= m测量振动频率和相位的方法2n5. 振动的分解与频谱分析（1） 周期运动的分解n 任一周期为T的运动可分解为一系列频率为2/T 的整数倍的简谐振动。（1）周期运动的分解设周期运动f

20、 (t) =f (t +T ),则af (t) = 0+ acos nwt +bsin nwt2n=1nnn=1或f (t)=A0 + Aco（snwt + jn） 2n=1n式中：2/ T 称为基频， nn 称为谐频。（1） 周期运动的分解（续）n 常数项A0为直流分量；2n N1的项A1 cos(wt+ j1 )为基频成分;n N2的项n N项A2 cos(2wt An cos(nwt+ j2 )+ jn )为二次谐频成分； 为n次谐频成分； 以上是在时域空间描述 f (t)（1） 周期运动的分解（续）n 当f(t)确定，必有唯一的一组an，bn，a0或A0，An与之对应2a = Tt+T

21、tf (t)dt2 t +T2 t +TTTan =f (t) cos nwtdt，bn =f (t) sin nwtdtttbna2 + b2nnAn =， tanjn= - ann 一组an，bn，a0 或A0，An 是f(t)的频谱。n an，bn，a0 是f(t)在频域空间的描述。n 周期信号的频谱是离散的。（2） 非周期运动的分解n 非周期振动，可视为T，或0。此时，用傅立叶积分（变换）进行分解。f (t) = a(w) coswtdw + b(w) sin wtdw00或f (t) =A(w) coswt0+ j (w)dwp式中a(w) =1f (t) coswtdt,b(w)

22、= 1p f (t) sinwtdt-a2 (w) + b2 (w)A(w) =, tanj= - b(w) a(w) 非周期信号的频谱是连续的（3） 频谱分析n 频谱信号的各阶谐频与振幅的对应关系n 将信号的各阶谐频和振幅进行分析就是频谱分析例6.4电视机产生的锯齿波可描述为f(t)=ht/T, 0tT其n阶谐波的振幅An和频率n为An=h/n，A0=hn=n=2n/TT2T3T4T5Ttn01234567n0234567Anhh/h/2h/3h/4h/5h/6h/7霞又二l18t ru 2 I-例6.5对单个矩形脉冲进行频谱分析n 脉冲函数为 0- t - ttt2f (t) =h- t

23、22t 0 t 0过阻尼振动12x(t) = Ae-(b +bt）t+ A e-(b -bt）tb2- w20bt =1. 阻尼振动0欠阻尼振动w2- b20l= -b+ iw2 - b 2，l= -b- i102ww2 =2 - b 2120x = ( Aeiwt+A e-iwt )e-b t取实部x = A0e-btcos(wt + a ) v+ b x2w式中：A0 =x 2 +00 00a = tg -1 - v0 + b xw x01. 阻尼振动0临界阻尼振动此时的方程解为x = (C+ C t)e-bt12n 阻尼的作用： b w0临界阻尼：不可能振动，但趋于平衡最快； 过阻尼：不

24、可能振动，但趋于平衡变慢。xAO阻尼振动位移时间曲线Ae- b tAe -bt cos wtt(j = 0)ATm d 2 x + gdx+ kx = 0dt2Ae-b tx =w20-b2w =dtcos(wt + j )xoc三种阻尼的比较btawb0a） 欠阻尼22wb20b） 过阻尼2w0c） 临界阻尼2= b 2临界阻尼过阻尼txO欠阻尼n 阻尼的作用： b w0临界阻尼：不可能振动，但趋于平衡最快；过阻尼：不可能振动，但趋于平衡变慢。1. 阻尼振动能量的衰减E(t) = E+ E= 1 mx2 + 1 kx2kP22x = A 0e-btcos(wt + a )b eex = -

25、A- b t cos(wt + a ) - A w- b t sin(wt + a )000 - A w e-b t sin(wt + a )(b0)00 -2b tE(t) w -2b t 2 mA e= Ee=mwA0 0其中A=Ae- b t1. 阻尼振动一个周期内，能量的损失dE =0-2b E e-2b tdtDE =t+T t-2b E0e-2btdt= -E0e-2bt (1- e-2bT )=2bTE0e-2bt(-2bT )2(e2bT= 1- 2bT+ 1- 2!2bT )0dE= -2bdtEe-2b t1. 阻尼振动品质因数Q 值n 定义：振子的机械能Q2一个周期中损耗

