2021年高考数学一轮精选练习：52《抛物线》(含解析).doc

1、2021年高考数学一轮精选练习：52抛物线一 、选择题已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于( )A. B. C. D.已知抛物线y2=2px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )A.y2=4x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=8x已知抛物线C：x2=2py(p0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C方程为( )A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y

2、已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=(O为坐标原点)，则=( )A. B. C. D.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是( )A. B. C. D.已知抛物线C：y2=2x，过焦点F且斜率为的直线与C交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则SMFN=( )A.8 B.2 C.4 D.8已知抛物线E：y2=2px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，

3、MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为( )A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( )A. B.1 C. D.2二 、填空题如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.当水面宽为2 m时，水位下降了 m.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p0)经过C，F两点，则= .已知抛物线C1：y=ax2(a0)的

4、焦点F也是椭圆C2：=1(b0)的一个焦点，点M，P(1.5,1)分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|MF|的最小值为 .在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.若直线AF的斜率k=，则线段PF的长为 .设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2=r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是 .三 、解答题已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2=p2，x1x2=；(2)为定值；(3)

5、以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.已知直线y=k(x2)与抛物线：y2=x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交于点N.(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使=0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.已知抛物线C：x2=2py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.答案解析答案为：B；解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=1，由抛物线定义可知|PA|=|P

6、F|=4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1,2)，所以kAF=，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.答案为：D；解析：因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|=2p，所以SCAB=2p=24，解得p=4或12(舍)，所以抛物线方程为y2=8x，所以直线AB的方程为x=2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=8x，故选D.答案为：C；解析：由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2=2y.答案为：A；解析：不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|=|MF|=，所以解得m=

7、，p=2，所以=，=，所以=2=.故选A.答案为：A；解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|=|AF|1，|BN|=|BF|1.可知=，故选A.答案为：B；解析：不妨设点P在x轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，设直线PQ的倾斜角为，则tan=，所以=，由抛物线焦点弦的性质可知，|PF|=2，|QF|=，所以|MN|=|PQ|sin=(|PF|QF|)sin=4，所以SMFN=|MN|p=4=2，故选B.答案为：C；解析：由题意，得F，直线AB的方程为y=x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y=x和y2=2p

8、x得，y22pyp2=0，则y1y2=2p，所以y0=p，故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0=，即M，因为MCAB，所以kABkMC=1，故kMC=1，从而直线MC的方程为y=xp，令y=0，得x=p，故C，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差，即S四边形CMNF=S梯形CMNOSNOF=pp=p2=7，p2=4，又p0，p=2，故抛物线E的方程为y2=4x，故选C.答案为：A；解析：过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图，由题意知|MN|=(|AA1|BB1|)=(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2=|AF|2|BF

9、|22|AF|BF|cos120=|AF|2|BF|2|AF|BF|，2=，当且仅当|AF|=|BF|时取等号，的最大值为.一 、填空题答案为：1；解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=2py(p0)，把(2，2)代入方程得p=1，即抛物线的标准方程为x2=2y.将x=代入x2=2y得：y=3，又3(2)=1，所以水面下降了1 m.答案为：1；解析：|OD|=，|DE|=b，|DC|=a，|EF|=b，故C，F，又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点，从而有即b2=a22ab，221=0，又1，=1.答案为：2；解析：将P代入到=1中，

10、可得=1，b=，c=1，抛物线的焦点F为(0,1)，抛物线C1的方程为x2=4y，准线为直线y=1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，要求|MP|MF|的最小值，即求|MP|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|MD|最小，最小值为1(1)=2.答案为：6；解析：由抛物线方程为y2=6x，所以焦点坐标F，准线方程为x=，因为直线AF的斜率为，所以直线AF的方程为y=，画图象如图.当x=时，y=3，所以A，因为PAl，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|=6.答案为：(2,4)；解析：如图，设A(x

11、1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)=4(x1x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1x2，则有=2，又y1y2=2y0，所以y0k=2.由CMAB，得k=1，即y0k=5x0，因此2=5x0，x0=3，即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x，得y2=12，则有2y02.因为点M在圆上，所以(x05)2y=r2，故r2=y4124=16.又y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2r4.二 、解答题证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x=my，代入y2=2px，得

12、y2=2p，即y22pmyp2=0.(*)因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=p2.因为y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2=.(2)=.因为x1x2=，x1x2=|AB|p，代入上式，得=(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|=(|AC|BD|)=(|AF|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，x1x2=4，xM=，yM=k(xM2)=k=.由题设条件可知，yN=yM=，xN=2y=，N.设抛物线在点N处的切线l的方程为y=m，将x=2y2代入上式，得2my2y=0.直线l与抛物线相切，=142m=0，m=k，即lAB.(2)假设存在实数k，使=0，则NANB.M是AB的中点，|MN|=|AB|.由(1)，得|AB|=|x1x2|=.MNy轴，|MN|=|xMxN|=.=，解得k=.故存在k=，使得=0.解：(1)可设AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22p