26、的能量Q=2pE (t )=2pEe -2 b t2bTEe -2b tDE (t )w00=p=wo=m wbT2b2bgo Q-1 定义为内耗例6.6有一单摆在空气（室温为 20C ）中来回摆动，其摆线长l =1.0m ，摆锤是一半径 r=5.0 10 -3 m 的铅球。求（ 1）摆动周期；（2）振幅减小10所需的时间；（3）能量减小10所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响。（已知铅球密度为 = 2.65 10 3 kg.m-3，20C时空气的粘度 =1.78 10-5Pa. s ）gl解（1）w0 = 3.13s-1Fr = -6prhv = -g

27、vw22- bb = g2m = 9h4r2r = 6.04 10-4 s-1b w0A 0(Ah 0)w2bwj tan-1 pp-w2p tan-1 0 = p4. 共振现象w2n 由p= w 2 - 2b 202发生振幅共振h2(wwA=2 - w2 )2 cosj + 4b 220pp对p求极值dA-h22(w 2 - w 2 )(-2w) + 8b 2w(w2- w)+ 4bw22220pp2A = dw0ppp= 0p4p (022 )820ppw02 + w2 + 2b 2= 0pwp=w02 2b 2wp= wr=w20- 2b 2振幅A达到极大，即振幅共振则有即解得4. 共振

28、现象 共振时的振幅Ar2bw20- b 2hAr= 共振时的相位差rw2 - 2b 20btgjr= -A共振频率小阻尼阻尼 0大阻尼ow0wP共振振幅A=fr2bw2- b20共振频率 w=w2-2b2r0共振演示实验123456单摆1作垂直于纸面的简谐运动时，单摆5将作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动.p 共振频率w=w2- 2b2r0p 共振振幅A=fr2bw2- b20p 共振现象在实际中的应用 乐器、收音机n 共振现象的 1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌4. 共振现象n 品质因数Q 共振时w 2= w 2= w2 - 2b 2w 2pr00(w0 b )

29、 一个周期的平均能量E= 1 mA2 (w2 + w 2 ) = 1 mw2 A24p020r 一个周期的外部输入能量rDE = gwp A2p= gw0 A2p4. 共振现象 品质因数QEQ=2pDE=2p2 A22mgw 0 A rp02mwrQ=g0=w02b6.4 二自由度振动体系与简正模1. 问题的提出n 一个复杂的系统可视为由多个弹簧振子耦合在一起的系统，各振子有不同的固有频率，整个系统将怎样运动？n 系统可能以统一的频率振动，统一的频率由什么决定？2. 简谐振动的复数表示简谐振动的复数形式f (t) =Acos(wt +j0 )f (t) =Aei(wt+j0 )=Aeij0 e

30、iwt=Aeiwt A =Aeij0若f(t)表示位移，则速度和加速度为v =dfdtd 2= iwAeiwt fdf= iw f2a = iwdt 2dt= iw(iw f ) = -wf3. 举例例6.7 图为线形三原子分子A2B的模型。假定相邻原子间的结合力是弹性力，它们正比于原子间距，求分子可能的纵向运动形式和相应的振动角频率。【解】从左到右设三个原子的坐标依次为x1、x2、x3， 则它们的运动方程为md 2 x12= -k(x1 - x2 );Adtd 2 xmBdt 22d 2 xm3Cdt 2= -k( x2- x1 ) -= -k(x3 - x2 )k( x2- x3 );j设

31、解具有复数形式：x= Ajeiwt( j = 1,2,3)代入上列方程，并消去公共因子eit，可得(w2 -k) A+kA+ 0 A= 0mm123AA123kA+ (w 2 -2k ) A+kA= 0mmm3m2m1B kB2 kB0 A+A+ (w-) A= 0AA该齐次方程组可解的条件是w 2 -kk0mAmAkw 2 -2kk= 0mBmBmB0kw 2 -kmAmA即(w2 -k)2 (w2 -2k) - 2(w2 -k)k= 02mAmBmAmAmB因式分解，得w w2-k 2 k(2m+ m) w2= 0- ABmAmAmB由此得到2的三个根：w2=k， w2=k(2m+ m)w2 1m2mA mB，AAB将三个2的根代回联立方程组，得原子振幅